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Theorem dvdsflf1o 23191
Description: A bijection from the numbers less than  N  /  A to the multiples of  A less than  N. Useful for some sum manipulations. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsflf1o.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
dvdsflf1o.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dvdsflf1o.f  |-  F  =  ( n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  N ) ) ) 
|->  ( N  x.  n
) )
Assertion
Ref Expression
dvdsflf1o  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N
) ) ) -1-1-onto-> { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x } )
Distinct variable groups:    x, n, A    n, N, x    ph, n
Allowed substitution hints:    ph( x)    F( x, n)

Proof of Theorem dvdsflf1o
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsflf1o.f . 2  |-  F  =  ( n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  N ) ) ) 
|->  ( N  x.  n
) )
2 dvdsflf1o.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
3 elfznn 11710 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) )  ->  n  e.  NN )
4 nnmulcl 10555 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( N  x.  n
)  e.  NN )
52, 3, 4syl2an 477 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  ( N  x.  n )  e.  NN )
6 dvdsflf1o.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
76, 2nndivred 10580 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  /  N
)  e.  RR )
8 fznnfl 11953 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  N )  e.  RR  ->  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N
) ) )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_ 
( A  /  N
) ) ) )
97, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  N ) ) )  <-> 
( n  e.  NN  /\  n  <_  ( A  /  N ) ) ) )
109simplbda 624 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  n  <_  ( A  /  N ) )
113adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
1211nnred 10547 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  n  e.  RR )
136adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  A  e.  RR )
142nnred 10547 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
1514adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  N  e.  RR )
162nngt0d 10575 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  N )
1716adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  0  <  N )
18 lemuldiv2 10421 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( N  x.  n )  <_  A  <->  n  <_  ( A  /  N ) ) )
1912, 13, 15, 17, 18syl112anc 1232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  ( ( N  x.  n )  <_  A  <->  n  <_  ( A  /  N ) ) )
2010, 19mpbird 232 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  ( N  x.  n )  <_  A
)
212nnzd 10961 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
22 elfzelz 11684 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
23 zmulcl 10907 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( N  x.  n
)  e.  ZZ )
2421, 22, 23syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  ( N  x.  n )  e.  ZZ )
25 flge 11906 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( N  x.  n
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  x.  n )  <_  A 
<->  ( N  x.  n
)  <_  ( |_ `  A ) ) )
2613, 24, 25syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  ( ( N  x.  n )  <_  A  <->  ( N  x.  n )  <_  ( |_ `  A ) ) )
2720, 26mpbid 210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  ( N  x.  n )  <_  ( |_ `  A ) )
286flcld 11899 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( |_ `  A
)  e.  ZZ )
2928adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
30 fznn 11743 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  A )  e.  ZZ  ->  (
( N  x.  n
)  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  <->  ( ( N  x.  n )  e.  NN  /\  ( N  x.  n )  <_ 
( |_ `  A
) ) ) )
3129, 30syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  ( ( N  x.  n )  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  <-> 
( ( N  x.  n )  e.  NN  /\  ( N  x.  n
)  <_  ( |_ `  A ) ) ) )
325, 27, 31mpbir2and 920 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  ( N  x.  n )  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) )
33 dvdsmul1 13862 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( N  x.  n ) )
3421, 22, 33syl2an 477 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  N  ||  ( N  x.  n )
)
35 breq2 4451 . . . 4  |-  ( x  =  ( N  x.  n )  ->  ( N  ||  x  <->  N  ||  ( N  x.  n )
) )
3635elrab 3261 . . 3  |-  ( ( N  x.  n )  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x } 
<->  ( ( N  x.  n )  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) )  /\  N  ||  ( N  x.  n )
) )
3732, 34, 36sylanbrc 664 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  ( N  x.  n )  e.  {
x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)
38 breq2 4451 . . . . . . 7  |-  ( x  =  m  ->  ( N  ||  x  <->  N  ||  m
) )
3938elrab 3261 . . . . . 6  |-  ( m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x } 
<->  ( m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) )  /\  N  ||  m
) )
4039simprbi 464 . . . . 5  |-  ( m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }  ->  N  ||  m
)
4140adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  N  ||  m
)
42 elrabi 3258 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }  ->  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) )
4342adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )
44 elfznn 11710 . . . . . 6  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  m  e.  NN )
4543, 44syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  m  e.  NN )
462adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  N  e.  NN )
47 nndivdvds 13849 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  ||  m  <->  ( m  /  N )  e.  NN ) )
4845, 46, 47syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  ( N  ||  m  <->  ( m  /  N )  e.  NN ) )
4941, 48mpbid 210 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  ( m  /  N )  e.  NN )
50 fznnfl 11953 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  <->  ( m  e.  NN  /\  m  <_  A ) ) )
516, 50syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) )  <-> 
( m  e.  NN  /\  m  <_  A )
) )
5251simplbda 624 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  m  <_  A )
5342, 52sylan2 474 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  m  <_  A )
5445nnred 10547 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  m  e.  RR )
556adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  A  e.  RR )
5614adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  N  e.  RR )
5716adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  0  <  N )
58 lediv1 10403 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( m  <_  A  <->  ( m  /  N )  <_  ( A  /  N ) ) )
5954, 55, 56, 57, 58syl112anc 1232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  ( m  <_  A  <->  ( m  /  N )  <_  ( A  /  N ) ) )
6053, 59mpbid 210 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  ( m  /  N )  <_  ( A  /  N ) )
617adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  ( A  /  N )  e.  RR )
62 fznnfl 11953 . . . 4  |-  ( ( A  /  N )  e.  RR  ->  (
( m  /  N
)  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N
) ) )  <->  ( (
m  /  N )  e.  NN  /\  (
m  /  N )  <_  ( A  /  N ) ) ) )
6361, 62syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  ( (
m  /  N )  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) )  <->  ( ( m  /  N )  e.  NN  /\  ( m  /  N )  <_ 
( A  /  N
) ) ) )
6449, 60, 63mpbir2and 920 . 2  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  ( m  /  N )  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  N ) ) ) )
6545nncnd 10548 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  m  e.  CC )
6665adantrl 715 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) )  /\  m  e.  {
x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
) )  ->  m  e.  CC )
672nncnd 10548 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
6867adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) )  /\  m  e.  {
x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
) )  ->  N  e.  CC )
6911nncnd 10548 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  n  e.  CC )
7069adantrr 716 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) )  /\  m  e.  {
x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
) )  ->  n  e.  CC )
712nnne0d 10576 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
7271adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) )  /\  m  e.  {
x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
) )  ->  N  =/=  0 )
7366, 68, 70, 72divmuld 10338 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) )  /\  m  e.  {
x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
) )  ->  (
( m  /  N
)  =  n  <->  ( N  x.  n )  =  m ) )
74 eqcom 2476 . . 3  |-  ( n  =  ( m  /  N )  <->  ( m  /  N )  =  n )
75 eqcom 2476 . . 3  |-  ( m  =  ( N  x.  n )  <->  ( N  x.  n )  =  m )
7673, 74, 753bitr4g 288 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) )  /\  m  e.  {
x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
) )  ->  (
n  =  ( m  /  N )  <->  m  =  ( N  x.  n
) ) )
771, 37, 64, 76f1o2d 6509 1  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N
) ) ) -1-1-onto-> { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   {crab 2818   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    x. cmul 9493    < clt 9624    <_ cle 9625    / cdiv 10202   NNcn 10532   ZZcz 10860   ...cfz 11668   |_cfl 11891    || cdivides 13843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fl 11893  df-dvds 13844
This theorem is referenced by:  dvdsflsumcom  23192  logfac2  23220
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