MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsmul1 Structured version   Unicode version

Theorem dvdsmul1 14106
Description: An integer divides a multiple of itself. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdsmul1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  ||  ( M  x.  N ) )

Proof of Theorem dvdsmul1
StepHypRef Expression
1 zcn 10830 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
2 zcn 10830 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
3 mulcom 9528 . . 3  |-  ( ( N  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( N  x.  M
)  =  ( M  x.  N ) )
41, 2, 3syl2anr 476 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  x.  M
)  =  ( M  x.  N ) )
5 zmulcl 10873 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  x.  N
)  e.  ZZ )
6 dvds0lem 14095 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N
)  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  M )  =  ( M  x.  N ) )  ->  M  ||  ( M  x.  N )
)
76ex 432 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N )  e.  ZZ )  ->  (
( N  x.  M
)  =  ( M  x.  N )  ->  M  ||  ( M  x.  N ) ) )
873com12 1201 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N )  e.  ZZ )  ->  (
( N  x.  M
)  =  ( M  x.  N )  ->  M  ||  ( M  x.  N ) ) )
95, 8mpd3an3 1327 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( N  x.  M )  =  ( M  x.  N )  ->  M  ||  ( M  x.  N )
) )
104, 9mpd 15 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  ||  ( M  x.  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   class class class wbr 4394  (class class class)co 6234   CCcc 9440    x. cmul 9447   ZZcz 10825    || cdvds 14087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-ltxr 9583  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-n0 10757  df-z 10826  df-dvds 14088
This theorem is referenced by:  dvdsmultr1  14120  ndvdsi  14169  bits0e  14180  bits0o  14181  mulgcd  14285  dvdsmulgcd  14293  nprm  14332  qredeq  14348  exprmfct  14352  phimullem  14410  prmdiv  14416  opoe  14436  omoe  14437  iserodd  14460  expnprm  14522  pockthlem  14524  prmreclem3  14537  4sqlem14  14577  odmulg2  16793  odbezout  16796  gexdvds  16820  sylow2alem2  16854  odadd1  17070  odadd2  17071  gexexlem  17074  prmirredlem  18722  znunit  18792  wilthlem2  23616  dvdsflf1o  23736  dvdsmulf1o  23743  ppiublem1  23750  ppiublem2  23751  perfectlem1  23777  bposlem3  23834  lgsdir  23878  lgsquadlem1  23902  lgsquad2lem1  23906  lgsquad2lem2  23907  2sqlem4  23915  2sqblem  23925  dchrisumlem1  23947  ex-ind-dvds  25468  2sqmod  27968  jm2.23  35281  jm2.27c  35292  inductionexd  35959  lcmcllem  36031  lcmgcdlem  36041  fouriersw  37364  etransclem24  37391  etransclem28  37395  perfectALTVlem1  37776
  Copyright terms: Public domain W3C validator