MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvferm Structured version   Unicode version

Theorem dvferm 22152
Description: Fermat's theorem on stationary points. A point  U which is a local maximum has derivative equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvferm.a  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
dvferm.b  |-  ( ph  ->  X  C_  RR )
dvferm.u  |-  ( ph  ->  U  e.  ( A (,) B ) )
dvferm.s  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  X )
dvferm.d  |-  ( ph  ->  U  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
dvferm.r  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A (,) B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
Assertion
Ref Expression
dvferm  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  =  0 )
Distinct variable groups:    y, A    y, B    y, F    y, U    y, X    ph, y

Proof of Theorem dvferm
StepHypRef Expression
1 dvferm.a . . 3  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
2 dvferm.b . . 3  |-  ( ph  ->  X  C_  RR )
3 dvferm.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  ( A (,) B ) )
4 dvferm.s . . 3  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  X )
5 dvferm.d . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
6 ne0i 3791 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  ( A (,) B )  ->  ( A (,) B )  =/=  (/) )
7 ndmioo 11556 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A (,) B
)  =  (/) )
87necon1ai 2698 . . . . . . 7  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* ) )
93, 6, 83syl 20 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
109simpld 459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
11 eliooord 11584 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  U  /\  U  <  B ) )
123, 11syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  <  U  /\  U  <  B ) )
1312simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  <  U )
14 ioossre 11586 . . . . . . . . 9  |-  ( A (,) B )  C_  RR
1514, 3sseldi 3502 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
1615rexrd 9643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
17 xrltle 11355 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  U  e.  RR* )  ->  ( A  <  U  ->  A  <_  U ) )
1810, 16, 17syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  <  U  ->  A  <_  U )
)
1913, 18mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  <_  U )
20 iooss1 11564 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  U )  ->  ( U (,) B )  C_  ( A (,) B ) )
2110, 19, 20syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U (,) B
)  C_  ( A (,) B ) )
22 dvferm.r . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A (,) B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
23 ssralv 3564 . . . 4  |-  ( ( U (,) B ) 
C_  ( A (,) B )  ->  ( A. y  e.  ( A (,) B ) ( F `  y )  <_  ( F `  U )  ->  A. y  e.  ( U (,) B
) ( F `  y )  <_  ( F `  U )
) )
2421, 22, 23sylc 60 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( U (,) B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
251, 2, 3, 4, 5, 24dvferm1 22149 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  <_  0 )
269simprd 463 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
2712simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  <  B )
28 xrltle 11355 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( U  <  B  ->  U  <_  B ) )
2916, 26, 28syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  <  B  ->  U  <_  B )
)
3027, 29mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  <_  B )
31 iooss2 11565 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  U  <_  B )  ->  ( A (,) U )  C_  ( A (,) B ) )
3226, 30, 31syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A (,) U
)  C_  ( A (,) B ) )
33 ssralv 3564 . . . 4  |-  ( ( A (,) U ) 
C_  ( A (,) B )  ->  ( A. y  e.  ( A (,) B ) ( F `  y )  <_  ( F `  U )  ->  A. y  e.  ( A (,) U
) ( F `  y )  <_  ( F `  U )
) )
3432, 22, 33sylc 60 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A (,) U ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
351, 2, 3, 4, 5, 34dvferm2 22151 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( RR  _D  F ) `  U ) )
36 dvfre 22117 . . . . 5  |-  ( ( F : X --> RR  /\  X  C_  RR )  -> 
( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
371, 2, 36syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
3837, 5ffvelrnd 6022 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  e.  RR )
39 0re 9596 . . 3  |-  0  e.  RR
40 letri3 9670 . . 3  |-  ( ( ( ( RR  _D  F ) `  U
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  U )  =  0  <-> 
( ( ( RR 
_D  F ) `  U )  <_  0  /\  0  <_  ( ( RR  _D  F ) `
 U ) ) ) )
4138, 39, 40sylancl 662 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  U )  =  0  <-> 
( ( ( RR 
_D  F ) `  U )  <_  0  /\  0  <_  ( ( RR  _D  F ) `
 U ) ) ) )
4225, 35, 41mpbir2and 920 1  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814    C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   RRcr 9491   0cc0 9492   RR*cxr 9627    < clt 9628    <_ cle 9629   (,)cioo 11529    _D cdv 22030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fi 7871  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-icc 11536  df-fz 11673  df-seq 12076  df-exp 12135  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-rest 14678  df-topn 14679  df-topgen 14699  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-lp 19431  df-perf 19432  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-haus 19610  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-xms 20586  df-ms 20587  df-cncf 21145  df-limc 22033  df-dv 22034
This theorem is referenced by:  rollelem  22153  dvivthlem1  22172
  Copyright terms: Public domain W3C validator