MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsrmul Structured version   Unicode version

Theorem dvdsrmul 16674
Description: A left-multiple of  X is divisible by  X. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsr.1  |-  B  =  ( Base `  R
)
dvdsr.2  |-  .||  =  (
||r `  R )
dvdsr.3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
dvdsrmul  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  .||  ( Y  .x.  X ) )

Proof of Theorem dvdsrmul
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 454 . 2  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
2 simpr 458 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
3 eqid 2433 . . 3  |-  ( Y 
.x.  X )  =  ( Y  .x.  X
)
4 oveq1 6087 . . . . 5  |-  ( z  =  Y  ->  (
z  .x.  X )  =  ( Y  .x.  X ) )
54eqeq1d 2441 . . . 4  |-  ( z  =  Y  ->  (
( z  .x.  X
)  =  ( Y 
.x.  X )  <->  ( Y  .x.  X )  =  ( Y  .x.  X ) ) )
65rspcev 3062 . . 3  |-  ( ( Y  e.  B  /\  ( Y  .x.  X )  =  ( Y  .x.  X ) )  ->  E. z  e.  B  ( z  .x.  X
)  =  ( Y 
.x.  X ) )
72, 3, 6sylancl 655 . 2  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  E. z  e.  B  ( z  .x.  X
)  =  ( Y 
.x.  X ) )
8 dvdsr.1 . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
9 dvdsr.2 . . 3  |-  .||  =  (
||r `  R )
10 dvdsr.3 . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
118, 9, 10dvdsr 16672 . 2  |-  ( X 
.||  ( Y  .x.  X )  <->  ( X  e.  B  /\  E. z  e.  B  ( z  .x.  X )  =  ( Y  .x.  X ) ) )
121, 7, 11sylanbrc 657 1  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  .||  ( Y  .x.  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   E.wrex 2706   class class class wbr 4280   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   Basecbs 14157   .rcmulr 14222   ||rcdsr 16664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-dvdsr 16667
This theorem is referenced by:  dvdsrid  16677  dvdsrtr  16678  dvdsrmul1  16679  dvdsrneg  16680  unitmulclb  16691  unitgrp  16693  isdrng2  16766  subrguss  16804  subrgunit  16807  fidomndrnglem  17300  invrvald  18324  dvdsq1p  21517
  Copyright terms: Public domain W3C validator