Theorem dvds2ln 13684

Description: If an integer divides each of two other integers, it divides any linear combination of them. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvds2ln	|- (((I e. ZZ /\ J e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> ((K||M /\ K||N) -> K||((I x. M) + (J x. N))))

Proof of Theorem dvds2ln

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 350	. . . 4 |- (((I e. ZZ /\ J e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> (K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ))
2	1	simp1d 888	. . 3 |- (((I e. ZZ /\ J e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> K e. ZZ)
3	1	simp2d 889	. . 3 |- (((I e. ZZ /\ J e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> M e. ZZ)
4	2, 3	jca 310	. 2 |- (((I e. ZZ /\ J e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> (K e. ZZ /\ M e. ZZ))
5	1	simp3d 890	. . 3 |- (((I e. ZZ /\ J e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> N e. ZZ)
6	2, 5	jca 310	. 2 |- (((I e. ZZ /\ J e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> (K e. ZZ /\ N e. ZZ))
7		simpl 346	. . . . . 6 |- (((I e. ZZ /\ J e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> (I e. ZZ /\ J e. ZZ))
8	7	simplld 348	. . . . 5 |- (((I e. ZZ /\ J e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> I e. ZZ)
9		zmulcl 7389	. . . . 5 |- ((I e. ZZ /\ M e. ZZ) -> (I x. M) e. ZZ)
10	8, 3, 9	syl11anc 524	. . . 4 |- (((I e. ZZ /\ J e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> (I x. M) e. ZZ)
11	7	simprd 352	. . . . 5 |- (((I e. ZZ /\ J e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> J e. ZZ)
12		zmulcl 7389	. . . . 5 |- ((J e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (J x. N) e. ZZ)
13	11, 5, 12	syl11anc 524	. . . 4 |- (((I e. ZZ /\ J e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> (J x. N) e. ZZ)
14		zaddcl 7374	. . . 4 |- (((I x. M) e. ZZ /\ (J x. N) e. ZZ) -> ((I x. M) + (J x. N)) e. ZZ)
15	10, 13, 14	syl11anc 524	. . 3 |- (((I e. ZZ /\ J e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> ((I x. M) + (J x. N)) e. ZZ)
16	2, 15	jca 310	. 2 |- (((I e. ZZ /\ J e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> (K e. ZZ /\ ((I x. M) + (J x. N)) e. ZZ))
17		zmulcl 7389	. . . . . . . 8 |- ((x e. ZZ /\ I e. ZZ) -> (x x. I) e. ZZ)
18		zmulcl 7389	. . . . . . . 8 |- ((y e. ZZ /\ J e. ZZ) -> (y x. J) e. ZZ)
19	17, 18	anim12i 360	. . . . . . 7 |- (((x e. ZZ /\ I e. ZZ) /\ (y e. ZZ /\ J e. ZZ)) -> ((x x. I) e. ZZ /\ (y x. J) e. ZZ))
20	19	an4s 566	. . . . . 6 |- (((x e. ZZ /\ y e. ZZ) /\ (I e. ZZ /\ J e. ZZ)) -> ((x x. I) e. ZZ /\ (y x. J) e. ZZ))
21	20	expcom 403	. . . . 5 |- ((I e. ZZ /\ J e. ZZ) -> ((x e. ZZ /\ y e. ZZ) -> ((x x. I) e. ZZ /\ (y x. J) e. ZZ)))
22	8, 11, 21	syl11anc 524	. . . 4 |- (((I e. ZZ /\ J e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> ((x e. ZZ /\ y e. ZZ) -> ((x x. I) e. ZZ /\ (y x. J) e. ZZ)))
23	22	imp 377	. . 3 |- ((((I e. ZZ /\ J e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ)) /\ (x e. ZZ /\ y e. ZZ)) -> ((x x. I) e. ZZ /\ (y x. J) e. ZZ))
