Theorem dvef 21584

Description: Derivative of the exponential function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvef	|- ( CC _D exp ) = exp

Proof of Theorem dvef

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfcn 21515	. . . . . . 7 |- ( CC _D exp ) : dom ( CC _D exp ) --> CC
2		dvbsss 21509	. . . . . . . . 9 |- dom ( CC _D exp ) C_ CC
3		efcl 13485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( exp ` x ) e. CC )
4		fconstg 5704	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( exp ` x ) e. CC -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) : CC --> { ( exp ` x ) } )
5	3, 4	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) : CC --> { ( exp ` x ) } )
6	3	snssd 4125	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> { ( exp ` x ) } C_ CC )
7		fss 5674	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) : CC --> { ( exp ` x ) } /\ { ( exp ` x ) } C_ CC ) -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) : CC --> CC )
8	5, 6, 7	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) : CC --> CC )
9		ssid 3482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- CC C_ CC
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> CC C_ CC )
11		subcl 9719	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. CC /\ x e. CC ) -> ( z - x ) e. CC )
12	11	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( z - x ) e. CC )
13		efcl 13485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z - x ) e. CC -> ( exp ` ( z - x ) ) e. CC )
14	12, 13	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` ( z - x ) ) e. CC )
15		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) = ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) )
16	14, 15	fmptd 5975	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) : CC --> CC )
17		0cn 9488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. CC
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> 0 e. CC )
19		ax-1cn 9450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. CC
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> 1 e. CC )
21	17	elexi 3086	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. _V
22	21	snid 4012	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. { 0 }
23		opelxpi 4978	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. CC /\ 0 e. { 0 } ) -> <. x , 0 >. e. ( CC X. { 0 } ) )
24	22, 23	mpan2 671	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> <. x , 0 >. e. ( CC X. { 0 } ) )
25		dvconst 21523	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( exp ` x ) e. CC -> ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) = ( CC X. { 0 } ) )
26	3, 25	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) = ( CC X. { 0 } ) )
27	24, 26	eleqtrrd 2545	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> <. x , 0 >. e. ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) )
28		df-br 4400	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) 0 <-> <. x , 0 >. e. ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) )
29	27, 28	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) 0 )
30		eff 13484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- exp : CC --> CC
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> exp : CC --> CC )
32		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. CC |-> ( z - x ) ) = ( z e. CC |-> ( z - x ) )
33	12, 32	fmptd 5975	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( z - x ) ) : CC --> CC )
34		oveq1 6206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = x -> ( z - x ) = ( x - x ) )
35		ovex 6224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x - x ) e. _V
36	34, 32, 35	fvmpt 5882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) = ( x - x ) )
37		subid 9738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. CC -> ( x - x ) = 0 )
38	36, 37	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) = 0 )
39		dveflem 21583	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 ( CC _D exp ) 1
40	38, 39	syl6eqbr 4436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) ( CC _D exp ) 1 )
41	19	elexi 3086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 1 e. _V
42	41	snid 4012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. { 1 }
43		opelxpi 4978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. CC /\ 1 e. { 1 } ) -> <. x , 1 >. e. ( CC X. { 1 } ) )
44	42, 43	mpan2 671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. CC -> <. x , 1 >. e. ( CC X. { 1 } ) )
45		cnelprrecn 9485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- CC e. { RR , CC }
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. CC -> CC e. { RR , CC } )
47		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> z e. CC )
48	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> 1 e. CC )
49	46	dvmptid 21563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( z e. CC |-> z ) ) = ( z e. CC |-> 1 ) )
50		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> x e. CC )
51	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> 0 e. CC )
52		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. CC -> x e. CC )
53	46, 52	dvmptc 21564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( z e. CC |-> x ) ) = ( z e. CC |-> 0 ) )
54	46, 47, 48, 49, 50, 51, 53	dvmptsub 21573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) = ( z e. CC |-> ( 1 - 0 ) ) )
55		1m0e1 10542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 1 - 0 ) = 1
56	55	mpteq2i 4482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. CC |-> ( 1 - 0 ) ) = ( z e. CC |-> 1 )
57		fconstmpt 4989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( CC X. { 1 } ) = ( z e. CC |-> 1 )
58	56, 57	eqtr4i 2486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. CC |-> ( 1 - 0 ) ) = ( CC X. { 1 } )
59	54, 58	syl6eq 2511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) = ( CC X. { 1 } ) )
60	44, 59	eleqtrrd 2545	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> <. x , 1 >. e. ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) )
61		df-br 4400	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) 1 <-> <. x , 1 >. e. ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) )
62	60, 61	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) 1 )
63		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
64	31, 10, 33, 10, 10, 10, 20, 20, 40, 62, 63	dvcobr 21552	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) ) ( 1 x. 1 ) )
65		1t1e1 10579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 x. 1 ) = 1
