Theorem dvdsmul1 13862

Description: An integer divides a multiple of itself. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmul1	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M || ( M x. N ) )

Proof of Theorem dvdsmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 10865	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
2		zcn 10865	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
3		mulcom 9574	. . 3 |- ( ( N e. CC /\ M e. CC ) -> ( N x. M ) = ( M x. N ) )
4	1, 2, 3	syl2anr 478	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N x. M ) = ( M x. N ) )
5		zmulcl 10907	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M x. N ) e. ZZ )
6		dvds0lem 13851	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) /\ ( N x. M ) = ( M x. N ) ) -> M || ( M x. N ) )
7	6	ex 434	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) -> ( ( N x. M ) = ( M x. N ) -> M || ( M x. N ) ) )
8	7	3com12 1200	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) -> ( ( N x. M ) = ( M x. N ) -> M || ( M x. N ) ) )
9	5, 8	mpd3an3 1325	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( N x. M ) = ( M x. N ) -> M || ( M x. N ) ) )
10	4, 9	mpd 15	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M || ( M x. N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6282   CCcc 9486   x. cmul 9493   ZZcz 10860   || cdivides 13843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-ltxr 9629  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-dvds 13844

This theorem is referenced by:  dvdsmultr1  13875  ndvdsi  13923  bits0e  13934  bits0o  13935  mulgcd  14039  dvdsmulgcd  14047  nprm  14086  qredeq  14102  exprmfct  14106  phimullem  14164  prmdiv  14170  opoe  14190  omoe  14191  iserodd  14214  expnprm  14276  pockthlem  14278  prmreclem3  14291  4sqlem14  14331  odmulg2  16373  odbezout  16376  gexdvds  16400  sylow2alem2  16434  odadd1  16647  odadd2  16648  gexexlem  16651  prmirredlem  18290  prmirredlemOLD  18293  znunit  18369  wilthlem2  23071  dvdsflf1o  23191  dvdsmulf1o  23198  ppiublem1  23205  ppiublem2  23206  perfectlem1  23232  bposlem3  23289  lgsdir  23333  lgsquadlem1  23357  lgsquad2lem1  23361  lgsquad2lem2  23362  2sqlem4  23370  2sqblem  23380  dchrisumlem1  23402  jm2.23  30542  jm2.27c  30553  lcmcllem  30802  lcmgcdlem  30812  fouriersw  31532