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Theorem dvdsrtr 17173
Description: Divisibility is transitive. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsr.1  |-  B  =  ( Base `  R
)
dvdsr.2  |-  .||  =  (
||r `  R )
Assertion
Ref Expression
dvdsrtr  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  .|| 
Z  /\  Z  .||  X )  ->  Y  .||  X )

Proof of Theorem dvdsrtr
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsr.1 . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 dvdsr.2 . . . . . 6  |-  .||  =  (
||r `  R )
3 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
41, 2, 3dvdsr 17167 . . . . 5  |-  ( Y 
.||  Z  <->  ( Y  e.  B  /\  E. y  e.  B  ( y
( .r `  R
) Y )  =  Z ) )
51, 2, 3dvdsr 17167 . . . . 5  |-  ( Z 
.||  X  <->  ( Z  e.  B  /\  E. x  e.  B  ( x
( .r `  R
) Z )  =  X ) )
64, 5anbi12i 697 . . . 4  |-  ( ( Y  .||  Z  /\  Z  .||  X )  <->  ( ( Y  e.  B  /\  E. y  e.  B  ( y ( .r `  R ) Y )  =  Z )  /\  ( Z  e.  B  /\  E. x  e.  B  ( x ( .r
`  R ) Z )  =  X ) ) )
7 an4 822 . . . 4  |-  ( ( ( Y  e.  B  /\  E. y  e.  B  ( y ( .r
`  R ) Y )  =  Z )  /\  ( Z  e.  B  /\  E. x  e.  B  ( x
( .r `  R
) Z )  =  X ) )  <->  ( ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( E. y  e.  B  ( y ( .r `  R ) Y )  =  Z  /\  E. x  e.  B  ( x ( .r `  R ) Z )  =  X ) ) )
86, 7bitri 249 . . 3  |-  ( ( Y  .||  Z  /\  Z  .||  X )  <->  ( ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( E. y  e.  B  ( y ( .r `  R ) Y )  =  Z  /\  E. x  e.  B  ( x ( .r `  R ) Z )  =  X ) ) )
9 reeanv 3034 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  B  E. x  e.  B  (
( y ( .r
`  R ) Y )  =  Z  /\  ( x ( .r
`  R ) Z )  =  X )  <-> 
( E. y  e.  B  ( y ( .r `  R ) Y )  =  Z  /\  E. x  e.  B  ( x ( .r `  R ) Z )  =  X ) )
10 simplrl 759 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  B )
)  ->  Y  e.  B )
11 simpll 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  B )
)  ->  R  e.  Ring )
12 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  B )
)  ->  x  e.  B )
13 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  B )
)  ->  y  e.  B )
141, 3ringcl 17084 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
x ( .r `  R ) y )  e.  B )
1511, 12, 13, 14syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  B )
)  ->  ( x
( .r `  R
) y )  e.  B )
161, 2, 3dvdsrmul 17169 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  B  /\  ( x ( .r
`  R ) y )  e.  B )  ->  Y  .||  ( ( x ( .r `  R ) y ) ( .r `  R
) Y ) )
1710, 15, 16syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  B )
)  ->  Y  .||  ( ( x ( .r `  R ) y ) ( .r `  R
) Y ) )
181, 3ringass 17087 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( (
x ( .r `  R ) y ) ( .r `  R
) Y )  =  ( x ( .r
`  R ) ( y ( .r `  R ) Y ) ) )
1911, 12, 13, 10, 18syl13anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  B )
)  ->  ( (
x ( .r `  R ) y ) ( .r `  R
) Y )  =  ( x ( .r
`  R ) ( y ( .r `  R ) Y ) ) )
2017, 19breqtrd 4477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  B )
)  ->  Y  .||  ( x ( .r `  R
) ( y ( .r `  R ) Y ) ) )
21 oveq2 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y ( .r `  R ) Y )  =  Z  ->  (
x ( .r `  R ) ( y ( .r `  R
) Y ) )  =  ( x ( .r `  R ) Z ) )
22 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x ( .r `  R ) Z )  =  X  ->  (
x ( .r `  R ) Z )  =  X )
2321, 22sylan9eq 2528 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y ( .r
`  R ) Y )  =  Z  /\  ( x ( .r
`  R ) Z )  =  X )  ->  ( x ( .r `  R ) ( y ( .r
`  R ) Y ) )  =  X )
2423breq2d 4465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y ( .r
`  R ) Y )  =  Z  /\  ( x ( .r
`  R ) Z )  =  X )  ->  ( Y  .||  ( x ( .r
`  R ) ( y ( .r `  R ) Y ) )  <->  Y  .||  X ) )
2520, 24syl5ibcom 220 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  B )
)  ->  ( (
( y ( .r
`  R ) Y )  =  Z  /\  ( x ( .r
`  R ) Z )  =  X )  ->  Y  .||  X ) )
2625rexlimdvva 2966 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( E. y  e.  B  E. x  e.  B  (
( y ( .r
`  R ) Y )  =  Z  /\  ( x ( .r
`  R ) Z )  =  X )  ->  Y  .||  X ) )
279, 26syl5bir 218 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( E. y  e.  B  ( y ( .r
`  R ) Y )  =  Z  /\  E. x  e.  B  ( x ( .r `  R ) Z )  =  X )  ->  Y  .||  X ) )
2827expimpd 603 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( E. y  e.  B  (
y ( .r `  R ) Y )  =  Z  /\  E. x  e.  B  (
x ( .r `  R ) Z )  =  X ) )  ->  Y  .||  X ) )
298, 28syl5bi 217 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( Y  .||  Z  /\  Z  .||  X )  ->  Y  .||  X ) )
30293impib 1194 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  .|| 
Z  /\  Z  .||  X )  ->  Y  .||  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2818   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   .rcmulr 14573   Ringcrg 17070   ||rcdsr 17159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-plusg 14585  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mgp 17014  df-ring 17072  df-dvdsr 17162
This theorem is referenced by:  dvdsunit  17184  unitmulcl  17185  unitnegcl  17202
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