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Theorem dvexp3 19815
Description: Derivative of an exponential of integer exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvexp3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
Distinct variable group:    x, N

Proof of Theorem dvexp3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 10251 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  NN0  \/  ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN ) ) )
2 cnex 9027 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
32prid2 3873 . . . . . 6  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  CC  e.  { RR ,  CC }
)
5 expcl 11354 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( x ^ N
)  e.  CC )
65ancoms 440 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  CC )  ->  ( x ^ N
)  e.  CC )
7 c0ex 9041 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
8 ovex 6065 . . . . . . 7  |-  ( N  x.  ( x ^
( N  -  1 ) ) )  e. 
_V
97, 8ifex 3757 . . . . . 6  |-  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^
( N  -  1 ) ) ) )  e.  _V
109a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  CC )  ->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  (
x ^ ( N  -  1 ) ) ) )  e.  _V )
11 dvexp2 19793 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) ) )
12 difssd 3435 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( CC 
\  { 0 } )  C_  CC )
13 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
1413cnfldtop 18771 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
1513cnfldtopon 18770 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
1615toponunii 16952 . . . . . . . 8  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
1716restid 13616 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
1814, 17ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
1918eqcomi 2408 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
2013cnfldhaus 18772 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Haus
21 0cn 9040 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
2216sncld 17389 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Haus  /\  0  e.  CC )  ->  { 0 }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) ) )
2320, 21, 22mp2an 654 . . . . . . 7  |-  { 0 }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )
2416cldopn 17050 . . . . . . 7  |-  ( { 0 }  e.  (
Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )  ->  ( CC  \  { 0 } )  e.  ( TopOpen ` fld )
)
2523, 24ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( CC 
\  { 0 } )  e.  ( TopOpen ` fld )
2625a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( CC 
\  { 0 } )  e.  ( TopOpen ` fld )
)
274, 6, 10, 11, 12, 19, 13, 26dvmptres 19802 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( CC 
_D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) ) )
28 ifid 3731 . . . . . 6  |-  if ( N  =  0 ,  ( N  x.  (
x ^ ( N  -  1 ) ) ) ,  ( N  x.  ( x ^
( N  -  1 ) ) ) )  =  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) )
29 id 20 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  0  ->  N  =  0 )
30 oveq1 6047 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  =  0  ->  ( N  -  1 )  =  ( 0  -  1 ) )
3130oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  0  ->  (
x ^ ( N  -  1 ) )  =  ( x ^
( 0  -  1 ) ) )
3229, 31oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  0  ->  ( N  x.  ( x ^ ( N  - 
1 ) ) )  =  ( 0  x.  ( x ^ (
0  -  1 ) ) ) )
33 eldifsn 3887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
34 0z 10249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ZZ
35 peano2zm 10276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0  -  1 )  e.  ZZ )
3634, 35ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  -  1 )  e.  ZZ
37 expclz 11361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0  /\  (
0  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( x ^ (
0  -  1 ) )  e.  CC )
3836, 37mp3an3 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( x ^ (
0  -  1 ) )  e.  CC )
3933, 38sylbi 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( x ^
( 0  -  1 ) )  e.  CC )
4039adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( x ^ ( 0  -  1 ) )  e.  CC )
4140mul02d 9220 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( 0  x.  ( x ^
( 0  -  1 ) ) )  =  0 )
4232, 41sylan9eqr 2458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  N  =  0 )  -> 
( N  x.  (
x ^ ( N  -  1 ) ) )  =  0 )
4342ifeq1da 3724 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  if ( N  =  0 , 
( N  x.  (
x ^ ( N  -  1 ) ) ) ,  ( N  x.  ( x ^
( N  -  1 ) ) ) )  =  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
4428, 43syl5eqr 2450 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) )  =  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
4544mpteq2dva 4255 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( N  x.  (
x ^ ( N  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) ) )
4627, 45eqtr4d 2439 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( CC 
_D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
47 eldifi 3429 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  x  e.  CC )
4847adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  x  e.  CC )
49 simpll 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  N  e.  RR )
5049recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  N  e.  CC )
51 nnnn0 10184 . . . . . . . 8  |-  ( -u N  e.  NN  ->  -u N  e.  NN0 )
5251ad2antlr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u N  e.  NN0 )
53 expneg2 11345 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  (
x ^ N )  =  ( 1  / 
( x ^ -u N
) ) )
5448, 50, 52, 53syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x ^ N
