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Theorem dvdsmulgcd 14279
Description: A divisibility equivalent for odmulg 16780. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvdsmulgcd  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  ( B  x.  C )  <->  A 
||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) ) )

Proof of Theorem dvdsmulgcd
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 753 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C )
)  ->  C  e.  ZZ )
2 dvdszrcl 14078 . . . . . 6  |-  ( A 
||  ( B  x.  C )  ->  ( A  e.  ZZ  /\  ( B  x.  C )  e.  ZZ ) )
32adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C )
)  ->  ( A  e.  ZZ  /\  ( B  x.  C )  e.  ZZ ) )
43simpld 457 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C )
)  ->  A  e.  ZZ )
5 bezout 14267 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  gcd  A )  =  ( ( C  x.  x )  +  ( A  x.  y ) ) )
61, 4, 5syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C )
)  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  gcd  A )  =  ( ( C  x.  x )  +  ( A  x.  y ) ) )
74adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  A  e.  ZZ )
8 simplll 757 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  B  e.  ZZ )
9 simpllr 758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  C  e.  ZZ )
10 simprl 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  x  e.  ZZ )
119, 10zmulcld 10971 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( C  x.  x )  e.  ZZ )
128, 11zmulcld 10971 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( B  x.  ( C  x.  x
) )  e.  ZZ )
13 simprr 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  y  e.  ZZ )
147, 13zmulcld 10971 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( A  x.  y )  e.  ZZ )
158, 14zmulcld 10971 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( B  x.  ( A  x.  y
) )  e.  ZZ )
16 simplr 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  A  ||  ( B  x.  C )
)
178, 9zmulcld 10971 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( B  x.  C )  e.  ZZ )
18 dvdsmultr1 14106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( B  x.  C
)  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  ( B  x.  C )  ->  A  ||  ( ( B  x.  C )  x.  x ) ) )
197, 17, 10, 18syl3anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( A  ||  ( B  x.  C
)  ->  A  ||  (
( B  x.  C
)  x.  x ) ) )
2016, 19mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  A  ||  (
( B  x.  C
)  x.  x ) )
218zcnd 10966 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  B  e.  CC )
229zcnd 10966 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  C  e.  CC )
2310zcnd 10966 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  x  e.  CC )
2421, 22, 23mulassd 9608 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( ( B  x.  C )  x.  x )  =  ( B  x.  ( C  x.  x ) ) )
2520, 24breqtrd 4463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  A  ||  ( B  x.  ( C  x.  x ) ) )
268, 13zmulcld 10971 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( B  x.  y )  e.  ZZ )
27 dvdsmul1 14092 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( B  x.  y
)  e.  ZZ )  ->  A  ||  ( A  x.  ( B  x.  y ) ) )
287, 26, 27syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  A  ||  ( A  x.  ( B  x.  y ) ) )
297zcnd 10966 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  A  e.  CC )
3013zcnd 10966 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  y  e.  CC )
3121, 29, 30mul12d 9778 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( B  x.  ( A  x.  y
) )  =  ( A  x.  ( B  x.  y ) ) )
3228, 31breqtrrd 4465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  A  ||  ( B  x.  ( A  x.  y ) ) )
33 dvds2add 14102 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( B  x.  ( C  x.  x )
)  e.  ZZ  /\  ( B  x.  ( A  x.  y )
)  e.  ZZ )  ->  ( ( A 
||  ( B  x.  ( C  x.  x
) )  /\  A  ||  ( B  x.  ( A  x.  y )
) )  ->  A  ||  ( ( B  x.  ( C  x.  x
) )  +  ( B  x.  ( A  x.  y ) ) ) ) )
3433imp 427 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  ( B  x.  ( C  x.  x )
)  e.  ZZ  /\  ( B  x.  ( A  x.  y )
)  e.  ZZ )  /\  ( A  ||  ( B  x.  ( C  x.  x )
)  /\  A  ||  ( B  x.  ( A  x.  y ) ) ) )  ->  A  ||  (
( B  x.  ( C  x.  x )
)  +  ( B  x.  ( A  x.  y ) ) ) )
357, 12, 15, 25, 32, 34syl32anc 1234 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  A  ||  (
( B  x.  ( C  x.  x )
)  +  ( B  x.  ( A  x.  y ) ) ) )
3611zcnd 10966 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( C  x.  x )  e.  CC )
