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Theorem dvdsrabdioph 35085
Description: Divisibility is a Diophantine relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdsrabdioph  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  ||  B }  e.  (Dioph `  N
) )
Distinct variable group:    t, N
Allowed substitution hints:    A( t)    B( t)

Proof of Theorem dvdsrabdioph
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rabdiophlem1 35076 . . . 4  |-  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  ->  A. t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) ) A  e.  ZZ )
2 rabdiophlem1 35076 . . . 4  |-  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  ->  A. t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) ) B  e.  ZZ )
3 divides 14195 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  B  <->  E. a  e.  ZZ  (
a  x.  A )  =  B ) )
4 oveq1 6284 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  (
a  x.  A )  =  ( b  x.  A ) )
54eqeq1d 2404 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  (
( a  x.  A
)  =  B  <->  ( b  x.  A )  =  B ) )
6 oveq1 6284 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  -u b  ->  (
a  x.  A )  =  ( -u b  x.  A ) )
76eqeq1d 2404 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  -u b  ->  (
( a  x.  A
)  =  B  <->  ( -u b  x.  A )  =  B ) )
85, 7rexzrexnn0 35079 . . . . . . 7  |-  ( E. a  e.  ZZ  (
a  x.  A )  =  B  <->  E. b  e.  NN0  ( ( b  x.  A )  =  B  \/  ( -u b  x.  A )  =  B ) )
93, 8syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  B  <->  E. b  e.  NN0  (
( b  x.  A
)  =  B  \/  ( -u b  x.  A
)  =  B ) ) )
109ralimi 2796 . . . . 5  |-  ( A. t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  A. t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) ) ( A  ||  B  <->  E. b  e.  NN0  (
( b  x.  A
)  =  B  \/  ( -u b  x.  A
)  =  B ) ) )
11 r19.26 2933 . . . . 5  |-  ( A. t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  <->  ( A. t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) A  e.  ZZ  /\  A. t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) ) B  e.  ZZ ) )
12 rabbi 2985 . . . . 5  |-  ( A. t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) ( A 
||  B  <->  E. b  e.  NN0  ( ( b  x.  A )  =  B  \/  ( -u b  x.  A )  =  B ) )  <->  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  A  ||  B }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. b  e. 
NN0  ( ( b  x.  A )  =  B  \/  ( -u b  x.  A )  =  B ) } )
1310, 11, 123imtr3i 265 . . . 4  |-  ( ( A. t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) A  e.  ZZ  /\  A. t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) ) B  e.  ZZ )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  ||  B }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. b  e. 
NN0  ( ( b  x.  A )  =  B  \/  ( -u b  x.  A )  =  B ) } )
141, 2, 13syl2an 475 . . 3  |-  ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  ||  B }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. b  e. 
NN0  ( ( b  x.  A )  =  B  \/  ( -u b  x.  A )  =  B ) } )
15143adant1 1015 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  ||  B }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. b  e. 
NN0  ( ( b  x.  A )  =  B  \/  ( -u b  x.  A )  =  B ) } )
16 nfcv 2564 . . . 4  |-  F/_ t
( NN0  ^m  (
1 ... N ) )
17 nfcv 2564 . . . 4  |-  F/_ a
( NN0  ^m  (
1 ... N ) )
18 nfv 1728 . . . 4  |-  F/ a E. b  e.  NN0  ( ( b  x.  A )  =  B  \/  ( -u b  x.  A )  =  B )
19 nfcv 2564 . . . . 5  |-  F/_ t NN0
20 nfcv 2564 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
b
21 nfcv 2564 . . . . . . . 8  |-  F/_ t  x.
22 nfcsb1v 3388 . . . . . . . 8  |-  F/_ t [_ a  /  t ]_ A
2320, 21, 22nfov 6303 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( b  x.  [_ a  /  t ]_ A
)
24 nfcsb1v 3388 . . . . . . 7  |-  F/_ t [_ a  /  t ]_ B
2523, 24nfeq 2575 . . . . . 6  |-  F/ t ( b  x.  [_ a  /  t ]_ A
)  =  [_ a  /  t ]_ B
26 nfcv 2564 . . . . . . . 8  |-  F/_ t -u b
2726, 21, 22nfov 6303 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( -u b  x.  [_ a  /  t ]_ A
)
2827, 24nfeq 2575 . . . . . 6  |-  F/ t ( -u b  x. 
[_ a  /  t ]_ A )  =  [_ a  /  t ]_ B
2925, 28nfor 1963 . . . . 5  |-  F/ t ( ( b  x. 
[_ a  /  t ]_ A )  =  [_ a  /  t ]_ B  \/  ( -u b  x. 
[_ a  /  t ]_ A )  =  [_ a  /  t ]_ B
)
3019, 29nfrex 2866 . . . 4  |-  F/ t E. b  e.  NN0  ( ( b  x. 
