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Theorem dvexp3 21409
Description: Derivative of an exponential of integer exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvexp3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
Distinct variable group:    x, N

Proof of Theorem dvexp3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 10656 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  NN0  \/  ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN ) ) )
2 cnelprrecn 9371 . . . . . 6  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  CC  e.  { RR ,  CC }
)
4 expcl 11879 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( x ^ N
)  e.  CC )
54ancoms 450 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  CC )  ->  ( x ^ N
)  e.  CC )
6 c0ex 9376 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
7 ovex 6115 . . . . . . 7  |-  ( N  x.  ( x ^
( N  -  1 ) ) )  e. 
_V
86, 7ifex 3855 . . . . . 6  |-  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^
( N  -  1 ) ) ) )  e.  _V
98a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  CC )  ->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  (
x ^ ( N  -  1 ) ) ) )  e.  _V )
10 dvexp2 21387 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) ) )
11 difssd 3481 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( CC 
\  { 0 } )  C_  CC )
12 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
1312cnfldtop 20322 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
1412cnfldtopon 20321 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
1514toponunii 18496 . . . . . . . 8  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
1615restid 14368 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
1713, 16ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
1817eqcomi 2445 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
1912cnfldhaus 20323 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Haus
20 0cn 9374 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
2115sncld 18934 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Haus  /\  0  e.  CC )  ->  { 0 }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) ) )
2219, 20, 21mp2an 667 . . . . . . 7  |-  { 0 }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )
2315cldopn 18594 . . . . . . 7  |-  ( { 0 }  e.  (
Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )  ->  ( CC  \  { 0 } )  e.  ( TopOpen ` fld )
)
2422, 23ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( CC 
\  { 0 } )  e.  ( TopOpen ` fld )
2524a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( CC 
\  { 0 } )  e.  ( TopOpen ` fld )
)
263, 5, 9, 10, 11, 18, 12, 25dvmptres 21396 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( CC 
_D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) ) )
27 ifid 3823 . . . . . 6  |-  if ( N  =  0 ,  ( N  x.  (
x ^ ( N  -  1 ) ) ) ,  ( N  x.  ( x ^
( N  -  1 ) ) ) )  =  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) )
28 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  0  ->  N  =  0 )
29 oveq1 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  =  0  ->  ( N  -  1 )  =  ( 0  -  1 ) )
3029oveq2d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  0  ->  (
x ^ ( N  -  1 ) )  =  ( x ^
( 0  -  1 ) ) )
3128, 30oveq12d 6108 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  0  ->  ( N  x.  ( x ^ ( N  - 
1 ) ) )  =  ( 0  x.  ( x ^ (
0  -  1 ) ) ) )
32 eldifsn 3997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
33 0z 10653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ZZ
34 peano2zm 10684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0  -  1 )  e.  ZZ )
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  -  1 )  e.  ZZ
36 expclz 11886 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0  /\  (
0  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( x ^ (
0  -  1 ) )  e.  CC )
3735, 36mp3an3 1298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( x ^ (
0  -  1 ) )  e.  CC )
3832, 37sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( x ^
( 0  -  1 ) )  e.  CC )
3938adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( x ^ ( 0  -  1 ) )  e.  CC )
4039mul02d 9563 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( 0  x.  ( x ^
( 0  -  1 ) ) )  =  0 )
4131, 40sylan9eqr 2495 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  N  =  0 )  -> 
( N  x.  (
x ^ ( N  -  1 ) ) )  =  0 )
4241ifeq1da 3816 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  if ( N  =  0 , 
( N  x.  (
x ^ ( N  -  1 ) ) ) ,  ( N  x.  ( x ^
( N  -  1 ) ) ) )  =  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
4327, 42syl5eqr 2487 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) )  =  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
4443mpteq2dva 4375 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( N  x.  (
x ^ ( N  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) ) )
4526, 44eqtr4d 2476 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( CC 
_D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
46 eldifi 3475 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  x  e.  CC )
4746adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  x  e.  CC )
48 simpll 748 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  N  e.  RR )
4948recnd 9408 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  N  e.  CC )
50 nnnn0 10582 . . . . . . . 8  |-  ( -u N  e.  NN  ->  -u N  e.  NN0 )
5150ad2antlr 721 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u N  e.  NN0 )
52 expneg2 11870 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  (
x ^ N )  =  ( 1  / 
( x ^ -u N
) ) )
5347, 49, 51, 52syl3anc 1213 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x ^ N
)  =  ( 1  /  ( x ^ -u N ) ) )
5453mpteq2dva 4375 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( x ^ N ) )  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  (
