MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsext Structured version   Unicode version

Theorem dvdsext 13582
Description: Poset extensionality for division. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvdsext  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A  =  B  <->  A. x  e.  NN0  ( A  ||  x  <->  B  ||  x
) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem dvdsext
StepHypRef Expression
1 breq1 4293 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  ( A  ||  x  <->  B  ||  x
) )
21ralrimivw 2798 . 2  |-  ( A  =  B  ->  A. x  e.  NN0  ( A  ||  x 
<->  B  ||  x ) )
3 simpll 753 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( A  ||  x  <->  B  ||  x
) )  ->  A  e.  NN0 )
4 simplr 754 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( A  ||  x  <->  B  ||  x
) )  ->  B  e.  NN0 )
5 nn0z 10667 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  NN0  ->  B  e.  ZZ )
6 iddvds 13544 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  ||  B )
75, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( B  e.  NN0  ->  B  ||  B )
87ad2antlr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( A  ||  x  <->  B  ||  x
) )  ->  B  ||  B )
9 breq2 4294 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  ( A  ||  x  <->  A  ||  B
) )
10 breq2 4294 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  ( B  ||  x  <->  B  ||  B
) )
119, 10bibi12d 321 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  ||  x  <->  B 
||  x )  <->  ( A  ||  B  <->  B  ||  B ) ) )
1211rspcva 3069 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( A  ||  x  <->  B  ||  x
) )  ->  ( A  ||  B  <->  B  ||  B
) )
1312adantll 713 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( A  ||  x  <->  B  ||  x
) )  ->  ( A  ||  B  <->  B  ||  B
) )
148, 13mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( A  ||  x  <->  B  ||  x
) )  ->  A  ||  B )
15 nn0z 10667 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  ZZ )
16 iddvds 13544 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  ||  A )
1715, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  ||  A )
1817ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( A  ||  x  <->  B  ||  x
) )  ->  A  ||  A )
19 breq2 4294 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  ( A  ||  x  <->  A  ||  A
) )
20 breq2 4294 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  ( B  ||  x  <->  B  ||  A
) )
2119, 20bibi12d 321 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
( A  ||  x  <->  B 
||  x )  <->  ( A  ||  A  <->  B  ||  A ) ) )
2221rspcva 3069 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( A  ||  x  <->  B  ||  x
) )  ->  ( A  ||  A  <->  B  ||  A
) )
2322adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( A  ||  x  <->  B  ||  x
) )  ->  ( A  ||  A  <->  B  ||  A
) )
2418, 23mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( A  ||  x  <->  B  ||  x
) )  ->  B  ||  A )
25 dvdseq 13578 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  /\  ( A  ||  B  /\  B  ||  A ) )  ->  A  =  B )
263, 4, 14, 24, 25syl22anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( A  ||  x  <->  B  ||  x
) )  ->  A  =  B )
2726ex 434 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A. x  e. 
NN0  ( A  ||  x 
<->  B  ||  x )  ->  A  =  B ) )
282, 27impbid2 204 1  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A  =  B  <->  A. x  e.  NN0  ( A  ||  x  <->  B  ||  x
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2713   class class class wbr 4290   NN0cn0 10577   ZZcz 10644    || cdivides 13533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-n0 10578  df-z 10645  df-dvds 13534
This theorem is referenced by:  odmulg  16055  znchr  17993
  Copyright terms: Public domain W3C validator