MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsdivcl Structured version   Unicode version

Theorem dvdsdivcl 22521
Description: The complement of a divisor of  N is also a divisor of  N. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvdsdivcl  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  A )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
Distinct variable groups:    x, A    x, N

Proof of Theorem dvdsdivcl
StepHypRef Expression
1 breq1 4295 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
x  ||  N  <->  A  ||  N
) )
21elrab 3117 . . . . . 6  |-  ( A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  ( A  e.  NN  /\  A  ||  N ) )
32simprbi 464 . . . . 5  |-  ( A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  A  ||  N )
43adantl 466 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  A  ||  N )
5 elrabi 3114 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  A  e.  NN )
65adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  A  e.  NN )
7 nnz 10668 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
86, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  A  e.  ZZ )
96nnne0d 10366 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  A  =/=  0 )
10 nnz 10668 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
1110adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  N  e.  ZZ )
12 dvdsval2 13538 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  A  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  N  <->  ( N  /  A )  e.  ZZ ) )
138, 9, 11, 12syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( A  ||  N  <->  ( N  /  A )  e.  ZZ ) )
144, 13mpbid 210 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  A )  e.  ZZ )
15 nnre 10329 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
1615adantr 465 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  N  e.  RR )
176nnred 10337 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  A  e.  RR )
18 nngt0 10351 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
1918adantr 465 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  0  <  N )
20 nngt0 10351 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )
216, 20syl 16 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  0  <  A )
2216, 17, 19, 21divgt0d 10268 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  0  <  ( N  /  A
) )
23 elnnz 10656 . . 3  |-  ( ( N  /  A )  e.  NN  <->  ( ( N  /  A )  e.  ZZ  /\  0  < 
( N  /  A
) ) )
2414, 22, 23sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  A )  e.  NN )
25 nncn 10330 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
2625adantr 465 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  N  e.  CC )
276nncnd 10338 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  A  e.  CC )
2826, 27, 9divcan2d 10109 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( A  x.  ( N  /  A ) )  =  N )
29 dvds0lem 13543 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  ( N  /  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( A  x.  ( N  /  A ) )  =  N )  -> 
( N  /  A
)  ||  N )
308, 14, 11, 28, 29syl31anc 1221 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  A )  ||  N )
31 breq1 4295 . . 3  |-  ( x  =  ( N  /  A )  ->  (
x  ||  N  <->  ( N  /  A )  ||  N
) )
3231elrab 3117 . 2  |-  ( ( N  /  A )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  ( ( N  /  A )  e.  NN  /\  ( N  /  A )  ||  N ) )
3324, 30, 32sylanbrc 664 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  A )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   {crab 2719   class class class wbr 4292  (class class class)co 6091   CCcc 9280   RRcr 9281   0cc0 9282    x. cmul 9287    < clt 9418    / cdiv 9993   NNcn 10322   ZZcz 10646    || cdivides 13535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-z 10647  df-dvds 13536
This theorem is referenced by:  dvdsflip  22522  fsumdvdsdiaglem  22523  fsumdvdsdiag  22524  fsumdvdscom  22525  muinv  22533  logsqvma  22791  logsqvma2  22792  selberg  22797  selberg34r  22820  pntsval2  22825  pntrlog2bndlem1  22826
  Copyright terms: Public domain W3C validator