MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdscmul Structured version   Unicode version

Theorem dvdscmul 13571
Description: Multiplication by a constant maintains the divides relation. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdscmul  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  ->  ( K  x.  M )  ||  ( K  x.  N
) ) )

Proof of Theorem dvdscmul
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpc 987 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
2 zmulcl 10705 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( K  x.  M
)  e.  ZZ )
323adant3 1008 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  x.  M )  e.  ZZ )
4 zmulcl 10705 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  x.  N
)  e.  ZZ )
543adant2 1007 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  x.  N )  e.  ZZ )
63, 5jca 532 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( K  x.  M
)  e.  ZZ  /\  ( K  x.  N
)  e.  ZZ ) )
7 simpr 461 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  ZZ )  ->  x  e.  ZZ )
8 zcn 10663 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
9 zcn 10663 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
10 zcn 10663 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
11 mul12 9547 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  K  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  (
x  x.  ( K  x.  M ) )  =  ( K  x.  ( x  x.  M
) ) )
128, 9, 10, 11syl3an 1260 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
x  x.  ( K  x.  M ) )  =  ( K  x.  ( x  x.  M
) ) )
13123coml 1194 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
x  x.  ( K  x.  M ) )  =  ( K  x.  ( x  x.  M
) ) )
14133expa 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  x.  ( K  x.  M
) )  =  ( K  x.  ( x  x.  M ) ) )
15143adantl3 1146 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  x.  ( K  x.  M
) )  =  ( K  x.  ( x  x.  M ) ) )
16 oveq2 6111 . . . . 5  |-  ( ( x  x.  M )  =  N  ->  ( K  x.  ( x  x.  M ) )  =  ( K  x.  N
) )
1715, 16sylan9eq 2495 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  ZZ )  /\  (
x  x.  M )  =  N )  -> 
( x  x.  ( K  x.  M )
)  =  ( K  x.  N ) )
1817ex 434 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( x  x.  M )  =  N  ->  ( x  x.  ( K  x.  M
) )  =  ( K  x.  N ) ) )
191, 6, 7, 18dvds1lem 13556 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  ->  ( K  x.  M )  ||  ( K  x.  N
) ) )
20193coml 1194 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  ->  ( K  x.  M )  ||  ( K  x.  N
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4304  (class class class)co 6103   CCcc 9292    x. cmul 9299   ZZcz 10658    || cdivides 13547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-ltxr 9435  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-n0 10592  df-z 10659  df-dvds 13548
This theorem is referenced by:  dvdscmulr  13573  mulgcd  13742  dvdsmulgcd  13750  rpmulgcd2  13803  pcprendvds2  13920  pcpremul  13922  prmreclem1  13989  sylow3lem4  16141  ablfacrp2  16580  dvdsmulf1o  22546  jm2.27a  29366  jm2.27c  29368
  Copyright terms: Public domain W3C validator