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Theorem dvexp3 22545
Description: Derivative of an exponential of integer exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvexp3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
Distinct variable group:    x, N

Proof of Theorem dvexp3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 10874 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  NN0  \/  ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN ) ) )
2 cnelprrecn 9574 . . . . . 6  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  CC  e.  { RR ,  CC }
)
4 expcl 12166 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( x ^ N
)  e.  CC )
54ancoms 451 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  CC )  ->  ( x ^ N
)  e.  CC )
6 c0ex 9579 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
7 ovex 6298 . . . . . . 7  |-  ( N  x.  ( x ^
( N  -  1 ) ) )  e. 
_V
86, 7ifex 3997 . . . . . 6  |-  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^
( N  -  1 ) ) ) )  e.  _V
98a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  CC )  ->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  (
x ^ ( N  -  1 ) ) ) )  e.  _V )
10 dvexp2 22523 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) ) )
11 difssd 3618 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( CC 
\  { 0 } )  C_  CC )
12 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
1312cnfldtop 21457 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
1412cnfldtopon 21456 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
1514toponunii 19600 . . . . . . . 8  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
1615restid 14923 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
1713, 16ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
1817eqcomi 2467 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
1912cnfldhaus 21458 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Haus
20 0cn 9577 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
2115sncld 20039 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Haus  /\  0  e.  CC )  ->  { 0 }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) ) )
2219, 20, 21mp2an 670 . . . . . . 7  |-  { 0 }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )
2315cldopn 19699 . . . . . . 7  |-  ( { 0 }  e.  (
Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )  ->  ( CC  \  { 0 } )  e.  ( TopOpen ` fld )
)
2422, 23ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( CC 
\  { 0 } )  e.  ( TopOpen ` fld )
2524a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( CC 
\  { 0 } )  e.  ( TopOpen ` fld )
)
263, 5, 9, 10, 11, 18, 12, 25dvmptres 22532 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( CC 
_D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) ) )
27 ifid 3966 . . . . . 6  |-  if ( N  =  0 ,  ( N  x.  (
x ^ ( N  -  1 ) ) ) ,  ( N  x.  ( x ^
( N  -  1 ) ) ) )  =  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) )
28 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  0  ->  N  =  0 )
29 oveq1 6277 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  =  0  ->  ( N  -  1 )  =  ( 0  -  1 ) )
3029oveq2d 6286 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  0  ->  (
x ^ ( N  -  1 ) )  =  ( x ^
( 0  -  1 ) ) )
3128, 30oveq12d 6288 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  0  ->  ( N  x.  ( x ^ ( N  - 
1 ) ) )  =  ( 0  x.  ( x ^ (
0  -  1 ) ) ) )
32 eldifsn 4141 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
33 0z 10871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ZZ
34 peano2zm 10903 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0  -  1 )  e.  ZZ )
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  -  1 )  e.  ZZ
36 expclz 12173 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0  /\  (
0  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( x ^ (
0  -  1 ) )  e.  CC )
3735, 36mp3an3 1311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( x ^ (
0  -  1 ) )  e.  CC )
3832, 37sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( x ^
( 0  -  1 ) )  e.  CC )
3938adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( x ^ ( 0  -  1 ) )  e.  CC )
4039mul02d 9767 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( 0  x.  ( x ^
( 0  -  1 ) ) )  =  0 )
4131, 40sylan9eqr 2517 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  N  =  0 )  -> 
( N  x.  (
x ^ ( N  -  1 ) ) )  =  0 )
4241ifeq1da 3959 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  if ( N  =  0 , 
( N  x.  (
x ^ ( N  -  1 ) ) ) ,  ( N  x.  ( x ^
( N  -  1 ) ) ) )  =  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
4327, 42syl5eqr 2509 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) )  =  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
4443mpteq2dva 4525 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( N  x.  (
x ^ ( N  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) ) )
4526, 44eqtr4d 2498 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( CC 
_D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
46 eldifi 3612 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  x  e.  CC )
4746adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  x  e.  CC )
48 simpll 751 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  N  e.  RR )
4948recnd 9611 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  N  e.  CC )
50 nnnn0 10798 . . . . . . . 8  |-  ( -u N  e.  NN  ->  -u N  e.  NN0 )
5150ad2antlr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u N  e.  NN0 )
52 expneg2 12157 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  (
x ^ N )  =  ( 1  / 
( x ^ -u N
) ) )
5347, 49, 51, 52syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x ^ N
)  =  ( 1  /  ( x ^ -u N ) ) )
