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Theorem dvef 21294
Description: Derivative of the exponential function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvef  |-  ( CC 
_D  exp )  =  exp

Proof of Theorem dvef
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfcn 21225 . . . . . . 7  |-  ( CC 
_D  exp ) : dom  ( CC  _D  exp ) --> CC
2 dvbsss 21219 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( CC  _D  exp )  C_  CC
3 efcl 13351 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  x )  e.  CC )
4 fconstg 5585 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( exp `  x )  e.  CC  ->  ( CC  X.  { ( exp `  x ) } ) : CC --> { ( exp `  x ) } )
53, 4syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  X.  { ( exp `  x ) } ) : CC --> { ( exp `  x ) } )
63snssd 4006 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  { ( exp `  x ) }  C_  CC )
7 fss 5555 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( CC  X.  {
( exp `  x
) } ) : CC --> { ( exp `  x ) }  /\  { ( exp `  x
) }  C_  CC )  ->  ( CC  X.  { ( exp `  x
) } ) : CC --> CC )
85, 6, 7syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  X.  { ( exp `  x ) } ) : CC --> CC )
9 ssid 3363 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  CC  C_  CC
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  CC  C_  CC )
11 subcl 9597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( z  -  x
)  e.  CC )
1211ancoms 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( z  -  x
)  e.  CC )
13 efcl 13351 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  -  x )  e.  CC  ->  ( exp `  ( z  -  x ) )  e.  CC )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( exp `  (
z  -  x ) )  e.  CC )
15 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) )
1614, 15fmptd 5855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  (
z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) : CC --> CC )
17 0cn 9366 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  CC
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  0  e.  CC )
19 ax-1cn 9328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  1  e.  CC )
2117elexi 2972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  _V
2221snid 3893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  { 0 }
23 opelxpi 4858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  0  e.  { 0 } )  ->  <. x ,  0 >.  e.  ( CC  X.  { 0 } ) )
2422, 23mpan2 664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  <. x ,  0 >.  e.  ( CC  X.  { 0 } ) )
25 dvconst 21233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( exp `  x )  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( CC  X.  { ( exp `  x
) } ) )  =  ( CC  X.  { 0 } ) )
263, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( CC  X.  { ( exp `  x
) } ) )  =  ( CC  X.  { 0 } ) )
2724, 26eleqtrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  <. x ,  0 >.  e.  ( CC  _D  ( CC 
X.  { ( exp `  x ) } ) ) )
28 df-br 4281 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x ( CC  _D  ( CC  X.  { ( exp `  x ) } ) ) 0  <->  <. x ,  0 >.  e.  ( CC  _D  ( CC  X.  { ( exp `  x
) } ) ) )
2927, 28sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  ( CC  X.  { ( exp `  x ) } ) ) 0 )
30 eff 13350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  exp : CC
--> CC
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  exp : CC --> CC )
32 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) )
3312, 32fmptd 5855 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  (
z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) : CC --> CC )
34 oveq1 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  x  ->  (
z  -  x )  =  ( x  -  x ) )
35 ovex 6105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  -  x )  e. 
_V
3634, 32, 35fvmpt 5762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( z  -  x
) ) `  x
)  =  ( x  -  x ) )
37 subid 9616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  -  x )  =  0 )
3836, 37eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( z  -  x
) ) `  x
)  =  0 )
39 dveflem 21293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0
( CC  _D  exp ) 1
4038, 39syl6eqbr 4317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( z  -  x
) ) `  x
) ( CC  _D  exp ) 1 )
4119elexi 2972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  _V
4241snid 3893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  { 1 }
43 opelxpi 4858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  CC  /\  1  e.  { 1 } )  ->  <. x ,  1 >.  e.  ( CC  X.  { 1 } ) )
4442, 43mpan2 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  <. x ,  1 >.  e.  ( CC  X.  { 1 } ) )
45 cnelprrecn 9363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  CC  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
47 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  z  e.  CC )
4819a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
4946dvmptid 21273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( z  e.  CC  |->  z ) )  =  ( z  e.  CC  |->  1 ) )
50 simpl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
5117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  0  e.  CC )
52 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  CC  ->  x  e.  CC )
5346, 52dvmptc 21274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( z  e.  CC  |->  x ) )  =  ( z  e.  CC  |->  0 ) )
5446, 47, 48, 49, 50, 51, 53dvmptsub 21283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( 1  -  0 ) ) )
55 1m0e1 10420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  -  0 )  =  1
5655mpteq2i 4363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  CC  |->  ( 1  -  0 ) )  =  ( z  e.  CC  |->  1 )
