MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsrmul1 Unicode version

Theorem dvdsrmul1 15713
Description: The divisibility relation is preserved under right-multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsr.1  |-  B  =  ( Base `  R
)
dvdsr.2  |-  .||  =  (
||r `  R )
dvdsrmul1.3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
dvdsrmul1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Z  e.  B  /\  X  .||  Y )  ->  ( X  .x.  Z )  .||  ( Y  .x.  Z ) )

Proof of Theorem dvdsrmul1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsr.1 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 dvdsr.2 . . . 4  |-  .||  =  (
||r `  R )
3 dvdsrmul1.3 . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
41, 2, 3dvdsr 15706 . . 3  |-  ( X 
.||  Y  <->  ( X  e.  B  /\  E. x  e.  B  ( x  .x.  X )  =  Y ) )
5 simplll 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  Z  e.  B
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
6 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  Z  e.  B
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B )  ->  X  e.  B )
7 simpllr 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  Z  e.  B
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B )  ->  Z  e.  B )
81, 3rngcl 15632 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( X  .x.  Z )  e.  B )
95, 6, 7, 8syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  Z  e.  B
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( X  .x.  Z )  e.  B )
101, 2, 3dvdsrmul 15708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  .x.  Z
)  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  ( X  .x.  Z
)  .||  ( x  .x.  ( X  .x.  Z ) ) )
119, 10sylancom 649 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  Z  e.  B
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( X  .x.  Z )  .||  ( x  .x.  ( X 
.x.  Z ) ) )
12 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  Z  e.  B
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
131, 3rngass 15635 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( (
x  .x.  X )  .x.  Z )  =  ( x  .x.  ( X 
.x.  Z ) ) )
145, 12, 6, 7, 13syl13anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  Z  e.  B
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B )  ->  (
( x  .x.  X
)  .x.  Z )  =  ( x  .x.  ( X  .x.  Z ) ) )
1511, 14breqtrrd 4198 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  Z  e.  B
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( X  .x.  Z )  .||  ( ( x  .x.  X )  .x.  Z
) )
16 oveq1 6047 . . . . . . 7  |-  ( ( x  .x.  X )  =  Y  ->  (
( x  .x.  X
)  .x.  Z )  =  ( Y  .x.  Z ) )
1716breq2d 4184 . . . . . 6  |-  ( ( x  .x.  X )  =  Y  ->  (
( X  .x.  Z
)  .||  ( ( x 
.x.  X )  .x.  Z )  <->  ( X  .x.  Z )  .||  ( Y 
.x.  Z ) ) )
1815, 17syl5ibcom 212 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  Z  e.  B
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B )  ->  (
( x  .x.  X
)  =  Y  -> 
( X  .x.  Z
)  .||  ( Y  .x.  Z ) ) )
1918rexlimdva 2790 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Z  e.  B )  /\  X  e.  B
)  ->  ( E. x  e.  B  (
x  .x.  X )  =  Y  ->  ( X 
.x.  Z )  .||  ( Y  .x.  Z ) ) )
2019expimpd 587 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Z  e.  B )  ->  (
( X  e.  B  /\  E. x  e.  B  ( x  .x.  X )  =  Y )  -> 
( X  .x.  Z
)  .||  ( Y  .x.  Z ) ) )
214, 20syl5bi 209 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Z  e.  B )  ->  ( X  .||  Y  ->  ( X  .x.  Z )  .||  ( Y  .x.  Z ) ) )
22213impia 1150 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Z  e.  B  /\  X  .||  Y )  ->  ( X  .x.  Z )  .||  ( Y  .x.  Z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2667   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   .rcmulr 13485   Ringcrg 15615   ||rcdsr 15698
This theorem is referenced by:  unitmulcl  15724
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-plusg 13497  df-mnd 14645  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-dvdsr 15701
  Copyright terms: Public domain W3C validator