Theorem dvdsmul1 13569

Description: An integer divides a multiple of itself. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmul1	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M || ( M x. N ) )

Proof of Theorem dvdsmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 10666	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
2		zcn 10666	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
3		mulcom 9383	. . 3 |- ( ( N e. CC /\ M e. CC ) -> ( N x. M ) = ( M x. N ) )
4	1, 2, 3	syl2anr 478	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N x. M ) = ( M x. N ) )
5		zmulcl 10708	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M x. N ) e. ZZ )
6		dvds0lem 13558	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) /\ ( N x. M ) = ( M x. N ) ) -> M || ( M x. N ) )
7	6	ex 434	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) -> ( ( N x. M ) = ( M x. N ) -> M || ( M x. N ) ) )
8	7	3com12 1191	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) -> ( ( N x. M ) = ( M x. N ) -> M || ( M x. N ) ) )
9	5, 8	mpd3an3 1315	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( N x. M ) = ( M x. N ) -> M || ( M x. N ) ) )
10	4, 9	mpd 15	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M || ( M x. N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   class class class wbr 4307  (class class class)co 6106   CCcc 9295   x. cmul 9302   ZZcz 10661   || cdivides 13550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-om 6492  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-er 7116  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-ltxr 9438  df-sub 9612  df-neg 9613  df-nn 10338  df-n0 10595  df-z 10662  df-dvds 13551

This theorem is referenced by:  dvdsmultr1  13582  ndvdsi  13629  bits0e  13640  bits0o  13641  mulgcd  13745  dvdsmulgcd  13753  nprm  13792  qredeq  13807  exprmfct  13811  phimullem  13869  prmdiv  13875  opoe  13893  omoe  13894  iserodd  13917  expnprm  13979  pockthlem  13981  prmreclem3  13994  4sqlem14  14034  odmulg2  16071  odbezout  16074  gexdvds  16098  sylow2alem2  16132  odadd1  16345  odadd2  16346  gexexlem  16349  prmirredlem  17932  prmirredlemOLD  17935  znunit  18011  wilthlem2  22422  dvdsflf1o  22542  dvdsmulf1o  22549  ppiublem1  22556  ppiublem2  22557  perfectlem1  22583  bposlem3  22640  lgsdir  22684  lgsquadlem1  22708  lgsquad2lem1  22712  lgsquad2lem2  22713  2sqlem4  22721  2sqblem  22731  dchrisumlem1  22753  jm2.23  29364  jm2.27c  29375