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Theorem dvef 22874
Description: Derivative of the exponential function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvef  |-  ( CC 
_D  exp )  =  exp

Proof of Theorem dvef
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfcn 22805 . . . . . . 7  |-  ( CC 
_D  exp ) : dom  ( CC  _D  exp ) --> CC
2 dvbsss 22799 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( CC  _D  exp )  C_  CC
3 efcl 14080 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  x )  e.  CC )
4 fconstg 5730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( exp `  x )  e.  CC  ->  ( CC  X.  { ( exp `  x ) } ) : CC --> { ( exp `  x ) } )
53, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  X.  { ( exp `  x ) } ) : CC --> { ( exp `  x ) } )
63snssd 4088 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  { ( exp `  x ) }  C_  CC )
75, 6fssd 5698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  X.  { ( exp `  x ) } ) : CC --> CC )
8 ssid 3426 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  CC  C_  CC
98a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  CC  C_  CC )
10 subcl 9825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( z  -  x
)  e.  CC )
1110ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( z  -  x
)  e.  CC )
12 efcl 14080 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  -  x )  e.  CC  ->  ( exp `  ( z  -  x ) )  e.  CC )
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( exp `  (
z  -  x ) )  e.  CC )
14 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) )
1513, 14fmptd 6005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  (
z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) : CC --> CC )
16 0cn 9586 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  CC
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  0  e.  CC )
18 ax-1cn 9548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  1  e.  CC )
2016elexi 3032 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  _V
2120snid 3969 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  { 0 }
22 opelxpi 4828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  0  e.  { 0 } )  ->  <. x ,  0 >.  e.  ( CC  X.  { 0 } ) )
2321, 22mpan2 675 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  <. x ,  0 >.  e.  ( CC  X.  { 0 } ) )
24 dvconst 22813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( exp `  x )  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( CC  X.  { ( exp `  x
) } ) )  =  ( CC  X.  { 0 } ) )
253, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( CC  X.  { ( exp `  x
) } ) )  =  ( CC  X.  { 0 } ) )
2623, 25eleqtrrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  <. x ,  0 >.  e.  ( CC  _D  ( CC 
X.  { ( exp `  x ) } ) ) )
27 df-br 4367 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x ( CC  _D  ( CC  X.  { ( exp `  x ) } ) ) 0  <->  <. x ,  0 >.  e.  ( CC  _D  ( CC  X.  { ( exp `  x
) } ) ) )
2826, 27sylibr 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  ( CC  X.  { ( exp `  x ) } ) ) 0 )
29 eff 14079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  exp : CC
--> CC
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  exp : CC --> CC )
31 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) )
3211, 31fmptd 6005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  (
z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) : CC --> CC )
33 oveq1 6256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  x  ->  (
z  -  x )  =  ( x  -  x ) )
34 ovex 6277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  -  x )  e. 
_V
3533, 31, 34fvmpt 5908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( z  -  x
) ) `  x
)  =  ( x  -  x ) )
36 subid 9844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  -  x )  =  0 )
3735, 36eqtrd 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( z  -  x
) ) `  x
)  =  0 )
38 dveflem 22873 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0
( CC  _D  exp ) 1
3937, 38syl6eqbr 4404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( z  -  x
) ) `  x
) ( CC  _D  exp ) 1 )
4018elexi 3032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  _V
4140snid 3969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  { 1 }
42 opelxpi 4828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  CC  /\  1  e.  { 1 } )  ->  <. x ,  1 >.  e.  ( CC  X.  { 1 } ) )
4341, 42mpan2 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  <. x ,  1 >.  e.  ( CC  X.  { 1 } ) )
44 cnelprrecn 9583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  CC  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
46 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  z  e.  CC )
4718a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
4845dvmptid 22853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( z  e.  CC  |->  z ) )  =  ( z  e.  CC  |->  1 ) )
49 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
5016a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  0  e.  CC )
51 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  CC  ->  x  e.  CC )
5245, 51dvmptc 22854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( z  e.  CC  |->  x ) )  =  ( z  e.  CC  |->  0 ) )
5345, 46, 47, 48, 49, 50, 52dvmptsub 22863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( 1  -  0 ) ) )
54 1m0e1 10671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  -  0 )  =  1
5554mpteq2i 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  CC  |->  ( 1  -  0 ) )  =  ( z  e.  CC  |->  1 )
56 fconstmpt 4840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( CC 
X.  { 1 } )  =  ( z  e.  CC  |->  1 )
5755, 56eqtr4i 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  CC  |->  ( 1  -  0 ) )  =  ( CC  X.  { 1 } )
