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Theorem dvef 21584
Description: Derivative of the exponential function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvef  |-  ( CC 
_D  exp )  =  exp

Proof of Theorem dvef
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfcn 21515 . . . . . . 7  |-  ( CC 
_D  exp ) : dom  ( CC  _D  exp ) --> CC
2 dvbsss 21509 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( CC  _D  exp )  C_  CC
3 efcl 13485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  x )  e.  CC )
4 fconstg 5704 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( exp `  x )  e.  CC  ->  ( CC  X.  { ( exp `  x ) } ) : CC --> { ( exp `  x ) } )
53, 4syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  X.  { ( exp `  x ) } ) : CC --> { ( exp `  x ) } )
63snssd 4125 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  { ( exp `  x ) }  C_  CC )
7 fss 5674 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( CC  X.  {
( exp `  x
) } ) : CC --> { ( exp `  x ) }  /\  { ( exp `  x
) }  C_  CC )  ->  ( CC  X.  { ( exp `  x
) } ) : CC --> CC )
85, 6, 7syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  X.  { ( exp `  x ) } ) : CC --> CC )
9 ssid 3482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  CC  C_  CC
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  CC  C_  CC )
11 subcl 9719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( z  -  x
)  e.  CC )
1211ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( z  -  x
)  e.  CC )
13 efcl 13485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  -  x )  e.  CC  ->  ( exp `  ( z  -  x ) )  e.  CC )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( exp `  (
z  -  x ) )  e.  CC )
15 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) )
1614, 15fmptd 5975 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  (
z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) : CC --> CC )
17 0cn 9488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  CC
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  0  e.  CC )
19 ax-1cn 9450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  1  e.  CC )
2117elexi 3086 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  _V
2221snid 4012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  { 0 }
23 opelxpi 4978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  0  e.  { 0 } )  ->  <. x ,  0 >.  e.  ( CC  X.  { 0 } ) )
2422, 23mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  <. x ,  0 >.  e.  ( CC  X.  { 0 } ) )
25 dvconst 21523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( exp `  x )  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( CC  X.  { ( exp `  x
) } ) )  =  ( CC  X.  { 0 } ) )
263, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( CC  X.  { ( exp `  x
) } ) )  =  ( CC  X.  { 0 } ) )
2724, 26eleqtrrd 2545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  <. x ,  0 >.  e.  ( CC  _D  ( CC 
X.  { ( exp `  x ) } ) ) )
28 df-br 4400 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x ( CC  _D  ( CC  X.  { ( exp `  x ) } ) ) 0  <->  <. x ,  0 >.  e.  ( CC  _D  ( CC  X.  { ( exp `  x
) } ) ) )
2927, 28sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  ( CC  X.  { ( exp `  x ) } ) ) 0 )
30 eff 13484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  exp : CC
--> CC
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  exp : CC --> CC )
32 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) )
3312, 32fmptd 5975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  (
z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) : CC --> CC )
34 oveq1 6206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  x  ->  (
z  -  x )  =  ( x  -  x ) )
35 ovex 6224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  -  x )  e. 
_V
3634, 32, 35fvmpt 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( z  -  x
) ) `  x
)  =  ( x  -  x ) )
37 subid 9738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  -  x )  =  0 )
3836, 37eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( z  -  x
) ) `  x
)  =  0 )
39 dveflem 21583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0
( CC  _D  exp ) 1
4038, 39syl6eqbr 4436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( z  -  x
) ) `  x
) ( CC  _D  exp ) 1 )
4119elexi 3086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  _V
4241snid 4012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  { 1 }
43 opelxpi 4978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  CC  /\  1  e.  { 1 } )  ->  <. x ,  1 >.  e.  ( CC  X.  { 1 } ) )
4442, 43mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  <. x ,  1 >.  e.  ( CC  X.  { 1 } ) )
45 cnelprrecn 9485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  CC  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
47 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  z  e.  CC )
4819a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
4946dvmptid 21563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( z  e.  CC  |->  z ) )  =  ( z  e.  CC  |->  1 ) )
50 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
5117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  0  e.  CC )
52 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  CC  ->  x  e.  CC )
5346, 52dvmptc 21564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( z  e.  CC  |->  x ) )  =  ( z  e.  CC  |->  0 ) )
5446, 47, 48, 49, 50, 51, 53dvmptsub 21573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( 1  -  0 ) ) )
55 1m0e1 10542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  -  0 )  =  1
5655mpteq2i 4482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  CC  |->  ( 1  -  0 ) )  =  ( z  e.  CC  |->  1 )
57 fconstmpt 4989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( CC 
X.  { 1 } )  =  ( z  e.  CC  |->  1 )
