MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvferm Structured version   Unicode version

Theorem dvferm 22367
Description: Fermat's theorem on stationary points. A point  U which is a local maximum has derivative equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvferm.a  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
dvferm.b  |-  ( ph  ->  X  C_  RR )
dvferm.u  |-  ( ph  ->  U  e.  ( A (,) B ) )
dvferm.s  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  X )
dvferm.d  |-  ( ph  ->  U  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
dvferm.r  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A (,) B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
Assertion
Ref Expression
dvferm  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  =  0 )
Distinct variable groups:    y, A    y, B    y, F    y, U    y, X    ph, y

Proof of Theorem dvferm
StepHypRef Expression
1 dvferm.a . . 3  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
2 dvferm.b . . 3  |-  ( ph  ->  X  C_  RR )
3 dvferm.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  ( A (,) B ) )
4 dvferm.s . . 3  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  X )
5 dvferm.d . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
6 ne0i 3776 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  ( A (,) B )  ->  ( A (,) B )  =/=  (/) )
7 ndmioo 11567 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A (,) B
)  =  (/) )
87necon1ai 2674 . . . . . . 7  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* ) )
93, 6, 83syl 20 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
109simpld 459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
11 eliooord 11595 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  U  /\  U  <  B ) )
123, 11syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  <  U  /\  U  <  B ) )
1312simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  <  U )
14 ioossre 11597 . . . . . . . . 9  |-  ( A (,) B )  C_  RR
1514, 3sseldi 3487 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
1615rexrd 9646 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
17 xrltle 11366 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  U  e.  RR* )  ->  ( A  <  U  ->  A  <_  U ) )
1810, 16, 17syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  <  U  ->  A  <_  U )
)
1913, 18mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  <_  U )
20 iooss1 11575 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  U )  ->  ( U (,) B )  C_  ( A (,) B ) )
2110, 19, 20syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U (,) B
)  C_  ( A (,) B ) )
22 dvferm.r . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A (,) B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
23 ssralv 3549 . . . 4  |-  ( ( U (,) B ) 
C_  ( A (,) B )  ->  ( A. y  e.  ( A (,) B ) ( F `  y )  <_  ( F `  U )  ->  A. y  e.  ( U (,) B
) ( F `  y )  <_  ( F `  U )
) )
2421, 22, 23sylc 60 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( U (,) B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
251, 2, 3, 4, 5, 24dvferm1 22364 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  <_  0 )
269simprd 463 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
2712simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  <  B )
28 xrltle 11366 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( U  <  B  ->  U  <_  B ) )
2916, 26, 28syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  <  B  ->  U  <_  B )
)
3027, 29mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  <_  B )
31 iooss2 11576 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  U  <_  B )  ->  ( A (,) U )  C_  ( A (,) B ) )
3226, 30, 31syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A (,) U
)  C_  ( A (,) B ) )
33 ssralv 3549 . . . 4  |-  ( ( A (,) U ) 
C_  ( A (,) B )  ->  ( A. y  e.  ( A (,) B ) ( F `  y )  <_  ( F `  U )  ->  A. y  e.  ( A (,) U
) ( F `  y )  <_  ( F `  U )
) )
3432, 22, 33sylc 60 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A (,) U ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
351, 2, 3, 4, 5, 34dvferm2 22366 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( RR  _D  F ) `  U ) )
36 dvfre 22332 . . . . 5  |-  ( ( F : X --> RR  /\  X  C_  RR )  -> 
( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
371, 2, 36syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
3837, 5ffvelrnd 6017 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  e.  RR )
39 0re 9599 . . 3  |-  0  e.  RR
40 letri3 9673 . . 3  |-  ( ( ( ( RR  _D  F ) `  U
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  U )  =  0  <-> 
( ( ( RR 
_D  F ) `  U )  <_  0  /\  0  <_  ( ( RR  _D  F ) `
 U ) ) ) )
4138, 39, 40sylancl 662 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  U )  =  0  <-> 
( ( ( RR 
_D  F ) `  U )  <_  0  /\  0  <_  ( ( RR  _D  F ) `
 U ) ) ) )
4225, 35, 41mpbir2and 922 1  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793    C_ wss 3461   (/)c0 3770   class class class wbr 4437   dom cdm 4989   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   RRcr 9494   0cc0 9495   RR*cxr 9630    < clt 9631    <_ cle 9632   (,)cioo 11540    _D cdv 22245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fi 7873  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-icc 11547  df-fz 11684  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-rest 14802  df-topn 14803  df-topgen 14823  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cld 19498  df-ntr 19499  df-cls 19500  df-nei 19577  df-lp 19615  df-perf 19616  df-cn 19706  df-cnp 19707  df-haus 19794  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419  df-xms 20801  df-ms 20802  df-cncf 21360  df-limc 22248  df-dv 22249
This theorem is referenced by:  rollelem  22368  dvivthlem1  22387
  Copyright terms: Public domain W3C validator