MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvferm Structured version   Unicode version

Theorem dvferm 21459
Description: Fermat's theorem on stationary points. A point  U which is a local maximum has derivative equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvferm.a  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
dvferm.b  |-  ( ph  ->  X  C_  RR )
dvferm.u  |-  ( ph  ->  U  e.  ( A (,) B ) )
dvferm.s  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  X )
dvferm.d  |-  ( ph  ->  U  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
dvferm.r  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A (,) B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
Assertion
Ref Expression
dvferm  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  =  0 )
Distinct variable groups:    y, A    y, B    y, F    y, U    y, X    ph, y

Proof of Theorem dvferm
StepHypRef Expression
1 dvferm.a . . 3  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
2 dvferm.b . . 3  |-  ( ph  ->  X  C_  RR )
3 dvferm.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  ( A (,) B ) )
4 dvferm.s . . 3  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  X )
5 dvferm.d . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
6 ne0i 3642 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  ( A (,) B )  ->  ( A (,) B )  =/=  (/) )
7 ndmioo 11326 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A (,) B
)  =  (/) )
87necon1ai 2652 . . . . . . 7  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* ) )
93, 6, 83syl 20 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
109simpld 459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
11 eliooord 11354 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  U  /\  U  <  B ) )
123, 11syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  <  U  /\  U  <  B ) )
1312simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  <  U )
14 ioossre 11356 . . . . . . . . 9  |-  ( A (,) B )  C_  RR
1514, 3sseldi 3353 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
1615rexrd 9432 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
17 xrltle 11125 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  U  e.  RR* )  ->  ( A  <  U  ->  A  <_  U ) )
1810, 16, 17syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  <  U  ->  A  <_  U )
)
1913, 18mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  <_  U )
20 iooss1 11334 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  U )  ->  ( U (,) B )  C_  ( A (,) B ) )
2110, 19, 20syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U (,) B
)  C_  ( A (,) B ) )
22 dvferm.r . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A (,) B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
23 ssralv 3415 . . . 4  |-  ( ( U (,) B ) 
C_  ( A (,) B )  ->  ( A. y  e.  ( A (,) B ) ( F `  y )  <_  ( F `  U )  ->  A. y  e.  ( U (,) B
) ( F `  y )  <_  ( F `  U )
) )
2421, 22, 23sylc 60 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( U (,) B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
251, 2, 3, 4, 5, 24dvferm1 21456 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  <_  0 )
269simprd 463 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
2712simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  <  B )
28 xrltle 11125 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( U  <  B  ->  U  <_  B ) )
2916, 26, 28syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  <  B  ->  U  <_  B )
)
3027, 29mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  <_  B )
31 iooss2 11335 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  U  <_  B )  ->  ( A (,) U )  C_  ( A (,) B ) )
3226, 30, 31syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A (,) U
)  C_  ( A (,) B ) )
33 ssralv 3415 . . . 4  |-  ( ( A (,) U ) 
C_  ( A (,) B )  ->  ( A. y  e.  ( A (,) B ) ( F `  y )  <_  ( F `  U )  ->  A. y  e.  ( A (,) U
) ( F `  y )  <_  ( F `  U )
) )
3432, 22, 33sylc 60 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A (,) U ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
351, 2, 3, 4, 5, 34dvferm2 21458 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( RR  _D  F ) `  U ) )
36 dvfre 21424 . . . . 5  |-  ( ( F : X --> RR  /\  X  C_  RR )  -> 
( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
371, 2, 36syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
3837, 5ffvelrnd 5843 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  e.  RR )
39 0re 9385 . . 3  |-  0  e.  RR
40 letri3 9459 . . 3  |-  ( ( ( ( RR  _D  F ) `  U
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  U )  =  0  <-> 
( ( ( RR 
_D  F ) `  U )  <_  0  /\  0  <_  ( ( RR  _D  F ) `
 U ) ) ) )
4138, 39, 40sylancl 662 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  U )  =  0  <-> 
( ( ( RR 
_D  F ) `  U )  <_  0  /\  0  <_  ( ( RR  _D  F ) `
 U ) ) ) )
4225, 35, 41mpbir2and 913 1  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2605   A.wral 2714    C_ wss 3327   (/)c0 3636   class class class wbr 4291   dom cdm 4839   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   RRcr 9280   0cc0 9281   RR*cxr 9416    < clt 9417    <_ cle 9418   (,)cioo 11299    _D cdv 21337
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-iin 4173  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-oadd 6923  df-er 7100  df-map 7215  df-pm 7216  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-fi 7660  df-sup 7690  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-4 10381  df-5 10382  df-6 10383  df-7 10384  df-8 10385  df-9 10386  df-10 10387  df-n0 10579  df-z 10646  df-dec 10755  df-uz 10861  df-q 10953  df-rp 10991  df-xneg 11088  df-xadd 11089  df-xmul 11090  df-ioo 11303  df-icc 11306  df-fz 11437  df-seq 11806  df-exp 11865  df-cj 12587  df-re 12588  df-im 12589  df-sqr 12723  df-abs 12724  df-struct 14175  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-plusg 14250  df-mulr 14251  df-starv 14252  df-tset 14256  df-ple 14257  df-ds 14259  df-unif 14260  df-rest 14360  df-topn 14361  df-topgen 14381  df-psmet 17808  df-xmet 17809  df-met 17810  df-bl 17811  df-mopn 17812  df-fbas 17813  df-fg 17814  df-cnfld 17818  df-top 18502  df-bases 18504  df-topon 18505  df-topsp 18506  df-cld 18622  df-ntr 18623  df-cls 18624  df-nei 18701  df-lp 18739  df-perf 18740  df-cn 18830  df-cnp 18831  df-haus 18918  df-fil 19418  df-fm 19510  df-flim 19511  df-flf 19512  df-xms 19894  df-ms 19895  df-cncf 20453  df-limc 21340  df-dv 21341
This theorem is referenced by:  rollelem  21460  dvivthlem1  21479
  Copyright terms: Public domain W3C validator