57 fconstmpt 4869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( CC 
X.  { 1 } )  =  ( z  e.  CC  |->  1 )
5856, 57eqtr4i 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  CC  |->  ( 1  -  0 ) )  =  ( CC  X.  { 1 } )
5954, 58syl6eq 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) )  =  ( CC  X.  { 1 } ) )
6044, 59eleqtrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  <. x ,  1 >.  e.  ( CC  _D  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) ) )
61 df-br 4281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x ( CC  _D  (
z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) ) 1  <->  <. x ,  1 >.  e.  ( CC  _D  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) ) )
6260, 61sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  (
z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) ) 1 )
63 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
6431, 10, 33, 10, 10, 10, 20, 20, 40, 62, 63dvcobr 21262 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  ( exp  o.  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) ) ) ( 1  x.  1 ) )
65 1t1e1 10457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
6664, 65syl6breq 4319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  ( exp  o.  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) ) ) 1 )
67 eqidd 2434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  (
z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) )
6831feqmptd 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  exp  =  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y
) ) )
69 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( z  -  x )  ->  ( exp `  y )  =  ( exp `  (
z  -  x ) ) )
7012, 67, 68, 69fmptco 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp  o.  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  (
z  -  x ) ) ) )
7170oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( exp  o.  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x
) ) ) )  =  ( CC  _D  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) ) )
7271breqd 4291 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ( CC  _D  ( exp  o.  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) ) ) 1  <->  x
( CC  _D  (
z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) ) 1 ) )
7366, 72mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  (
z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) ) 1 )
748, 10, 16, 10, 10, 18, 20, 29, 73, 63dvmulbr 21255 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  (
( CC  X.  {
( exp `  x
) } )  oF  x.  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) ) ) ( ( 0  x.  ( ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) `  x ) )  +  ( 1  x.  (
( CC  X.  {
( exp `  x
) } ) `  x ) ) ) )
7516, 52ffvelrnd 5832 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) `  x )  e.  CC )
7675mul02d 9555 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0  x.  ( ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) `  x ) )  =  0 )
77 fvex 5689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( exp `  x )  e.  _V
7877fvconst2 5920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( CC  X.  {
( exp `  x
) } ) `  x )  =  ( exp `  x ) )
7978oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  x.  ( ( CC  X.  { ( exp `  x ) } ) `  x
) )  =  ( 1  x.  ( exp `  x ) ) )
803mulid2d 9392 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  x.  ( exp `  x ) )  =  ( exp `  x
) )
8179, 80eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  x.  ( ( CC  X.  { ( exp `  x ) } ) `  x
) )  =  ( exp `  x ) )
8276, 81oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( 0  x.  (
( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) `  x ) )  +  ( 1  x.  ( ( CC 
X.  { ( exp `  x ) } ) `
 x ) ) )  =  ( 0  +  ( exp `  x
) ) )
833addid2d 9558 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0  +  ( exp `  x ) )  =  ( exp `  x
) )
8482, 83eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( 0  x.  (
( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) `  x ) )  +  ( 1  x.  ( ( CC 
X.  { ( exp `  x ) } ) `
 x ) ) )  =  ( exp `  x ) )
8574, 84breqtrd 4304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  (
( CC  X.  {
( exp `  x
) } )  oF  x.  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) ) ) ( exp `  x
) )
86 cnex 9351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  CC  e.  _V
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  CC  e.  _V )
8877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( exp `  x
)  e.  _V )
89 fvex 5689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( exp `  ( z  -  x
) )  e.  _V
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( exp `  (
z  -  x ) )  e.  _V )
91 fconstmpt 4869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( CC 
X.  { ( exp `  x ) } )  =  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  x
) )
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  X.  { ( exp `  x ) } )  =  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  x
) ) )
93 eqidd 2434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  (
z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) )
9487, 88, 90, 92, 93offval2 6325 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( CC  X.  {
( exp `  x
) } )  oF  x.  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) ) )
9531feqmptd 5732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  exp  =  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  z
) ) )
96 efadd 13362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( z  -  x
)  e.  CC )  ->  ( exp `  (