[_ a  /  t ]_ A )  =  [_ a  /  t ]_ B  \/  ( -u b  x. 
[_ a  /  t ]_ A )  =  [_ a  /  t ]_ B
)
31 csbeq1a 3381 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  a  ->  A  =  [_ a  /  t ]_ A )
3231oveq2d 6293 . . . . . . 7  |-  ( t  =  a  ->  (
b  x.  A )  =  ( b  x. 
[_ a  /  t ]_ A ) )
33 csbeq1a 3381 . . . . . . 7  |-  ( t  =  a  ->  B  =  [_ a  /  t ]_ B )
3432, 33eqeq12d 2424 . . . . . 6  |-  ( t  =  a  ->  (
( b  x.  A
)  =  B  <->  ( b  x.  [_ a  /  t ]_ A )  =  [_ a  /  t ]_ B
) )
3531oveq2d 6293 . . . . . . 7  |-  ( t  =  a  ->  ( -u b  x.  A )  =  ( -u b  x.  [_ a  /  t ]_ A ) )
3635, 33eqeq12d 2424 . . . . . 6  |-  ( t  =  a  ->  (
( -u b  x.  A
)  =  B  <->  ( -u b  x.  [_ a  /  t ]_ A )  =  [_ a  /  t ]_ B
) )
3734, 36orbi12d 708 . . . . 5  |-  ( t  =  a  ->  (
( ( b  x.  A )  =  B  \/  ( -u b  x.  A )  =  B )  <->  ( ( b  x.  [_ a  / 
t ]_ A )  = 
[_ a  /  t ]_ B  \/  ( -u b  x.  [_ a  /  t ]_ A
)  =  [_ a  /  t ]_ B
) ) )
3837rexbidv 2917 . . . 4  |-  ( t  =  a  ->  ( E. b  e.  NN0  ( ( b  x.  A )  =  B  \/  ( -u b  x.  A )  =  B )  <->  E. b  e.  NN0  ( ( b  x. 
[_ a  /  t ]_ A )  =  [_ a  /  t ]_ B  \/  ( -u b  x. 
[_ a  /  t ]_ A )  =  [_ a  /  t ]_ B
) ) )
3916, 17, 18, 30, 38cbvrab 3056 . . 3  |-  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  E. b  e.  NN0  ( ( b  x.  A )  =  B  \/  ( -u b  x.  A )  =  B ) }  =  { a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. b  e. 
NN0  ( ( b  x.  [_ a  / 
t ]_ A )  = 
[_ a  /  t ]_ B  \/  ( -u b  x.  [_ a  /  t ]_ A
)  =  [_ a  /  t ]_ B
) }
40 simp1 997 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  N  e.  NN0 )
41 peano2nn0 10876 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
42413ad2ant1 1018 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( N  +  1 )  e.  NN0 )
43 ovex 6305 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  e. 
_V
44 nn0p1nn 10875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
45 elfz1end 11767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  <->  ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
4644, 45sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
47 mzpproj 35011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... ( N  +  1 ) )  e.  _V  /\  ( N  +  1
)  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( c  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) ) 
|->  ( c `  ( N  +  1 ) ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
4843, 46, 47sylancr 661 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  |->  ( c `
 ( N  + 
1 ) ) )  e.  (mzPoly `  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )
4948adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) 
|->  ( c `  ( N  +  1 ) ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
50 eqid 2402 . . . . . . . . 9  |-  ( N  +  1 )  =  ( N  +  1 )
5150rabdiophlem2 35077 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) 
|->  [_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
52 mzpmulmpt 35016 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) 
|->  ( c `  ( N  +  1 ) ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  (
c  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  |->  [_ ( c  |`  (
1 ... N ) )  /  t ]_ A
)  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )  -> 
( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) 
|->  ( ( c `  ( N  +  1
) )  x.  [_ ( c  |`  (
1 ... N ) )  /  t ]_ A
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
5349, 51, 52syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) 
|->  ( ( c `  ( N  +  1
) )  x.  [_ ( c  |`  (
1 ... N ) )  /  t ]_ A
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
54533adant3 1017 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) 
|->  ( ( c `  ( N  +  1
) )  x.  [_ ( c  |`  (
1 ... N ) )  /  t ]_ A
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
5550rabdiophlem2 35077 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) 
|->  [_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
56553adant2 1016 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) 
|->  [_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
57 eqrabdioph 35052 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) 
|->  ( ( c `  ( N  +  1
) )  x.  [_ ( c  |`  (
1 ... N ) )  /  t ]_ A
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  (
c  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  |->  [_ ( c  |`  (
1 ... N ) )  /  t ]_ B
)  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  |  ( ( c `
 ( N  + 
1 ) )  x. 
