MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsmul2 Structured version   Unicode version

Theorem dvdsmul2 13676
Description: An integer divides a multiple of itself. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdsmul2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( M  x.  N ) )

Proof of Theorem dvdsmul2
StepHypRef Expression
1 zmulcl 10807 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  x.  N
)  e.  ZZ )
2 eqid 2454 . . 3  |-  ( M  x.  N )  =  ( M  x.  N
)
3 dvds0lem 13664 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N
)  e.  ZZ )  /\  ( M  x.  N )  =  ( M  x.  N ) )  ->  N  ||  ( M  x.  N )
)
42, 3mpan2 671 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N )  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( M  x.  N
) )
51, 4mpd3an3 1316 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( M  x.  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4403  (class class class)co 6203    x. cmul 9401   ZZcz 10760    || cdivides 13656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-ltxr 9537  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-n0 10694  df-z 10761  df-dvds 13657
This theorem is referenced by:  iddvdsexp  13677  dvdsmultr2  13689  dvdsfac  13709  dvdsexp  13710  bitsinv1lem  13758  bitsuz  13791  bitsshft  13792  bezoutlem4  13846  dvdssqim  13858  coprmdvds  13909  qredeq  13913  hashdvds  13971  phimullem  13975  4sqlem8  14127  dec2dvds  14213  lagsubg  15865  odadd2  16455  ppiublem1  22677  perfectlem2  22705  lgsdir2lem2  22799  lgsquadlem2  22830  lgsquadlem3  22831  lgsquad2lem1  22833  lgsquad2lem2  22834  2sqlem3  22841  2sqlem8  22847  dvdspw  27720  jm2.19lem2  29507  jm2.23  29513  jm2.20nn  29514  jm2.25  29516  jm2.27a  29522  clwwlkndivn  30679
  Copyright terms: Public domain W3C validator