Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvds2ln Structured version   Unicode version

Theorem dvds2ln 13866
 Description: If an integer divides each of two other integers, it divides any linear combination of them. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvds2ln

Proof of Theorem dvds2ln
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 997 . . 3
2 simpr2 998 . . 3
31, 2jca 532 . 2
4 simpr3 999 . . 3
51, 4jca 532 . 2
6 simpll 753 . . . . 5
76, 2zmulcld 10963 . . . 4
8 simplr 754 . . . . 5
98, 4zmulcld 10963 . . . 4
107, 9zaddcld 10961 . . 3
111, 10jca 532 . 2
12 zmulcl 10902 . . . . . . . 8
13 zmulcl 10902 . . . . . . . 8
1412, 13anim12i 566 . . . . . . 7
1514an4s 823 . . . . . 6
1615expcom 435 . . . . 5
1716adantr 465 . . . 4
1817imp 429 . . 3
19 zaddcl 10894 . . 3
2018, 19syl 16 . 2
21 zcn 10860 . . . . . . . 8
22 zcn 10860 . . . . . . . 8
2321, 22anim12i 566 . . . . . . 7
2418, 23syl 16 . . . . . 6
251zcnd 10958 . . . . . . 7
2625adantr 465 . . . . . 6
27 adddir 9578 . . . . . . 7
28273expa 1191 . . . . . 6
2924, 26, 28syl2anc 661 . . . . 5
30 zcn 10860 . . . . . . . . 9
3130adantr 465 . . . . . . . 8
3231adantl 466 . . . . . . 7
33 zcn 10860 . . . . . . . 8
3433ad3antrrr 729 . . . . . . 7
3532, 34, 26mul32d 9780 . . . . . 6
36 zcn 10860 . . . . . . . . 9
3736adantl 466 . . . . . . . 8
3837adantl 466 . . . . . . 7
398zcnd 10958 . . . . . . . 8
4039adantr 465 . . . . . . 7
4138, 40, 26mul32d 9780 . . . . . 6
4235, 41oveq12d 6295 . . . . 5
4332, 26mulcld 9607 . . . . . . 7
4443, 34mulcomd 9608 . . . . . 6
4538, 26mulcld 9607 . . . . . . 7
4645, 40mulcomd 9608 . . . . . 6
4744, 46oveq12d 6295 . . . . 5
4829, 42, 473eqtrd 2507 . . . 4
49 oveq2 6285 . . . . 5
50 oveq2 6285 . . . . 5
5149, 50oveqan12d 6296 . . . 4
5248, 51sylan9eq 2523 . . 3
5352ex 434 . 2
543, 5, 11, 20, 53dvds2lem 13848 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 968   wceq 1374   wcel 1762   class class class wbr 4442  (class class class)co 6277  cc 9481   caddc 9486   cmul 9488  cz 10855   cdivides 13838 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-n0 10787  df-z 10856  df-dvds 13839 This theorem is referenced by:  gcdaddmlem  14016  dvdsgcd  14031
 Copyright terms: Public domain W3C validator