24		zaddcl 7374	. . 3 |- (((x x. I) e. ZZ /\ (y x. J) e. ZZ) -> ((x x. I) + (y x. J)) e. ZZ)
25	23, 24	syl 12	. 2 |- ((((I e. ZZ /\ J e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ)) /\ (x e. ZZ /\ y e. ZZ)) -> ((x x. I) + (y x. J)) e. ZZ)
26		zcn 7349	. . . . . . . 8 |- ((x x. I) e. ZZ -> (x x. I) e. CC)
27		zcn 7349	. . . . . . . 8 |- ((y x. J) e. ZZ -> (y x. J) e. CC)
28	26, 27	anim12i 360	. . . . . . 7 |- (((x x. I) e. ZZ /\ (y x. J) e. ZZ) -> ((x x. I) e. CC /\ (y x. J) e. CC))
29	23, 28	syl 12	. . . . . 6 |- ((((I e. ZZ /\ J e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ)) /\ (x e. ZZ /\ y e. ZZ)) -> ((x x. I) e. CC /\ (y x. J) e. CC))
30		zcn 7349	. . . . . . . 8 |- (K e. ZZ -> K e. CC)
31	2, 30	syl 12	. . . . . . 7 |- (((I e. ZZ /\ J e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> K e. CC)
32	31	adantr 425	. . . . . 6 |- ((((I e. ZZ /\ J e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ)) /\ (x e. ZZ /\ y e. ZZ)) -> K e. CC)
33		adddir 6472	. . . . . . 7 |- (((x x. I) e. CC /\ (y x. J) e. CC /\ K e. CC) -> (((x x. I) + (y x. J)) x. K) = (((x x. I) x. K) + ((y x. J) x. K)))
34	33	3expa 1067	. . . . . 6 |- ((((x x. I) e. CC /\ (y x. J) e. CC) /\ K e. CC) -> (((x x. I) + (y x. J)) x. K) = (((x x. I) x. K) + ((y x. J) x. K)))
35	29, 32, 34	syl11anc 524	. . . . 5 |- ((((I e. ZZ /\ J e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ)) /\ (x e. ZZ /\ y e. ZZ)) -> (((x x. I) + (y x. J)) x. K) = (((x x. I) x. K) + ((y x. J) x. K)))
36		zcn 7349	. . . . . . . . 9 |- (x e. ZZ -> x e. CC)
37	36	adantr 425	. . . . . . . 8 |- ((x e. ZZ /\ y e. ZZ) -> x e. CC)
38	37	adantl 424	. . . . . . 7 |- ((((I e. ZZ /\ J e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ)) /\ (x e. ZZ /\ y e. ZZ)) -> x e. CC)
39		zcn 7349	. . . . . . . . 9 |- (I e. ZZ -> I e. CC)
40	8, 39	syl 12	. . . . . . . 8 |- (((I e. ZZ /\ J e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> I e. CC)
41	40	adantr 425	. . . . . . 7 |- ((((I e. ZZ /\ J e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ)) /\ (x e. ZZ /\ y e. ZZ)) -> I e. CC)
42		mul23 6580	. . . . . . 7 |- ((x e. CC /\ I e. CC /\ K e. CC) -> ((x x. I) x. K) = ((x x. K) x. I))
43	38, 41, 32, 42	syl111anc 1100	. . . . . 6 |- ((((I e. ZZ /\ J e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ)) /\ (x e. ZZ /\ y e. ZZ)) -> ((x x. I) x. K) = ((x x. K) x. I))
44		zcn 7349	. . . . . . . . 9 |- (y e. ZZ -> y e. CC)
45	44	adantl 424	. . . . . . . 8 |- ((x e. ZZ /\ y e. ZZ) -> y e. CC)
46	45	adantl 424	. . . . . . 7 |- ((((I e. ZZ /\ J e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ)) /\ (x e. ZZ /\ y e. ZZ)) -> y e. CC)
47		zcn 7349	. . . . . . . . 9 |- (J e. ZZ -> J e. CC)
48	11, 47	syl 12	. . . . . . . 8 |- (((I e. ZZ /\ J e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> J e. CC)
49	48	adantr 425	. . . . . . 7 |- ((((I e. ZZ /\ J e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ)) /\ (x e. ZZ /\ y e. ZZ)) -> J e. CC)
50		mul23 6580	. . . . . . 7 |- ((y e. CC /\ J e. CC /\ K e. CC) -> ((y x. J) x. K) = ((y x. K) x. J))