x ^ -u N
) ) ) )
5554oveq2d 6106 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  / 
( x ^ -u N
) ) ) ) )
562a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
57 eldifsni 3998 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  x  =/=  0
)
5857adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  x  =/=  0 )
59 nnz 10664 . . . . . . . 8  |-  ( -u N  e.  NN  ->  -u N  e.  ZZ )
6059ad2antlr 721 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u N  e.  ZZ )
6147, 58, 60expclzd 12009 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x ^ -u N
)  e.  CC )
6247, 58, 60expne0d 12010 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x ^ -u N
)  =/=  0 )
63 eldifsn 3997 . . . . . 6  |-  ( ( x ^ -u N
)  e.  ( CC 
\  { 0 } )  <->  ( ( x ^ -u N )  e.  CC  /\  (
x ^ -u N
)  =/=  0 ) )
6461, 62, 63sylanbrc 659 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x ^ -u N
)  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
65 ovex 6115 . . . . . 6  |-  ( -u N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) )  e.  _V
6665a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  x.  (
x ^ ( -u N  -  1 ) ) )  e.  _V )
67 simpr 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
68 eldifsn 3997 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )
6967, 68sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )
70 reccl 9997 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  -> 
( 1  /  y
)  e.  CC )
7169, 70syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 1  /  y
)  e.  CC )
72 negex 9604 . . . . . 6  |-  -u (
1  /  ( y ^ 2 ) )  e.  _V
7372a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u ( 1  /  (
y ^ 2 ) )  e.  _V )
74 simpr 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
7550ad2antlr 721 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  CC )  ->  -u N  e.  NN0 )
7674, 75expcld 12004 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  CC )  ->  ( x ^ -u N )  e.  CC )
7765a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  CC )  ->  ( -u N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) )  e.  _V )
78 dvexp 21386 . . . . . . 7  |-  ( -u N  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ -u N ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  (
-u N  x.  (
x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) ) )
7978adantl 463 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ -u N
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( -u N  x.  (
x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) ) )
80 difssd 3481 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( CC  \  { 0 } ) 
C_  CC )
8124a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( CC  \  { 0 } )  e.  ( TopOpen ` fld ) )
8256, 76, 77, 79, 80, 18, 12, 81dvmptres 21396 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( x ^ -u N ) ) )  =  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  (
-u N  x.  (
x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) ) )
83 ax-1cn 9336 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
84 dvrec 21388 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) )  =  ( y  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  -u ( 1  / 
( y ^ 2 ) ) ) )
8583, 84mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( CC  _D  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) )  =  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  -u ( 1  / 
( y ^ 2 ) ) ) )
86 oveq2 6098 . . . . 5  |-  ( y  =  ( x ^ -u N )  ->  (
1  /  y )  =  ( 1  / 
( x ^ -u N
) ) )
87 oveq1 6097 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( x ^ -u N )  ->  (
y ^ 2 )  =  ( ( x ^ -u N ) ^ 2 ) )
8887oveq2d 6106 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( x ^ -u N )  ->  (
1  /  ( y ^ 2 ) )  =  ( 1  / 
( ( x ^ -u N ) ^ 2 ) ) )
8988negeqd 9600 . . . . 5  |-  ( y  =  ( x ^ -u N )  ->  -u (
1  /  ( y ^ 2 ) )  =  -u ( 1  / 
( ( x ^ -u N ) ^ 2 ) ) )
9056, 56, 64, 66, 71, 73, 82, 85, 86, 89dvmptco 21405 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  / 
( x ^ -u N
) ) ) )  =  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  (
-u ( 1  / 
( ( x ^ -u N ) ^ 2 ) )  x.  ( -u N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) ) ) )
91 2z 10674 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  ZZ
9291a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
2  e.  ZZ )
93 expmulz 11906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( -u N  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ ) )  -> 
( x ^ ( -u N  x.  2 ) )  =  ( ( x ^ -u N
) ^ 2 ) )
9447, 58, 60, 92, 93syl22anc 1214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x ^ ( -u N  x.  2 ) )  =  ( ( x ^ -u N
) ^ 2 ) )
9594eqcomd 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( x ^ -u N ) ^ 2 )  =  ( x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )
9695oveq2d 6106 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 1  /  (
( x ^ -u N
) ^ 2 ) )  =  ( 1  /  ( x ^
( -u N  x.  2 ) ) ) )
9796negeqd 9600 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u ( 1  /  (
( x ^ -u N
) ^ 2 ) )  =  -u (
1  /  ( x ^ ( -u N  x.  2 ) ) ) )
98 peano2zm 10684 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u N  e.  ZZ  ->  (
-u N  -  1 )  e.  ZZ )
9960, 98syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  -  1 )  e.  ZZ )
10047, 58, 99expclzd 12009 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x ^ ( -u N  -  1 ) )  e.  CC )
10149, 100mulneg1d 9793 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  x.  (
x ^ ( -u N  -  1 ) ) )  =  -u ( N  x.  (
x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) )
10297, 101oveq12d 6108 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u ( 1  / 
( ( x ^ -u N ) ^ 2 ) )  x.  ( -u N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) )  =  (