[_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ A )  =  [_ ( c  |`  (
1 ... N ) )  /  t ]_ B }  e.  (Dioph `  ( N  +  1 ) ) )
5842, 54, 56, 57syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  |  ( ( c `
 ( N  + 
1 ) )  x. 
[_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ A )  =  [_ ( c  |`  (
1 ... N ) )  /  t ]_ B }  e.  (Dioph `  ( N  +  1 ) ) )
59 mzpnegmpt 35018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  |->  ( c `  ( N  +  1 ) ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
c  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  |->  -u ( c `  ( N  +  1 ) ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
6049, 59syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) 
|->  -u ( c `  ( N  +  1
) ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
61 mzpmulmpt 35016 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) 
|->  -u ( c `  ( N  +  1
) ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) 
|->  [_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )  -> 
( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) 
|->  ( -u ( c `
 ( N  + 
1 ) )  x. 
[_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ A ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
6260, 51, 61syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) 
|->  ( -u ( c `
 ( N  + 
1 ) )  x. 
[_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ A ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
63623adant3 1017 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) 
|->  ( -u ( c `
 ( N  + 
1 ) )  x. 
[_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ A ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
64 eqrabdioph 35052 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) 
|->  ( -u ( c `
 ( N  + 
1 ) )  x. 
[_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ A ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) 
|->  [_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  |  ( -u (
c `  ( N  +  1 ) )  x.  [_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ A )  =  [_ ( c  |`  (
1 ... N ) )  /  t ]_ B }  e.  (Dioph `  ( N  +  1 ) ) )
6542, 63, 56, 64syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  |  ( -u (
c `  ( N  +  1 ) )  x.  [_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ A )  =  [_ ( c  |`  (
1 ... N ) )  /  t ]_ B }  e.  (Dioph `  ( N  +  1 ) ) )
66 orrabdioph 35056 . . . . 5  |-  ( ( { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  |  ( ( c `
 ( N  + 
1 ) )  x. 
[_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ A )  =  [_ ( c  |`  (
1 ... N ) )  /  t ]_ B }  e.  (Dioph `  ( N  +  1 ) )  /\  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  |  (
-u ( c `  ( N  +  1
) )  x.  [_ ( c  |`  (
1 ... N ) )  /  t ]_ A
)  =  [_ (
c  |`  ( 1 ... N ) )  / 
t ]_ B }  e.  (Dioph `  ( N  + 
1 ) ) )  ->  { c  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) )  |  ( ( ( c `  ( N  +  1 ) )  x.  [_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ A )  =  [_ ( c  |`  (
1 ... N ) )  /  t ]_ B  \/  ( -u ( c `
 ( N  + 
1 ) )  x. 
[_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ A )  =  [_ ( c  |`  (
1 ... N ) )  /  t ]_ B
) }  e.  (Dioph `  ( N  +  1 ) ) )
6758, 65, 66syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  |  ( ( ( c `  ( N  +  1 ) )  x.  [_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ A )  =  [_ ( c  |`  (
1 ... N ) )  /  t ]_ B  \/  ( -u ( c `
 ( N  + 
1 ) )  x. 
[_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ A )  =  [_ ( c  |`  (
1 ... N ) )  /  t ]_ B
) }  e.  (Dioph `  ( N  +  1 ) ) )
68 oveq1 6284 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( c `  ( N  +  1
) )  ->  (
b  x.  [_ a  /  t ]_ A
)  =  ( ( c `  ( N  +  1 ) )  x.  [_ a  / 
t ]_ A ) )
6968eqeq1d 2404 . . . . . 6  |-  ( b  =  ( c `  ( N  +  1
) )  ->  (
( b  x.  [_ a  /  t ]_ A
)  =  [_ a  /  t ]_ B  <->  ( ( c `  ( N  +  1 ) )  x.  [_ a  /  t ]_ A
)  =  [_ a  /  t ]_ B
) )
70 negeq 9847 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( c `  ( N  +  1
) )  ->  -u b  =  -u ( c `  ( N  +  1
) ) )
7170oveq1d 6292 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( c `  ( N  +  1
) )  ->  ( -u b  x.  [_ a  /  t ]_ A
)  =  ( -u ( c `  ( N  +  1 ) )  x.  [_ a  /  t ]_ A
) )
7271eqeq1d 2404 . . . . . 6  |-  ( b  =  ( c `  ( N  +  1
) )  ->  (
( -u b  x.  [_ a  /  t ]_ A
)  =  [_ a  /  t ]_ B  <->  (
-u ( c `  ( N  +  1
) )  x.  [_ a  /  t ]_ A
)  =  [_ a  /  t ]_ B
) )
7369, 72orbi12d 708 . . . . 5  |-  ( b  =  ( c `  ( N  +  1
) )  ->  (
( ( b  x. 
