Theorem dvef 19817

Description: Derivative of the exponential function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvef	|- ( CC _D exp ) = exp

Proof of Theorem dvef

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfcn 19748	. . . . . . 7 |- ( CC _D exp ) : dom ( CC _D exp ) --> CC
2		dvbsss 19742	. . . . . . . . 9 |- dom ( CC _D exp ) C_ CC
3		efcl 12640	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( exp ` x ) e. CC )
4		fconstg 5589	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( exp ` x ) e. CC -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) : CC --> { ( exp ` x ) } )
5	3, 4	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) : CC --> { ( exp ` x ) } )
6	3	snssd 3903	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> { ( exp ` x ) } C_ CC )
7		fss 5558	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) : CC --> { ( exp ` x ) } /\ { ( exp ` x ) } C_ CC ) -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) : CC --> CC )
8	5, 6, 7	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) : CC --> CC )
9		ssid 3327	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- CC C_ CC
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> CC C_ CC )
11		subcl 9261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. CC /\ x e. CC ) -> ( z - x ) e. CC )
12	11	ancoms 440	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( z - x ) e. CC )
13		efcl 12640	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z - x ) e. CC -> ( exp ` ( z - x ) ) e. CC )
14	12, 13	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` ( z - x ) ) e. CC )
15		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) = ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) )
16	14, 15	fmptd 5852	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) : CC --> CC )
17		0cn 9040	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. CC
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> 0 e. CC )
19		ax-1cn 9004	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. CC
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> 1 e. CC )
21	17	elexi 2925	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. _V
22	21	snid 3801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. { 0 }
23		opelxpi 4869	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. CC /\ 0 e. { 0 } ) -> <. x , 0 >. e. ( CC X. { 0 } ) )
24	22, 23	mpan2 653	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> <. x , 0 >. e. ( CC X. { 0 } ) )
25		dvconst 19756	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( exp ` x ) e. CC -> ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) = ( CC X. { 0 } ) )
26	3, 25	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) = ( CC X. { 0 } ) )
27	24, 26	eleqtrrd 2481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> <. x , 0 >. e. ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) )
28		df-br 4173	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) 0 <-> <. x , 0 >. e. ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) )
29	27, 28	sylibr 204	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) 0 )
30		eff 12639	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- exp : CC --> CC
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> exp : CC --> CC )
32		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. CC |-> ( z - x ) ) = ( z e. CC |-> ( z - x ) )
33	12, 32	fmptd 5852	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( z - x ) ) : CC --> CC )
34		oveq1 6047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = x -> ( z - x ) = ( x - x ) )
35		ovex 6065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x - x ) e. _V
36	34, 32, 35	fvmpt 5765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) = ( x - x ) )
37		subid 9277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. CC -> ( x - x ) = 0 )
38	36, 37	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) = 0 )
39		dveflem 19816	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 ( CC _D exp ) 1
40	38, 39	syl6eqbr 4209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) ( CC _D exp ) 1 )
41	19	elexi 2925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 1 e. _V
42	41	snid 3801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. { 1 }
43		opelxpi 4869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. CC /\ 1 e. { 1 } ) -> <. x , 1 >. e. ( CC X. { 1 } ) )
44	42, 43	mpan2 653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. CC -> <. x , 1 >. e. ( CC X. { 1 } ) )
45		cnex 9027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- CC e. _V
46	45	prid2 3873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- CC e. { RR , CC }
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. CC -> CC e. { RR , CC } )
48		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> z e. CC )
49	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> 1 e. CC )
50	47	dvmptid 19796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( z e. CC |-> z ) ) = ( z e. CC |-> 1 ) )
51		simpl 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> x e. CC )
52	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> 0 e. CC )
53		id 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. CC -> x e. CC )
54	47, 53	dvmptc 19797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( z e. CC |-> x ) ) = ( z e. CC |-> 0 ) )
55	47, 48, 49, 50, 51, 52, 54	dvmptsub 19806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) = ( z e. CC |-> ( 1 - 0 ) ) )
56	19	subid1i 9328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 1 - 0 ) = 1
57	56	mpteq2i 4252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. CC |-> ( 1 - 0 ) ) = ( z e. CC |-> 1 )
58		fconstmpt 4880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( CC X. { 1 } ) = ( z e. CC |-> 1 )
59	57, 58	eqtr4i 2427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. CC |-> ( 1 - 0 ) ) = ( CC X. { 1 } )
60	55, 59	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) = ( CC X. { 1 } ) )
61	44, 60	eleqtrrd 2481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> <. x , 1 >. e. ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) )
62		df-br 4173	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) 1 <-> <. x , 1 >. e. ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) )
63	61, 62	sylibr 204	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) 1 )
64		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
65	31, 10, 33, 10, 10, 10, 20, 20, 40, 63, 64	dvcobr 19785	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) ) ( 1 x. 1 ) )
66		1t1e1 10082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 x. 1 ) = 1
67	65, 66	syl6breq 4211	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) ) 1 )
68		eqidd 2405	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( z - x ) ) = ( z e. CC |-> ( z - x ) ) )
69	31	feqmptd 5738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> exp = ( y e. CC |-> ( exp ` y ) ) )
70		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( z - x ) -> ( exp ` y ) = ( exp ` ( z - x ) ) )
