MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsle Structured version   Unicode version

Theorem dvdsle 13879
Description: The divisors of a positive integer are bounded by it. The proof does not use  /. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdsle  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  ||  N  ->  M  <_  N )
)

Proof of Theorem dvdsle
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 )  -> 
( N  <  M  <->  N  <  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) ) )
2 oveq2 6283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 )  -> 
( n  x.  M
)  =  ( n  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) ) )
32neeq1d 2737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 )  -> 
( ( n  x.  M )  =/=  N  <->  ( n  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) )  =/=  N ) )
41, 3imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 )  -> 
( ( N  < 
M  ->  ( n  x.  M )  =/=  N
)  <->  ( N  < 
if ( M  e.  ZZ ,  M , 
1 )  ->  (
n  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) )  =/=  N ) ) )
5 breq1 4443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( N  <  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 )  <-> 
if ( N  e.  NN ,  N , 
1 )  <  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) ) )
6 neeq2 2743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( n  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
1 ) )  =/= 
N  <->  ( n  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
1 ) )  =/= 
if ( N  e.  NN ,  N , 
1 ) ) )
75, 6imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( N  < 
if ( M  e.  ZZ ,  M , 
1 )  ->  (
n  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) )  =/=  N )  <-> 
( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  < 
if ( M  e.  ZZ ,  M , 
1 )  ->  (
n  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) )  =/=  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) ) )
8 oveq1 6282 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  if ( n  e.  ZZ ,  n ,  1 )  -> 
( n  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) )  =  ( if ( n  e.  ZZ ,  n ,  1 )  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) ) )
98neeq1d 2737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  if ( n  e.  ZZ ,  n ,  1 )  -> 
( ( n  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
1 ) )  =/= 
if ( N  e.  NN ,  N , 
1 )  <->  ( if ( n  e.  ZZ ,  n ,  1 )  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) )  =/=  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) )
109imbi2d 316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  if ( n  e.  ZZ ,  n ,  1 )  -> 
( ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  <  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 )  -> 
( n  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) )  =/=  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) )  <->  ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  <  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 )  -> 
( if ( n  e.  ZZ ,  n ,  1 )  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
1 ) )  =/= 
if ( N  e.  NN ,  N , 
1 ) ) ) )
11 1z 10883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ZZ
1211elimel 3995 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 )  e.  ZZ
13 1nn 10536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  NN
1413elimel 3995 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  e.  NN
1511elimel 3995 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( n  e.  ZZ ,  n ,  1 )  e.  ZZ
1612, 14, 15dvdslelem 13878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  <  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 )  -> 
( if ( n  e.  ZZ ,  n ,  1 )  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
1 ) )  =/= 
if ( N  e.  NN ,  N , 
1 ) )
174, 7, 10, 16dedth3h 3986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  ->  (
n  x.  M )  =/=  N ) )
18173expia 1193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( n  e.  ZZ  ->  ( N  <  M  ->  ( n  x.  M
)  =/=  N ) ) )
1918com23 78 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  <  M  ->  ( n  e.  ZZ  ->  ( n  x.  M
)  =/=  N ) ) )
20193impia 1188 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  N  <  M )  ->  (
n  e.  ZZ  ->  ( n  x.  M )  =/=  N ) )
2120imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  N  <  M )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  x.  M
)  =/=  N )
2221neneqd 2662 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  N  <  M )  /\  n  e.  ZZ )  ->  -.  ( n  x.  M )  =  N )
2322nrexdv 2913 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  N  <  M )  ->  -.  E. n  e.  ZZ  (
n  x.  M )  =  N )
24 nnz 10875 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
25 divides 13838 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  (
n  x.  M )  =  N ) )
2624, 25sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  (
n  x.  M )  =  N ) )
27263adant3 1011 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  N  <  M )  ->  ( M  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( n  x.  M )  =  N ) )
2823, 27mtbird 301 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  N  <  M )  ->  -.  M  ||  N )
29283expia 1193 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  <  M  ->  -.  M  ||  N
) )
3029con2d 115 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  ||  N  ->  -.  N  <  M
) )
31 zre 10857 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
32 nnre 10532 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
33 lenlt 9652 . . 3  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  <_  N  <->  -.  N  <  M ) )
3431, 32, 33syl2an 477 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  <_  N  <->  -.  N  <  M ) )
3530, 34sylibrd 234 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  ||  N  ->  M  <_  N )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   E.wrex 2808   ifcif 3932   class class class wbr 4440  (class class class)co 6275   RRcr 9480   1c1 9482    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618   NNcn 10525   ZZcz 10853    || cdivides 13836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-z 10854  df-dvds 13837
This theorem is referenced by:  dvdsleabs  13880  dvdseq  13881  n2dvds1  13883  fzm1ndvds  13886  fzo0dvdseq  13887  gcd1  14018  bezoutlem4  14027  gcdeq  14038  isprm3  14074  qredeq  14095  isprm6  14098  isprm5  14101  maxprmfct  14102  prmfac1  14107  pcpre1  14214  pcidlem  14243  pcprod  14262  pcfac  14266  pockthg  14272  prmreclem1  14282  prmreclem3  14284  prmreclem5  14286  1arith  14293  4sqlem11  14321  gexcl2  16398  sylow1lem1  16407  sylow1lem5  16411  gexex  16645  ablfac1eu  16907  ablfaclem3  16921  znidomb  18360  sgmss  23101  dvdsflsumcom  23185  chtublem  23207  vmasum  23212  logfac2  23213  bposlem6  23285  lgsdir  23326  lgsdilem2  23327  lgsne0  23329  lgsqrlem2  23338  lgsquadlem2  23351  2sqlem8  23368  2sqblem  23373  oddpwdc  27919  nn0prpw  29705  bezoutr1  30515
  Copyright terms: Public domain W3C validator