5853, 57syl6eq 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) )  =  ( CC  X.  { 1 } ) )
5943, 58eleqtrrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  <. x ,  1 >.  e.  ( CC  _D  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) ) )
60 df-br 4367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x ( CC  _D  (
z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) ) 1  <->  <. x ,  1 >.  e.  ( CC  _D  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) ) )
6159, 60sylibr 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  (
z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) ) 1 )
62 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
6330, 9, 32, 9, 9, 9, 19, 19, 39, 61, 62dvcobr 22842 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  ( exp  o.  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) ) ) ( 1  x.  1 ) )
64 1t1e1 10708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
6563, 64syl6breq 4406 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  ( exp  o.  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) ) ) 1 )
66 eqidd 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  (
z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) )
6730feqmptd 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  exp  =  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y
) ) )
68 fveq2 5825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( z  -  x )  ->  ( exp `  y )  =  ( exp `  (
z  -  x ) ) )
6911, 66, 67, 68fmptco 6015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp  o.  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  (
z  -  x ) ) ) )
7069oveq2d 6265 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( exp  o.  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x
) ) ) )  =  ( CC  _D  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) ) )
7170breqd 4377 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ( CC  _D  ( exp  o.  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) ) ) 1  <->  x
( CC  _D  (
z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) ) 1 ) )
7265, 71mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  (
z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) ) 1 )
737, 9, 15, 9, 9, 17, 19, 28, 72, 62dvmulbr 22835 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  (
( CC  X.  {
( exp `  x
) } )  oF  x.  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) ) ) ( ( 0  x.  ( ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) `  x ) )  +  ( 1  x.  (
( CC  X.  {
( exp `  x
) } ) `  x ) ) ) )
7415, 51ffvelrnd 5982 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) `  x )  e.  CC )
7574mul02d 9782 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0  x.  ( ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) `  x ) )  =  0 )
76 fvex 5835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( exp `  x )  e.  _V
7776fvconst2 6079 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( CC  X.  {
( exp `  x
) } ) `  x )  =  ( exp `  x ) )
7877oveq2d 6265 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  x.  ( ( CC  X.  { ( exp `  x ) } ) `  x
) )  =  ( 1  x.  ( exp `  x ) ) )
793mulid2d 9612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  x.  ( exp `  x ) )  =  ( exp `  x
) )
8078, 79eqtrd 2462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  x.  ( ( CC  X.  { ( exp `  x ) } ) `  x
) )  =  ( exp `  x ) )
8175, 80oveq12d 6267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( 0  x.  (
( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) `  x ) )  +  ( 1  x.  ( ( CC 
X.  { ( exp `  x ) } ) `
 x ) ) )  =  ( 0  +  ( exp `  x
) ) )
823addid2d 9785 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0  +  ( exp `  x ) )  =  ( exp `  x
) )
8381, 82eqtrd 2462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( 0  x.  (
( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) `  x ) )  +  ( 1  x.  ( ( CC 
X.  { ( exp `  x ) } ) `
 x ) ) )  =  ( exp `  x ) )
8473, 83breqtrd 4391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  (
( CC  X.  {
( exp `  x
) } )  oF  x.  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) ) ) ( exp `  x
) )
85 cnex 9571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  CC  e.  _V
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  CC  e.  _V )
8776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( exp `  x
)  e.  _V )
88 fvex 5835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( exp `  ( z  -  x
) )  e.  _V
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( exp `  (
z  -  x ) )  e.  _V )
90 fconstmpt 4840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( CC 
X.  { ( exp `  x ) } )  =  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  x
) )
9190a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  X.  { ( exp `  x ) } )  =  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  x
) ) )
92 eqidd 2429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  (
z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) )
9386, 87, 89, 91, 92offval2 6506 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( CC  X.  {
( exp `  x
) } )  oF  x.  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) ) )
9430feqmptd 5878 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  exp  =  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  z
) ) )
95 efadd 14091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( z  -  x
)  e.  CC )  ->  ( exp `  (
x  +  ( z  -  x ) ) )  =  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  (
z  -  x ) ) ) )
9611, 95syldan 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( exp `  (
x  +  ( z  -  x ) ) )  =  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  (
z  -  x ) ) ) )
97 pncan3 9834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( x  +  ( z  -  x ) )  =  z )
