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Theorem dvdsflf1o 22542
Description: A bijection from the numbers less than  N  /  A to the multiples of  A less than  N. Useful for some sum manipulations. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsflf1o.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
dvdsflf1o.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dvdsflf1o.f  |-  F  =  ( n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  N ) ) ) 
|->  ( N  x.  n
) )
Assertion
Ref Expression
dvdsflf1o  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N
) ) ) -1-1-onto-> { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x } )
Distinct variable groups:    x, n, A    n, N, x    ph, n
Allowed substitution hints:    ph( x)    F( x, n)

Proof of Theorem dvdsflf1o
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsflf1o.f . 2  |-  F  =  ( n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  N ) ) ) 
|->  ( N  x.  n
) )
2 dvdsflf1o.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
3 elfznn 11493 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) )  ->  n  e.  NN )
4 nnmulcl 10360 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( N  x.  n
)  e.  NN )
52, 3, 4syl2an 477 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  ( N  x.  n )  e.  NN )
6 dvdsflf1o.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
76, 2nndivred 10385 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  /  N
)  e.  RR )
8 fznnfl 11716 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  N )  e.  RR  ->  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N
) ) )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_ 
( A  /  N
) ) ) )
97, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  N ) ) )  <-> 
( n  e.  NN  /\  n  <_  ( A  /  N ) ) ) )
109simplbda 624 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  n  <_  ( A  /  N ) )
113adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
1211nnred 10352 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  n  e.  RR )
136adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  A  e.  RR )
142nnred 10352 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
1514adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  N  e.  RR )
162nngt0d 10380 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  N )
1716adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  0  <  N )
18 lemuldiv2 10227 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( N  x.  n )  <_  A  <->  n  <_  ( A  /  N ) ) )
1912, 13, 15, 17, 18syl112anc 1222 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  ( ( N  x.  n )  <_  A  <->  n  <_  ( A  /  N ) ) )
2010, 19mpbird 232 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  ( N  x.  n )  <_  A
)
212nnzd 10761 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
22 elfzelz 11468 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
23 zmulcl 10708 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( N  x.  n
)  e.  ZZ )
2421, 22, 23syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  ( N  x.  n )  e.  ZZ )
25 flge 11670 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( N  x.  n
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  x.  n )  <_  A 
<->  ( N  x.  n
)  <_  ( |_ `  A ) ) )
2613, 24, 25syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  ( ( N  x.  n )  <_  A  <->  ( N  x.  n )  <_  ( |_ `  A ) ) )
2720, 26mpbid 210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  ( N  x.  n )  <_  ( |_ `  A ) )
286flcld 11663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( |_ `  A
)  e.  ZZ )
2928adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
30 fznn 11541 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  A )  e.  ZZ  ->  (
( N  x.  n
)  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  <->  ( ( N  x.  n )  e.  NN  /\  ( N  x.  n )  <_ 
( |_ `  A
) ) ) )
3129, 30syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  ( ( N  x.  n )  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  <-> 
( ( N  x.  n )  e.  NN  /\  ( N  x.  n
)  <_  ( |_ `  A ) ) ) )
325, 27, 31mpbir2and 913 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  ( N  x.  n )  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) )
33 dvdsmul1 13569 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( N  x.  n ) )
3421, 22, 33syl2an 477 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  N  ||  ( N  x.  n )
)
35 breq2 4311 . . . 4  |-  ( x  =  ( N  x.  n )  ->  ( N  ||  x  <->  N  ||  ( N  x.  n )
) )
3635elrab 3132 . . 3  |-  ( ( N  x.  n )  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x } 
<->  ( ( N  x.  n )  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) )  /\  N  ||  ( N  x.  n )
) )
3732, 34, 36sylanbrc 664 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  ( N  x.  n )  e.  {
x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)
38 breq2 4311 . . . . . . 7  |-  ( x  =  m  ->  ( N  ||  x  <->  N  ||  m
) )
3938elrab 3132 . . . . . 6  |-  ( m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x } 
<->  ( m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) )  /\  N  ||  m
