Theorem dvef 23011

Description: Derivative of the exponential function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvef	|- ( CC _D exp ) = exp

Proof of Theorem dvef

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfcn 22942	. . . . . . 7 |- ( CC _D exp ) : dom ( CC _D exp ) --> CC
2		dvbsss 22936	. . . . . . . . 9 |- dom ( CC _D exp ) C_ CC
3		efcl 14214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( exp ` x ) e. CC )
4		fconstg 5783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( exp ` x ) e. CC -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) : CC --> { ( exp ` x ) } )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) : CC --> { ( exp ` x ) } )
6	3	snssd 4108	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> { ( exp ` x ) } C_ CC )
7	5, 6	fssd 5750	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) : CC --> CC )
8		ssid 3437	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- CC C_ CC
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> CC C_ CC )
10		subcl 9894	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. CC /\ x e. CC ) -> ( z - x ) e. CC )
11	10	ancoms 460	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( z - x ) e. CC )
12		efcl 14214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z - x ) e. CC -> ( exp ` ( z - x ) ) e. CC )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` ( z - x ) ) e. CC )
14		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) = ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) )
15	13, 14	fmptd 6061	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) : CC --> CC )
16		0cn 9653	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. CC
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> 0 e. CC )
18		ax-1cn 9615	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. CC
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> 1 e. CC )
20	16	elexi 3041	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. _V
21	20	snid 3988	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. { 0 }
22		opelxpi 4871	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. CC /\ 0 e. { 0 } ) -> <. x , 0 >. e. ( CC X. { 0 } ) )
23	21, 22	mpan2 685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> <. x , 0 >. e. ( CC X. { 0 } ) )
24		dvconst 22950	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( exp ` x ) e. CC -> ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) = ( CC X. { 0 } ) )
25	3, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) = ( CC X. { 0 } ) )
26	23, 25	eleqtrrd 2552	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> <. x , 0 >. e. ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) )
27		df-br 4396	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) 0 <-> <. x , 0 >. e. ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) )
28	26, 27	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) 0 )
29		eff 14213	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- exp : CC --> CC
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> exp : CC --> CC )
31		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. CC |-> ( z - x ) ) = ( z e. CC |-> ( z - x ) )
32	11, 31	fmptd 6061	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( z - x ) ) : CC --> CC )
33		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = x -> ( z - x ) = ( x - x ) )
34		ovex 6336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x - x ) e. _V
35	33, 31, 34	fvmpt 5963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) = ( x - x ) )
36		subid 9913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. CC -> ( x - x ) = 0 )
37	35, 36	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) = 0 )
38		dveflem 23010	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 ( CC _D exp ) 1
39	37, 38	syl6eqbr 4433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) ( CC _D exp ) 1 )
40	18	elexi 3041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 1 e. _V
41	40	snid 3988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. { 1 }
42		opelxpi 4871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. CC /\ 1 e. { 1 } ) -> <. x , 1 >. e. ( CC X. { 1 } ) )
43	41, 42	mpan2 685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. CC -> <. x , 1 >. e. ( CC X. { 1 } ) )
44		cnelprrecn 9650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- CC e. { RR , CC }
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. CC -> CC e. { RR , CC } )
46		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> z e. CC )
47	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> 1 e. CC )
48	45	dvmptid 22990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( z e. CC |-> z ) ) = ( z e. CC |-> 1 ) )
49		simpl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> x e. CC )
50	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> 0 e. CC )
51		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. CC -> x e. CC )
52	45, 51	dvmptc 22991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( z e. CC |-> x ) ) = ( z e. CC |-> 0 ) )
53	45, 46, 47, 48, 49, 50, 52	dvmptsub 23000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) = ( z e. CC |-> ( 1 - 0 ) ) )
54		1m0e1 10742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 1 - 0 ) = 1
55	54	mpteq2i 4479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. CC |-> ( 1 - 0 ) ) = ( z e. CC |-> 1 )
56		fconstmpt 4883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( CC X. { 1 } ) = ( z e. CC |-> 1 )
57	55, 56	eqtr4i 2496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. CC |-> ( 1 - 0 ) ) = ( CC X. { 1 } )
58	53, 57	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) = ( CC X. { 1 } ) )
59	43, 58	eleqtrrd 2552	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> <. x , 1 >. e. ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) )
60		df-br 4396	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) 1 <-> <. x , 1 >. e. ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) )
61	59, 60	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) 1 )
62		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
63	30, 9, 32, 9, 9, 9, 19, 19, 39, 61, 62	dvcobr 22979	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) ) ( 1 x. 1 ) )
64		1t1e1 10780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 x. 1 ) = 1
65	63, 64	syl6breq 4435	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) ) 1 )
66		eqidd 2472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( z - x ) ) = ( z e. CC |-> ( z - x ) ) )
67	30	feqmptd 5932	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> exp = ( y e. CC |-> ( exp ` y ) ) )
68		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( z - x ) -> ( exp ` y ) = ( exp ` ( z - x ) ) )
