MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsle Structured version   Unicode version

Theorem dvdsle 13578
Description: The divisors of a positive integer are bounded by it. The proof does not use  /. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdsle  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  ||  N  ->  M  <_  N )
)

Proof of Theorem dvdsle
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 )  -> 
( N  <  M  <->  N  <  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) ) )
2 oveq2 6099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 )  -> 
( n  x.  M
)  =  ( n  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) ) )
32neeq1d 2621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 )  -> 
( ( n  x.  M )  =/=  N  <->  ( n  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) )  =/=  N ) )
41, 3imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 )  -> 
( ( N  < 
M  ->  ( n  x.  M )  =/=  N
)  <->  ( N  < 
if ( M  e.  ZZ ,  M , 
1 )  ->  (
n  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) )  =/=  N ) ) )
5 breq1 4295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( N  <  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 )  <-> 
if ( N  e.  NN ,  N , 
1 )  <  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) ) )
6 neeq2 2617 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( n  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
1 ) )  =/= 
N  <->  ( n  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
1 ) )  =/= 
if ( N  e.  NN ,  N , 
1 ) ) )
75, 6imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( N  < 
if ( M  e.  ZZ ,  M , 
1 )  ->  (
n  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) )  =/=  N )  <-> 
( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  < 
if ( M  e.  ZZ ,  M , 
1 )  ->  (
n  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) )  =/=  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) ) )
8 oveq1 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  if ( n  e.  ZZ ,  n ,  1 )  -> 
( n  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) )  =  ( if ( n  e.  ZZ ,  n ,  1 )  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) ) )
98neeq1d 2621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  if ( n  e.  ZZ ,  n ,  1 )  -> 
( ( n  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
1 ) )  =/= 
if ( N  e.  NN ,  N , 
1 )  <->  ( if ( n  e.  ZZ ,  n ,  1 )  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) )  =/=  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) )
109imbi2d 316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  if ( n  e.  ZZ ,  n ,  1 )  -> 
( ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  <  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 )  -> 
( n  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) )  =/=  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) )  <->  ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  <  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 )  -> 
( if ( n  e.  ZZ ,  n ,  1 )  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
1 ) )  =/= 
if ( N  e.  NN ,  N , 
1 ) ) ) )
11 1z 10676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ZZ
1211elimel 3852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 )  e.  ZZ
13 1nn 10333 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  NN
1413elimel 3852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  e.  NN
1511elimel 3852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( n  e.  ZZ ,  n ,  1 )  e.  ZZ
1612, 14, 15dvdslelem 13577 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  <  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 )  -> 
( if ( n  e.  ZZ ,  n ,  1 )  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
1 ) )  =/= 
if ( N  e.  NN ,  N , 
1 ) )
174, 7, 10, 16dedth3h 3843 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  ->  (
n  x.  M )  =/=  N ) )
18173expia 1189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( n  e.  ZZ  ->  ( N  <  M  ->  ( n  x.  M
)  =/=  N ) ) )
1918com23 78 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  <  M  ->  ( n  e.  ZZ  ->  ( n  x.  M
)  =/=  N ) ) )
20193impia 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  N  <  M )  ->  (
n  e.  ZZ  ->  ( n  x.  M )  =/=  N ) )
2120imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  N  <  M )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  x.  M
)  =/=  N )
2221neneqd 2624 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  N  <  M )  /\  n  e.  ZZ )  ->  -.  ( n  x.  M )  =  N )
2322nrexdv 2819 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  N  <  M )  ->  -.  E. n  e.  ZZ  (
n  x.  M )  =  N )
24 nnz 10668 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
25 divides 13537 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  (
n  x.  M )  =  N ) )
2624, 25sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  (
n  x.  M )  =  N ) )
27263adant3 1008 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  N  <  M )  ->  ( M  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( n  x.  M )  =  N ) )
2823, 27mtbird 301 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  N  <  M )  ->  -.  M  ||  N )
29283expia 1189 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  <  M  ->  -.  M  ||  N
) )
3029con2d 115 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  ||  N  ->  -.  N  <  M
) )
31 zre 10650 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
32 nnre 10329 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
33 lenlt 9453 . . 3  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  <_  N  <->  -.  N  <  M ) )
3431, 32, 33syl2an 477 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  <_  N  <->  -.  N  <  M ) )
3530, 34sylibrd 234 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  ||  N  ->  M  <_  N )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   E.wrex 2716   ifcif 3791   class class class wbr 4292  (class class class)co 6091   RRcr 9281   1c1 9283    x. cmul 9287    < clt 9418    <_ cle 9419   NNcn 10322   ZZcz 10646    || cdivides 13535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-z 10647  df-dvds 13536
This theorem is referenced by:  dvdsleabs  13579  dvdseq  13580  n2dvds1  13582  fzm1ndvds  13585  fzo0dvdseq  13586  gcd1  13716  bezoutlem4  13725  gcdeq  13736  isprm3  13772  qredeq  13792  isprm6  13795  isprm5  13798  maxprmfct  13799  prmfac1  13804  pcpre1  13909  pcidlem  13938  pcprod  13957  pcfac  13961  pockthg  13967  prmreclem1  13977  prmreclem3  13979  prmreclem5  13981  1arith  13988  4sqlem11  14016  gexcl2  16088  sylow1lem1  16097  sylow1lem5  16101  gexex  16335  ablfac1eu  16574  ablfaclem3  16588  znidomb  17994  sgmss  22444  dvdsflsumcom  22528  chtublem  22550  vmasum  22555  logfac2  22556  bposlem6  22628  lgsdir  22669  lgsdilem2  22670  lgsne0  22672  lgsqrlem2  22681  lgsquadlem2  22694  2sqlem8  22711  2sqblem  22716  oddpwdc  26737  nn0prpw  28518  bezoutr1  29329
  Copyright terms: Public domain W3C validator