MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdssqlem Structured version   Unicode version

Theorem dvdssqlem 13748
Description: Lemma for dvdssq 13749. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdssqlem  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  ||  N  <->  ( M ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) )

Proof of Theorem dvdssqlem
StepHypRef Expression
1 nnz 10673 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
2 nnz 10673 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
3 dvdssqim 13742 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) )
41, 2, 3syl2an 477 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  ||  N  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) )
5 sqgcd 13747 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N ) ^ 2 )  =  ( ( M ^ 2 )  gcd  ( N ^ 2 ) ) )
65adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( M ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) )  ->  ( ( M  gcd  N ) ^
2 )  =  ( ( M ^ 2 )  gcd  ( N ^ 2 ) ) )
7 nnsqcl 11940 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ 2 )  e.  NN )
8 nnsqcl 11940 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N ^ 2 )  e.  NN )
9 gcdeq 13741 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M ^ 2 )  e.  NN  /\  ( N ^ 2 )  e.  NN )  -> 
( ( ( M ^ 2 )  gcd  ( N ^ 2 ) )  =  ( M ^ 2 )  <-> 
( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) )
107, 8, 9syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M ^ 2 )  gcd  ( N ^ 2 ) )  =  ( M ^ 2 )  <-> 
( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) )
1110biimpar 485 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( M ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) )  ->  ( ( M ^ 2 )  gcd  ( N ^ 2 ) )  =  ( M ^ 2 ) )
126, 11eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( M ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) )  ->  ( ( M  gcd  N ) ^
2 )  =  ( M ^ 2 ) )
13 gcdcl 13706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N
)  e.  NN0 )
141, 2, 13syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  e.  NN0 )
1514nn0red 10642 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  e.  RR )
1614nn0ge0d 10644 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( M  gcd  N ) )
17 nnre 10334 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
1817adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  M  e.  RR )
19 nnnn0 10591 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
2019nn0ge0d 10644 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  0  <_  M )
2120adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  M )
22 sq11 11943 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  gcd  N )  e.  RR  /\  0  <_  ( M  gcd  N ) )  /\  ( M  e.  RR  /\  0  <_  M ) )  -> 
( ( ( M  gcd  N ) ^
2 )  =  ( M ^ 2 )  <-> 
( M  gcd  N
)  =  M ) )
2315, 16, 18, 21, 22syl22anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  gcd  N ) ^
2 )  =  ( M ^ 2 )  <-> 
( M  gcd  N
)  =  M ) )
2423adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( M ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) )  ->  ( ( ( M  gcd  N ) ^ 2 )  =  ( M ^ 2 )  <->  ( M  gcd  N )  =  M ) )
2512, 24mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( M ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) )  ->  ( M  gcd  N )  =  M )
26 gcddvds 13704 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  /\  ( M  gcd  N ) 
||  N ) )
271, 2, 26syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  /\  ( M  gcd  N ) 
||  N ) )
2827adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( M ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  /\  ( M  gcd  N )  ||  N ) )
2928simprd 463 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( M ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) )  ->  ( M  gcd  N )  ||  N )
3025, 29eqbrtrrd 4319 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( M ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) )  ->  M  ||  N
)
3130ex 434 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M ^
2 )  ||  ( N ^ 2 )  ->  M  ||  N ) )
324, 31impbid 191 1  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  ||  N  <->  ( M ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4297  (class class class)co 6096   RRcr 9286   0cc0 9287    <_ cle 9424   NNcn 10327   2c2 10376   NN0cn0 10584   ZZcz 10651   ^cexp 11870    || cdivides 13540    gcd cgcd 13695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-rp 10997  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-dvds 13541  df-gcd 13696
This theorem is referenced by:  dvdssq  13749  muval1  22476
  Copyright terms: Public domain W3C validator