MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsprm Structured version   Unicode version

Theorem dvdsprm 14102
Description: An integer greater than or equal to 2 divides a prime number iff it is equal to it. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)
Assertion
Ref Expression
dvdsprm  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  P  e.  Prime )  ->  ( N  ||  P  <->  N  =  P ) )

Proof of Theorem dvdsprm
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isprm4 14089 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  (
ZZ>= `  2 ) ( z  ||  P  -> 
z  =  P ) ) )
21simprbi 464 . . . 4  |-  ( P  e.  Prime  ->  A. z  e.  ( ZZ>= `  2 )
( z  ||  P  ->  z  =  P ) )
3 breq1 4450 . . . . . 6  |-  ( z  =  N  ->  (
z  ||  P  <->  N  ||  P
) )
4 eqeq1 2471 . . . . . 6  |-  ( z  =  N  ->  (
z  =  P  <->  N  =  P ) )
53, 4imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( z  =  N  ->  (
( z  ||  P  ->  z  =  P )  <-> 
( N  ||  P  ->  N  =  P ) ) )
65rspcv 3210 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( z 
||  P  ->  z  =  P )  ->  ( N  ||  P  ->  N  =  P ) ) )
72, 6mpan9 469 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( N  ||  P  ->  N  =  P ) )
87ancoms 453 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  P  e.  Prime )  ->  ( N  ||  P  ->  N  =  P ) )
9 eluzelz 11092 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  ZZ )
10 iddvds 13861 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  ||  N )
11 breq2 4451 . . . . 5  |-  ( N  =  P  ->  ( N  ||  N  <->  N  ||  P
) )
1210, 11syl5ibcom 220 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  =  P  ->  N 
||  P ) )
139, 12syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  =  P  ->  N  ||  P ) )
1413adantr 465 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  P  e.  Prime )  ->  ( N  =  P  ->  N 
||  P ) )
158, 14impbid 191 1  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  P  e.  Prime )  ->  ( N  ||  P  <->  N  =  P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   class class class wbr 4447   ` cfv 5588   2c2 10586   ZZcz 10865   ZZ>=cuz 11083    || cdivides 13850   Primecprime 14079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-dvds 13851  df-prm 14080
This theorem is referenced by:  prmrp  14104  prmdvdsexpb  14118  oddprm  14201  4sqlem17  14341  prmlem0  14452  ppiublem1  23302  chtub  23312  lgsval2lem  23406  lgsqr  23446  lgseisenlem4  23452  lgsquadlem1  23454  lgsquad2  23460  m1lgs  23462  ostth3  23648
  Copyright terms: Public domain W3C validator