Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsflf1o Structured version   Unicode version

Theorem dvdsflf1o 23846
 Description: A bijection from the numbers less than to the multiples of less than . Useful for some sum manipulations. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsflf1o.1
dvdsflf1o.2
dvdsflf1o.f
Assertion
Ref Expression
dvdsflf1o
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)

Proof of Theorem dvdsflf1o
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsflf1o.f . 2
2 dvdsflf1o.2 . . . . 5
3 elfznn 11770 . . . . 5
4 nnmulcl 10601 . . . . 5
52, 3, 4syl2an 477 . . . 4
6 dvdsflf1o.1 . . . . . . . . 9
76, 2nndivred 10627 . . . . . . . 8
8 fznnfl 12029 . . . . . . . 8
97, 8syl 17 . . . . . . 7
109simplbda 624 . . . . . 6
113adantl 466 . . . . . . . 8
1211nnred 10593 . . . . . . 7
136adantr 465 . . . . . . 7
142nnred 10593 . . . . . . . 8
1514adantr 465 . . . . . . 7
162nngt0d 10622 . . . . . . . 8
1716adantr 465 . . . . . . 7
18 lemuldiv2 10467 . . . . . . 7
1912, 13, 15, 17, 18syl112anc 1236 . . . . . 6
2010, 19mpbird 234 . . . . 5
212nnzd 11009 . . . . . . 7
22 elfzelz 11744 . . . . . . 7
23 zmulcl 10955 . . . . . . 7
2421, 22, 23syl2an 477 . . . . . 6
25 flge 11981 . . . . . 6
2613, 24, 25syl2anc 661 . . . . 5
2720, 26mpbid 212 . . . 4
286flcld 11974 . . . . . 6
2928adantr 465 . . . . 5
30 fznn 11804 . . . . 5
3129, 30syl 17 . . . 4
325, 27, 31mpbir2and 925 . . 3
33 dvdsmul1 14216 . . . 4
3421, 22, 33syl2an 477 . . 3
35 breq2 4401 . . . 4
3635elrab 3209 . . 3
3732, 34, 36sylanbrc 664 . 2
38 breq2 4401 . . . . . . 7
3938elrab 3209 . . . . . 6
4039simprbi 464 . . . . 5
4140adantl 466 . . . 4
42 elrabi 3206 . . . . . . 7
4342adantl 466 . . . . . 6
44 elfznn 11770 . . . . . 6
4543, 44syl 17 . . . . 5
462adantr 465 . . . . 5
47 nndivdvds 14203 . . . . 5
4845, 46, 47syl2anc 661 . . . 4
4941, 48mpbid 212 . . 3
50 fznnfl 12029 . . . . . . 7
516, 50syl 17 . . . . . 6
5251simplbda 624 . . . . 5
5342, 52sylan2 474 . . . 4
5445nnred 10593 . . . . 5
556adantr 465 . . . . 5
5614adantr 465 . . . . 5
5716adantr 465 . . . . 5
58 lediv1 10450 . . . . 5
5954, 55, 56, 57, 58syl112anc 1236 . . . 4
6053, 59mpbid 212 . . 3
617adantr 465 . . . 4
62 fznnfl 12029 . . . 4
6361, 62syl 17 . . 3
6449, 60, 63mpbir2and 925 . 2
6545nncnd 10594 . . . . 5
6665adantrl 716 . . . 4
672nncnd 10594 . . . . 5
6867adantr 465 . . . 4
6911nncnd 10594 . . . . 5
7069adantrr 717 . . . 4
712nnne0d 10623 . . . . 5
7271adantr 465 . . . 4
7366, 68, 70, 72divmuld 10385 . . 3
74 eqcom 2413 . . 3
75 eqcom 2413 . . 3
7673, 74, 753bitr4g 290 . 2
771, 37, 64, 76f1o2d 6510 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 186   wa 369   wceq 1407   wcel 1844   wne 2600  crab 2760   class class class wbr 4397   cmpt 4455  wf1o 5570  cfv 5571  (class class class)co 6280  cc 9522  cr 9523  cc0 9524  c1 9525   cmul 9529   clt 9660   cle 9661   cdiv 10249  cn 10578  cz 10907  cfz 11728  cfl 11966   cdvds 14197 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602 This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-sup 7937  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-fz 11729  df-fl 11968  df-dvds 14198 This theorem is referenced by:  dvdsflsumcom  23847  logfac2  23875
 Copyright terms: Public domain W3C validator