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Theorem dvds2ln 14113
Description: If an integer divides each of two other integers, it divides any linear combination of them. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvds2ln  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( K  ||  M  /\  K  ||  N
)  ->  K  ||  (
( I  x.  M
)  +  ( J  x.  N ) ) ) )

Proof of Theorem dvds2ln
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 1001 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  K  e.  ZZ )
2 simpr2 1002 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  M  e.  ZZ )
31, 2jca 530 . 2  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )
4 simpr3 1003 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  ZZ )
51, 4jca 530 . 2  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
6 simpll 752 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  I  e.  ZZ )
76, 2zmulcld 10932 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( I  x.  M
)  e.  ZZ )
8 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  J  e.  ZZ )
98, 4zmulcld 10932 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( J  x.  N
)  e.  ZZ )
107, 9zaddcld 10930 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( I  x.  M )  +  ( J  x.  N ) )  e.  ZZ )
111, 10jca 530 . 2  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( K  e.  ZZ  /\  ( ( I  x.  M )  +  ( J  x.  N ) )  e.  ZZ ) )
12 zmulcl 10871 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  I  e.  ZZ )  ->  ( x  x.  I
)  e.  ZZ )
13 zmulcl 10871 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( y  x.  J
)  e.  ZZ )
1412, 13anim12i 564 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  I  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ ) )  -> 
( ( x  x.  I )  e.  ZZ  /\  ( y  x.  J
)  e.  ZZ ) )
1514an4s 825 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ ) )  -> 
( ( x  x.  I )  e.  ZZ  /\  ( y  x.  J
)  e.  ZZ ) )
1615expcom 433 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  (
( x  x.  I
)  e.  ZZ  /\  ( y  x.  J
)  e.  ZZ ) ) )
1716adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  (
( x  x.  I
)  e.  ZZ  /\  ( y  x.  J
)  e.  ZZ ) ) )
1817imp 427 . . 3  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  x.  I )  e.  ZZ  /\  (
y  x.  J )  e.  ZZ ) )
19 zaddcl 10863 . . 3  |-  ( ( ( x  x.  I
)  e.  ZZ  /\  ( y  x.  J
)  e.  ZZ )  ->  ( ( x  x.  I )  +  ( y  x.  J
) )  e.  ZZ )
2018, 19syl 17 . 2  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  x.  I )  +  ( y  x.  J ) )  e.  ZZ )
21 zcn 10828 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  x.  I )  e.  ZZ  ->  (
x  x.  I )  e.  CC )
22 zcn 10828 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  x.  J )  e.  ZZ  ->  (
y  x.  J )  e.  CC )
2321, 22anim12i 564 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  x.  I
)  e.  ZZ  /\  ( y  x.  J
)  e.  ZZ )  ->  ( ( x  x.  I )  e.  CC  /\  ( y  x.  J )  e.  CC ) )
2418, 23syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  x.  I )  e.  CC  /\  (
y  x.  J )  e.  CC ) )
251zcnd 10927 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  K  e.  CC )
2625adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  K  e.  CC )
27 adddir 9535 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  x.  I
)  e.  CC  /\  ( y  x.  J
)  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( ( ( x  x.  I )  +  ( y  x.  J
) )  x.  K
)  =  ( ( ( x  x.  I
)  x.  K )  +  ( ( y  x.  J )  x.  K ) ) )
28273expa 1195 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  x.  I )  e.  CC  /\  ( y  x.  J
)  e.  CC )  /\  K  e.  CC )  ->  ( ( ( x  x.  I )  +  ( y  x.  J ) )  x.  K )  =  ( ( ( x  x.  I )  x.  K
)  +  ( ( y  x.  J )  x.  K ) ) )
2924, 26, 28syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( x  x.  I
)  +  ( y  x.  J ) )  x.  K )  =  ( ( ( x  x.  I )  x.  K )  +  ( ( y  x.  J
)  x.  K ) ) )
30 zcn 10828 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
3130adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  x  e.  CC )
3231adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  x  e.  CC )
33 zcn 10828 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  ZZ  ->  I  e.  CC )
3433ad3antrrr 728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  I  e.  CC )
3532, 34, 26mul32d 9742 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  x.  I )  x.  K )  =  ( ( x  x.  K )  x.  I
) )
36 zcn 10828 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  CC )
3736adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  y  e.  CC )
3837adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  y  e.  CC )
398zcnd 10927 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  J  e.  CC )
4039adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  J  e.  CC )
4138, 40, 26mul32d 9742 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
y  x.  J )  x.  K )  =  ( ( y  x.  K )  x.  J
) )
4235, 41oveq12d 6250 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( x  x.  I
)  x.  K )  +  ( ( y  x.  J )  x.  K ) )  =  ( ( ( x  x.  K )  x.  I )  +  ( ( y  x.  K
)  x.  J ) ) )
4332, 26mulcld 9564 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( x  x.  K )  e.  CC )
4443, 34mulcomd 9565 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  x.  K )  x.  I )  =  ( I  x.  (
x  x.  K ) ) )
4538, 26mulcld 9564 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( y  x.  K )  e.  CC )
4645, 40mulcomd 9565 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
y  x.  K )  x.  J )  =  ( J  x.  (
y  x.  K ) ) )
4744, 46oveq12d 6250 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( x  x.  K
)  x.  I )  +  ( ( y  x.  K )  x.  J ) )  =  ( ( I  x.  ( x  x.  K
) )  +  ( J  x.  ( y  x.  K ) ) ) )
4829, 42, 473eqtrd 2445 . . . 4  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( x  x.  I
)  +  ( y  x.  J ) )  x.  K )  =  ( ( I  x.  ( x  x.  K
) )  +  ( J  x.  ( y  x.  K ) ) ) )
49 oveq2 6240 . . . . 5  |-  ( ( x  x.  K )  =  M  ->  (
I  x.  ( x  x.  K ) )  =  ( I  x.  M ) )
50 oveq2 6240 . . . . 5  |-  ( ( y  x.  K )  =  N  ->  ( J  x.  ( y  x.  K ) )  =  ( J  x.  N
) )
5149, 50oveqan12d 6251 . . . 4  |-  ( ( ( x  x.  K
)  =  M  /\  ( y  x.  K
)  =  N )  ->  ( ( I  x.  ( x  x.  K ) )  +  ( J  x.  (
y  x.  K ) ) )  =  ( ( I  x.  M
)  +  ( J  x.  N ) ) )
5248, 51sylan9eq 2461 . . 3  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  x.  K )  =  M  /\  (
y  x.  K )  =  N ) )  ->  ( ( ( x  x.  I )  +  ( y  x.  J ) )  x.  K )  =  ( ( I  x.  M
)  +  ( J  x.  N ) ) )
5352ex 432 . 2  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( x  x.  K
)  =  M  /\  ( y  x.  K
)  =  N )  ->  ( ( ( x  x.  I )  +  ( y  x.  J ) )  x.  K )  =  ( ( I  x.  M
)  +  ( J  x.  N ) ) ) )
543, 5, 11, 20, 53dvds2lem 14095 1  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( K  ||  M  /\  K  ||  N
)  ->  K  ||  (
( I  x.  M
)  +  ( J  x.  N ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 972    = wceq 1403    e. wcel 1840   class class class wbr 4392  (class class class)co 6232   CCcc 9438    + caddc 9443    x. cmul 9445   ZZcz 10823    || cdvds 14085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-n0 10755  df-z 10824  df-dvds 14086
This theorem is referenced by:  gcdaddmlem  14265  dvdsgcd  14280
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