[_ a  /  t ]_ A )  =  [_ a  /  t ]_ B  \/  ( -u b  x. 
[_ a  /  t ]_ A )  =  [_ a  /  t ]_ B
)  <->  ( ( ( c `  ( N  +  1 ) )  x.  [_ a  / 
t ]_ A )  = 
[_ a  /  t ]_ B  \/  ( -u ( c `  ( N  +  1 ) )  x.  [_ a  /  t ]_ A
)  =  [_ a  /  t ]_ B
) ) )
74 csbeq1 3375 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... N
) )  ->  [_ a  /  t ]_ A  =  [_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ A )
7574oveq2d 6293 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... N
) )  ->  (
( c `  ( N  +  1 ) )  x.  [_ a  /  t ]_ A
)  =  ( ( c `  ( N  +  1 ) )  x.  [_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ A ) )
76 csbeq1 3375 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... N
) )  ->  [_ a  /  t ]_ B  =  [_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ B )
7775, 76eqeq12d 2424 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( c `  ( N  +  1
) )  x.  [_ a  /  t ]_ A
)  =  [_ a  /  t ]_ B  <->  ( ( c `  ( N  +  1 ) )  x.  [_ (
c  |`  ( 1 ... N ) )  / 
t ]_ A )  = 
[_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ B ) )
7874oveq2d 6293 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... N
) )  ->  ( -u ( c `  ( N  +  1 ) )  x.  [_ a  /  t ]_ A
)  =  ( -u ( c `  ( N  +  1 ) )  x.  [_ (
c  |`  ( 1 ... N ) )  / 
t ]_ A ) )
7978, 76eqeq12d 2424 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... N
) )  ->  (
( -u ( c `  ( N  +  1
) )  x.  [_ a  /  t ]_ A
)  =  [_ a  /  t ]_ B  <->  (
-u ( c `  ( N  +  1
) )  x.  [_ ( c  |`  (
1 ... N ) )  /  t ]_ A
)  =  [_ (
c  |`  ( 1 ... N ) )  / 
t ]_ B ) )
8077, 79orbi12d 708 . . . . 5  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( c `
 ( N  + 
1 ) )  x. 
[_ a  /  t ]_ A )  =  [_ a  /  t ]_ B  \/  ( -u ( c `
 ( N  + 
1 ) )  x. 
[_ a  /  t ]_ A )  =  [_ a  /  t ]_ B
)  <->  ( ( ( c `  ( N  +  1 ) )  x.  [_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ A )  =  [_ ( c  |`  (
1 ... N ) )  /  t ]_ B  \/  ( -u ( c `
 ( N  + 
1 ) )  x. 
[_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ A )  =  [_ ( c  |`  (
1 ... N ) )  /  t ]_ B
) ) )
8150, 73, 80rexrabdioph 35069 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { c  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  |  ( ( ( c `
 ( N  + 
1 ) )  x. 
[_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ A )  =  [_ ( c  |`  (
1 ... N ) )  /  t ]_ B  \/  ( -u ( c `
 ( N  + 
1 ) )  x. 
[_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ A )  =  [_ ( c  |`  (
1 ... N ) )  /  t ]_ B
) }  e.  (Dioph `  ( N  +  1 ) ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. b  e. 
NN0  ( ( b  x.  [_ a  / 
t ]_ A )  = 
[_ a  /  t ]_ B  \/  ( -u b  x.  [_ a  /  t ]_ A
)  =  [_ a  /  t ]_ B
) }  e.  (Dioph `  N ) )
8240, 67, 81syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. b  e. 
NN0  ( ( b  x.  [_ a  / 
t ]_ A )  = 
[_ a  /  t ]_ B  \/  ( -u b  x.  [_ a  /  t ]_ A
)  =  [_ a  /  t ]_ B
) }  e.  (Dioph `  N ) )
8339, 82syl5eqel 2494 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. b  e. 
NN0  ( ( b  x.  A )  =  B  \/  ( -u b  x.  A )  =  B ) }  e.  (Dioph `  N ) )
8415, 83eqeltrd 2490 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  ||  B }  e.  (Dioph `  N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   E.wrex 2754   {crab 2757   _Vcvv 3058   [_csb 3372   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452    |` cres 4824   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    ^m cmap 7456   1c1 9522    + caddc 9524    x. cmul 9526   -ucneg 9841   NNcn 10575   NN0cn0 10835   ZZcz 10904   ...cfz 11724    || cdvds 14193  mzPolycmzp 34996  Diophcdioph 35029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-card 8351  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-hash 12451  df-dvds 14194  df-mzpcl 34997  df-mzp 34998  df-dioph 35030
This theorem is referenced by:  rmydioph  35298  expdiophlem2  35306
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