Theorem dvef 22809

Description: Derivative of the exponential function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvef	|- ( CC _D exp ) = exp

Proof of Theorem dvef

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfcn 22740	. . . . . . 7 |- ( CC _D exp ) : dom ( CC _D exp ) --> CC
2		dvbsss 22734	. . . . . . . . 9 |- dom ( CC _D exp ) C_ CC
3		efcl 14115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( exp ` x ) e. CC )
4		fconstg 5787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( exp ` x ) e. CC -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) : CC --> { ( exp ` x ) } )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) : CC --> { ( exp ` x ) } )
6	3	snssd 4148	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> { ( exp ` x ) } C_ CC )
7	5, 6	fssd 5755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) : CC --> CC )
8		ssid 3489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- CC C_ CC
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> CC C_ CC )
10		subcl 9873	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. CC /\ x e. CC ) -> ( z - x ) e. CC )
11	10	ancoms 454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( z - x ) e. CC )
12		efcl 14115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z - x ) e. CC -> ( exp ` ( z - x ) ) e. CC )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` ( z - x ) ) e. CC )
14		eqid 2429	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) = ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) )
15	13, 14	fmptd 6061	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) : CC --> CC )
16		0cn 9634	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. CC
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> 0 e. CC )
18		ax-1cn 9596	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. CC
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> 1 e. CC )
20	16	elexi 3097	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. _V
21	20	snid 4030	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. { 0 }
22		opelxpi 4886	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. CC /\ 0 e. { 0 } ) -> <. x , 0 >. e. ( CC X. { 0 } ) )
23	21, 22	mpan2 675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> <. x , 0 >. e. ( CC X. { 0 } ) )
24		dvconst 22748	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( exp ` x ) e. CC -> ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) = ( CC X. { 0 } ) )
25	3, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) = ( CC X. { 0 } ) )
26	23, 25	eleqtrrd 2520	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> <. x , 0 >. e. ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) )
27		df-br 4427	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) 0 <-> <. x , 0 >. e. ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) )
28	26, 27	sylibr 215	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) 0 )
29		eff 14114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- exp : CC --> CC
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> exp : CC --> CC )
31		eqid 2429	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. CC |-> ( z - x ) ) = ( z e. CC |-> ( z - x ) )
32	11, 31	fmptd 6061	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( z - x ) ) : CC --> CC )
33		oveq1 6312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = x -> ( z - x ) = ( x - x ) )
34		ovex 6333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x - x ) e. _V
35	33, 31, 34	fvmpt 5964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) = ( x - x ) )
36		subid 9892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. CC -> ( x - x ) = 0 )
37	35, 36	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) = 0 )
38		dveflem 22808	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 ( CC _D exp ) 1
39	37, 38	syl6eqbr 4463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) ( CC _D exp ) 1 )
40	18	elexi 3097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 1 e. _V
41	40	snid 4030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. { 1 }
42		opelxpi 4886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. CC /\ 1 e. { 1 } ) -> <. x , 1 >. e. ( CC X. { 1 } ) )
43	41, 42	mpan2 675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. CC -> <. x , 1 >. e. ( CC X. { 1 } ) )
44		cnelprrecn 9631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- CC e. { RR , CC }
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. CC -> CC e. { RR , CC } )
46		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> z e. CC )
47	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> 1 e. CC )
48	45	dvmptid 22788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( z e. CC |-> z ) ) = ( z e. CC |-> 1 ) )
49		simpl 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> x e. CC )
50	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> 0 e. CC )
51		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. CC -> x e. CC )
52	45, 51	dvmptc 22789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( z e. CC |-> x ) ) = ( z e. CC |-> 0 ) )
53	45, 46, 47, 48, 49, 50, 52	dvmptsub 22798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) = ( z e. CC |-> ( 1 - 0 ) ) )
54		1m0e1 10720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 1 - 0 ) = 1
55	54	mpteq2i 4509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. CC |-> ( 1 - 0 ) ) = ( z e. CC |-> 1 )
56		fconstmpt 4898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( CC X. { 1 } ) = ( z e. CC |-> 1 )
57	55, 56	eqtr4i 2461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. CC |-> ( 1 - 0 ) ) = ( CC X. { 1 } )
58	53, 57	syl6eq 2486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) = ( CC X. { 1 } ) )
59	43, 58	eleqtrrd 2520	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> <. x , 1 >. e. ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) )
60		df-br 4427	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) 1 <-> <. x , 1 >. e. ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) )
61	59, 60	sylibr 215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) 1 )
62		eqid 2429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
63	30, 9, 32, 9, 9, 9, 19, 19, 39, 61, 62	dvcobr 22777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) ) ( 1 x. 1 ) )
64		1t1e1 10757	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 x. 1 ) = 1
65	63, 64	syl6breq 4465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) ) 1 )
66		eqidd 2430	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( z - x ) ) = ( z e. CC |-> ( z - x ) ) )
67	30	feqmptd 5934	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> exp = ( y e. CC |-> ( exp ` y ) ) )
68		fveq2 5881	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( z - x ) -> ( exp ` y ) = ( exp ` ( z - x ) ) )
69	11, 66, 67, 68	fmptco 6071	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) = ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) )
