MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsadd Structured version   Unicode version

Theorem dvdsadd 14231
Description: An integer divides another iff it divides their sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdsadd  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  M 
||  ( M  +  N ) ) )

Proof of Theorem dvdsadd
StepHypRef Expression
1 simpl 455 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
2 zaddcl 10944 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  N
)  e.  ZZ )
3 simpr 459 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
4 iddvds 14204 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  ||  M )
54adantr 463 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  ||  M )
6 zcn 10909 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
7 zcn 10909 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
8 pncan 9861 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( M  +  N )  -  N
)  =  M )
96, 7, 8syl2an 475 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  +  N )  -  N
)  =  M )
105, 9breqtrrd 4420 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  ||  ( ( M  +  N )  -  N ) )
11 dvdssub2 14230 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  ||  ( ( M  +  N )  -  N ) )  ->  ( M  ||  ( M  +  N
)  <->  M  ||  N ) )
121, 2, 3, 10, 11syl31anc 1233 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  ( M  +  N )  <->  M 
||  N ) )
1312bicomd 201 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  M 
||  ( M  +  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   class class class wbr 4394  (class class class)co 6277   CCcc 9519    + caddc 9524    - cmin 9840   ZZcz 10904    || cdvds 14193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-n0 10836  df-z 10905  df-dvds 14194
This theorem is referenced by:  dvdsaddr  14232  dvdssub  14233  dvdssubr  14234  oddp1even  14255  dec5dvds2  14758  lgsdir2lem2  23978  acongrep  35259  acongeq  35262
  Copyright terms: Public domain W3C validator