MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvds1 Structured version   Unicode version

Theorem dvds1 13893
Description: The only nonnegative integer that divides 1 is 1. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvds1  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M 
||  1  <->  M  = 
1 ) )

Proof of Theorem dvds1
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  ||  1 )  ->  M  e.  NN0 )
2 1nn0 10811 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
32a1i 11 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  ||  1 )  -> 
1  e.  NN0 )
4 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  ||  1 )  ->  M  ||  1 )
5 nn0z 10887 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  ZZ )
6 1dvds 13859 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  1  ||  M )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN0  ->  1  ||  M )
87adantr 465 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  ||  1 )  -> 
1  ||  M )
9 dvdseq 13892 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  /\  ( M  ||  1  /\  1  ||  M ) )  ->  M  = 
1 )
101, 3, 4, 8, 9syl22anc 1229 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  ||  1 )  ->  M  =  1 )
1110ex 434 . 2  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M 
||  1  ->  M  =  1 ) )
12 id 22 . . 3  |-  ( M  =  1  ->  M  =  1 )
13 1z 10894 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
14 iddvds 13858 . . . 4  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  1  ||  1 )
1513, 14ax-mp 5 . . 3  |-  1  ||  1
1612, 15syl6eqbr 4484 . 2  |-  ( M  =  1  ->  M  ||  1 )
1711, 16impbid1 203 1  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M 
||  1  <->  M  = 
1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   1c1 9493   NN0cn0 10795   ZZcz 10864    || cdivides 13847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-dvds 13848
This theorem is referenced by:  1nprm  14081  rpmulgcd2  14105  nprmdvds1  14111  rpmul  14123  expnprm  14280  ablfacrp  16919  chrnzr  18362  znunit  18397  znrrg  18399
  Copyright terms: Public domain W3C validator