5856, 57eqtr4i 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  CC  |->  ( 1  -  0 ) )  =  ( CC  X.  { 1 } )
5954, 58syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) )  =  ( CC  X.  { 1 } ) )
6044, 59eleqtrrd 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  <. x ,  1 >.  e.  ( CC  _D  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) ) )
61 df-br 4400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x ( CC  _D  (
z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) ) 1  <->  <. x ,  1 >.  e.  ( CC  _D  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) ) )
6260, 61sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  (
z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) ) 1 )
63 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
6431, 10, 33, 10, 10, 10, 20, 20, 40, 62, 63dvcobr 21552 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  ( exp  o.  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) ) ) ( 1  x.  1 ) )
65 1t1e1 10579 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
6664, 65syl6breq 4438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  ( exp  o.  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) ) ) 1 )
67 eqidd 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  (
z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) )
6831feqmptd 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  exp  =  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y
) ) )
69 fveq2 5798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( z  -  x )  ->  ( exp `  y )  =  ( exp `  (
z  -  x ) ) )
7012, 67, 68, 69fmptco 5984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp  o.  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  (
z  -  x ) ) ) )
7170oveq2d 6215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( exp  o.  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x
) ) ) )  =  ( CC  _D  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) ) )
7271breqd 4410 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ( CC  _D  ( exp  o.  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) ) ) 1  <->  x
( CC  _D  (
z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) ) 1 ) )
7366, 72mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  (
z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) ) 1 )
748, 10, 16, 10, 10, 18, 20, 29, 73, 63dvmulbr 21545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  (
( CC  X.  {
( exp `  x
) } )  oF  x.  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) ) ) ( ( 0  x.  ( ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) `  x ) )  +  ( 1  x.  (
( CC  X.  {
( exp `  x
) } ) `  x ) ) ) )
7516, 52ffvelrnd 5952 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) `  x )  e.  CC )
7675mul02d 9677 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0  x.  ( ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) `  x ) )  =  0 )
77 fvex 5808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( exp `  x )  e.  _V
7877fvconst2 6041 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( CC  X.  {
( exp `  x
) } ) `  x )  =  ( exp `  x ) )
7978oveq2d 6215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  x.  ( ( CC  X.  { ( exp `  x ) } ) `  x
) )  =  ( 1  x.  ( exp `  x ) ) )
803mulid2d 9514 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  x.  ( exp `  x ) )  =  ( exp `  x
) )
8179, 80eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  x.  ( ( CC  X.  { ( exp `  x ) } ) `  x
) )  =  ( exp `  x ) )
8276, 81oveq12d 6217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( 0  x.  (
( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) `  x ) )  +  ( 1  x.  ( ( CC 
X.  { ( exp `  x ) } ) `
 x ) ) )  =  ( 0  +  ( exp `  x
) ) )
833addid2d 9680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0  +  ( exp `  x ) )  =  ( exp `  x
) )
8482, 83eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( 0  x.  (
( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) `  x ) )  +  ( 1  x.  ( ( CC 
X.  { ( exp `  x ) } ) `
 x ) ) )  =  ( exp `  x ) )
8574, 84breqtrd 4423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  (
( CC  X.  {
( exp `  x
) } )  oF  x.  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) ) ) ( exp `  x
) )
86 cnex 9473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  CC  e.  _V
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  CC  e.  _V )
8877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( exp `  x
)  e.  _V )
89 fvex 5808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( exp `  ( z  -  x
) )  e.  _V
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( exp `  (
z  -  x ) )  e.  _V )
91 fconstmpt 4989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( CC 
X.  { ( exp `  x ) } )  =  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  x
) )
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  X.  { ( exp `  x ) } )  =  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  x
) ) )
93 eqidd 2455 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  (
z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) )
9487, 88, 90, 92, 93offval2 6445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( CC  X.  {
( exp `  x
) } )  oF  x.  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) ) )
9531feqmptd 5852 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  exp  =  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  z
) ) )
96 efadd 13496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( z  -  x
)  e.  CC )  ->  ( exp `  (
x  +  ( z  -  x ) ) )  =  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  (
z  -  x ) ) ) )
9750, 12, 96syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( exp `  (
x  +  ( z  -  x ) ) )  =  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  (
z  -  x ) ) ) )
98 pncan3 9728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( x  +  ( z  -  x ) )  =  z )