3714zcnd 10966 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( A  x.  y )  e.  CC )
3821, 36, 37adddid 9609 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( B  x.  ( ( C  x.  x )  +  ( A  x.  y ) ) )  =  ( ( B  x.  ( C  x.  x )
)  +  ( B  x.  ( A  x.  y ) ) ) )
3935, 38breqtrrd 4465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  A  ||  ( B  x.  ( ( C  x.  x )  +  ( A  x.  y ) ) ) )
40 oveq2 6278 . . . . . 6  |-  ( ( C  gcd  A )  =  ( ( C  x.  x )  +  ( A  x.  y
) )  ->  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  =  ( B  x.  (
( C  x.  x
)  +  ( A  x.  y ) ) ) )
4140breq2d 4451 . . . . 5  |-  ( ( C  gcd  A )  =  ( ( C  x.  x )  +  ( A  x.  y
) )  ->  ( A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  <->  A  ||  ( B  x.  ( ( C  x.  x )  +  ( A  x.  y
) ) ) ) )
4239, 41syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( ( C  gcd  A )  =  ( ( C  x.  x )  +  ( A  x.  y ) )  ->  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) ) )
4342rexlimdvva 2953 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C )
)  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  gcd  A )  =  ( ( C  x.  x )  +  ( A  x.  y ) )  ->  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) ) )
446, 43mpd 15 . 2  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C )
)  ->  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )
45 dvdszrcl 14078 . . . . 5  |-  ( A 
||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  ->  ( A  e.  ZZ  /\  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  e.  ZZ ) )
4645adantl 464 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  ( A  e.  ZZ  /\  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  e.  ZZ ) )
4746simpld 457 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  A  e.  ZZ )
4846simprd 461 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  e.  ZZ )
49 zmulcl 10908 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( B  x.  C
)  e.  ZZ )
5049adantr 463 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  ( B  x.  C )  e.  ZZ )
51 simpr 459 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )
52 simplr 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  C  e.  ZZ )
53 gcddvds 14240 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( C  gcd  A )  ||  C  /\  ( C  gcd  A ) 
||  A ) )
5452, 47, 53syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  ( ( C  gcd  A )  ||  C  /\  ( C  gcd  A )  ||  A ) )
5554simpld 457 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  ( C  gcd  A )  ||  C )
5652, 47gcdcld 14243 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  ( C  gcd  A )  e.  NN0 )
5756nn0zd 10963 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  ( C  gcd  A )  e.  ZZ )
58 simpll 751 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  B  e.  ZZ )
59 dvdscmul 14097 . . . . 5  |-  ( ( ( C  gcd  A
)  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( C  gcd  A
)  ||  C  ->  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) 
||  ( B  x.  C ) ) )
6057, 52, 58, 59syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  ( ( C  gcd  A )  ||  C  ->  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  ||  ( B  x.  C ) ) )
6155, 60mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  ||  ( B  x.  C ) )
62 dvdstr 14105 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  e.  ZZ  /\  ( B  x.  C )  e.  ZZ )  ->  (
( A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  /\  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) 
||  ( B  x.  C ) )  ->  A  ||  ( B  x.  C ) ) )
6362imp 427 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  e.  ZZ  /\  ( B  x.  C )  e.  ZZ )  /\  ( A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  /\  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  ||  ( B  x.  C )
) )  ->  A  ||  ( B  x.  C
) )
6447, 48, 50, 51, 61, 63syl32anc 1234 . 2  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  A  ||  ( B  x.  C )
)
6544, 64impbida 830 1  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  ( B  x.  C )  <->  A 
||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   E.wrex 2805   class class class wbr 4439  (class class class)co 6270    + caddc 9484    x. cmul 9486   ZZcz 10860    || cdvds 14073    gcd cgcd 14231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12093  df-exp 12152  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-dvds 14074  df-gcd 14232
This theorem is referenced by:  odmulg  16780
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