)  =  ( 1  /  ( x ^ -u N ) ) )
5554mpteq2dva 4255 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( x ^ N ) )  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  (
x ^ -u N
) ) ) )
5655oveq2d 6056 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  / 
( x ^ -u N
) ) ) ) )
573a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
58 eldifsni 3888 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  x  =/=  0
)
5958adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  x  =/=  0 )
60 nnz 10259 . . . . . . . 8  |-  ( -u N  e.  NN  ->  -u N  e.  ZZ )
6160ad2antlr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u N  e.  ZZ )
6248, 59, 61expclzd 11483 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x ^ -u N
)  e.  CC )
6348, 59, 61expne0d 11484 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x ^ -u N
)  =/=  0 )
64 eldifsn 3887 . . . . . 6  |-  ( ( x ^ -u N
)  e.  ( CC 
\  { 0 } )  <->  ( ( x ^ -u N )  e.  CC  /\  (
x ^ -u N
)  =/=  0 ) )
6562, 63, 64sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x ^ -u N
)  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
66 ovex 6065 . . . . . 6  |-  ( -u N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) )  e.  _V
6766a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  x.  (
x ^ ( -u N  -  1 ) ) )  e.  _V )
68 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
69 eldifsn 3887 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )
7068, 69sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )
71 reccl 9641 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  -> 
( 1  /  y
)  e.  CC )
7270, 71syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 1  /  y
)  e.  CC )
73 negex 9260 . . . . . 6  |-  -u (
1  /  ( y ^ 2 ) )  e.  _V
7473a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u ( 1  /  (
y ^ 2 ) )  e.  _V )
75 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
7651ad2antlr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  CC )  ->  -u N  e.  NN0 )
7775, 76expcld 11478 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  CC )  ->  ( x ^ -u N )  e.  CC )
7866a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  CC )  ->  ( -u N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) )  e.  _V )
79 dvexp 19792 . . . . . . 7  |-  ( -u N  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ -u N ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  (
-u N  x.  (
x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) ) )
8079adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ -u N
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( -u N  x.  (
x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) ) )
81 difssd 3435 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( CC  \  { 0 } ) 
C_  CC )
8225a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( CC  \  { 0 } )  e.  ( TopOpen ` fld ) )
8357, 77, 78, 80, 81, 19, 13, 82dvmptres 19802 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( x ^ -u N ) ) )  =  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  (
-u N  x.  (
x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) ) )
84 ax-1cn 9004 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
85 dvrec 19794 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) )  =  ( y  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  -u ( 1  / 
( y ^ 2 ) ) ) )
8684, 85mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( CC  _D  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) )  =  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  -u ( 1  / 
( y ^ 2 ) ) ) )
87 oveq2 6048 . . . . 5  |-  ( y  =  ( x ^ -u N )  ->  (
1  /  y )  =  ( 1  / 
( x ^ -u N
) ) )
88 oveq1 6047 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( x ^ -u N )  ->  (
y ^ 2 )  =  ( ( x ^ -u N ) ^ 2 ) )
8988oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( x ^ -u N )  ->  (
1  /  ( y ^ 2 ) )  =  ( 1  / 
( ( x ^ -u N ) ^ 2 ) ) )
9089negeqd 9256 . . . . 5  |-  ( y  =  ( x ^ -u N )  ->  -u (
1  /  ( y ^ 2 ) )  =  -u ( 1  / 
( ( x ^ -u N ) ^ 2 ) ) )
9157, 57, 65, 67, 72, 74, 83, 86, 87, 90dvmptco 19811 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  / 
( x ^ -u N
) ) ) )  =  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  (
-u ( 1  / 
( ( x ^ -u N ) ^ 2 ) )  x.  ( -u N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) ) ) )
92 2z 10268 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  ZZ
9392a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
2  e.  ZZ )
94 expmulz 11381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( -u N  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ ) )  -> 
( x ^ ( -u N  x.  2 ) )  =  ( ( x ^ -u N
) ^ 2 ) )
9548, 59, 61, 93, 94syl22anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x ^ ( -u N  x.  2 ) )  =  ( ( x ^ -u N
) ^ 2 ) )
9695eqcomd 2409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( x ^ -u N ) ^ 2 )  =  ( x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )
9796oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 1  /  (
( x ^ -u N
) ^ 2 ) )  =  ( 1  /  ( x ^
( -u N  x.  2 ) ) ) )
9897negeqd 9256 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u ( 1  /  (
( x ^ -u N
) ^ 2 ) )  =  -u (
1  /  ( x ^ ( -u N  x.  2 ) ) ) )
99 peano2zm 10276 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u N  e.  ZZ  ->  (
-u N  -  1 )  e.  ZZ )
10061, 99syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  -  1 )  e.  ZZ )
10148, 59, 100expclzd 11483 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x ^ ( -u N  -  1 ) )  e.  CC )
10250, 101mulneg1d 9442 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  x.  (
x ^ ( -u N  -  1 ) ) )  =  -u ( N  x.  (
x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) )
10398, 102oveq12d 6058 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u ( 1  / 