9998fveq2d 5802 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( exp `  (
x  +  ( z  -  x ) ) )  =  ( exp `  z ) )
10097, 99eqtr3d 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  ( z  -  x
) ) )  =  ( exp `  z
) )
101100mpteq2dva 4485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  (
z  e.  CC  |->  ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  z
) ) )
10295, 101eqtr4d 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  exp  =  ( z  e.  CC  |->  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) ) )
10394, 102eqtr4d 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( CC  X.  {
( exp `  x
) } )  oF  x.  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) )  =  exp )
104103oveq2d 6215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( ( CC 
X.  { ( exp `  x ) } )  oF  x.  (
z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) ) )  =  ( CC  _D  exp ) )
105104breqd 4410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ( CC  _D  ( ( CC  X.  { ( exp `  x
) } )  oF  x.  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) ) ) ( exp `  x
)  <->  x ( CC 
_D  exp ) ( exp `  x ) ) )
10685, 105mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  exp ) ( exp `  x
) )
107 vex 3079 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
108107, 77breldm 5151 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x ( CC  _D  exp ) ( exp `  x
)  ->  x  e.  dom  ( CC  _D  exp ) )
109106, 108syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  x  e.  dom  ( CC  _D  exp ) )
110109ssriv 3467 . . . . . . . . 9  |-  CC  C_  dom  ( CC  _D  exp )
1112, 110eqssi 3479 . . . . . . . 8  |-  dom  ( CC  _D  exp )  =  CC
112111feq2i 5659 . . . . . . 7  |-  ( ( CC  _D  exp ) : dom  ( CC  _D  exp ) --> CC  <->  ( CC  _D  exp ) : CC --> CC )
1131, 112mpbi 208 . . . . . 6  |-  ( CC 
_D  exp ) : CC --> CC
114113a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  exp ) : CC --> CC )
115114feqmptd 5852 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  exp )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( CC 
_D  exp ) `  x
) ) )
116 ffun 5668 . . . . . . 7  |-  ( ( CC  _D  exp ) : dom  ( CC  _D  exp ) --> CC  ->  Fun  ( CC  _D  exp )
)
1171, 116ax-mp 5 . . . . . 6  |-  Fun  ( CC  _D  exp )
118 funbrfv 5838 . . . . . 6  |-  ( Fun  ( CC  _D  exp )  ->  ( x ( CC  _D  exp )
( exp `  x
)  ->  ( ( CC  _D  exp ) `  x )  =  ( exp `  x ) ) )
119117, 106, 118mpsyl 63 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( CC  _D  exp ) `  x )  =  ( exp `  x
) )
120119mpteq2ia 4481 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  |->  ( ( CC  _D  exp ) `  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( exp `  x ) )
121115, 120syl6eq 2511 . . 3  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  exp )  =  ( x  e.  CC  |->  ( exp `  x
) ) )
12230a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  exp : CC --> CC )
123122feqmptd 5852 . . 3  |-  ( T. 
->  exp  =  ( x  e.  CC  |->  ( exp `  x ) ) )
124121, 123eqtr4d 2498 . 2  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  exp )  =  exp )
125124trud 1379 1  |-  ( CC 
_D  exp )  =  exp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1370   T. wtru 1371    e. wcel 1758   _Vcvv 3076    C_ wss 3435   {csn 3984   {cpr 3986   <.cop 3990   class class class wbr 4399    |-> cmpt 4457    X. cxp 4945   dom cdm 4947    o. ccom 4951   Fun wfun 5519   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6199    oFcof 6427   CCcc 9390   RRcr 9391   0cc0 9392   1c1 9393    + caddc 9395    x. cmul 9397    - cmin 9705   expce 13464   TopOpenctopn 14478  ℂfldccnfld 17942    _D cdv 21470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470  ax-addf 9471  ax-mulf 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-of 6429  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-supp 6800  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-2o 7030  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-pm 7326  df-ixp 7373  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-fsupp 7731  df-fi 7771  df-sup 7801  df-oi 7834  df-card 8219  df-cda 8447  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-10 10498  df-n0 10690  df-z 10757  df-dec 10866  df-uz 10972  df-q 11064  df-rp 11102  df-xneg 11199  df-xadd 11200  df-xmul 11201  df-ico 11416  df-icc 11417  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-fl 11758  df-seq 11923  df-exp 11982  df-fac 12168  df-bc 12195  df-hash 12220  df-shft 12673  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-limsup 13066  df-clim 13083  df-rlim 13084  df-sum 13281  df-ef 13470  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-starv 14371  df-sca 14372  df-vsca 14373  df-ip 14374  df-tset 14375  df-ple 14376  df-ds 14378  df-unif 14379  df-hom 14380  df-cco 14381  df-rest 14479  df-topn 14480  df-0g 14498  df-gsum 14499  df-topgen 14500  df-pt 14501  df-prds 14504  df-xrs 14558  df-qtop 14563  df-imas 14564  df-xps 14566  df-mre 14642  df-mrc 14643  df-acs 14645  df-mnd 15533  df-submnd 15583  df-mulg 15666  df-cntz 15953  df-cmn 16399  df-psmet 17933  df-xmet 17934  df-met 17935  df-bl 17936  df-mopn 17937  df-fbas 17938  df-fg 17939  df-cnfld 17943  df-top 18634  df-bases 18636  df-topon 18637  df-topsp 18638  df-cld 18754  df-ntr 18755  df-cls 18756  df-nei 18833  df-lp 18871  df-perf 18872  df-cn 18962  df-cnp 18963  df-haus 19050  df-tx 19266  df-hmeo 19459  df-fil 19550  df-fm 19642  df-flim 19643  df-flf 19644  df-xms 20026  df-ms 20027  df-tms 20028  df-cncf 20585  df-limc 21473  df-dv 21474
This theorem is referenced by:  dvsincos  21585  efcn  22040  efcvx  22046  pige3  22111  dvrelog  22214  dvlog  22228  dvcxp1  22312  dvcxp2  22313  dvcncxp1  28624  dvsef  29753  expgrowthi  29754  expgrowth  29756
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