70	69	oveq2d 6321	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) ) = ( CC _D ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) )
71	70	breqd 4437	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> ( x ( CC _D ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) ) 1 <-> x ( CC _D ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) 1 ) )
72	65, 71	mpbid 213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) 1 )
73	7, 9, 15, 9, 9, 17, 19, 28, 72, 62	dvmulbr 22770	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) ) ( ( 0 x. ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) ) + ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) ) )
74	15, 51	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) e. CC )
75	74	mul02d 9830	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> ( 0 x. ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) ) = 0 )
76		fvex 5891	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( exp ` x ) e. _V
77	76	fvconst2 6135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) = ( exp ` x ) )
78	77	oveq2d 6321	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) = ( 1 x. ( exp ` x ) ) )
79	3	mulid2d 9660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( 1 x. ( exp ` x ) ) = ( exp ` x ) )
80	78, 79	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) = ( exp ` x ) )
81	75, 80	oveq12d 6323	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> ( ( 0 x. ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) ) + ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) ) = ( 0 + ( exp ` x ) ) )
82	3	addid2d 9833	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> ( 0 + ( exp ` x ) ) = ( exp ` x ) )
83	81, 82	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> ( ( 0 x. ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) ) + ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) ) = ( exp ` x ) )
84	73, 83	breqtrd 4450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) ) ( exp ` x ) )
85		cnex 9619	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- CC e. _V
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> CC e. _V )
87	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` x ) e. _V )
88		fvex 5891	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( exp ` ( z - x ) ) e. _V
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` ( z - x ) ) e. _V )
90		fconstmpt 4898	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( CC X. { ( exp ` x ) } ) = ( z e. CC |-> ( exp ` x ) )
91	90	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) = ( z e. CC |-> ( exp ` x ) ) )
92		eqidd 2430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) = ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) )
93	86, 87, 89, 91, 92	offval2 6562	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) = ( z e. CC |-> ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) ) )
94	30	feqmptd 5934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> exp = ( z e. CC |-> ( exp ` z ) ) )
95		efadd 14126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. CC /\ ( z - x ) e. CC ) -> ( exp ` ( x + ( z - x ) ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) )
96	11, 95	syldan 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` ( x + ( z - x ) ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) )
97		pncan3 9882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( x + ( z - x ) ) = z )
98	97	fveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` ( x + ( z - x ) ) ) = ( exp ` z ) )
99	96, 98	eqtr3d 2472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) = ( exp ` z ) )
100	99	mpteq2dva 4512	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) ) = ( z e. CC |-> ( exp ` z ) ) )
101	94, 100	eqtr4d 2473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> exp = ( z e. CC |-> ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) ) )
102	93, 101	eqtr4d 2473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) = exp )
103	102	oveq2d 6321	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) ) = ( CC _D exp ) )
104	103	breqd 4437	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> ( x ( CC _D ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) ) ( exp ` x ) <-> x ( CC _D exp ) ( exp ` x ) ) )
105	84, 104	mpbid 213	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC -> x ( CC _D exp ) ( exp ` x ) )
106		vex 3090	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
107	106, 76	breldm 5059	. . . . . . . . . . 11 |- ( x ( CC _D exp ) ( exp ` x ) -> x e. dom ( CC _D exp ) )
108	105, 107	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> x e. dom ( CC _D exp ) )
109	108	ssriv 3474	. . . . . . . . 9 |- CC C_ dom ( CC _D exp )
110	2, 109	eqssi 3486	. . . . . . . 8 |- dom ( CC _D exp ) = CC
111	110	feq2i 5739	. . . . . . 7 |- ( ( CC _D exp ) : dom ( CC _D exp ) --> CC <-> ( CC _D exp ) : CC --> CC )
112	1, 111	mpbi 211	. . . . . 6 |- ( CC _D exp ) : CC --> CC
113	112	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> ( CC _D exp ) : CC --> CC )
114	113	feqmptd 5934	. . . 4 |- ( T. -> ( CC _D exp ) = ( x e. CC |-> ( ( CC _D exp ) ` x ) ) )
115		ffun 5748	. . . . . . 7 |- ( ( CC _D exp ) : dom ( CC _D exp ) --> CC -> Fun ( CC _D exp ) )
116	1, 115	ax-mp 5	. . . . . 6 |- Fun ( CC _D exp )
117		funbrfv 5919	. . . . . 6 |- ( Fun ( CC _D exp ) -> ( x ( CC _D exp ) ( exp ` x ) -> ( ( CC _D exp ) ` x ) = ( exp ` x ) ) )
118	116, 105, 117	mpsyl 65	. . . . 5 |- ( x e. CC -> ( ( CC _D exp ) ` x ) = ( exp ` x ) )
119	118	mpteq2ia 4508	. . . 4 |- ( x e. CC |-> ( ( CC _D exp ) ` x ) ) = ( x e. CC |-> ( exp ` x ) )
120	114, 119	syl6eq 2486	. . 3 |- ( T. -> ( CC _D exp ) = ( x e. CC |-> ( exp ` x ) ) )
121	29	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> exp : CC --> CC )
122	121	feqmptd 5934	. . 3 |- ( T. -> exp = ( x e. CC |-> ( exp ` x ) ) )
123	120, 122	eqtr4d 2473	. 2 |- ( T. -> ( CC _D exp ) = exp )
124	123	trud 1446	1 |- ( CC _D exp ) = exp

Syntax hints:   /\ wa 370   = wceq 1437   T. wtru 1438   e. wcel 1870   _Vcvv 3087   C_ wss 3442   {csn 4002   {cpr 4004   <.cop 4008   class class class wbr 4426   |-> cmpt 4484   X. cxp 4852   dom cdm 4854   o. ccom 4858   Fun wfun 5595   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   oFcof 6543   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539   + caddc 9541   x. cmul 9543   - cmin 9859   expce 14092   TopOpenctopn 15279  ℂ_fldccnfld 18905   _D cdv 22695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-ef 14099  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806  df-limc 22698  df-dv 22699

This theorem is referenced by:  dvsincos  22810  efcn  23263  efcvx  23269  pige3  23337  dvrelog  23447  dvlog  23461  dvcxp1  23545  dvcxp2  23546  dvcncxp1  23548  dvsef  36321  expgrowthi  36322  expgrowth  36324