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Theorem dvdslelem 13880
Description: Lemma for dvdsle 13881. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdslelem.1  |-  M  e.  ZZ
dvdslelem.2  |-  N  e.  NN
dvdslelem.3  |-  K  e.  ZZ
Assertion
Ref Expression
dvdslelem  |-  ( N  <  M  ->  ( K  x.  M )  =/=  N )

Proof of Theorem dvdslelem
StepHypRef Expression
1 dvdslelem.3 . . . . . 6  |-  K  e.  ZZ
21zrei 10861 . . . . 5  |-  K  e.  RR
3 0re 9587 . . . . 5  |-  0  e.  RR
4 lelttric 9682 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( K  <_  0  \/  0  <  K ) )
52, 3, 4mp2an 672 . . . 4  |-  ( K  <_  0  \/  0  <  K )
6 elnnz 10865 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN  <->  ( K  e.  ZZ  /\  0  < 
K ) )
7 elnnz1 10881 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN  <->  ( K  e.  ZZ  /\  1  <_  K ) )
86, 7bitr3i 251 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <  K )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  1  <_  K ) )
9 pm5.32 636 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  ->  ( 0  <  K  <->  1  <_  K ) )  <->  ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <  K )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  1  <_  K ) ) )
108, 9mpbir 209 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
0  <  K  <->  1  <_  K ) )
111, 10ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 0  <  K  <->  1  <_  K )
1211orbi2i 519 . . . 4  |-  ( ( K  <_  0  \/  0  <  K )  <->  ( K  <_  0  \/  1  <_  K ) )
135, 12mpbi 208 . . 3  |-  ( K  <_  0  \/  1  <_  K )
14 le0neg1 10051 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  RR  ->  ( K  <_  0  <->  0  <_  -u K ) )
152, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( K  <_  0  <->  0  <_  -u K )
16 dvdslelem.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  N  e.  NN
1716nngt0i 10560 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  N
1816nnrei 10536 . . . . . . . . . . . 12  |-  N  e.  RR
19 dvdslelem.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  M  e.  ZZ
2019zrei 10861 . . . . . . . . . . . 12  |-  M  e.  RR
213, 18, 20lttri 9701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  <  N  /\  N  <  M )  -> 
0  <  M )
2217, 21mpan 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  <  M  ->  0  <  M )
233, 20ltlei 9697 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  <  M  ->  0  <_  M )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( N  <  M  ->  0  <_  M )
252renegcli 9871 . . . . . . . . . 10  |-  -u K  e.  RR
2625, 20mulge0i 10091 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  <_  -u K  /\  0  <_  M )  -> 
0  <_  ( -u K  x.  M ) )
2724, 26sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  <_  -u K  /\  N  <  M )  -> 
0  <_  ( -u K  x.  M ) )
2815, 27sylanb 472 . . . . . . 7  |-  ( ( K  <_  0  /\  N  <  M )  -> 
0  <_  ( -u K  x.  M ) )
2928expcom 435 . . . . . 6  |-  ( N  <  M  ->  ( K  <_  0  ->  0  <_  ( -u K  x.  M ) ) )
302, 20remulcli 9601 . . . . . . . 8  |-  ( K  x.  M )  e.  RR
31 le0neg1 10051 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  x.  M )  e.  RR  ->  (
( K  x.  M
)  <_  0  <->  0  <_  -u ( K  x.  M
) ) )
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( K  x.  M )  <_  0  <->  0  <_  -u ( K  x.  M
) )
332recni 9599 . . . . . . . . 9  |-  K  e.  CC
3420recni 9599 . . . . . . . . 9  |-  M  e.  CC
3533, 34mulneg1i 9993 . . . . . . . 8  |-  ( -u K  x.  M )  =  -u ( K  x.  M )
3635breq2i 4450 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  ( -u K  x.  M )  <->  0  <_  -u ( K  x.  M
) )
3732, 36bitr4i 252 . . . . . 6  |-  ( ( K  x.  M )  <_  0  <->  0  <_  (
-u K  x.  M
) )
3829, 37syl6ibr 227 . . . . 5  |-  ( N  <  M  ->  ( K  <_  0  ->  ( K  x.  M )  <_  0 ) )
3930, 3, 18lelttri 9702 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  x.  M
)  <_  0  /\  0  <  N )  -> 
( K  x.  M
)  <  N )
4017, 39mpan2 671 . . . . 5  |-  ( ( K  x.  M )  <_  0  ->  ( K  x.  M )  <  N )
4138, 40syl6 33 . . . 4  |-  ( N  <  M  ->  ( K  <_  0  ->  ( K  x.  M )  <  N ) )
42 lemulge12 10396 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR )  /\  ( 0  <_  M  /\  1  <_  K
) )  ->  M  <_  ( K  x.  M
) )
4320, 2, 42mpanl12 682 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  <_  M  /\  1  <_  K )  ->  M  <_  ( K  x.  M ) )
4424, 43sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( N  <  M  /\  1  <_  K )  ->  M  <_  ( K  x.  M ) )
4544ex 434 . . . . 5  |-  ( N  <  M  ->  (
1  <_  K  ->  M  <_  ( K  x.  M ) ) )
4618, 20, 30ltletri 9703 . . . . . 6  |-  ( ( N  <  M  /\  M  <_  ( K  x.  M ) )  ->  N  <  ( K  x.  M ) )
4746ex 434 . . . . 5  |-  ( N  <  M  ->  ( M  <_  ( K  x.  M )  ->  N  <  ( K  x.  M
) ) )
4845, 47syld 44 . . . 4  |-  ( N  <  M  ->  (
1  <_  K  ->  N  <  ( K  x.  M ) ) )
4941, 48orim12d 835 . . 3  |-  ( N  <  M  ->  (
( K  <_  0  \/  1  <_  K )  ->  ( ( K  x.  M )  < 
N  \/  N  < 
( K  x.  M
) ) ) )
5013, 49mpi 17 . 2  |-  ( N  <  M  ->  (
( K  x.  M
)  <  N  \/  N  <  ( K  x.  M ) ) )
5130, 18lttri2i 9689 . 2  |-  ( ( K  x.  M )  =/=  N  <->  ( ( K  x.  M )  <  N  \/  N  < 
( K  x.  M
) ) )
5250, 51sylibr 212 1  |-  ( N  <  M  ->  ( K  x.  M )  =/=  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    e. wcel 1762    =/= wne 2657   class class class wbr 4442  (class class class)co 6277   RRcr 9482   0cc0 9483   1c1 9484    x. cmul 9488    < clt 9619    <_ cle 9620   -ucneg 9797   NNcn 10527   ZZcz 10855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-z 10856
This theorem is referenced by:  dvdsle  13881
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