MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsmultr2 Structured version   Unicode version

Theorem dvdsmultr2 13566
Description: If an integer divides another, it divides a multiple of it. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
dvdsmultr2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  ||  N  ->  K  ||  ( M  x.  N
) ) )

Proof of Theorem dvdsmultr2
StepHypRef Expression
1 dvdsmul2 13553 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( M  x.  N ) )
21biantrud 507 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  ||  N  <->  ( K  ||  N  /\  N  ||  ( M  x.  N ) ) ) )
323adant1 1006 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  ||  N  <->  ( K  ||  N  /\  N  ||  ( M  x.  N
) ) ) )
4 simp1 988 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  K  e.  ZZ )
5 simp3 990 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
6 zmulcl 10691 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  x.  N
)  e.  ZZ )
763adant1 1006 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  x.  N )  e.  ZZ )
8 dvdstr 13564 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N )  e.  ZZ )  ->  (
( K  ||  N  /\  N  ||  ( M  x.  N ) )  ->  K  ||  ( M  x.  N )
) )
94, 5, 7, 8syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( K  ||  N  /\  N  ||  ( M  x.  N ) )  ->  K  ||  ( M  x.  N )
) )
103, 9sylbid 215 1  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  ||  N  ->  K  ||  ( M  x.  N
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1756   class class class wbr 4290  (class class class)co 6089    x. cmul 9285   ZZcz 10644    || cdivides 13533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-ltxr 9421  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-n0 10578  df-z 10645  df-dvds 13534
This theorem is referenced by:  ordvdsmul  13567  3dvds  13594  divalglem0  13595  divalglem2  13597  mulgcddvds  13788  znunit  17994  lgsdir2  22665  lgseisenlem1  22686  lgseisenlem2  22687  2sqblem  22714  oddpwdc  26735  nn0prpwlem  28514  congmul  29307  coprmdvdsb  29327  jm2.25  29345  jm2.27a  29351  jm2.27c  29353
  Copyright terms: Public domain W3C validator