Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvferm2 Structured version   Unicode version

Theorem dvferm2 22807
 Description: One-sided version of dvferm 22808. A point which is the local maximum of its left neighborhood has derivative at least zero. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvferm.a
dvferm.b
dvferm.u
dvferm.s
dvferm.d
dvferm2.r
Assertion
Ref Expression
dvferm2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem dvferm2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvferm.a . . . . . . . . 9
2 dvferm.b . . . . . . . . 9
3 dvfre 22773 . . . . . . . . 9
41, 2, 3syl2anc 665 . . . . . . . 8
5 dvferm.d . . . . . . . 8
64, 5ffvelrnd 6038 . . . . . . 7
76adantr 466 . . . . . 6
87renegcld 10045 . . . . 5
96lt0neg1d 10182 . . . . . 6
109biimpa 486 . . . . 5
118, 10elrpd 11338 . . . 4
12 dvf 22730 . . . . . . . . . . 11
13 ffun 5748 . . . . . . . . . . 11
14 funfvbrb 6010 . . . . . . . . . . 11
1512, 13, 14mp2b 10 . . . . . . . . . 10
165, 15sylib 199 . . . . . . . . 9
17 eqid 2429 . . . . . . . . . 10 fldt fldt
18 eqid 2429 . . . . . . . . . 10 fld fld
19 eqid 2429 . . . . . . . . . 10
20 ax-resscn 9595 . . . . . . . . . . 11
2120a1i 11 . . . . . . . . . 10
22 fss 5754 . . . . . . . . . . 11
231, 20, 22sylancl 666 . . . . . . . . . 10
2417, 18, 19, 21, 23, 2eldv 22721 . . . . . . . . 9 fldt lim
2516, 24mpbid 213 . . . . . . . 8 fldt lim
2625simprd 464 . . . . . . 7 lim
2726adantr 466 . . . . . 6 lim
282, 20syl6ss 3482 . . . . . . . . . 10
29 dvferm.s . . . . . . . . . . 11
30 dvferm.u . . . . . . . . . . 11
3129, 30sseldd 3471 . . . . . . . . . 10
3223, 28, 31dvlem 22719 . . . . . . . . 9
3332, 19fmptd 6061 . . . . . . . 8
3433adantr 466 . . . . . . 7
3528adantr 466 . . . . . . . 8
3635ssdifssd 3609 . . . . . . 7
3728, 31sseldd 3471 . . . . . . . 8
3837adantr 466 . . . . . . 7
3934, 36, 38ellimc3 22702 . . . . . 6 lim
4027, 39mpbid 213 . . . . 5
4140simprd 464 . . . 4
42 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . 14
4342oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . 13
44 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . 13
4543, 44oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . 12
46 ovex 6333 . . . . . . . . . . . 12
4745, 19, 46fvmpt 5964 . . . . . . . . . . 11
4847oveq1d 6320 . . . . . . . . . 10
4948fveq2d 5885 . . . . . . . . 9
50 id 23 . . . . . . . . 9
5149, 50breqan12rd 4442 . . . . . . . 8
5251imbi2d 317 . . . . . . 7
5352ralbidva 2868 . . . . . 6
5453rexbidv 2946 . . . . 5
5554rspcv 3184 . . . 4
5611, 41, 55sylc 62 . . 3
571ad3antrrr 734 . . . . . 6
582ad3antrrr 734 . . . . . 6
5930ad3antrrr 734 . . . . . 6
6029ad3antrrr 734 . . . . . 6
615ad3antrrr 734 . . . . . 6
62 dvferm2.r . . . . . . 7
6362ad3antrrr 734 . . . . . 6
64 simpllr 767 . . . . . 6
65 simplr 760 . . . . . 6
66 simpr 462 . . . . . 6
67 eqid 2429 . . . . . 6
6857, 58, 59, 60, 61, 63, 64, 65, 66, 67dvferm2lem 22806 . . . . 5
6968imnani 424 . . . 4
7069nrexdv 2888 . . 3
7156, 70pm2.65da 578 . 2
72 0re 9642 . . 3
73 lenlt 9711 . . 3
7472, 6, 73sylancr 667 . 2
7571, 74mpbird 235 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1870   wne 2625  wral 2782  wrex 2783   cdif 3439   wss 3442  cif 3915  csn 4002   class class class wbr 4426   cmpt 4484   cdm 4854   wfun 5595  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305  cc 9536  cr 9537  cc0 9538   caddc 9541   clt 9674   cle 9675   cmin 9859  cneg 9860   cdiv 10268  c2 10659  crp 11302  cioo 11635  cabs 13276   ↾t crest 15269  ctopn 15270  ℂfldccnfld 18896  cnt 19954   lim climc 22685   cdv 22686 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fi 7931  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-icc 11642  df-fz 11783  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-struct 15077  df-ndx 15078  df-slot 15079  df-base 15080  df-plusg 15156  df-mulr 15157  df-starv 15158  df-tset 15162  df-ple 15163  df-ds 15165  df-unif 15166  df-rest 15271  df-topn 15272  df-topgen 15292  df-psmet 18888  df-xmet 18889  df-met 18890  df-bl 18891  df-mopn 18892  df-fbas 18893  df-fg 18894  df-cnfld 18897  df-top 19843  df-bases 19844  df-topon 19845  df-topsp 19846  df-cld 19956  df-ntr 19957  df-cls 19958  df-nei 20036  df-lp 20074  df-perf 20075  df-cn 20165  df-cnp 20166  df-haus 20253  df-fil 20783  df-fm 20875  df-flim 20876  df-flf 20877  df-xms 21257  df-ms 21258  df-cncf 21797  df-limc 22689  df-dv 22690 This theorem is referenced by:  dvferm  22808  dvivthlem1  22828
 Copyright terms: Public domain W3C validator