Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvdsleabs2 Structured version   Unicode version

Theorem dvdsleabs2 35764
Description: Transfer divisibility to an order constraint on absolute values. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdsleabs2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  ( M  ||  N  ->  ( abs `  M )  <_ 
( abs `  N
) ) )

Proof of Theorem dvdsleabs2
StepHypRef Expression
1 zabscl 13370 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( abs `  M )  e.  ZZ )
213anim1i 1192 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  (
( abs `  M
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )
32adantr 467 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  M  ||  N )  -> 
( ( abs `  M
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )
4 absdvdsb 14314 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  ( abs `  M ) 
||  N ) )
543adant3 1026 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  ( M  ||  N  <->  ( abs `  M )  ||  N
) )
65biimpa 487 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  M  ||  N )  -> 
( abs `  M
)  ||  N )
7 dvdsleabs 14344 . . 3  |-  ( ( ( abs `  M
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  (
( abs `  M
)  ||  N  ->  ( abs `  M )  <_  ( abs `  N
) ) )
83, 6, 7sylc 63 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  M  ||  N )  -> 
( abs `  M
)  <_  ( abs `  N ) )
98ex 436 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  ( M  ||  N  ->  ( abs `  M )  <_ 
( abs `  N
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 983    e. wcel 1869    =/= wne 2619   class class class wbr 4421   ` cfv 5599   0cc0 9541    <_ cle 9678   ZZcz 10939   abscabs 13291    || cdvds 14298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-sup 7960  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-rp 11305  df-seq 12215  df-exp 12274  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-dvds 14299
This theorem is referenced by:  jm2.19  35774
  Copyright terms: Public domain W3C validator