5453mpteq2dva 4525 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( x ^ N ) )  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  (
x ^ -u N
) ) ) )
5554oveq2d 6286 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  / 
( x ^ -u N
) ) ) ) )
562a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
57 eldifsni 4142 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  x  =/=  0
)
5857adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  x  =/=  0 )
59 nnz 10882 . . . . . . . 8  |-  ( -u N  e.  NN  ->  -u N  e.  ZZ )
6059ad2antlr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u N  e.  ZZ )
6147, 58, 60expclzd 12297 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x ^ -u N
)  e.  CC )
6247, 58, 60expne0d 12298 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x ^ -u N
)  =/=  0 )
63 eldifsn 4141 . . . . . 6  |-  ( ( x ^ -u N
)  e.  ( CC 
\  { 0 } )  <->  ( ( x ^ -u N )  e.  CC  /\  (
x ^ -u N
)  =/=  0 ) )
6461, 62, 63sylanbrc 662 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x ^ -u N
)  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
65 ovex 6298 . . . . . 6  |-  ( -u N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) )  e.  _V
6665a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  x.  (
x ^ ( -u N  -  1 ) ) )  e.  _V )
67 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
68 eldifsn 4141 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )
6967, 68sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )
70 reccl 10210 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  -> 
( 1  /  y
)  e.  CC )
7169, 70syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 1  /  y
)  e.  CC )
72 negex 9809 . . . . . 6  |-  -u (
1  /  ( y ^ 2 ) )  e.  _V
7372a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u ( 1  /  (
y ^ 2 ) )  e.  _V )
74 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
7550ad2antlr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  CC )  ->  -u N  e.  NN0 )
7674, 75expcld 12292 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  CC )  ->  ( x ^ -u N )  e.  CC )
7765a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  CC )  ->  ( -u N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) )  e.  _V )
78 dvexp 22522 . . . . . . 7  |-  ( -u N  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ -u N ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  (
-u N  x.  (
x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) ) )
7978adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ -u N
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( -u N  x.  (
x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) ) )
80 difssd 3618 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( CC  \  { 0 } ) 
C_  CC )
8124a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( CC  \  { 0 } )  e.  ( TopOpen ` fld ) )
8256, 76, 77, 79, 80, 18, 12, 81dvmptres 22532 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( x ^ -u N ) ) )  =  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  (
-u N  x.  (
x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) ) )
83 ax-1cn 9539 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
84 dvrec 22524 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) )  =  ( y  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  -u ( 1  / 
( y ^ 2 ) ) ) )
8583, 84mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( CC  _D  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) )  =  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  -u ( 1  / 
( y ^ 2 ) ) ) )
86 oveq2 6278 . . . . 5  |-  ( y  =  ( x ^ -u N )  ->  (
1  /  y )  =  ( 1  / 
( x ^ -u N
) ) )
87 oveq1 6277 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( x ^ -u N )  ->  (
y ^ 2 )  =  ( ( x ^ -u N ) ^ 2 ) )
8887oveq2d 6286 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( x ^ -u N )  ->  (
1  /  ( y ^ 2 ) )  =  ( 1  / 
( ( x ^ -u N ) ^ 2 ) ) )
8988negeqd 9805 . . . . 5  |-  ( y  =  ( x ^ -u N )  ->  -u (
1  /  ( y ^ 2 ) )  =  -u ( 1  / 
( ( x ^ -u N ) ^ 2 ) ) )
9056, 56, 64, 66, 71, 73, 82, 85, 86, 89dvmptco 22541 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  / 
( x ^ -u N
) ) ) )  =  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  (
-u ( 1  / 
( ( x ^ -u N ) ^ 2 ) )  x.  ( -u N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) ) ) )
91 2z 10892 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  ZZ
9291a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
2  e.  ZZ )
93 expmulz 12194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( -u N  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ ) )  -> 
( x ^ ( -u N  x.  2 ) )  =  ( ( x ^ -u N
) ^ 2 ) )
9447, 58, 60, 92, 93syl22anc 1227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x ^ ( -u N  x.  2 ) )  =  ( ( x ^ -u N
) ^ 2 ) )
9594eqcomd 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( x ^ -u N ) ^ 2 )  =  ( x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )
9695oveq2d 6286 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 1  /  (
( x ^ -u N
) ^ 2 ) )  =  ( 1  /  ( x ^
( -u N  x.  2 ) ) ) )
9796negeqd 9805 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u ( 1  /  (
( x ^ -u N
) ^ 2 ) )  =  -u (
1  /  ( x ^ ( -u N  x.  2 ) ) ) )
98 peano2zm 10903 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u N  e.  ZZ  ->  (
-u N  -  1 )  e.  ZZ )
9960, 98syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  -  1 )  e.  ZZ )
10047, 58, 99expclzd 12297 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x ^ ( -u N  -  1 ) )  e.  CC )
10149, 100mulneg1d 10005 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  x.  (
x ^ ( -u N  -  1 ) ) )  =  -u ( N  x.  (
x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) )
10297, 101oveq12d 6288 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u ( 1  / 
( ( x ^ -u N ) ^ 2 ) )  x.  ( -u N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) )  =  (