71	12, 68, 69, 70	fmptco 5860	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) = ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) )
72	71	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) ) = ( CC _D ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) )
73	72	breqd 4183	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> ( x ( CC _D ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) ) 1 <-> x ( CC _D ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) 1 ) )
74	67, 73	mpbid 202	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) 1 )
75	8, 10, 16, 10, 10, 18, 20, 29, 74, 64	dvmulbr 19778	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) o F x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) ) ( ( 0 x. ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) ) + ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) ) )
76	16, 53	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) e. CC )
77	76	mul02d 9220	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> ( 0 x. ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) ) = 0 )
78		fvex 5701	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( exp ` x ) e. _V
79	78	fvconst2 5906	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) = ( exp ` x ) )
80	79	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) = ( 1 x. ( exp ` x ) ) )
81	3	mulid2d 9062	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( 1 x. ( exp ` x ) ) = ( exp ` x ) )
82	80, 81	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) = ( exp ` x ) )
83	77, 82	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> ( ( 0 x. ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) ) + ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) ) = ( 0 + ( exp ` x ) ) )
84	3	addid2d 9223	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> ( 0 + ( exp ` x ) ) = ( exp ` x ) )
85	83, 84	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> ( ( 0 x. ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) ) + ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) ) = ( exp ` x ) )
86	75, 85	breqtrd 4196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) o F x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) ) ( exp ` x ) )
87	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> CC e. _V )
88	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` x ) e. _V )
89		fvex 5701	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( exp ` ( z - x ) ) e. _V
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` ( z - x ) ) e. _V )
91		fconstmpt 4880	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( CC X. { ( exp ` x ) } ) = ( z e. CC |-> ( exp ` x ) )
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) = ( z e. CC |-> ( exp ` x ) ) )
93		eqidd 2405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) = ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) )
94	87, 88, 90, 92, 93	offval2 6281	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) o F x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) = ( z e. CC |-> ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) ) )
95	31	feqmptd 5738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> exp = ( z e. CC |-> ( exp ` z ) ) )
96		efadd 12651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. CC /\ ( z - x ) e. CC ) -> ( exp ` ( x + ( z - x ) ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) )
97	51, 12, 96	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` ( x + ( z - x ) ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) )
98		pncan3 9269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( x + ( z - x ) ) = z )
99	98	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` ( x + ( z - x ) ) ) = ( exp ` z ) )
100	97, 99	eqtr3d 2438	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) = ( exp ` z ) )
101	100	mpteq2dva 4255	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) ) = ( z e. CC |-> ( exp ` z ) ) )
102	95, 101	eqtr4d 2439	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> exp = ( z e. CC |-> ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) ) )
103	94, 102	eqtr4d 2439	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) o F x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) = exp )
104	103	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) o F x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) ) = ( CC _D exp ) )
105	104	breqd 4183	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> ( x ( CC _D ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) o F x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) ) ( exp ` x ) <-> x ( CC _D exp ) ( exp ` x ) ) )
106	86, 105	mpbid 202	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC -> x ( CC _D exp ) ( exp ` x ) )
107		vex 2919	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
108	107, 78	breldm 5033	. . . . . . . . . . 11 |- ( x ( CC _D exp ) ( exp ` x ) -> x e. dom ( CC _D exp ) )
109	106, 108	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> x e. dom ( CC _D exp ) )
110	109	ssriv 3312	. . . . . . . . 9 |- CC C_ dom ( CC _D exp )
111	2, 110	eqssi 3324	. . . . . . . 8 |- dom ( CC _D exp ) = CC
112	111	feq2i 5545	. . . . . . 7 |- ( ( CC _D exp ) : dom ( CC _D exp ) --> CC <-> ( CC _D exp ) : CC --> CC )
113	1, 112	mpbi 200	. . . . . 6 |- ( CC _D exp ) : CC --> CC
114	113	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> ( CC _D exp ) : CC --> CC )
115	114	feqmptd 5738	. . . 4 |- ( T. -> ( CC _D exp ) = ( x e. CC |-> ( ( CC _D exp ) ` x ) ) )
116		ffun 5552	. . . . . . 7 |- ( ( CC _D exp ) : dom ( CC _D exp ) --> CC -> Fun ( CC _D exp ) )
117	1, 116	ax-mp 8	. . . . . 6 |- Fun ( CC _D exp )
118		funbrfv 5724	. . . . . 6 |- ( Fun ( CC _D exp ) -> ( x ( CC _D exp ) ( exp ` x ) -> ( ( CC _D exp ) ` x ) = ( exp ` x ) ) )
119	117, 106, 118	mpsyl 61	. . . . 5 |- ( x e. CC -> ( ( CC _D exp ) ` x ) = ( exp ` x ) )
120	119	mpteq2ia 4251	. . . 4 |- ( x e. CC |-> ( ( CC _D exp ) ` x ) ) = ( x e. CC |-> ( exp ` x ) )
121	115, 120	syl6eq 2452	. . 3 |- ( T. -> ( CC _D exp ) = ( x e. CC |-> ( exp ` x ) ) )
122	30	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> exp : CC --> CC )
123	122	feqmptd 5738	. . 3 |- ( T. -> exp = ( x e. CC |-> ( exp ` x ) ) )
124	121, 123	eqtr4d 2439	. 2 |- ( T. -> ( CC _D exp ) = exp )
125	124	trud 1329	1 |- ( CC _D exp ) = exp

Syntax hints:   /\ wa 359   T. wtru 1322   = wceq 1649   e. wcel 1721   _Vcvv 2916   C_ wss 3280   {csn 3774   {cpr 3775   <.cop 3777   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   X. cxp 4835   dom cdm 4837   o. ccom 4841   Fun wfun 5407   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   o Fcof 6262   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   - cmin 9247   expce 12619   TopOpenctopn 13604  ℂ_fldccnfld 16658   _D cdv 19703

This theorem is referenced by:  dvsincos  19818  efcn  20312  efcvx  20318  pige3  20378  dvrelog  20481  dvlog  20495  dvcxp1  20579  dvcxp2  20580  dvsef  27417  expgrowthi  27418  expgrowth  27420

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707