MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsrmul Structured version   Unicode version

Theorem dvdsrmul 17169
Description: A left-multiple of  X is divisible by  X. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsr.1  |-  B  =  ( Base `  R
)
dvdsr.2  |-  .||  =  (
||r `  R )
dvdsr.3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
dvdsrmul  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  .||  ( Y  .x.  X ) )

Proof of Theorem dvdsrmul
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . 2  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
2 simpr 461 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
3 eqid 2467 . . 3  |-  ( Y 
.x.  X )  =  ( Y  .x.  X
)
4 oveq1 6302 . . . . 5  |-  ( z  =  Y  ->  (
z  .x.  X )  =  ( Y  .x.  X ) )
54eqeq1d 2469 . . . 4  |-  ( z  =  Y  ->  (
( z  .x.  X
)  =  ( Y 
.x.  X )  <->  ( Y  .x.  X )  =  ( Y  .x.  X ) ) )
65rspcev 3219 . . 3  |-  ( ( Y  e.  B  /\  ( Y  .x.  X )  =  ( Y  .x.  X ) )  ->  E. z  e.  B  ( z  .x.  X
)  =  ( Y 
.x.  X ) )
72, 3, 6sylancl 662 . 2  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  E. z  e.  B  ( z  .x.  X
)  =  ( Y 
.x.  X ) )
8 dvdsr.1 . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
9 dvdsr.2 . . 3  |-  .||  =  (
||r `  R )
10 dvdsr.3 . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
118, 9, 10dvdsr 17167 . 2  |-  ( X 
.||  ( Y  .x.  X )  <->  ( X  e.  B  /\  E. z  e.  B  ( z  .x.  X )  =  ( Y  .x.  X ) ) )
121, 7, 11sylanbrc 664 1  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  .||  ( Y  .x.  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2818   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   .rcmulr 14573   ||rcdsr 17159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-dvdsr 17162
This theorem is referenced by:  dvdsrid  17172  dvdsrtr  17173  dvdsrmul1  17174  dvdsrneg  17175  unitmulclb  17186  unitgrp  17188  isdrng2  17277  subrguss  17315  subrgunit  17318  fidomndrnglem  17825  invrvald  19047  dvdsq1p  22429
  Copyright terms: Public domain W3C validator