MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsexp Structured version   Unicode version

Theorem dvdsexp 13901
Description: A power divides a power with a greater exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdsexp  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ M )  ||  ( A ^ N ) )

Proof of Theorem dvdsexp
StepHypRef Expression
1 simp1 996 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A  e.  ZZ )
2 uznn0sub 11113 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  -  M )  e.  NN0 )
323ad2ant3 1019 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( N  -  M )  e.  NN0 )
4 zexpcl 12149 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ ( N  -  M )
)  e.  ZZ )
51, 3, 4syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ ( N  -  M ) )  e.  ZZ )
6 zexpcl 12149 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( A ^ M
)  e.  ZZ )
763adant3 1016 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ M )  e.  ZZ )
8 dvdsmul2 13867 . . 3  |-  ( ( ( A ^ ( N  -  M )
)  e.  ZZ  /\  ( A ^ M )  e.  ZZ )  -> 
( A ^ M
)  ||  ( ( A ^ ( N  -  M ) )  x.  ( A ^ M
) ) )
95, 7, 8syl2anc 661 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ M )  ||  (
( A ^ ( N  -  M )
)  x.  ( A ^ M ) ) )
101zcnd 10967 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A  e.  CC )
11 simp2 997 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  e.  NN0 )
1210, 11, 3expaddd 12280 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ ( ( N  -  M )  +  M ) )  =  ( ( A ^
( N  -  M
) )  x.  ( A ^ M ) ) )
13 eluzelz 11091 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
1413zcnd 10967 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  CC )
15143ad2ant3 1019 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  N  e.  CC )
1611nn0cnd 10854 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  e.  CC )
1715, 16npcand 9934 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( N  -  M )  +  M )  =  N )
1817oveq2d 6300 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ ( ( N  -  M )  +  M ) )  =  ( A ^ N
) )
1912, 18eqtr3d 2510 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( A ^ ( N  -  M ) )  x.  ( A ^ M
) )  =  ( A ^ N ) )
209, 19breqtrd 4471 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ M )  ||  ( A ^ N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490    + caddc 9495    x. cmul 9497    - cmin 9805   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082   ^cexp 12134    || cdivides 13847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-seq 12076  df-exp 12135  df-dvds 13848
This theorem is referenced by:  bitsmod  13945  pcpremul  14226  pcdvdsb  14251  lt6abl  16700  ablfac1eu  16926  dvdsppwf1o  23218  jm2.20nn  30571
  Copyright terms: Public domain W3C validator