Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsppwf1o Structured version   Unicode version

Theorem dvdsppwf1o 23978
 Description: A bijection from the divisors of a prime power to the integers less than the prime count. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
dvdsppwf1o.f
Assertion
Ref Expression
dvdsppwf1o
Distinct variable groups:   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem dvdsppwf1o
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsppwf1o.f . 2
2 prmnn 14596 . . . . 5
32adantr 466 . . . 4
4 elfznn0 11885 . . . 4
5 nnexpcl 12282 . . . 4
63, 4, 5syl2an 479 . . 3
7 prmz 14597 . . . . 5
87ad2antrr 730 . . . 4
94adantl 467 . . . 4
10 elfzuz3 11795 . . . . 5
1110adantl 467 . . . 4
12 dvdsexp 14339 . . . 4
138, 9, 11, 12syl3anc 1264 . . 3
14 breq1 4429 . . . 4
1514elrab 3235 . . 3
166, 13, 15sylanbrc 668 . 2
17 simpl 458 . . . 4
18 elrabi 3232 . . . 4
19 pccl 14762 . . . 4
2017, 18, 19syl2an 479 . . 3
2117adantr 466 . . . . 5
2218adantl 467 . . . . . 6
2322nnzd 11039 . . . . 5
247ad2antrr 730 . . . . . 6
25 simplr 760 . . . . . 6
26 zexpcl 12284 . . . . . 6
2724, 25, 26syl2anc 665 . . . . 5
28 breq1 4429 . . . . . . . 8
2928elrab 3235 . . . . . . 7
3029simprbi 465 . . . . . 6
3130adantl 467 . . . . 5
32 pcdvdstr 14788 . . . . 5
3321, 23, 27, 31, 32syl13anc 1266 . . . 4
34 pcidlem 14784 . . . . 5
3534adantr 466 . . . 4
3633, 35breqtrd 4450 . . 3
37 fznn0 11884 . . . 4
3825, 37syl 17 . . 3
3920, 36, 38mpbir2and 930 . 2
40 oveq2 6313 . . . . . . . . 9
4140breq2d 4438 . . . . . . . 8
4241rspcev 3188 . . . . . . 7
4325, 31, 42syl2anc 665 . . . . . 6
44 pcprmpw2 14794 . . . . . . 7
4517, 18, 44syl2an 479 . . . . . 6
4643, 45mpbid 213 . . . . 5
4746adantrl 720 . . . 4
48 oveq2 6313 . . . . 5
4948eqeq2d 2443 . . . 4
5047, 49syl5ibrcom 225 . . 3
51 elfzelz 11798 . . . . . . 7
52 pcid 14785 . . . . . . 7
5317, 51, 52syl2an 479 . . . . . 6
5453eqcomd 2437 . . . . 5
5554adantrr 721 . . . 4
56 oveq2 6313 . . . . 5
5756eqeq2d 2443 . . . 4
5855, 57syl5ibrcom 225 . . 3
5950, 58impbid 193 . 2
601, 16, 39, 59f1o2d 6535 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1870  wrex 2783  crab 2786   class class class wbr 4426   cmpt 4484  wf1o 5600  cfv 5601  (class class class)co 6305  cc0 9538   cle 9675  cn 10609  cn0 10869  cz 10937  cuz 11159  cfz 11782  cexp 12269   cdvds 14283  cprime 14593   cpc 14749 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-inf 7963  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-dvds 14284  df-gcd 14443  df-prm 14594  df-pc 14750 This theorem is referenced by:  sgmppw  23988  0sgmppw  23989  dchrisum0flblem1  24209
 Copyright terms: Public domain W3C validator