69	11, 66, 67, 68	fmptco 6072	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) = ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) )
70	69	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) ) = ( CC _D ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) )
71	70	breqd 4406	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> ( x ( CC _D ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) ) 1 <-> x ( CC _D ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) 1 ) )
72	65, 71	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) 1 )
73	7, 9, 15, 9, 9, 17, 19, 28, 72, 62	dvmulbr 22972	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) ) ( ( 0 x. ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) ) + ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) ) )
74	15, 51	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) e. CC )
75	74	mul02d 9849	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> ( 0 x. ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) ) = 0 )
76		fvex 5889	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( exp ` x ) e. _V
77	76	fvconst2 6136	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) = ( exp ` x ) )
78	77	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) = ( 1 x. ( exp ` x ) ) )
79	3	mulid2d 9679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( 1 x. ( exp ` x ) ) = ( exp ` x ) )
80	78, 79	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) = ( exp ` x ) )
81	75, 80	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> ( ( 0 x. ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) ) + ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) ) = ( 0 + ( exp ` x ) ) )
82	3	addid2d 9852	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> ( 0 + ( exp ` x ) ) = ( exp ` x ) )
83	81, 82	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> ( ( 0 x. ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) ) + ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) ) = ( exp ` x ) )
84	73, 83	breqtrd 4420	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) ) ( exp ` x ) )
85		cnex 9638	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- CC e. _V
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> CC e. _V )
87	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` x ) e. _V )
88		fvex 5889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( exp ` ( z - x ) ) e. _V
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` ( z - x ) ) e. _V )
90		fconstmpt 4883	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( CC X. { ( exp ` x ) } ) = ( z e. CC |-> ( exp ` x ) )
91	90	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) = ( z e. CC |-> ( exp ` x ) ) )
92		eqidd 2472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) = ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) )
93	86, 87, 89, 91, 92	offval2 6567	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) = ( z e. CC |-> ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) ) )
94	30	feqmptd 5932	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> exp = ( z e. CC |-> ( exp ` z ) ) )
95		efadd 14225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. CC /\ ( z - x ) e. CC ) -> ( exp ` ( x + ( z - x ) ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) )
96	11, 95	syldan 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` ( x + ( z - x ) ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) )
97		pncan3 9903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( x + ( z - x ) ) = z )
98	97	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` ( x + ( z - x ) ) ) = ( exp ` z ) )
99	96, 98	eqtr3d 2507	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) = ( exp ` z ) )
100	99	mpteq2dva 4482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) ) = ( z e. CC |-> ( exp ` z ) ) )
101	94, 100	eqtr4d 2508	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> exp = ( z e. CC |-> ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) ) )
102	93, 101	eqtr4d 2508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) = exp )
103	102	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) ) = ( CC _D exp ) )
104	103	breqd 4406	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> ( x ( CC _D ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) ) ( exp ` x ) <-> x ( CC _D exp ) ( exp ` x ) ) )
105	84, 104	mpbid 215	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC -> x ( CC _D exp ) ( exp ` x ) )
106		vex 3034	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
107	106, 76	breldm 5045	. . . . . . . . . . 11 |- ( x ( CC _D exp ) ( exp ` x ) -> x e. dom ( CC _D exp ) )
108	105, 107	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> x e. dom ( CC _D exp ) )
109	108	ssriv 3422	. . . . . . . . 9 |- CC C_ dom ( CC _D exp )
110	2, 109	eqssi 3434	. . . . . . . 8 |- dom ( CC _D exp ) = CC
111	110	feq2i 5731	. . . . . . 7 |- ( ( CC _D exp ) : dom ( CC _D exp ) --> CC <-> ( CC _D exp ) : CC --> CC )
112	1, 111	mpbi 213	. . . . . 6 |- ( CC _D exp ) : CC --> CC
113	112	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> ( CC _D exp ) : CC --> CC )
114	113	feqmptd 5932	. . . 4 |- ( T. -> ( CC _D exp ) = ( x e. CC |-> ( ( CC _D exp ) ` x ) ) )
115		ffun 5742	. . . . . . 7 |- ( ( CC _D exp ) : dom ( CC _D exp ) --> CC -> Fun ( CC _D exp ) )
116	1, 115	ax-mp 5	. . . . . 6 |- Fun ( CC _D exp )
117		funbrfv 5917	. . . . . 6 |- ( Fun ( CC _D exp ) -> ( x ( CC _D exp ) ( exp ` x ) -> ( ( CC _D exp ) ` x ) = ( exp ` x ) ) )
118	116, 105, 117	mpsyl 64	. . . . 5 |- ( x e. CC -> ( ( CC _D exp ) ` x ) = ( exp ` x ) )
119	118	mpteq2ia 4478	. . . 4 |- ( x e. CC |-> ( ( CC _D exp ) ` x ) ) = ( x e. CC |-> ( exp ` x ) )
120	114, 119	syl6eq 2521	. . 3 |- ( T. -> ( CC _D exp ) = ( x e. CC |-> ( exp ` x ) ) )
121	29	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> exp : CC --> CC )
122	121	feqmptd 5932	. . 3 |- ( T. -> exp = ( x e. CC |-> ( exp ` x ) ) )
123	120, 122	eqtr4d 2508	. 2 |- ( T. -> ( CC _D exp ) = exp )
124	123	trud 1461	1 |- ( CC _D exp ) = exp

Syntax hints:   /\ wa 376   = wceq 1452   T. wtru 1453   e. wcel 1904   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   {csn 3959   {cpr 3961   <.cop 3965   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   X. cxp 4837   dom cdm 4839   o. ccom 4843   Fun wfun 5583   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   oFcof 6548   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   - cmin 9880   expce 14191   TopOpenctopn 15398  ℂ_fldccnfld 19047   _D cdv 22897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901

This theorem is referenced by:  dvsincos  23012  efcn  23477  efcvx  23483  pige3  23551  dvrelog  23661  dvlog  23675  dvcxp1  23759  dvcxp2  23760  dvcncxp1  23762  dvsef  36751  expgrowthi  36752  expgrowth  36754