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Theorem dvelimf-o 32469
Description: Proof of dvelimh 2137 that uses ax-c11 32428 but not ax-c15 32430, ax-c11n 32429, or ax-12 1909. Version of dvelimh 2137 using ax-c11 32428 instead of axc11 2113. (Contributed by NM, 12-Nov-2002.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvelimf-o.1  |-  ( ph  ->  A. x ph )
dvelimf-o.2  |-  ( ps 
->  A. z ps )
dvelimf-o.3  |-  ( z  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
dvelimf-o  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( ps  ->  A. x ps )
)

Proof of Theorem dvelimf-o
StepHypRef Expression
1 hba1-o 32438 . . . . 5  |-  ( A. z ( z  =  y  ->  ph )  ->  A. z A. z ( z  =  y  ->  ph ) )
2 ax-c11 32428 . . . . . 6  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( A. z A. z ( z  =  y  ->  ph )  ->  A. x A. z ( z  =  y  ->  ph ) ) )
32aecoms-o 32441 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. z A. z ( z  =  y  ->  ph )  ->  A. x A. z ( z  =  y  ->  ph ) ) )
41, 3syl5 33 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. z ( z  =  y  ->  ph )  ->  A. x A. z ( z  =  y  ->  ph ) ) )
54a1d 26 . . 3  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( A. z ( z  =  y  ->  ph )  ->  A. x A. z
( z  =  y  ->  ph ) ) ) )
6 hbnae-o 32468 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  A. z  -.  A. x  x  =  z )
7 hbnae-o 32468 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  A. z  -.  A. x  x  =  y )
86, 7hban 1991 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  A. z
( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y ) )
9 hbnae-o 32468 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  A. x  -.  A. x  x  =  z )
10 hbnae-o 32468 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  A. x  -.  A. x  x  =  y )
119, 10hban 1991 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  A. x
( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y ) )
12 ax-c9 32431 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( z  =  y  ->  A. x  z  =  y )
) )
1312imp 430 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( z  =  y  ->  A. x  z  =  y )
)
14 dvelimf-o.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x ph )
1514a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( ph  ->  A. x ph )
)
1611, 13, 15hbimd 1981 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( (
z  =  y  ->  ph )  ->  A. x
( z  =  y  ->  ph ) ) )
178, 16hbald 1902 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( A. z ( z  =  y  ->  ph )  ->  A. x A. z ( z  =  y  ->  ph ) ) )
1817ex 435 . . 3  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( A. z
( z  =  y  ->  ph )  ->  A. x A. z ( z  =  y  ->  ph ) ) ) )
195, 18pm2.61i 167 . 2  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( A. z ( z  =  y  ->  ph )  ->  A. x A. z ( z  =  y  ->  ph ) ) )
20 dvelimf-o.2 . . 3  |-  ( ps 
->  A. z ps )
21 dvelimf-o.3 . . 3  |-  ( z  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
2220, 21equsalh 2094 . 2  |-  ( A. z ( z  =  y  ->  ph )  <->  ps )
2322albii 1685 . 2  |-  ( A. x A. z ( z  =  y  ->  ph )  <->  A. x ps )
2419, 22, 233imtr3g 272 1  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( ps  ->  A. x ps )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370   A.wal 1435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-c5 32424  ax-c4 32425  ax-c7 32426  ax-c11 32428  ax-c9 32431
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-an 372  df-ex 1658  df-nf 1662
This theorem is referenced by:  dveeq2-o  32473  dveeq1-o  32475  ax12el  32482
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