Theorem dvdscmul 13680

Description: Multiplication by a constant maintains the divides relation. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdscmul	|- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) -> (M||N -> (K x. M)||(K x. N)))

Proof of Theorem dvdscmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpc 874	. . 3 |- ((K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (M e. ZZ /\ N e. ZZ))
2		zmulcl 7389	. . . . 5 |- ((K e. ZZ /\ M e. ZZ) -> (K x. M) e. ZZ)
3	2	3adant3 896	. . . 4 |- ((K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (K x. M) e. ZZ)
4		zmulcl 7389	. . . . 5 |- ((K e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (K x. N) e. ZZ)
5	4	3adant2 895	. . . 4 |- ((K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (K x. N) e. ZZ)
6	3, 5	jca 310	. . 3 |- ((K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> ((K x. M) e. ZZ /\ (K x. N) e. ZZ))
7		simpr 350	. . 3 |- (((K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ x e. ZZ) -> x e. ZZ)
8		mul12 6579	. . . . . . . . 9 |- ((x e. CC /\ K e. CC /\ M e. CC) -> (x x. (K x. M)) = (K x. (x x. M)))
9		zcn 7349	. . . . . . . . 9 |- (x e. ZZ -> x e. CC)
10		zcn 7349	. . . . . . . . 9 |- (K e. ZZ -> K e. CC)
11		zcn 7349	. . . . . . . . 9 |- (M e. ZZ -> M e. CC)
12	8, 9, 10, 11	syl3an 1139	. . . . . . . 8 |- ((x e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M e. ZZ) -> (x x. (K x. M)) = (K x. (x x. M)))
13	12	3coml 1075	. . . . . . 7 |- ((K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ x e. ZZ) -> (x x. (K x. M)) = (K x. (x x. M)))
14	13	3expa 1067	. . . . . 6 |- (((K e. ZZ /\ M e. ZZ) /\ x e. ZZ) -> (x x. (K x. M)) = (K x. (x x. M)))
15	14	3adantl3 1034	. . . . 5 |- (((K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ x e. ZZ) -> (x x. (K x. M)) = (K x. (x x. M)))
16		opreq2 4890	. . . . 5 |- ((x x. M) = N -> (K x. (x x. M)) = (K x. N))
17	15, 16	sylan9eq 1948	. . . 4 |- ((((K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ x e. ZZ) /\ (x x. M) = N) -> (x x. (K x. M)) = (K x. N))
18	17	ex 402	. . 3 |- (((K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ x e. ZZ) -> ((x x. M) = N -> (x x. (K x. M)) = (K x. N)))
19	1, 6, 7, 18	dvds1lem 13666	. 2 |- ((K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (M||N -> (K x. M)||(K x. N)))
20	19	3coml 1075	1 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) -> (M||N -> (K x. M)||(K x. N)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  CCcc 6384   x. cmul 6391  ZZcz 6451  ||cdivides 13662

This theorem is referenced by:  dvdscmulr 13682

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-sub 6511  df-neg 6513  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-divides 13663

Copyright terms: Public domain