MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsdivcl Structured version   Unicode version

Theorem dvdsdivcl 23323
Description: The complement of a divisor of  N is also a divisor of  N. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvdsdivcl  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  A )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
Distinct variable groups:    x, A    x, N

Proof of Theorem dvdsdivcl
StepHypRef Expression
1 breq1 4456 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
x  ||  N  <->  A  ||  N
) )
21elrab 3266 . . . . . 6  |-  ( A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  ( A  e.  NN  /\  A  ||  N ) )
32simprbi 464 . . . . 5  |-  ( A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  A  ||  N )
43adantl 466 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  A  ||  N )
5 elrabi 3263 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  A  e.  NN )
65adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  A  e.  NN )
7 nnz 10898 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
86, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  A  e.  ZZ )
96nnne0d 10592 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  A  =/=  0 )
10 nnz 10898 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
1110adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  N  e.  ZZ )
12 dvdsval2 13867 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  A  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  N  <->  ( N  /  A )  e.  ZZ ) )
138, 9, 11, 12syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( A  ||  N  <->  ( N  /  A )  e.  ZZ ) )
144, 13mpbid 210 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  A )  e.  ZZ )
15 nnre 10555 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
1615adantr 465 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  N  e.  RR )
176nnred 10563 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  A  e.  RR )
18 nngt0 10577 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
1918adantr 465 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  0  <  N )
20 nngt0 10577 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )
216, 20syl 16 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  0  <  A )
2216, 17, 19, 21divgt0d 10493 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  0  <  ( N  /  A
) )
23 elnnz 10886 . . 3  |-  ( ( N  /  A )  e.  NN  <->  ( ( N  /  A )  e.  ZZ  /\  0  < 
( N  /  A
) ) )
2414, 22, 23sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  A )  e.  NN )
25 nncn 10556 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
2625adantr 465 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  N  e.  CC )
276nncnd 10564 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  A  e.  CC )
2826, 27, 9divcan2d 10334 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( A  x.  ( N  /  A ) )  =  N )
29 dvds0lem 13872 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  ( N  /  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( A  x.  ( N  /  A ) )  =  N )  -> 
( N  /  A
)  ||  N )
308, 14, 11, 28, 29syl31anc 1231 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  A )  ||  N )
31 breq1 4456 . . 3  |-  ( x  =  ( N  /  A )  ->  (
x  ||  N  <->  ( N  /  A )  ||  N
) )
3231elrab 3266 . 2  |-  ( ( N  /  A )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  ( ( N  /  A )  e.  NN  /\  ( N  /  A )  ||  N ) )
3324, 30, 32sylanbrc 664 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  A )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   {crab 2821   class class class wbr 4453  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504    x. cmul 9509    < clt 9640    / cdiv 10218   NNcn 10548   ZZcz 10876    || cdivides 13864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-z 10877  df-dvds 13865
This theorem is referenced by:  dvdsflip  23324  fsumdvdsdiaglem  23325  fsumdvdsdiag  23326  fsumdvdscom  23327  muinv  23335  logsqvma  23593  logsqvma2  23594  selberg  23599  selberg34r  23622  pntsval2  23627  pntrlog2bndlem1  23628
  Copyright terms: Public domain W3C validator