Theorem dvdsadd 13688

Description: An integer divides another iff it divides their sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsadd	|- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (M||N <-> M||(M + N)))

Proof of Theorem dvdsadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iddvds 13668	. . . 4 |- (M e. ZZ -> M||M)
2	1	adantr 425	. . 3 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> M||M)
3		dvds2add 13685	. . . . 5 |- ((M e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> ((M||M /\ M||N) -> M||(M + N)))
4	3	3anidm12 1154	. . . 4 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> ((M||M /\ M||N) -> M||(M + N)))
5	4	expdimp 406	. . 3 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ M||M) -> (M||N -> M||(M + N)))
6	2, 5	mpdan 768	. 2 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (M||N -> M||(M + N)))
7		simpl 346	. . . . . . 7 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> M e. ZZ)
8		zaddcl 7374	. . . . . . 7 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (M + N) e. ZZ)
9		dvds2sub 13686	. . . . . . 7 |- ((M e. ZZ /\ (M + N) e. ZZ /\ M e. ZZ) -> ((M||(M + N) /\ M||M) -> M||((M + N) - M)))
10	7, 8, 7, 9	syl111anc 1100	. . . . . 6 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> ((M||(M + N) /\ M||M) -> M||((M + N) - M)))
11	10	ancomsd 485	. . . . 5 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> ((M||M /\ M||(M + N)) -> M||((M + N) - M)))
12	11	expdimp 406	. . . 4 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ M||M) -> (M||(M + N) -> M||((M + N) - M)))
13	2, 12	mpdan 768	. . 3 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (M||(M + N) -> M||((M + N) - M)))
14		pncan2 6558	. . . . 5 |- ((M e. CC /\ N e. CC) -> ((M + N) - M) = N)
15		zcn 7349	. . . . 5 |- (M e. ZZ -> M e. CC)
16		zcn 7349	. . . . 5 |- (N e. ZZ -> N e. CC)
17	14, 15, 16	syl2an 503	. . . 4 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> ((M + N) - M) = N)
18	17	breq2d 3350	. . 3 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (M||((M + N) - M) <-> M||N))
19	13, 18	sylibd 219	. 2 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (M||(M + N) -> M||N))
20	6, 19	impbid 574	1 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (M||N <-> M||(M + N)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  CCcc 6384   + caddc 6389   - cmin 6445  ZZcz 6451  ||cdivides 13662

This theorem is referenced by:  dvdsaddr 13689  dvdssub 13690  dvdssubr 13691

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-divides 13663

Copyright terms: Public domain