Theorem dvef 21432

Description: Derivative of the exponential function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvef	|- ( CC _D exp ) = exp

Proof of Theorem dvef

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfcn 21363	. . . . . . 7 |- ( CC _D exp ) : dom ( CC _D exp ) --> CC
2		dvbsss 21357	. . . . . . . . 9 |- dom ( CC _D exp ) C_ CC
3		efcl 13360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( exp ` x ) e. CC )
4		fconstg 5592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( exp ` x ) e. CC -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) : CC --> { ( exp ` x ) } )
5	3, 4	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) : CC --> { ( exp ` x ) } )
6	3	snssd 4013	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> { ( exp ` x ) } C_ CC )
7		fss 5562	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) : CC --> { ( exp ` x ) } /\ { ( exp ` x ) } C_ CC ) -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) : CC --> CC )
8	5, 6, 7	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) : CC --> CC )
9		ssid 3370	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- CC C_ CC
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> CC C_ CC )
11		subcl 9601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. CC /\ x e. CC ) -> ( z - x ) e. CC )
12	11	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( z - x ) e. CC )
13		efcl 13360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z - x ) e. CC -> ( exp ` ( z - x ) ) e. CC )
14	12, 13	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` ( z - x ) ) e. CC )
15		eqid 2438	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) = ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) )
16	14, 15	fmptd 5862	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) : CC --> CC )
17		0cn 9370	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. CC
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> 0 e. CC )
19		ax-1cn 9332	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. CC
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> 1 e. CC )
21	17	elexi 2977	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. _V
22	21	snid 3900	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. { 0 }
23		opelxpi 4866	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. CC /\ 0 e. { 0 } ) -> <. x , 0 >. e. ( CC X. { 0 } ) )
24	22, 23	mpan2 671	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> <. x , 0 >. e. ( CC X. { 0 } ) )
25		dvconst 21371	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( exp ` x ) e. CC -> ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) = ( CC X. { 0 } ) )
26	3, 25	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) = ( CC X. { 0 } ) )
27	24, 26	eleqtrrd 2515	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> <. x , 0 >. e. ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) )
28		df-br 4288	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) 0 <-> <. x , 0 >. e. ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) )
29	27, 28	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) 0 )
30		eff 13359	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- exp : CC --> CC
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> exp : CC --> CC )
32		eqid 2438	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. CC |-> ( z - x ) ) = ( z e. CC |-> ( z - x ) )
33	12, 32	fmptd 5862	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( z - x ) ) : CC --> CC )
34		oveq1 6093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = x -> ( z - x ) = ( x - x ) )
35		ovex 6111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x - x ) e. _V
36	34, 32, 35	fvmpt 5769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) = ( x - x ) )
37		subid 9620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. CC -> ( x - x ) = 0 )
38	36, 37	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) = 0 )
39		dveflem 21431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 ( CC _D exp ) 1
40	38, 39	syl6eqbr 4324	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) ( CC _D exp ) 1 )
41	19	elexi 2977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 1 e. _V
42	41	snid 3900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. { 1 }
43		opelxpi 4866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. CC /\ 1 e. { 1 } ) -> <. x , 1 >. e. ( CC X. { 1 } ) )
44	42, 43	mpan2 671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. CC -> <. x , 1 >. e. ( CC X. { 1 } ) )
45		cnelprrecn 9367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- CC e. { RR , CC }
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. CC -> CC e. { RR , CC } )
47		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> z e. CC )
48	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> 1 e. CC )
49	46	dvmptid 21411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( z e. CC |-> z ) ) = ( z e. CC |-> 1 ) )
50		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> x e. CC )
51	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> 0 e. CC )
52		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. CC -> x e. CC )
53	46, 52	dvmptc 21412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( z e. CC |-> x ) ) = ( z e. CC |-> 0 ) )
54	46, 47, 48, 49, 50, 51, 53	dvmptsub 21421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) = ( z e. CC |-> ( 1 - 0 ) ) )
55		1m0e1 10424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 1 - 0 ) = 1
56	55	mpteq2i 4370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. CC |-> ( 1 - 0 ) ) = ( z e. CC |-> 1 )
57		fconstmpt 4877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( CC X. { 1 } ) = ( z e. CC |-> 1 )
58	56, 57	eqtr4i 2461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. CC |-> ( 1 - 0 ) ) = ( CC X. { 1 } )
59	54, 58	syl6eq 2486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) = ( CC X. { 1 } ) )
60	44, 59	eleqtrrd 2515	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> <. x , 1 >. e. ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) )
61		df-br 4288	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) 1 <-> <. x , 1 >. e. ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) )
62	60, 61	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) 1 )
63		eqid 2438	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
64	31, 10, 33, 10, 10, 10, 20, 20, 40, 62, 63	dvcobr 21400	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) ) ( 1 x. 1 ) )
65		1t1e1 10461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 x. 1 ) = 1
