Theorem dvdsmul1 13550

Description: An integer divides a multiple of itself. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmul1	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M || ( M x. N ) )

Proof of Theorem dvdsmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 10647	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
2		zcn 10647	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
3		mulcom 9364	. . 3 |- ( ( N e. CC /\ M e. CC ) -> ( N x. M ) = ( M x. N ) )
4	1, 2, 3	syl2anr 475	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N x. M ) = ( M x. N ) )
5		zmulcl 10689	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M x. N ) e. ZZ )
6		dvds0lem 13539	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) /\ ( N x. M ) = ( M x. N ) ) -> M || ( M x. N ) )
7	6	ex 434	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) -> ( ( N x. M ) = ( M x. N ) -> M || ( M x. N ) ) )
8	7	3com12 1186	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) -> ( ( N x. M ) = ( M x. N ) -> M || ( M x. N ) ) )
9	5, 8	mpd3an3 1310	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( N x. M ) = ( M x. N ) -> M || ( M x. N ) ) )
10	4, 9	mpd 15	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M || ( M x. N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   e. wcel 1761   class class class wbr 4289  (class class class)co 6090   CCcc 9276   x. cmul 9283   ZZcz 10642   || cdivides 13531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-ltxr 9419  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-dvds 13532

This theorem is referenced by:  dvdsmultr1  13563  ndvdsi  13610  bits0e  13621  bits0o  13622  mulgcd  13726  dvdsmulgcd  13734  nprm  13773  qredeq  13788  exprmfct  13792  phimullem  13850  prmdiv  13856  opoe  13874  omoe  13875  iserodd  13898  expnprm  13960  pockthlem  13962  prmreclem3  13975  4sqlem14  14015  odmulg2  16049  odbezout  16052  gexdvds  16076  sylow2alem2  16110  odadd1  16323  odadd2  16324  gexexlem  16327  prmirredlem  17876  prmirredlemOLD  17879  znunit  17955  wilthlem2  22366  dvdsflf1o  22486  dvdsmulf1o  22493  ppiublem1  22500  ppiublem2  22501  perfectlem1  22527  bposlem3  22584  lgsdir  22628  lgsquadlem1  22652  lgsquad2lem1  22656  lgsquad2lem2  22657  2sqlem4  22665  2sqblem  22675  dchrisumlem1  22697  jm2.23  29270  jm2.27c  29281