9897fveq2d 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( exp `  (
x  +  ( z  -  x ) ) )  =  ( exp `  z ) )
9996, 98eqtr3d 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  ( z  -  x
) ) )  =  ( exp `  z
) )
10099mpteq2dva 4453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  (
z  e.  CC  |->  ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  z
) ) )
10194, 100eqtr4d 2465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  exp  =  ( z  e.  CC  |->  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) ) )
10293, 101eqtr4d 2465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( CC  X.  {
( exp `  x
) } )  oF  x.  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) )  =  exp )
103102oveq2d 6265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( ( CC 
X.  { ( exp `  x ) } )  oF  x.  (
z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) ) )  =  ( CC  _D  exp ) )
104103breqd 4377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ( CC  _D  ( ( CC  X.  { ( exp `  x
) } )  oF  x.  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) ) ) ( exp `  x
)  <->  x ( CC 
_D  exp ) ( exp `  x ) ) )
10584, 104mpbid 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  exp ) ( exp `  x
) )
106 vex 3025 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
107106, 76breldm 5001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x ( CC  _D  exp ) ( exp `  x
)  ->  x  e.  dom  ( CC  _D  exp ) )
108105, 107syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  x  e.  dom  ( CC  _D  exp ) )
109108ssriv 3411 . . . . . . . . 9  |-  CC  C_  dom  ( CC  _D  exp )
1102, 109eqssi 3423 . . . . . . . 8  |-  dom  ( CC  _D  exp )  =  CC
111110feq2i 5682 . . . . . . 7  |-  ( ( CC  _D  exp ) : dom  ( CC  _D  exp ) --> CC  <->  ( CC  _D  exp ) : CC --> CC )
1121, 111mpbi 211 . . . . . 6  |-  ( CC 
_D  exp ) : CC --> CC
113112a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  exp ) : CC --> CC )
114113feqmptd 5878 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  exp )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( CC 
_D  exp ) `  x
) ) )
115 ffun 5691 . . . . . . 7  |-  ( ( CC  _D  exp ) : dom  ( CC  _D  exp ) --> CC  ->  Fun  ( CC  _D  exp )
)
1161, 115ax-mp 5 . . . . . 6  |-  Fun  ( CC  _D  exp )
117 funbrfv 5863 . . . . . 6  |-  ( Fun  ( CC  _D  exp )  ->  ( x ( CC  _D  exp )
( exp `  x
)  ->  ( ( CC  _D  exp ) `  x )  =  ( exp `  x ) ) )
118116, 105, 117mpsyl 65 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( CC  _D  exp ) `  x )  =  ( exp `  x
) )
119118mpteq2ia 4449 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  |->  ( ( CC  _D  exp ) `  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( exp `  x ) )
120114, 119syl6eq 2478 . . 3  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  exp )  =  ( x  e.  CC  |->  ( exp `  x
) ) )
12129a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  exp : CC --> CC )
122121feqmptd 5878 . . 3  |-  ( T. 
->  exp  =  ( x  e.  CC  |->  ( exp `  x ) ) )
123120, 122eqtr4d 2465 . 2  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  exp )  =  exp )
124123trud 1446 1  |-  ( CC 
_D  exp )  =  exp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 370    = wceq 1437   T. wtru 1438    e. wcel 1872   _Vcvv 3022    C_ wss 3379   {csn 3941   {cpr 3943   <.cop 3947   class class class wbr 4366    |-> cmpt 4425    X. cxp 4794   dom cdm 4796    o. ccom 4800   Fun wfun 5538   -->wf 5540   ` cfv 5544  (class class class)co 6249    oFcof 6487   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491    + caddc 9493    x. cmul 9495    - cmin 9811   expce 14057   TopOpenctopn 15263  ℂfldccnfld 18913    _D cdv 22760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-iin 4245  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-supp 6870  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-2o 7138  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-ixp 7478  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-fsupp 7837  df-fi 7878  df-sup 7909  df-inf 7910  df-oi 7978  df-card 8325  df-cda 8549  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-z 10889  df-dec 11003  df-uz 11111  df-q 11216  df-rp 11254  df-xneg 11360  df-xadd 11361  df-xmul 11362  df-ico 11592  df-icc 11593  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-fl 11978  df-seq 12164  df-exp 12223  df-fac 12410  df-bc 12438  df-hash 12466  df-shft 13074  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-limsup 13469  df-clim 13495  df-rlim 13496  df-sum 13696  df-ef 14064  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-starv 15148  df-sca 15149  df-vsca 15150  df-ip 15151  df-tset 15152  df-ple 15153  df-ds 15155  df-unif 15156  df-hom 15157  df-cco 15158  df-rest 15264  df-topn 15265  df-0g 15283  df-gsum 15284  df-topgen 15285  df-pt 15286  df-prds 15289  df-xrs 15343  df-qtop 15349  df-imas 15350  df-xps 15353  df-mre 15435  df-mrc 15436  df-acs 15438  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-submnd 16526  df-mulg 16619  df-cntz 16914  df-cmn 17375  df-psmet 18905  df-xmet 18906  df-met 18907  df-bl 18908  df-mopn 18909  df-fbas 18910  df-fg 18911  df-cnfld 18914  df-top 19863  df-bases 19864  df-topon 19865  df-topsp 19866  df-cld 19976  df-ntr 19977  df-cls 19978  df-nei 20056  df-lp 20094  df-perf 20095  df-cn 20185  df-cnp 20186  df-haus 20273  df-tx 20519  df-hmeo 20712  df-fil 20803  df-fm 20895  df-flim 20896  df-flf 20897  df-xms 21277  df-ms 21278  df-tms 21279  df-cncf 21852  df-limc 22763  df-dv 22764
This theorem is referenced by:  dvsincos  22875  efcn  23340  efcvx  23346  pige3  23414  dvrelog  23524  dvlog  23538  dvcxp1  23622  dvcxp2  23623  dvcncxp1  23625  dvsef  36594  expgrowthi  36595  expgrowth  36597
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