MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsmul2 Structured version   Unicode version

Theorem dvdsmul2 13866
Description: An integer divides a multiple of itself. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdsmul2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( M  x.  N ) )

Proof of Theorem dvdsmul2
StepHypRef Expression
1 zmulcl 10910 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  x.  N
)  e.  ZZ )
2 eqid 2467 . . 3  |-  ( M  x.  N )  =  ( M  x.  N
)
3 dvds0lem 13854 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N
)  e.  ZZ )  /\  ( M  x.  N )  =  ( M  x.  N ) )  ->  N  ||  ( M  x.  N )
)
42, 3mpan2 671 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N )  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( M  x.  N
) )
51, 4mpd3an3 1325 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( M  x.  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6283    x. cmul 9496   ZZcz 10863    || cdivides 13846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-ltxr 9632  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-n0 10795  df-z 10864  df-dvds 13847
This theorem is referenced by:  iddvdsexp  13867  dvdsmultr2  13879  dvdsfac  13899  dvdsexp  13900  bitsinv1lem  13949  bitsuz  13982  bitsshft  13983  bezoutlem4  14037  dvdssqim  14049  coprmdvds  14101  qredeq  14105  hashdvds  14163  phimullem  14167  4sqlem8  14321  dec2dvds  14407  lagsubg  16065  odadd2  16655  ppiublem1  23221  perfectlem2  23249  lgsdir2lem2  23343  lgsquadlem2  23374  lgsquadlem3  23375  lgsquad2lem1  23377  lgsquad2lem2  23378  2sqlem3  23385  2sqlem8  23391  clwwlkndivn  24529  dvdspw  28768  jm2.19lem2  30552  jm2.23  30558  jm2.20nn  30559  jm2.25  30561  jm2.27a  30567  lcmcllem  30818
  Copyright terms: Public domain W3C validator