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Theorem dvef 22144
Description: Derivative of the exponential function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvef  |-  ( CC 
_D  exp )  =  exp

Proof of Theorem dvef
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfcn 22075 . . . . . . 7  |-  ( CC 
_D  exp ) : dom  ( CC  _D  exp ) --> CC
2 dvbsss 22069 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( CC  _D  exp )  C_  CC
3 efcl 13680 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  x )  e.  CC )
4 fconstg 5772 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( exp `  x )  e.  CC  ->  ( CC  X.  { ( exp `  x ) } ) : CC --> { ( exp `  x ) } )
53, 4syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  X.  { ( exp `  x ) } ) : CC --> { ( exp `  x ) } )
63snssd 4172 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  { ( exp `  x ) }  C_  CC )
7 fss 5739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( CC  X.  {
( exp `  x
) } ) : CC --> { ( exp `  x ) }  /\  { ( exp `  x
) }  C_  CC )  ->  ( CC  X.  { ( exp `  x
) } ) : CC --> CC )
85, 6, 7syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  X.  { ( exp `  x ) } ) : CC --> CC )
9 ssid 3523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  CC  C_  CC
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  CC  C_  CC )
11 subcl 9819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( z  -  x
)  e.  CC )
1211ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( z  -  x
)  e.  CC )
13 efcl 13680 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  -  x )  e.  CC  ->  ( exp `  ( z  -  x ) )  e.  CC )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( exp `  (
z  -  x ) )  e.  CC )
15 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) )
1614, 15fmptd 6045 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  (
z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) : CC --> CC )
17 0cn 9588 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  CC
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  0  e.  CC )
19 ax-1cn 9550 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  1  e.  CC )
2117elexi 3123 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  _V
2221snid 4055 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  { 0 }
23 opelxpi 5031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  0  e.  { 0 } )  ->  <. x ,  0 >.  e.  ( CC  X.  { 0 } ) )
2422, 23mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  <. x ,  0 >.  e.  ( CC  X.  { 0 } ) )
25 dvconst 22083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( exp `  x )  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( CC  X.  { ( exp `  x
) } ) )  =  ( CC  X.  { 0 } ) )
263, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( CC  X.  { ( exp `  x
) } ) )  =  ( CC  X.  { 0 } ) )
2724, 26eleqtrrd 2558 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  <. x ,  0 >.  e.  ( CC  _D  ( CC 
X.  { ( exp `  x ) } ) ) )
28 df-br 4448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x ( CC  _D  ( CC  X.  { ( exp `  x ) } ) ) 0  <->  <. x ,  0 >.  e.  ( CC  _D  ( CC  X.  { ( exp `  x
) } ) ) )
2927, 28sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  ( CC  X.  { ( exp `  x ) } ) ) 0 )
30 eff 13679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  exp : CC
--> CC
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  exp : CC --> CC )
32 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) )
3312, 32fmptd 6045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  (
z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) : CC --> CC )
34 oveq1 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  x  ->  (
z  -  x )  =  ( x  -  x ) )
35 ovex 6309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  -  x )  e. 
