MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdstr Structured version   Unicode version

Theorem dvdstr 13871
Description: The divides relation is transitive. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdstr  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( K  ||  M  /\  M  ||  N )  ->  K  ||  N
) )

Proof of Theorem dvdstr
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpa 993 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )
2 3simpc 995 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
3 3simpb 994 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
4 zmulcl 10907 . . 3  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( x  x.  y
)  e.  ZZ )
54adantl 466 . 2  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( x  x.  y )  e.  ZZ )
6 oveq2 6290 . . . . 5  |-  ( ( x  x.  K )  =  M  ->  (
y  x.  ( x  x.  K ) )  =  ( y  x.  M ) )
76adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( x  x.  K
)  =  M  /\  ( y  x.  M
)  =  N )  ->  ( y  x.  ( x  x.  K
) )  =  ( y  x.  M ) )
8 eqeq2 2482 . . . . 5  |-  ( ( y  x.  M )  =  N  ->  (
( y  x.  (
x  x.  K ) )  =  ( y  x.  M )  <->  ( y  x.  ( x  x.  K
) )  =  N ) )
98adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( x  x.  K
)  =  M  /\  ( y  x.  M
)  =  N )  ->  ( ( y  x.  ( x  x.  K ) )  =  ( y  x.  M
)  <->  ( y  x.  ( x  x.  K
) )  =  N ) )
107, 9mpbid 210 . . 3  |-  ( ( ( x  x.  K
)  =  M  /\  ( y  x.  M
)  =  N )  ->  ( y  x.  ( x  x.  K
) )  =  N )
11 zcn 10865 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
12 zcn 10865 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  CC )
13 zcn 10865 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
14 mulass 9576 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  (
( x  x.  y
)  x.  K )  =  ( x  x.  ( y  x.  K
) ) )
15 mul12 9741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  (
x  x.  ( y  x.  K ) )  =  ( y  x.  ( x  x.  K
) ) )
1614, 15eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  (
( x  x.  y
)  x.  K )  =  ( y  x.  ( x  x.  K
) ) )
1711, 12, 13, 16syl3an 1270 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( x  x.  y
)  x.  K )  =  ( y  x.  ( x  x.  K
) ) )
18173comr 1204 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  (
( x  x.  y
)  x.  K )  =  ( y  x.  ( x  x.  K
) ) )
19183expb 1197 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  x.  y )  x.  K )  =  ( y  x.  (
x  x.  K ) ) )
20193ad2antl1 1158 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  x.  y )  x.  K )  =  ( y  x.  (
x  x.  K ) ) )
2120eqeq1d 2469 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( x  x.  y
)  x.  K )  =  N  <->  ( y  x.  ( x  x.  K
) )  =  N ) )
2210, 21syl5ibr 221 . 2  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( x  x.  K
)  =  M  /\  ( y  x.  M
)  =  N )  ->  ( ( x  x.  y )  x.  K )  =  N ) )
231, 2, 3, 5, 22dvds2lem 13850 1  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( K  ||  M  /\  M  ||  N )  ->  K  ||  N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6282   CCcc 9486    x. cmul 9493   ZZcz 10860    || cdivides 13840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-ltxr 9629  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-dvds 13841
This theorem is referenced by:  dvdsmultr1  13872  dvdsmultr2  13873  bitsmod  13938  dvdsgcdb  14034  dvdsmulgcd  14044  mulgcddvds  14097  rpmulgcd2  14098  exprmfct  14103  isprm5  14105  rpexp  14113  rpdvds  14117  phimullem  14161  pcpremul  14219  pcdvdsb  14244  pcdvdstr  14251  pcprmpw2  14257  pockthlem  14275  prmreclem3  14288  4sqlem8  14315  odmulg  16371  ablfac1b  16908  ablfac1eu  16911  znunit  18366  wilth  23070  muval1  23132  dvdssqf  23137  sqff1o  23181  fsumdvdsdiaglem  23184  dvdsmulf1o  23195  vmasum  23216  bposlem3  23286  lgsmod  23321  lgsquad2lem1  23358  2sqlem3  23366  2sqlem8  23372  dvdspw  28749  dvdsacongtr  30524  jm2.20nn  30543  jm2.27a  30551  jm2.27c  30553  gcddvdslcm  30808  lcmgcdeq  30816  lcmdvdsb  30817
  Copyright terms: Public domain W3C validator