) )
4039simprbi 464 . . . . 5  |-  ( m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }  ->  N  ||  m
)
4140adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  N  ||  m
)
42 elrabi 3129 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }  ->  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) )
4342adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )
44 elfznn 11493 . . . . . 6  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  m  e.  NN )
4543, 44syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  m  e.  NN )
462adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  N  e.  NN )
47 nndivdvds 13556 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  ||  m  <->  ( m  /  N )  e.  NN ) )
4845, 46, 47syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  ( N  ||  m  <->  ( m  /  N )  e.  NN ) )
4941, 48mpbid 210 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  ( m  /  N )  e.  NN )
50 fznnfl 11716 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  <->  ( m  e.  NN  /\  m  <_  A ) ) )
516, 50syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) )  <-> 
( m  e.  NN  /\  m  <_  A )
) )
5251simplbda 624 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  m  <_  A )
5342, 52sylan2 474 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  m  <_  A )
5445nnred 10352 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  m  e.  RR )
556adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  A  e.  RR )
5614adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  N  e.  RR )
5716adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  0  <  N )
58 lediv1 10209 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( m  <_  A  <->  ( m  /  N )  <_  ( A  /  N ) ) )
5954, 55, 56, 57, 58syl112anc 1222 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  ( m  <_  A  <->  ( m  /  N )  <_  ( A  /  N ) ) )
6053, 59mpbid 210 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  ( m  /  N )  <_  ( A  /  N ) )
617adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  ( A  /  N )  e.  RR )
62 fznnfl 11716 . . . 4  |-  ( ( A  /  N )  e.  RR  ->  (
( m  /  N
)  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N
) ) )  <->  ( (
m  /  N )  e.  NN  /\  (
m  /  N )  <_  ( A  /  N ) ) ) )
6361, 62syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  ( (
m  /  N )  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) )  <->  ( ( m  /  N )  e.  NN  /\  ( m  /  N )  <_ 
( A  /  N
) ) ) )
6449, 60, 63mpbir2and 913 . 2  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  ( m  /  N )  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  N ) ) ) )
6545nncnd 10353 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  m  e.  CC )
6665adantrl 715 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) )  /\  m  e.  {
x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
) )  ->  m  e.  CC )
672nncnd 10353 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
6867adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) )  /\  m  e.  {
x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
) )  ->  N  e.  CC )
6911nncnd 10353 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  n  e.  CC )
7069adantrr 716 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) )  /\  m  e.  {
x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
) )  ->  n  e.  CC )
712nnne0d 10381 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
7271adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) )  /\  m  e.  {
x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
) )  ->  N  =/=  0 )
7366, 68, 70, 72divmuld 10144 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) )  /\  m  e.  {
x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
) )  ->  (
( m  /  N
)  =  n  <->  ( N  x.  n )  =  m ) )
74 eqcom 2445 . . 3  |-  ( n  =  ( m  /  N )  <->  ( m  /  N )  =  n )
75 eqcom 2445 . . 3  |-  ( m  =  ( N  x.  n )  <->  ( N  x.  n )  =  m )
7673, 74, 753bitr4g 288 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) )  /\  m  e.  {
x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
) )  ->  (
n  =  ( m  /  N )  <->  m  =  ( N  x.  n
) ) )
771, 37, 64, 76f1o2d 6327 1  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N
) ) ) -1-1-onto-> { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   {crab 2734   class class class wbr 4307    e. cmpt 4365   -1-1-onto->wf1o 5432   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   CCcc 9295   RRcr 9296   0cc0 9297   1c1 9298    x. cmul 9302    < clt 9433    <_ cle 9434    / cdiv 10008   NNcn 10337   ZZcz 10661   ...cfz 11452   |_cfl 11655    || cdivides 13550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374  ax-pre-sup 9375
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-er 7116  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-sup 7706  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-div 10009  df-nn 10338  df-n0 10595  df-z 10662  df-uz 10877  df-fz 11453  df-fl 11657  df-dvds 13551
This theorem is referenced by:  dvdsflsumcom  22543  logfac2  22571
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