_V
3634, 32, 35fvmpt 5950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( z  -  x
) ) `  x
)  =  ( x  -  x ) )
37 subid 9838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  -  x )  =  0 )
3836, 37eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( z  -  x
) ) `  x
)  =  0 )
39 dveflem 22143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0
( CC  _D  exp ) 1
4038, 39syl6eqbr 4484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( z  -  x
) ) `  x
) ( CC  _D  exp ) 1 )
4119elexi 3123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  _V
4241snid 4055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  { 1 }
43 opelxpi 5031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  CC  /\  1  e.  { 1 } )  ->  <. x ,  1 >.  e.  ( CC  X.  { 1 } ) )
4442, 43mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  <. x ,  1 >.  e.  ( CC  X.  { 1 } ) )
45 cnelprrecn 9585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  CC  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
47 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  z  e.  CC )
4819a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
4946dvmptid 22123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( z  e.  CC  |->  z ) )  =  ( z  e.  CC  |->  1 ) )
50 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
5117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  0  e.  CC )
52 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  CC  ->  x  e.  CC )
5346, 52dvmptc 22124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( z  e.  CC  |->  x ) )  =  ( z  e.  CC  |->  0 ) )
5446, 47, 48, 49, 50, 51, 53dvmptsub 22133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( 1  -  0 ) ) )
55 1m0e1 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  -  0 )  =  1
5655mpteq2i 4530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  CC  |->  ( 1  -  0 ) )  =  ( z  e.  CC  |->  1 )
57 fconstmpt 5043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( CC 
X.  { 1 } )  =  ( z  e.  CC  |->  1 )
5856, 57eqtr4i 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  CC  |->  ( 1  -  0 ) )  =  ( CC  X.  { 1 } )
5954, 58syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) )  =  ( CC  X.  { 1 } ) )
6044, 59eleqtrrd 2558 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  <. x ,  1 >.  e.  ( CC  _D  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) ) )
61 df-br 4448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x ( CC  _D  (
z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) ) 1  <->  <. x ,  1 >.  e.  ( CC  _D  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) ) )
6260, 61sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  (
z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) ) 1 )
63 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
6431, 10, 33, 10, 10, 10, 20, 20, 40, 62, 63dvcobr 22112 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  ( exp  o.  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) ) ) ( 1  x.  1 ) )
65 1t1e1 10683 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
6664, 65syl6breq 4486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  ( exp  o.  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) ) ) 1 )
67 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  (
z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) )
6831feqmptd 5920 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  exp  =  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y
) ) )
69 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( z  -  x )  ->  ( exp `  y )  =  ( exp `  (
z  -  x ) ) )
7012, 67, 68, 69fmptco 6054 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp  o.  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  (
z  -  x ) ) ) )
7170oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( exp  o.  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x
) ) ) )  =  ( CC  _D  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) ) )
7271breqd 4458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ( CC  _D  ( exp  o.  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) ) ) 1  <->  x
( CC  _D  (
z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) ) 1 ) )
7366, 72mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  (
z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) ) 1 )
748, 10, 16, 10, 10, 18, 20, 29, 73, 63dvmulbr 22105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  (
( CC  X.  {
( exp `  x
) } )  oF  x.  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) ) ) ( ( 0  x.  ( ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) `  x ) )  +  ( 1  x.  (
( CC  X.  {
( exp `  x
) } ) `  x ) ) ) )
7516, 52ffvelrnd 6022 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) `  x )  e.  CC )
7675mul02d 9777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0  x.  ( ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) `  x ) )  =  0 )
77 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( exp `  x )  e.  _V
7877fvconst2 6116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( CC  X.  {
( exp `  x
) } ) `  x )  =  ( exp `  x ) )
7978oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  x.  ( ( CC  X.  { ( exp `  x ) } ) `  x
) )  =  ( 1  x.  ( exp `  x ) ) )
803mulid2d 9614 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  x.  ( exp `  x ) )  =  ( exp `  x
) )
8179, 80eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  x.  ( ( CC  X.  { ( exp `  x ) } ) `  x
) )  =  ( exp `  x ) )
8276, 81oveq12d 6302 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( 0  x.  (
( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) `  x ) )  +  ( 1  x.  ( ( CC 
X.  { ( exp `  x ) } ) `
 x ) ) )  =  ( 0  +  ( exp `  x
) ) )
833addid2d 9780 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0  +  ( exp `  x ) )  =  ( exp `  x
) )
8482, 83eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( 0  x.  (
( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) `  x ) )  +  ( 1  x.  ( ( CC 
X.  { ( exp `  x ) } ) `
 x ) ) )  =  ( exp `  x ) )
8574, 84breqtrd 4471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  (
