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Theorem dvdslelem 13902
Description: Lemma for dvdsle 13903. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdslelem.1  |-  M  e.  ZZ
dvdslelem.2  |-  N  e.  NN
dvdslelem.3  |-  K  e.  ZZ
Assertion
Ref Expression
dvdslelem  |-  ( N  <  M  ->  ( K  x.  M )  =/=  N )

Proof of Theorem dvdslelem
StepHypRef Expression
1 dvdslelem.3 . . . . . 6  |-  K  e.  ZZ
21zrei 10871 . . . . 5  |-  K  e.  RR
3 0re 9594 . . . . 5  |-  0  e.  RR
4 lelttric 9689 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( K  <_  0  \/  0  <  K ) )
52, 3, 4mp2an 672 . . . 4  |-  ( K  <_  0  \/  0  <  K )
6 zgt0ge1 10918 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
0  <  K  <->  1  <_  K ) )
71, 6ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 0  <  K  <->  1  <_  K )
87orbi2i 519 . . . 4  |-  ( ( K  <_  0  \/  0  <  K )  <->  ( K  <_  0  \/  1  <_  K ) )
95, 8mpbi 208 . . 3  |-  ( K  <_  0  \/  1  <_  K )
10 le0neg1 10061 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  RR  ->  ( K  <_  0  <->  0  <_  -u K ) )
112, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( K  <_  0  <->  0  <_  -u K )
12 dvdslelem.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  N  e.  NN
1312nngt0i 10570 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  N
1412nnrei 10546 . . . . . . . . . . . 12  |-  N  e.  RR
15 dvdslelem.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  M  e.  ZZ
1615zrei 10871 . . . . . . . . . . . 12  |-  M  e.  RR
173, 14, 16lttri 9708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  <  N  /\  N  <  M )  -> 
0  <  M )
1813, 17mpan 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  <  M  ->  0  <  M )
193, 16ltlei 9704 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  <  M  ->  0  <_  M )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( N  <  M  ->  0  <_  M )
212renegcli 9880 . . . . . . . . . 10  |-  -u K  e.  RR
2221, 16mulge0i 10101 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  <_  -u K  /\  0  <_  M )  -> 
0  <_  ( -u K  x.  M ) )
2320, 22sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  <_  -u K  /\  N  <  M )  -> 
0  <_  ( -u K  x.  M ) )
2411, 23sylanb 472 . . . . . . 7  |-  ( ( K  <_  0  /\  N  <  M )  -> 
0  <_  ( -u K  x.  M ) )
2524expcom 435 . . . . . 6  |-  ( N  <  M  ->  ( K  <_  0  ->  0  <_  ( -u K  x.  M ) ) )
262, 16remulcli 9608 . . . . . . . 8  |-  ( K  x.  M )  e.  RR
27 le0neg1 10061 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  x.  M )  e.  RR  ->  (
( K  x.  M
)  <_  0  <->  0  <_  -u ( K  x.  M
) ) )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( K  x.  M )  <_  0  <->  0  <_  -u ( K  x.  M
) )
292recni 9606 . . . . . . . . 9  |-  K  e.  CC
3016recni 9606 . . . . . . . . 9  |-  M  e.  CC
3129, 30mulneg1i 10003 . . . . . . . 8  |-  ( -u K  x.  M )  =  -u ( K  x.  M )
3231breq2i 4441 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  ( -u K  x.  M )  <->  0  <_  -u ( K  x.  M
) )
3328, 32bitr4i 252 . . . . . 6  |-  ( ( K  x.  M )  <_  0  <->  0  <_  (
-u K  x.  M
) )
3425, 33syl6ibr 227 . . . . 5  |-  ( N  <  M  ->  ( K  <_  0  ->  ( K  x.  M )  <_  0 ) )
3526, 3, 14lelttri 9709 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  x.  M
)  <_  0  /\  0  <  N )  -> 
( K  x.  M
)  <  N )
3613, 35mpan2 671 . . . . 5  |-  ( ( K  x.  M )  <_  0  ->  ( K  x.  M )  <  N )
3734, 36syl6 33 . . . 4  |-  ( N  <  M  ->  ( K  <_  0  ->  ( K  x.  M )  <  N ) )
38 lemulge12 10406 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR )  /\  ( 0  <_  M  /\  1  <_  K
) )  ->  M  <_  ( K  x.  M
) )
3916, 2, 38mpanl12 682 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  <_  M  /\  1  <_  K )  ->  M  <_  ( K  x.  M ) )
4020, 39sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( N  <  M  /\  1  <_  K )  ->  M  <_  ( K  x.  M ) )
4140ex 434 . . . . 5  |-  ( N  <  M  ->  (
1  <_  K  ->  M  <_  ( K  x.  M ) ) )
4214, 16, 26ltletri 9710 . . . . . 6  |-  ( ( N  <  M  /\  M  <_  ( K  x.  M ) )  ->  N  <  ( K  x.  M ) )
4342ex 434 . . . . 5  |-  ( N  <  M  ->  ( M  <_  ( K  x.  M )  ->  N  <  ( K  x.  M
) ) )
4441, 43syld 44 . . . 4  |-  ( N  <  M  ->  (
1  <_  K  ->  N  <  ( K  x.  M ) ) )
4537, 44orim12d 836 . . 3  |-  ( N  <  M  ->  (
( K  <_  0  \/  1  <_  K )  ->  ( ( K  x.  M )  < 
N  \/  N  < 
( K  x.  M
) ) ) )
469, 45mpi 17 . 2  |-  ( N  <  M  ->  (
( K  x.  M
)  <  N  \/  N  <  ( K  x.  M ) ) )
4726, 14lttri2i 9696 . 2  |-  ( ( K  x.  M )  =/=  N  <->  ( ( K  x.  M )  <  N  \/  N  < 
( K  x.  M
) ) )
4846, 47sylibr 212 1  |-  ( N  <  M  ->  ( K  x.  M )  =/=  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    e. wcel 1802    =/= wne 2636   class class class wbr 4433  (class class class)co 6277   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491    x. cmul 9495    < clt 9626    <_ cle 9627   -ucneg 9806   NNcn 10537   ZZcz 10865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866
This theorem is referenced by:  dvdsle  13903
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