Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsfac Structured version   Unicode version

Theorem dvdsfac 13917
 Description: A positive integer divides any greater factorial. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
dvdsfac

Proof of Theorem dvdsfac
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5872 . . . . 5
21breq2d 4465 . . . 4
32imbi2d 316 . . 3
4 fveq2 5872 . . . . 5
54breq2d 4465 . . . 4
65imbi2d 316 . . 3
7 fveq2 5872 . . . . 5
87breq2d 4465 . . . 4
98imbi2d 316 . . 3
10 fveq2 5872 . . . . 5
1110breq2d 4465 . . . 4
1211imbi2d 316 . . 3
13 nnm1nn0 10849 . . . . . . . 8
14 faccl 12343 . . . . . . . 8
1513, 14syl 16 . . . . . . 7
1615nnzd 10977 . . . . . 6
17 nnz 10898 . . . . . 6
18 dvdsmul2 13884 . . . . . 6
1916, 17, 18syl2anc 661 . . . . 5
20 facnn2 12342 . . . . 5
2119, 20breqtrrd 4479 . . . 4
2221a1i 11 . . 3
2317adantl 466 . . . . . . 7
24 elnnuz 11130 . . . . . . . . . . . 12
25 uztrn 11110 . . . . . . . . . . . 12
2624, 25sylan2b 475 . . . . . . . . . . 11
27 elnnuz 11130 . . . . . . . . . . 11
2826, 27sylibr 212 . . . . . . . . . 10
2928nnnn0d 10864 . . . . . . . . 9
30 faccl 12343 . . . . . . . . 9
3129, 30syl 16 . . . . . . . 8
3231nnzd 10977 . . . . . . 7
3328nnzd 10977 . . . . . . . 8
3433peano2zd 10981 . . . . . . 7
35 dvdsmultr1 13896 . . . . . . 7
3623, 32, 34, 35syl3anc 1228 . . . . . 6
37 facp1 12338 . . . . . . . 8
3829, 37syl 16 . . . . . . 7
3938breq2d 4465 . . . . . 6
4036, 39sylibrd 234 . . . . 5
4140ex 434 . . . 4
4241a2d 26 . . 3
433, 6, 9, 12, 22, 42uzind4 11151 . 2
4443impcom 430 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   class class class wbr 4453  cfv 5594  (class class class)co 6295  c1 9505   caddc 9507   cmul 9509   cmin 9817  cn 10548  cn0 10807  cz 10876  cuz 11094  cfa 12333   cdivides 13864 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-seq 12088  df-fac 12334  df-dvds 13865 This theorem is referenced by:  prmunb  14308  gexcl3  16480  wilth  23211  chtublem  23352
 Copyright terms: Public domain W3C validator