( ( x ^ -u N ) ^ 2 ) )  x.  ( -u N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) )  =  (
-u ( 1  / 
( x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  x.  -u ( N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) ) )
104 zmulcl 10280 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u N  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( -u N  x.  2 )  e.  ZZ )
10561, 92, 104sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  x.  2 )  e.  ZZ )
10648, 59, 105expclzd 11483 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x ^ ( -u N  x.  2 ) )  e.  CC )
10748, 59, 105expne0d 11484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x ^ ( -u N  x.  2 ) )  =/=  0 )
108106, 107reccld 9739 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 1  /  (
x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  e.  CC )
10950, 101mulcld 9064 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( N  x.  (
x ^ ( -u N  -  1 ) ) )  e.  CC )
110108, 109mul2negd 9444 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u ( 1  / 
( x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  x.  -u ( N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  (
x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  x.  ( N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) ) )
111108, 50, 101mul12d 9231 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( 1  / 
( x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  x.  ( N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) )  =  ( N  x.  ( ( 1  /  ( x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  x.  ( x ^
( -u N  -  1 ) ) ) ) )
11248, 59, 105, 100expsubd 11489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x ^ (
( -u N  -  1 )  -  ( -u N  x.  2 ) ) )  =  ( ( x ^ ( -u N  -  1 ) )  /  ( x ^ ( -u N  x.  2 ) ) ) )
113 nncn 9964 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u N  e.  NN  ->  -u N  e.  CC )
114113ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u N  e.  CC )
11584a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
1  e.  CC )
116105zcnd 10332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  x.  2 )  e.  CC )
117114, 115, 116sub32d 9399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( -u N  -  1 )  -  ( -u N  x.  2 ) )  =  ( ( -u N  -  ( -u N  x.  2 ) )  -  1 ) )
118114times2d 10167 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  x.  2 )  =  ( -u N  +  -u N ) )
119114, 50negsubd 9373 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  +  -u N )  =  (
-u N  -  N
) )
120118, 119eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  x.  2 )  =  ( -u N  -  N )
)
121120oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  -  ( -u N  x.  2 ) )  =  ( -u N  -  ( -u N  -  N ) ) )
122114, 50nncand 9372 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  -  ( -u N  -  N ) )  =  N )
123121, 122eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  -  ( -u N  x.  2 ) )  =  N )
124123oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( -u N  -  ( -u N  x.  2 ) )  - 
1 )  =  ( N  -  1 ) )
125117, 124eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( -u N  -  1 )  -  ( -u N  x.  2 ) )  =  ( N  -  1 ) )
126125oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x ^ (
( -u N  -  1 )  -  ( -u N  x.  2 ) ) )  =  ( x ^ ( N  -  1 ) ) )
127101, 106, 107divrec2d 9750 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( x ^
( -u N  -  1 ) )  /  (
x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  =  ( ( 1  /  (
x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  x.  (
x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) )
128112, 126, 1273eqtr3rd 2445 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( 1  / 
( x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  x.  (
x ^ ( -u N  -  1 ) ) )  =  ( x ^ ( N  -  1 ) ) )
129128oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( N  x.  (
( 1  /  (
x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  x.  (
x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) )  =  ( N  x.  (
x ^ ( N  -  1 ) ) ) )
130111, 129eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( 1  / 
( x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  x.  ( N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) )  =  ( N  x.  ( x ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
131103, 110, 1303eqtrd 2440 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u ( 1  / 
( ( x ^ -u N ) ^ 2 ) )  x.  ( -u N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) )  =  ( N  x.  ( x ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
132131mpteq2dva 4255 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  (
-u ( 1  / 
( ( x ^ -u N ) ^ 2 ) )  x.  ( -u N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( N  x.  ( x ^
( N  -  1 ) ) ) ) )
13356, 91, 1323eqtrd 2440 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( N  x.  ( x ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
13446, 133jaoi 369 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  \/  ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN ) )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
1351, 134sylbi 188 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   _Vcvv 2916    \ cdif 3277   ifcif 3699   {csn 3774   {cpr 3775    e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    - cmin 9247   -ucneg 9248    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ^cexp 11337   ↾t crest 13603   TopOpenctopn 13604  ℂfldccnfld 16658   Topctop 16913   Clsdccld 17035   Hauscha 17326    _D cdv 19703
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-t1 17332  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707
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