x  +  ( z  -  x ) ) )  =  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  (
z  -  x ) ) ) )
9750, 12, 96syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( exp `  (
x  +  ( z  -  x ) ) )  =  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  (
z  -  x ) ) ) )
98 pncan3 9606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( x  +  ( z  -  x ) )  =  z )
9998fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( exp `  (
x  +  ( z  -  x ) ) )  =  ( exp `  z ) )
10097, 99eqtr3d 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  ( z  -  x
) ) )  =  ( exp `  z
) )
101100mpteq2dva 4366 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  (
z  e.  CC  |->  ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  z
) ) )
10295, 101eqtr4d 2468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  exp  =  ( z  e.  CC  |->  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) ) )
10394, 102eqtr4d 2468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( CC  X.  {
( exp `  x
) } )  oF  x.  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) )  =  exp )
104103oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( ( CC 
X.  { ( exp `  x ) } )  oF  x.  (
z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) ) )  =  ( CC  _D  exp ) )
105104breqd 4291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ( CC  _D  ( ( CC  X.  { ( exp `  x
) } )  oF  x.  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) ) ) ( exp `  x
)  <->  x ( CC 
_D  exp ) ( exp `  x ) ) )
10685, 105mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  exp ) ( exp `  x
) )
107 vex 2965 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
108107, 77breldm 5031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x ( CC  _D  exp ) ( exp `  x
)  ->  x  e.  dom  ( CC  _D  exp ) )
109106, 108syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  x  e.  dom  ( CC  _D  exp ) )
110109ssriv 3348 . . . . . . . . 9  |-  CC  C_  dom  ( CC  _D  exp )
1112, 110eqssi 3360 . . . . . . . 8  |-  dom  ( CC  _D  exp )  =  CC
112111feq2i 5540 . . . . . . 7  |-  ( ( CC  _D  exp ) : dom  ( CC  _D  exp ) --> CC  <->  ( CC  _D  exp ) : CC --> CC )
1131, 112mpbi 208 . . . . . 6  |-  ( CC 
_D  exp ) : CC --> CC
114113a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  exp ) : CC --> CC )
115114feqmptd 5732 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  exp )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( CC 
_D  exp ) `  x
) ) )
116 ffun 5549 . . . . . . 7  |-  ( ( CC  _D  exp ) : dom  ( CC  _D  exp ) --> CC  ->  Fun  ( CC  _D  exp )
)
1171, 116ax-mp 5 . . . . . 6  |-  Fun  ( CC  _D  exp )
118 funbrfv 5718 . . . . . 6  |-  ( Fun  ( CC  _D  exp )  ->  ( x ( CC  _D  exp )
( exp `  x
)  ->  ( ( CC  _D  exp ) `  x )  =  ( exp `  x ) ) )
119117, 106, 118mpsyl 63 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( CC  _D  exp ) `  x )  =  ( exp `  x
) )
120119mpteq2ia 4362 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  |->  ( ( CC  _D  exp ) `  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( exp `  x ) )
121115, 120syl6eq 2481 . . 3  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  exp )  =  ( x  e.  CC  |->  ( exp `  x
) ) )
12230a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  exp : CC --> CC )
123122feqmptd 5732 . . 3  |-  ( T. 
->  exp  =  ( x  e.  CC  |->  ( exp `  x ) ) )
124121, 123eqtr4d 2468 . 2  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  exp )  =  exp )
125124trud 1371 1  |-  ( CC 
_D  exp )  =  exp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1362   T. wtru 1363    e. wcel 1755   _Vcvv 2962    C_ wss 3316   {csn 3865   {cpr 3867   <.cop 3871   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338    X. cxp 4825   dom cdm 4827    o. ccom 4831   Fun wfun 5400   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080    oFcof 6307   CCcc 9268   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273    x. cmul 9275    - cmin 9583   expce 13330   TopOpenctopn 14343  ℂfldccnfld 17662    _D cdv 21180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348  ax-addf 9349  ax-mulf 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-ico 11294  df-icc 11295  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-fl 11626  df-seq 11791  df-exp 11850  df-fac 12036  df-bc 12063  df-hash 12088  df-shft 12540  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-limsup 12933  df-clim 12950  df-rlim 12951  df-sum 13148  df-ef 13336  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-starv 14236  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-ip 14239  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-unif 14244  df-hom 14245  df-cco 14246  df-rest 14344  df-topn 14345  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-topgen 14365  df-pt 14366  df-prds 14369  df-xrs 14423  df-qtop 14428  df-imas 14429  df-xps 14431  df-mre 14507  df-mrc 14508  df-acs 14510  df-mnd 15398  df-submnd 15448  df-mulg 15528  df-cntz 15815  df-cmn 16259  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-fbas 17658  df-fg 17659  df-cnfld 17663  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-topsp 18349  df-cld 18465  df-ntr 18466  df-cls 18467  df-nei 18544  df-lp 18582  df-perf 18583  df-cn 18673  df-cnp 18674  df-haus 18761  df-tx 18977  df-hmeo 19170  df-fil 19261  df-fm 19353  df-flim 19354  df-flf 19355  df-xms 19737  df-ms 19738  df-tms 19739  df-cncf 20296  df-limc 21183  df-dv 21184
This theorem is referenced by:  dvsincos  21295  efcn  21793  efcvx  21799  pige3  21864  dvrelog  21967  dvlog  21981  dvcxp1  22065  dvcxp2  22066  dvcncxp1  28321  dvsef  29451  expgrowthi  29452  expgrowth  29454
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