66	64, 65	syl6breq 4326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) ) 1 )
67		eqidd 2439	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( z - x ) ) = ( z e. CC |-> ( z - x ) ) )
68	31	feqmptd 5739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> exp = ( y e. CC |-> ( exp ` y ) ) )
69		fveq2 5686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( z - x ) -> ( exp ` y ) = ( exp ` ( z - x ) ) )
70	12, 67, 68, 69	fmptco 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) = ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) )
71	70	oveq2d 6102	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) ) = ( CC _D ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) )
72	71	breqd 4298	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> ( x ( CC _D ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) ) 1 <-> x ( CC _D ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) 1 ) )
73	66, 72	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) 1 )
74	8, 10, 16, 10, 10, 18, 20, 29, 73, 63	dvmulbr 21393	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) ) ( ( 0 x. ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) ) + ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) ) )
75	16, 52	ffvelrnd 5839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) e. CC )
76	75	mul02d 9559	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> ( 0 x. ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) ) = 0 )
77		fvex 5696	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( exp ` x ) e. _V
78	77	fvconst2 5928	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) = ( exp ` x ) )
79	78	oveq2d 6102	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) = ( 1 x. ( exp ` x ) ) )
80	3	mulid2d 9396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( 1 x. ( exp ` x ) ) = ( exp ` x ) )
81	79, 80	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) = ( exp ` x ) )
82	76, 81	oveq12d 6104	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> ( ( 0 x. ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) ) + ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) ) = ( 0 + ( exp ` x ) ) )
83	3	addid2d 9562	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> ( 0 + ( exp ` x ) ) = ( exp ` x ) )
84	82, 83	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> ( ( 0 x. ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) ) + ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) ) = ( exp ` x ) )
85	74, 84	breqtrd 4311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) ) ( exp ` x ) )
86		cnex 9355	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- CC e. _V
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> CC e. _V )
88	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` x ) e. _V )
89		fvex 5696	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( exp ` ( z - x ) ) e. _V
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` ( z - x ) ) e. _V )
91		fconstmpt 4877	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( CC X. { ( exp ` x ) } ) = ( z e. CC |-> ( exp ` x ) )
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) = ( z e. CC |-> ( exp ` x ) ) )
93		eqidd 2439	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) = ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) )
94	87, 88, 90, 92, 93	offval2 6331	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) = ( z e. CC |-> ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) ) )
95	31	feqmptd 5739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> exp = ( z e. CC |-> ( exp ` z ) ) )
96		efadd 13371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. CC /\ ( z - x ) e. CC ) -> ( exp ` ( x + ( z - x ) ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) )
97	50, 12, 96	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` ( x + ( z - x ) ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) )
98		pncan3 9610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( x + ( z - x ) ) = z )
99	98	fveq2d 5690	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` ( x + ( z - x ) ) ) = ( exp ` z ) )
100	97, 99	eqtr3d 2472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) = ( exp ` z ) )
101	100	mpteq2dva 4373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) ) = ( z e. CC |-> ( exp ` z ) ) )
102	95, 101	eqtr4d 2473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> exp = ( z e. CC |-> ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) ) )
103	94, 102	eqtr4d 2473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) = exp )
104	103	oveq2d 6102	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) ) = ( CC _D exp ) )
105	104	breqd 4298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> ( x ( CC _D ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) ) ( exp ` x ) <-> x ( CC _D exp ) ( exp ` x ) ) )
106	85, 105	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC -> x ( CC _D exp ) ( exp ` x ) )
107		vex 2970	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
108	107, 77	breldm 5039	. . . . . . . . . . 11 |- ( x ( CC _D exp ) ( exp ` x ) -> x e. dom ( CC _D exp ) )
109	106, 108	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> x e. dom ( CC _D exp ) )
110	109	ssriv 3355	. . . . . . . . 9 |- CC C_ dom ( CC _D exp )
111	2, 110	eqssi 3367	. . . . . . . 8 |- dom ( CC _D exp ) = CC
112	111	feq2i 5547	. . . . . . 7 |- ( ( CC _D exp ) : dom ( CC _D exp ) --> CC <-> ( CC _D exp ) : CC --> CC )
113	1, 112	mpbi 208	. . . . . 6 |- ( CC _D exp ) : CC --> CC
114	113	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> ( CC _D exp ) : CC --> CC )
115	114	feqmptd 5739	. . . 4 |- ( T. -> ( CC _D exp ) = ( x e. CC |-> ( ( CC _D exp ) ` x ) ) )
116		ffun 5556	. . . . . . 7 |- ( ( CC _D exp ) : dom ( CC _D exp ) --> CC -> Fun ( CC _D exp ) )
117	1, 116	ax-mp 5	. . . . . 6 |- Fun ( CC _D exp )
118		funbrfv 5725	. . . . . 6 |- ( Fun ( CC _D exp ) -> ( x ( CC _D exp ) ( exp ` x ) -> ( ( CC _D exp ) ` x ) = ( exp ` x ) ) )
119	117, 106, 118	mpsyl 63	. . . . 5 |- ( x e. CC -> ( ( CC _D exp ) ` x ) = ( exp ` x ) )
120	119	mpteq2ia 4369	. . . 4 |- ( x e. CC |-> ( ( CC _D exp ) ` x ) ) = ( x e. CC |-> ( exp ` x ) )
121	115, 120	syl6eq 2486	. . 3 |- ( T. -> ( CC _D exp ) = ( x e. CC |-> ( exp ` x ) ) )
122	30	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> exp : CC --> CC )
123	122	feqmptd 5739	. . 3 |- ( T. -> exp = ( x e. CC |-> ( exp ` x ) ) )
124	121, 123	eqtr4d 2473	. 2 |- ( T. -> ( CC _D exp ) = exp )
125	124	trud 1378	1 |- ( CC _D exp ) = exp