-u ( 1  / 
( x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  x.  -u ( N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) ) )
103 zmulcl 10689 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u N  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( -u N  x.  2 )  e.  ZZ )
10460, 91, 103sylancl 657 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  x.  2 )  e.  ZZ )
10547, 58, 104expclzd 12009 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x ^ ( -u N  x.  2 ) )  e.  CC )
10647, 58, 104expne0d 12010 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x ^ ( -u N  x.  2 ) )  =/=  0 )
107105, 106reccld 10096 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 1  /  (
x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  e.  CC )
10849, 100mulcld 9402 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( N  x.  (
x ^ ( -u N  -  1 ) ) )  e.  CC )
109107, 108mul2negd 9795 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u ( 1  / 
( x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  x.  -u ( N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  (
x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  x.  ( N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) ) )
110107, 49, 100mul12d 9574 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( 1  / 
( x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  x.  ( N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) )  =  ( N  x.  ( ( 1  /  ( x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  x.  ( x ^
( -u N  -  1 ) ) ) ) )
11147, 58, 104, 99expsubd 12015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x ^ (
( -u N  -  1 )  -  ( -u N  x.  2 ) ) )  =  ( ( x ^ ( -u N  -  1 ) )  /  ( x ^ ( -u N  x.  2 ) ) ) )
112 nncn 10326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u N  e.  NN  ->  -u N  e.  CC )
113112ad2antlr 721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u N  e.  CC )
11483a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
1  e.  CC )
115104zcnd 10744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  x.  2 )  e.  CC )
116113, 114, 115sub32d 9747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( -u N  -  1 )  -  ( -u N  x.  2 ) )  =  ( ( -u N  -  ( -u N  x.  2 ) )  -  1 ) )
117113times2d 10564 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  x.  2 )  =  ( -u N  +  -u N ) )
118113, 49negsubd 9721 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  +  -u N )  =  (
-u N  -  N
) )
119117, 118eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  x.  2 )  =  ( -u N  -  N )
)
120119oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  -  ( -u N  x.  2 ) )  =  ( -u N  -  ( -u N  -  N ) ) )
121113, 49nncand 9720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  -  ( -u N  -  N ) )  =  N )
122120, 121eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  -  ( -u N  x.  2 ) )  =  N )
123122oveq1d 6105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( -u N  -  ( -u N  x.  2 ) )  - 
1 )  =  ( N  -  1 ) )
124116, 123eqtrd 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( -u N  -  1 )  -  ( -u N  x.  2 ) )  =  ( N  -  1 ) )
125124oveq2d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x ^ (
( -u N  -  1 )  -  ( -u N  x.  2 ) ) )  =  ( x ^ ( N  -  1 ) ) )
126100, 105, 106divrec2d 10107 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( x ^
( -u N  -  1 ) )  /  (
x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  =  ( ( 1  /  (
x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  x.  (
x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) )
127111, 125, 1263eqtr3rd 2482 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( 1  / 
( x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  x.  (
x ^ ( -u N  -  1 ) ) )  =  ( x ^ ( N  -  1 ) ) )
128127oveq2d 6106 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( N  x.  (
( 1  /  (
x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  x.  (
x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) )  =  ( N  x.  (
x ^ ( N  -  1 ) ) ) )
129110, 128eqtrd 2473 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( 1  / 
( x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  x.  ( N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) )  =  ( N  x.  ( x ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
130102, 109, 1293eqtrd 2477 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u ( 1  / 
( ( x ^ -u N ) ^ 2 ) )  x.  ( -u N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) )  =  ( N  x.  ( x ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
131130mpteq2dva 4375 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  (
-u ( 1  / 
( ( x ^ -u N ) ^ 2 ) )  x.  ( -u N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( N  x.  ( x ^
( N  -  1 ) ) ) ) )
13255, 90, 1313eqtrd 2477 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( N  x.  ( x ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
13345, 132jaoi 379 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  \/  ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN ) )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
1341, 133sylbi 195 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   _Vcvv 2970    \ cdif 3322   ifcif 3788   {csn 3874   {cpr 3876    e. cmpt 4347   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283    - cmin 9591   -ucneg 9592    / cdiv 9989   NNcn 10318   2c2 10367   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   ^cexp 11861   ↾t crest 14355   TopOpenctopn 14356  ℂfldccnfld 17777   Topctop 18457   Clsdccld 18579   Hauscha 18871    _D cdv 21297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-t1 18877  df-haus 18878  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-limc 21300  df-dv 21301
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