Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvferm Structured version   Unicode version

Theorem dvferm 22367
 Description: Fermat's theorem on stationary points. A point which is a local maximum has derivative equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvferm.a
dvferm.b
dvferm.u
dvferm.s
dvferm.d
dvferm.r
Assertion
Ref Expression
dvferm
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem dvferm
StepHypRef Expression
1 dvferm.a . . 3
2 dvferm.b . . 3
3 dvferm.u . . 3
4 dvferm.s . . 3
5 dvferm.d . . 3
6 ne0i 3776 . . . . . . 7
7 ndmioo 11567 . . . . . . . 8
87necon1ai 2674 . . . . . . 7
93, 6, 83syl 20 . . . . . 6
109simpld 459 . . . . 5
11 eliooord 11595 . . . . . . . 8
123, 11syl 16 . . . . . . 7
1312simpld 459 . . . . . 6
14 ioossre 11597 . . . . . . . . 9
1514, 3sseldi 3487 . . . . . . . 8
1615rexrd 9646 . . . . . . 7
17 xrltle 11366 . . . . . . 7
1810, 16, 17syl2anc 661 . . . . . 6
1913, 18mpd 15 . . . . 5
20 iooss1 11575 . . . . 5
2110, 19, 20syl2anc 661 . . . 4
22 dvferm.r . . . 4
23 ssralv 3549 . . . 4
2421, 22, 23sylc 60 . . 3
251, 2, 3, 4, 5, 24dvferm1 22364 . 2
269simprd 463 . . . . 5
2712simprd 463 . . . . . 6
28 xrltle 11366 . . . . . . 7
2916, 26, 28syl2anc 661 . . . . . 6
3027, 29mpd 15 . . . . 5
31 iooss2 11576 . . . . 5
3226, 30, 31syl2anc 661 . . . 4
33 ssralv 3549 . . . 4
3432, 22, 33sylc 60 . . 3
351, 2, 3, 4, 5, 34dvferm2 22366 . 2
36 dvfre 22332 . . . . 5
371, 2, 36syl2anc 661 . . . 4
3837, 5ffvelrnd 6017 . . 3
39 0re 9599 . . 3
40 letri3 9673 . . 3
4138, 39, 40sylancl 662 . 2
4225, 35, 41mpbir2and 922 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1383   wcel 1804   wne 2638  wral 2793   wss 3461  c0 3770   class class class wbr 4437   cdm 4989  wf 5574  cfv 5578  (class class class)co 6281  cr 9494  cc0 9495  cxr 9630   clt 9631   cle 9632  cioo 11540   cdv 22245 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fi 7873  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-icc 11547  df-fz 11684  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-rest 14802  df-topn 14803  df-topgen 14823  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cld 19498  df-ntr 19499  df-cls 19500  df-nei 19577  df-lp 19615  df-perf 19616  df-cn 19706  df-cnp 19707  df-haus 19794  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419  df-xms 20801  df-ms 20802  df-cncf 21360  df-limc 22248  df-dv 22249 This theorem is referenced by:  rollelem  22368  dvivthlem1  22387
 Copyright terms: Public domain W3C validator