Syntax hints:   /\ wa 369   = wceq 1369   T. wtru 1370   e. wcel 1756   _Vcvv 2967   C_ wss 3323   {csn 3872   {cpr 3874   <.cop 3878   class class class wbr 4287   e. cmpt 4345   X. cxp 4833   dom cdm 4835   o. ccom 4839   Fun wfun 5407   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   oFcof 6313   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275   + caddc 9277   x. cmul 9279   - cmin 9587   expce 13339   TopOpenctopn 14352  ℂ_fldccnfld 17798   _D cdv 21318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-ef 13345  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17789  df-xmet 17790  df-met 17791  df-bl 17792  df-mopn 17793  df-fbas 17794  df-fg 17795  df-cnfld 17799  df-top 18483  df-bases 18485  df-topon 18486  df-topsp 18487  df-cld 18603  df-ntr 18604  df-cls 18605  df-nei 18682  df-lp 18720  df-perf 18721  df-cn 18811  df-cnp 18812  df-haus 18899  df-tx 19115  df-hmeo 19308  df-fil 19399  df-fm 19491  df-flim 19492  df-flf 19493  df-xms 19875  df-ms 19876  df-tms 19877  df-cncf 20434  df-limc 21321  df-dv 21322

This theorem is referenced by:  dvsincos  21433  efcn  21888  efcvx  21894  pige3  21959  dvrelog  22062  dvlog  22076  dvcxp1  22160  dvcxp2  22161  dvcncxp1  28448  dvsef  29577  expgrowthi  29578  expgrowth  29580