51	46, 49, 32, 50	syl111anc 1100	. . . . . 6 |- ((((I e. ZZ /\ J e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ)) /\ (x e. ZZ /\ y e. ZZ)) -> ((y x. J) x. K) = ((y x. K) x. J))
52	43, 51	opreq12d 4900	. . . . 5 |- ((((I e. ZZ /\ J e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ)) /\ (x e. ZZ /\ y e. ZZ)) -> (((x x. I) x. K) + ((y x. J) x. K)) = (((x x. K) x. I) + ((y x. K) x. J)))
53		mulcl 6456	. . . . . . . 8 |- ((x e. CC /\ K e. CC) -> (x x. K) e. CC)
54	38, 32, 53	syl11anc 524	. . . . . . 7 |- ((((I e. ZZ /\ J e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ)) /\ (x e. ZZ /\ y e. ZZ)) -> (x x. K) e. CC)
55		mulcom 6459	. . . . . . 7 |- (((x x. K) e. CC /\ I e. CC) -> ((x x. K) x. I) = (I x. (x x. K)))
56	54, 41, 55	syl11anc 524	. . . . . 6 |- ((((I e. ZZ /\ J e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ)) /\ (x e. ZZ /\ y e. ZZ)) -> ((x x. K) x. I) = (I x. (x x. K)))
57		mulcl 6456	. . . . . . . 8 |- ((y e. CC /\ K e. CC) -> (y x. K) e. CC)
58	46, 32, 57	syl11anc 524	. . . . . . 7 |- ((((I e. ZZ /\ J e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ)) /\ (x e. ZZ /\ y e. ZZ)) -> (y x. K) e. CC)
59		mulcom 6459	. . . . . . 7 |- (((y x. K) e. CC /\ J e. CC) -> ((y x. K) x. J) = (J x. (y x. K)))
60	58, 49, 59	syl11anc 524	. . . . . 6 |- ((((I e. ZZ /\ J e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ)) /\ (x e. ZZ /\ y e. ZZ)) -> ((y x. K) x. J) = (J x. (y x. K)))
61	56, 60	opreq12d 4900	. . . . 5 |- ((((I e. ZZ /\ J e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ)) /\ (x e. ZZ /\ y e. ZZ)) -> (((x x. K) x. I) + ((y x. K) x. J)) = ((I x. (x x. K)) + (J x. (y x. K))))
62	35, 52, 61	3eqtrd 1929	. . . 4 |- ((((I e. ZZ /\ J e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ)) /\ (x e. ZZ /\ y e. ZZ)) -> (((x x. I) + (y x. J)) x. K) = ((I x. (x x. K)) + (J x. (y x. K))))
63		opreq2 4890	. . . . 5 |- ((x x. K) = M -> (I x. (x x. K)) = (I x. M))
64		opreq2 4890	. . . . 5 |- ((y x. K) = N -> (J x. (y x. K)) = (J x. N))
65	63, 64	opreqan12d 4902	. . . 4 |- (((x x. K) = M /\ (y x. K) = N) -> ((I x. (x x. K)) + (J x. (y x. K))) = ((I x. M) + (J x. N)))
66	62, 65	sylan9eq 1948	. . 3 |- (((((I e. ZZ /\ J e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ)) /\ (x e. ZZ /\ y e. ZZ)) /\ ((x x. K) = M /\ (y x. K) = N)) -> (((x x. I) + (y x. J)) x. K) = ((I x. M) + (J x. N)))
67	66	ex 402	. 2 |- ((((I e. ZZ /\ J e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ)) /\ (x e. ZZ /\ y e. ZZ)) -> (((x x. K) = M /\ (y x. K) = N) -> (((x x. I) + (y x. J)) x. K) = ((I x. M) + (J x. N))))
68	4, 6, 16, 25, 67	dvds2lem 13667	1 |- (((I e. ZZ /\ J e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> ((K||M /\ K||N) -> K||((I x. M) + (J x. N))))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  CCcc 6384   + caddc 6389   x. cmul 6391  ZZcz 6451  ||cdivides 13662

This theorem is referenced by:  gcdaddmlem 13734

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-divides 13663

Copyright terms: Public domain