66	64, 65	syl6breq 4438	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) ) 1 )
67		eqidd 2455	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( z - x ) ) = ( z e. CC |-> ( z - x ) ) )
68	31	feqmptd 5852	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> exp = ( y e. CC |-> ( exp ` y ) ) )
69		fveq2 5798	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( z - x ) -> ( exp ` y ) = ( exp ` ( z - x ) ) )
70	12, 67, 68, 69	fmptco 5984	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) = ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) )
71	70	oveq2d 6215	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) ) = ( CC _D ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) )
72	71	breqd 4410	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> ( x ( CC _D ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) ) 1 <-> x ( CC _D ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) 1 ) )
73	66, 72	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) 1 )
74	8, 10, 16, 10, 10, 18, 20, 29, 73, 63	dvmulbr 21545	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) ) ( ( 0 x. ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) ) + ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) ) )
75	16, 52	ffvelrnd 5952	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) e. CC )
76	75	mul02d 9677	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> ( 0 x. ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) ) = 0 )
77		fvex 5808	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( exp ` x ) e. _V
78	77	fvconst2 6041	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) = ( exp ` x ) )
79	78	oveq2d 6215	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) = ( 1 x. ( exp ` x ) ) )
80	3	mulid2d 9514	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( 1 x. ( exp ` x ) ) = ( exp ` x ) )
81	79, 80	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) = ( exp ` x ) )
82	76, 81	oveq12d 6217	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> ( ( 0 x. ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) ) + ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) ) = ( 0 + ( exp ` x ) ) )
83	3	addid2d 9680	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> ( 0 + ( exp ` x ) ) = ( exp ` x ) )
84	82, 83	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> ( ( 0 x. ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) ) + ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) ) = ( exp ` x ) )
85	74, 84	breqtrd 4423	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) ) ( exp ` x ) )
86		cnex 9473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- CC e. _V
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> CC e. _V )
88	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` x ) e. _V )
89		fvex 5808	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( exp ` ( z - x ) ) e. _V
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` ( z - x ) ) e. _V )
91		fconstmpt 4989	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( CC X. { ( exp ` x ) } ) = ( z e. CC |-> ( exp ` x ) )
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) = ( z e. CC |-> ( exp ` x ) ) )
93		eqidd 2455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) = ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) )
94	87, 88, 90, 92, 93	offval2 6445	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) = ( z e. CC |-> ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) ) )
95	31	feqmptd 5852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> exp = ( z e. CC |-> ( exp ` z ) ) )
96		efadd 13496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. CC /\ ( z - x ) e. CC ) -> ( exp ` ( x + ( z - x ) ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) )
97	50, 12, 96	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` ( x + ( z - x ) ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) )
98		pncan3 9728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( x + ( z - x ) ) = z )
99	98	fveq2d 5802	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` ( x + ( z - x ) ) ) = ( exp ` z ) )
100	97, 99	eqtr3d 2497	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) = ( exp ` z ) )
101	100	mpteq2dva 4485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) ) = ( z e. CC |-> ( exp ` z ) ) )
102	95, 101	eqtr4d 2498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> exp = ( z e. CC |-> ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) ) )
103	94, 102	eqtr4d 2498	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) = exp )
104	103	oveq2d 6215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) ) = ( CC _D exp ) )
105	104	breqd 4410	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> ( x ( CC _D ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) ) ( exp ` x ) <-> x ( CC _D exp ) ( exp ` x ) ) )
106	85, 105	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC -> x ( CC _D exp ) ( exp ` x ) )
107		vex 3079	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
108	107, 77	breldm 5151	. . . . . . . . . . 11 |- ( x ( CC _D exp ) ( exp ` x ) -> x e. dom ( CC _D exp ) )
109	106, 108	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> x e. dom ( CC _D exp ) )
110	109	ssriv 3467	. . . . . . . . 9 |- CC C_ dom ( CC _D exp )
111	2, 110	eqssi 3479	. . . . . . . 8 |- dom ( CC _D exp ) = CC
112	111	feq2i 5659	. . . . . . 7 |- ( ( CC _D exp ) : dom ( CC _D exp ) --> CC <-> ( CC _D exp ) : CC --> CC )
113	1, 112	mpbi 208	. . . . . 6 |- ( CC _D exp ) : CC --> CC
114	113	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> ( CC _D exp ) : CC --> CC )
115	114	feqmptd 5852	. . . 4 |- ( T. -> ( CC _D exp ) = ( x e. CC |-> ( ( CC _D exp ) ` x ) ) )
116		ffun 5668	. . . . . . 7 |- ( ( CC _D exp ) : dom ( CC _D exp ) --> CC -> Fun ( CC _D exp ) )
117	1, 116	ax-mp 5	. . . . . 6 |- Fun ( CC _D exp )
118		funbrfv 5838	. . . . . 6 |- ( Fun ( CC _D exp ) -> ( x ( CC _D exp ) ( exp ` x ) -> ( ( CC _D exp ) ` x ) = ( exp ` x ) ) )
119	117, 106, 118	mpsyl 63	. . . . 5 |- ( x e. CC -> ( ( CC _D exp ) ` x ) = ( exp ` x ) )
120	119	mpteq2ia 4481	. . . 4 |- ( x e. CC |-> ( ( CC _D exp ) ` x ) ) = ( x e. CC |-> ( exp ` x ) )
121	115, 120	syl6eq 2511	. . 3 |- ( T. -> ( CC _D exp ) = ( x e. CC |-> ( exp ` x ) ) )
122	30	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> exp : CC --> CC )
123	122	feqmptd 5852	. . 3 |- ( T. -> exp = ( x e. CC |-> ( exp ` x ) ) )
124	121, 123	eqtr4d 2498	. 2 |- ( T. -> ( CC _D exp ) = exp )
125	124	trud 1379	1 |- ( CC _D exp ) = exp

