MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdstr Structured version   Unicode version

Theorem dvdstr 14029
Description: The divides relation is transitive. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdstr  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( K  ||  M  /\  M  ||  N )  ->  K  ||  N
) )

Proof of Theorem dvdstr
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpa 993 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )
2 3simpc 995 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
3 3simpb 994 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
4 zmulcl 10933 . . 3  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( x  x.  y
)  e.  ZZ )
54adantl 466 . 2  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( x  x.  y )  e.  ZZ )
6 oveq2 6304 . . . . 5  |-  ( ( x  x.  K )  =  M  ->  (
y  x.  ( x  x.  K ) )  =  ( y  x.  M ) )
76adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( x  x.  K
)  =  M  /\  ( y  x.  M
)  =  N )  ->  ( y  x.  ( x  x.  K
) )  =  ( y  x.  M ) )
8 eqeq2 2472 . . . . 5  |-  ( ( y  x.  M )  =  N  ->  (
( y  x.  (
x  x.  K ) )  =  ( y  x.  M )  <->  ( y  x.  ( x  x.  K
) )  =  N ) )
98adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( x  x.  K
)  =  M  /\  ( y  x.  M
)  =  N )  ->  ( ( y  x.  ( x  x.  K ) )  =  ( y  x.  M
)  <->  ( y  x.  ( x  x.  K
) )  =  N ) )
107, 9mpbid 210 . . 3  |-  ( ( ( x  x.  K
)  =  M  /\  ( y  x.  M
)  =  N )  ->  ( y  x.  ( x  x.  K
) )  =  N )
11 zcn 10890 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
12 zcn 10890 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  CC )
13 zcn 10890 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
14 mulass 9597 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  (
( x  x.  y
)  x.  K )  =  ( x  x.  ( y  x.  K
) ) )
15 mul12 9763 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  (
x  x.  ( y  x.  K ) )  =  ( y  x.  ( x  x.  K
) ) )
1614, 15eqtrd 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  (
( x  x.  y
)  x.  K )  =  ( y  x.  ( x  x.  K
) ) )
1711, 12, 13, 16syl3an 1270 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( x  x.  y
)  x.  K )  =  ( y  x.  ( x  x.  K
) ) )
18173comr 1204 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  (
( x  x.  y
)  x.  K )  =  ( y  x.  ( x  x.  K
) ) )
19183expb 1197 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  x.  y )  x.  K )  =  ( y  x.  (
x  x.  K ) ) )
20193ad2antl1 1158 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  x.  y )  x.  K )  =  ( y  x.  (
x  x.  K ) ) )
2120eqeq1d 2459 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( x  x.  y
)  x.  K )  =  N  <->  ( y  x.  ( x  x.  K
) )  =  N ) )
2210, 21syl5ibr 221 . 2  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( x  x.  K
)  =  M  /\  ( y  x.  M
)  =  N )  ->  ( ( x  x.  y )  x.  K )  =  N ) )
231, 2, 3, 5, 22dvds2lem 14007 1  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( K  ||  M  /\  M  ||  N )  ->  K  ||  N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   class class class wbr 4456  (class class class)co 6296   CCcc 9507    x. cmul 9514   ZZcz 10885    || cdvds 13997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-ltxr 9650  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-dvds 13998
This theorem is referenced by:  dvdsmultr1  14030  dvdsmultr2  14032  bitsmod  14097  dvdsgcdb  14193  dvdsmulgcd  14203  mulgcddvds  14256  rpmulgcd2  14257  exprmfct  14262  isprm5  14264  rpexp  14272  rpdvds  14276  phimullem  14320  pcpremul  14378  pcdvdsb  14403  pcdvdstr  14410  pcprmpw2  14416  pockthlem  14434  prmreclem3  14447  4sqlem8  14474  odmulg  16704  ablfac1b  17247  ablfac1eu  17250  znunit  18728  wilth  23470  muval1  23532  dvdssqf  23537  sqff1o  23581  fsumdvdsdiaglem  23584  dvdsmulf1o  23595  vmasum  23616  bposlem3  23686  lgsmod  23721  lgsquad2lem1  23758  2sqlem3  23766  2sqlem8  23772  dvdspw  29350  dvdsacongtr  31084  jm2.20nn  31101  jm2.27a  31109  jm2.27c  31111  gcddvdslcm  31370  lcmgcdeq  31378  lcmdvdsb  31379
  Copyright terms: Public domain W3C validator