( CC  X.  {
( exp `  x
) } )  oF  x.  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) ) ) ( exp `  x
) )
86 cnex 9573 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  CC  e.  _V
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  CC  e.  _V )
8877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( exp `  x
)  e.  _V )
89 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( exp `  ( z  -  x
) )  e.  _V
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( exp `  (
z  -  x ) )  e.  _V )
91 fconstmpt 5043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( CC 
X.  { ( exp `  x ) } )  =  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  x
) )
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  X.  { ( exp `  x ) } )  =  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  x
) ) )
93 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  (
z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) )
9487, 88, 90, 92, 93offval2 6540 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( CC  X.  {
( exp `  x
) } )  oF  x.  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) ) )
9531feqmptd 5920 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  exp  =  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  z
) ) )
96 efadd 13691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( z  -  x
)  e.  CC )  ->  ( exp `  (
x  +  ( z  -  x ) ) )  =  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  (
z  -  x ) ) ) )
9750, 12, 96syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( exp `  (
x  +  ( z  -  x ) ) )  =  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  (
z  -  x ) ) ) )
98 pncan3 9828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( x  +  ( z  -  x ) )  =  z )
9998fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( exp `  (
x  +  ( z  -  x ) ) )  =  ( exp `  z ) )
10097, 99eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  ( z  -  x
) ) )  =  ( exp `  z
) )
101100mpteq2dva 4533 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  (
z  e.  CC  |->  ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  z
) ) )
10295, 101eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  exp  =  ( z  e.  CC  |->  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) ) )
10394, 102eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( CC  X.  {
( exp `  x
) } )  oF  x.  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) )  =  exp )
104103oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( ( CC 
X.  { ( exp `  x ) } )  oF  x.  (
z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) ) )  =  ( CC  _D  exp ) )
105104breqd 4458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ( CC  _D  ( ( CC  X.  { ( exp `  x
) } )  oF  x.  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) ) ) ( exp `  x
)  <->  x ( CC 
_D  exp ) ( exp `  x ) ) )
10685, 105mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  exp ) ( exp `  x
) )
107 vex 3116 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
108107, 77breldm 5207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x ( CC  _D  exp ) ( exp `  x
)  ->  x  e.  dom  ( CC  _D  exp ) )
109106, 108syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  x  e.  dom  ( CC  _D  exp ) )
110109ssriv 3508 . . . . . . . . 9  |-  CC  C_  dom  ( CC  _D  exp )
1112, 110eqssi 3520 . . . . . . . 8  |-  dom  ( CC  _D  exp )  =  CC
112111feq2i 5724 . . . . . . 7  |-  ( ( CC  _D  exp ) : dom  ( CC  _D  exp ) --> CC  <->  ( CC  _D  exp ) : CC --> CC )
1131, 112mpbi 208 . . . . . 6  |-  ( CC 
_D  exp ) : CC --> CC
114113a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  exp ) : CC --> CC )
115114feqmptd 5920 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  exp )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( CC 
_D  exp ) `  x
) ) )
116 ffun 5733 . . . . . . 7  |-  ( ( CC  _D  exp ) : dom  ( CC  _D  exp ) --> CC  ->  Fun  ( CC  _D  exp )
)
1171, 116ax-mp 5 . . . . . 6  |-  Fun  ( CC  _D  exp )
118 funbrfv 5906 . . . . . 6  |-  ( Fun  ( CC  _D  exp )  ->  ( x ( CC  _D  exp )
( exp `  x
)  ->  ( ( CC  _D  exp ) `  x )  =  ( exp `  x ) ) )
119117, 106, 118mpsyl 63 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( CC  _D  exp ) `  x )  =  ( exp `  x
) )
120119mpteq2ia 4529 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  |->  ( ( CC  _D  exp ) `  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( exp `  x ) )
121115, 120syl6eq 2524 . . 3  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  exp )  =  ( x  e.  CC  |->  ( exp `  x
) ) )
12230a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  exp : CC --> CC )
123122feqmptd 5920 . . 3  |-  ( T. 
->  exp  =  ( x  e.  CC  |->  ( exp `  x ) ) )
124121, 123eqtr4d 2511 . 2  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  exp )  =  exp )
125124trud 1388 1  |-  ( CC 
_D  exp )  =  exp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1379   T. wtru 1380    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   {csn 4027   {cpr 4029   <.cop 4033   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   dom cdm 4999    o. ccom 5003   Fun wfun 5582   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    oFcof 6522   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    x. cmul 9497    - cmin 9805   expce 13659   TopOpenctopn 14677  ℂfldccnfld 18219    _D cdv 22030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-seq 12076  df-exp 12135  df-fac 12322  df-bc 12349  df-hash 12374  df-shft 12863  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-limsup 13257  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-ef 13665  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-lp 19431  df-perf 19432  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-haus 19610  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-cncf 21145  df-limc 22033  df-dv 22034
This theorem is referenced by:  dvsincos  22145  efcn  22600  efcvx  22606  pige3  22671  dvrelog  22774  dvlog  22788  dvcxp1  22872  dvcxp2  22873  dvcncxp1  29705  dvsef  30865  expgrowthi  30866  expgrowth  30868
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