-u ( 1  / 
( x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  x.  -u ( N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) ) )
103 zmulcl 10908 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u N  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( -u N  x.  2 )  e.  ZZ )
10460, 91, 103sylancl 660 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  x.  2 )  e.  ZZ )
10547, 58, 104expclzd 12297 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x ^ ( -u N  x.  2 ) )  e.  CC )
10647, 58, 104expne0d 12298 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x ^ ( -u N  x.  2 ) )  =/=  0 )
107105, 106reccld 10309 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 1  /  (
x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  e.  CC )
10849, 100mulcld 9605 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( N  x.  (
x ^ ( -u N  -  1 ) ) )  e.  CC )
109107, 108mul2negd 10007 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u ( 1  / 
( x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  x.  -u ( N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  (
x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  x.  ( N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) ) )
110107, 49, 100mul12d 9778 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( 1  / 
( x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  x.  ( N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) )  =  ( N  x.  ( ( 1  /  ( x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  x.  ( x ^
( -u N  -  1 ) ) ) ) )
11147, 58, 104, 99expsubd 12303 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x ^ (
( -u N  -  1 )  -  ( -u N  x.  2 ) ) )  =  ( ( x ^ ( -u N  -  1 ) )  /  ( x ^ ( -u N  x.  2 ) ) ) )
112 nncn 10539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u N  e.  NN  ->  -u N  e.  CC )
113112ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u N  e.  CC )
11483a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
1  e.  CC )
115104zcnd 10966 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  x.  2 )  e.  CC )
116113, 114, 115sub32d 9954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( -u N  -  1 )  -  ( -u N  x.  2 ) )  =  ( ( -u N  -  ( -u N  x.  2 ) )  -  1 ) )
117113times2d 10778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  x.  2 )  =  ( -u N  +  -u N ) )
118113, 49negsubd 9928 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  +  -u N )  =  (
-u N  -  N
) )
119117, 118eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  x.  2 )  =  ( -u N  -  N )
)
120119oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  -  ( -u N  x.  2 ) )  =  ( -u N  -  ( -u N  -  N ) ) )
121113, 49nncand 9927 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  -  ( -u N  -  N ) )  =  N )
122120, 121eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  -  ( -u N  x.  2 ) )  =  N )
123122oveq1d 6285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( -u N  -  ( -u N  x.  2 ) )  - 
1 )  =  ( N  -  1 ) )
124116, 123eqtrd 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( -u N  -  1 )  -  ( -u N  x.  2 ) )  =  ( N  -  1 ) )
125124oveq2d 6286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x ^ (
( -u N  -  1 )  -  ( -u N  x.  2 ) ) )  =  ( x ^ ( N  -  1 ) ) )
126100, 105, 106divrec2d 10320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( x ^
( -u N  -  1 ) )  /  (
x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  =  ( ( 1  /  (
x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  x.  (
x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) )
127111, 125, 1263eqtr3rd 2504 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( 1  / 
( x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  x.  (
x ^ ( -u N  -  1 ) ) )  =  ( x ^ ( N  -  1 ) ) )
128127oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( N  x.  (
( 1  /  (
x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  x.  (
x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) )  =  ( N  x.  (
x ^ ( N  -  1 ) ) ) )
129110, 128eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( 1  / 
( x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  x.  ( N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) )  =  ( N  x.  ( x ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
130102, 109, 1293eqtrd 2499 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u ( 1  / 
( ( x ^ -u N ) ^ 2 ) )  x.  ( -u N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) )  =  ( N  x.  ( x ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
131130mpteq2dva 4525 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  (
-u ( 1  / 
( ( x ^ -u N ) ^ 2 ) )  x.  ( -u N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( N  x.  ( x ^
( N  -  1 ) ) ) ) )
13255, 90, 1313eqtrd 2499 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( N  x.  ( x ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
13345, 132jaoi 377 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  \/  ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN ) )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
1341, 133sylbi 195 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   _Vcvv 3106    \ cdif 3458   ifcif 3929   {csn 4016   {cpr 4018    |-> cmpt 4497   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    - cmin 9796   -ucneg 9797    / cdiv 10202   NNcn 10531   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ^cexp 12148   ↾t crest 14910   TopOpenctopn 14911  ℂfldccnfld 18615   Topctop 19561   Clsdccld 19684   Hauscha 19976    _D cdv 22433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-t1 19982  df-haus 19983  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cncf 21548  df-limc 22436  df-dv 22437
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