Syntax hints:   /\ wa 369   = wceq 1370   T. wtru 1371   e. wcel 1758   _Vcvv 3076   C_ wss 3435   {csn 3984   {cpr 3986   <.cop 3990   class class class wbr 4399   |-> cmpt 4457   X. cxp 4945   dom cdm 4947   o. ccom 4951   Fun wfun 5519   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   oFcof 6427   CCcc 9390   RRcr 9391   0cc0 9392   1c1 9393   + caddc 9395   x. cmul 9397   - cmin 9705   expce 13464   TopOpenctopn 14478  ℂ_fldccnfld 17942   _D cdv 21470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470  ax-addf 9471  ax-mulf 9472

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-of 6429  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-supp 6800  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-2o 7030  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-pm 7326  df-ixp 7373  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-fsupp 7731  df-fi 7771  df-sup 7801  df-oi 7834  df-card 8219  df-cda 8447  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-10 10498  df-n0 10690  df-z 10757  df-dec 10866  df-uz 10972  df-q 11064  df-rp 11102  df-xneg 11199  df-xadd 11200  df-xmul 11201  df-ico 11416  df-icc 11417  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-fl 11758  df-seq 11923  df-exp 11982  df-fac 12168  df-bc 12195  df-hash 12220  df-shft 12673  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-limsup 13066  df-clim 13083  df-rlim 13084  df-sum 13281  df-ef 13470  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-starv 14371  df-sca 14372  df-vsca 14373  df-ip 14374  df-tset 14375  df-ple 14376  df-ds 14378  df-unif 14379  df-hom 14380  df-cco 14381  df-rest 14479  df-topn 14480  df-0g 14498  df-gsum 14499  df-topgen 14500  df-pt 14501  df-prds 14504  df-xrs 14558  df-qtop 14563  df-imas 14564  df-xps 14566  df-mre 14642  df-mrc 14643  df-acs 14645  df-mnd 15533  df-submnd 15583  df-mulg 15666  df-cntz 15953  df-cmn 16399  df-psmet 17933  df-xmet 17934  df-met 17935  df-bl 17936  df-mopn 17937  df-fbas 17938  df-fg 17939  df-cnfld 17943  df-top 18634  df-bases 18636  df-topon 18637  df-topsp 18638  df-cld 18754  df-ntr 18755  df-cls 18756  df-nei 18833  df-lp 18871  df-perf 18872  df-cn 18962  df-cnp 18963  df-haus 19050  df-tx 19266  df-hmeo 19459  df-fil 19550  df-fm 19642  df-flim 19643  df-flf 19644  df-xms 20026  df-ms 20027  df-tms 20028  df-cncf 20585  df-limc 21473  df-dv 21474

This theorem is referenced by:  dvsincos  21585  efcn  22040  efcvx  22046  pige3  22111  dvrelog  22214  dvlog  22228  dvcxp1  22312  dvcxp2  22313  dvcncxp1  28624  dvsef  29753  expgrowthi  29754  expgrowth  29756