Theorem dvdsmul1 14336

Description: An integer divides a multiple of itself. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmul1	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M || ( M x. N ) )

Proof of Theorem dvdsmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 10949	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
2		zcn 10949	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
3		mulcom 9630	. . 3 |- ( ( N e. CC /\ M e. CC ) -> ( N x. M ) = ( M x. N ) )
4	1, 2, 3	syl2anr 481	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N x. M ) = ( M x. N ) )
5		zmulcl 10992	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M x. N ) e. ZZ )
6		dvds0lem 14325	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) /\ ( N x. M ) = ( M x. N ) ) -> M || ( M x. N ) )
7	6	ex 436	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) -> ( ( N x. M ) = ( M x. N ) -> M || ( M x. N ) ) )
8	7	3com12 1213	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) -> ( ( N x. M ) = ( M x. N ) -> M || ( M x. N ) ) )
9	5, 8	mpd3an3 1367	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( N x. M ) = ( M x. N ) -> M || ( M x. N ) ) )
10	4, 9	mpd 15	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M || ( M x. N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 986   = wceq 1446   e. wcel 1889   class class class wbr 4405  (class class class)co 6295   CCcc 9542   x. cmul 9549   ZZcz 10944   || cdvds 14317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-ltxr 9685  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-dvds 14318

This theorem is referenced by:  dvdsmultr1  14350  ndvdsi  14403  bits0e  14414  bits0o  14415  mulgcd  14526  dvdsmulgcd  14534  lcmcllem  14573  lcmgcdlem  14583  nprm  14650  exprmfct  14660  qredeq  14675  phimullem  14739  prmdiv  14745  opoe  14773  omoe  14774  iserodd  14797  expnprm  14859  pockthlem  14861  prmreclem3  14874  4sqlem14OLD  14914  4sqlem14  14920  odmulg2  17218  odbezout  17221  gexdvds  17247  sylow2alem2  17282  odadd1  17498  odadd2  17499  gexexlem  17502  prmirredlem  19076  znunit  19146  wilthlem2  24006  dvdsflf1o  24128  dvdsmulf1o  24135  ppiublem1  24142  ppiublem2  24143  perfectlem1  24169  bposlem3  24226  lgsdir  24270  lgsquadlem1  24294  lgsquad2lem1  24298  lgsquad2lem2  24299  2sqlem4  24307  2sqblem  24317  dchrisumlem1  24339  ex-ind-dvds  25911  2sqmod  28421  jm2.23  35863  jm2.27c  35874  inductionexd  36605  fouriersw  38105  etransclem24  38133  etransclem28  38137  perfectALTVlem1  38853