MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsmulc Structured version   Unicode version

Theorem dvdsmulc 13889
Description: Multiplication by a constant maintains the divides relation. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdsmulc  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  ->  ( M  x.  K )  ||  ( N  x.  K
) ) )

Proof of Theorem dvdsmulc
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpc 995 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
2 zmulcl 10923 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  x.  K
)  e.  ZZ )
323adant2 1015 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  x.  K )  e.  ZZ )
4 zmulcl 10923 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  x.  K
)  e.  ZZ )
543adant1 1014 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  x.  K )  e.  ZZ )
63, 5jca 532 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( M  x.  K
)  e.  ZZ  /\  ( N  x.  K
)  e.  ZZ ) )
763comr 1204 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( M  x.  K
)  e.  ZZ  /\  ( N  x.  K
)  e.  ZZ ) )
8 simpr 461 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  ZZ )  ->  x  e.  ZZ )
9 zcn 10881 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
10 zcn 10881 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
11 zcn 10881 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
12 mulass 9592 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  (
( x  x.  M
)  x.  K )  =  ( x  x.  ( M  x.  K
) ) )
139, 10, 11, 12syl3an 1270 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( x  x.  M
)  x.  K )  =  ( x  x.  ( M  x.  K
) ) )
14133com13 1201 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
( x  x.  M
)  x.  K )  =  ( x  x.  ( M  x.  K
) ) )
15143expa 1196 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( x  x.  M )  x.  K )  =  ( x  x.  ( M  x.  K ) ) )
16153adantl3 1154 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( x  x.  M )  x.  K )  =  ( x  x.  ( M  x.  K ) ) )
17 oveq1 6302 . . . . 5  |-  ( ( x  x.  M )  =  N  ->  (
( x  x.  M
)  x.  K )  =  ( N  x.  K ) )
1816, 17sylan9req 2529 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  ZZ )  /\  (
x  x.  M )  =  N )  -> 
( x  x.  ( M  x.  K )
)  =  ( N  x.  K ) )
1918ex 434 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( x  x.  M )  =  N  ->  ( x  x.  ( M  x.  K
) )  =  ( N  x.  K ) ) )
201, 7, 8, 19dvds1lem 13873 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  ->  ( M  x.  K )  ||  ( N  x.  K
) ) )
21203coml 1203 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  ->  ( M  x.  K )  ||  ( N  x.  K
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4453  (class class class)co 6295   CCcc 9502    x. cmul 9509   ZZcz 10876    || cdivides 13864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-ltxr 9645  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-dvds 13865
This theorem is referenced by:  dvdsmulcr  13891  coprmdvds2  14120  mulgcddvds  14121  rpmulgcd2  14122  pcpremul  14243  odadd2  16728  ablfacrp2  16990  znrrg  18473  dvdsmulf1o  23336
  Copyright terms: Public domain W3C validator