MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsexp Structured version   Unicode version

Theorem dvdsexp 13574
Description: A power divides a power with a greater exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdsexp  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ M )  ||  ( A ^ N ) )

Proof of Theorem dvdsexp
StepHypRef Expression
1 simp1 983 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A  e.  ZZ )
2 uznn0sub 10882 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  -  M )  e.  NN0 )
323ad2ant3 1006 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( N  -  M )  e.  NN0 )
4 zexpcl 11866 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ ( N  -  M )
)  e.  ZZ )
51, 3, 4syl2anc 656 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ ( N  -  M ) )  e.  ZZ )
6 zexpcl 11866 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( A ^ M
)  e.  ZZ )
763adant3 1003 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ M )  e.  ZZ )
8 dvdsmul2 13540 . . 3  |-  ( ( ( A ^ ( N  -  M )
)  e.  ZZ  /\  ( A ^ M )  e.  ZZ )  -> 
( A ^ M
)  ||  ( ( A ^ ( N  -  M ) )  x.  ( A ^ M
) ) )
95, 7, 8syl2anc 656 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ M )  ||  (
( A ^ ( N  -  M )
)  x.  ( A ^ M ) ) )
101zcnd 10738 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A  e.  CC )
11 simp2 984 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  e.  NN0 )
1210, 11, 3expaddd 11996 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ ( ( N  -  M )  +  M ) )  =  ( ( A ^
( N  -  M
) )  x.  ( A ^ M ) ) )
13 eluzelz 10860 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
1413zcnd 10738 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  CC )
15143ad2ant3 1006 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  N  e.  CC )
1611nn0cnd 10628 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  e.  CC )
1715, 16npcand 9713 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( N  -  M )  +  M )  =  N )
1817oveq2d 6098 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ ( ( N  -  M )  +  M ) )  =  ( A ^ N
) )
1912, 18eqtr3d 2469 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( A ^ ( N  -  M ) )  x.  ( A ^ M
) )  =  ( A ^ N ) )
209, 19breqtrd 4306 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ M )  ||  ( A ^ N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 960    e. wcel 1757   class class class wbr 4282   ` cfv 5408  (class class class)co 6082   CCcc 9270    + caddc 9275    x. cmul 9277    - cmin 9585   NN0cn0 10569   ZZcz 10636   ZZ>=cuz 10851   ^cexp 11851    || cdivides 13520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2416  ax-sep 4403  ax-nul 4411  ax-pow 4460  ax-pr 4521  ax-un 6363  ax-cnex 9328  ax-resscn 9329  ax-1cn 9330  ax-icn 9331  ax-addcl 9332  ax-addrcl 9333  ax-mulcl 9334  ax-mulrcl 9335  ax-mulcom 9336  ax-addass 9337  ax-mulass 9338  ax-distr 9339  ax-i2m1 9340  ax-1ne0 9341  ax-1rid 9342  ax-rnegex 9343  ax-rrecex 9344  ax-cnre 9345  ax-pre-lttri 9346  ax-pre-lttrn 9347  ax-pre-ltadd 9348  ax-pre-mulgt0 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1702  df-eu 2260  df-mo 2261  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2966  df-sbc 3178  df-csb 3279  df-dif 3321  df-un 3323  df-in 3325  df-ss 3332  df-pss 3334  df-nul 3628  df-if 3782  df-pw 3852  df-sn 3868  df-pr 3870  df-tp 3872  df-op 3874  df-uni 4082  df-iun 4163  df-br 4283  df-opab 4341  df-mpt 4342  df-tr 4376  df-eprel 4621  df-id 4625  df-po 4630  df-so 4631  df-fr 4668  df-we 4670  df-ord 4711  df-on 4712  df-lim 4713  df-suc 4714  df-xp 4835  df-rel 4836  df-cnv 4837  df-co 4838  df-dm 4839  df-rn 4840  df-res 4841  df-ima 4842  df-iota 5371  df-fun 5410  df-fn 5411  df-f 5412  df-f1 5413  df-fo 5414  df-f1o 5415  df-fv 5416  df-riota 6041  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-om 6468  df-2nd 6569  df-recs 6820  df-rdg 6854  df-er 7091  df-en 7301  df-dom 7302  df-sdom 7303  df-pnf 9410  df-mnf 9411  df-xr 9412  df-ltxr 9413  df-le 9414  df-sub 9587  df-neg 9588  df-nn 10313  df-n0 10570  df-z 10637  df-uz 10852  df-seq 11793  df-exp 11852  df-dvds 13521
This theorem is referenced by:  bitsmod  13617  pcpremul  13895  pcdvdsb  13920  lt6abl  16353  ablfac1eu  16550  dvdsppwf1o  22413  jm2.20nn  29193
  Copyright terms: Public domain W3C validator