MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvds0 Structured version   Unicode version

Theorem dvds0 14210
Description: Any integer divides 0. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvds0  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  ||  0 )

Proof of Theorem dvds0
StepHypRef Expression
1 zcn 10912 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
21mul02d 9814 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  x.  N )  =  0 )
3 0z 10918 . . 3  |-  0  e.  ZZ
4 dvds0lem 14205 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  /\  ( 0  x.  N
)  =  0 )  ->  N  ||  0
)
54ex 434 . . 3  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  (
( 0  x.  N
)  =  0  ->  N  ||  0 ) )
63, 3, 5mp3an13 1319 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( 0  x.  N
)  =  0  ->  N  ||  0 ) )
72, 6mpd 15 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  ||  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 976    = wceq 1407    e. wcel 1844   class class class wbr 4397  (class class class)co 6280   0cc0 9524    x. cmul 9529   ZZcz 10907    || cdvds 14197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-ltxr 9665  df-neg 9846  df-z 10908  df-dvds 14198
This theorem is referenced by:  0dvds  14215  fsumdvds  14240  alzdvds  14247  fzo0dvdseq  14250  bitsfzo  14296  bitsmod  14297  bitsinv1lem  14302  sadadd3  14322  gcddvds  14364  gcd0id  14372  bezoutlem4  14390  dvdssq  14409  mulgcddvds  14456  odzdvds  14533  pcdvdsb  14603  pcz  14615  sylow2blem3  16968  odadd1  17180  odadd2  17181  cyggex2  17225  ppiublem2  23861  lgsdir2lem3  23983  lgsne0  23991  lgsqr  24004  eupath2lem3  25408  eupath2  25409  nn0prpw  30564  congid  35283  jm2.18  35305  jm2.19  35310  jm2.22  35312  jm2.23  35313  dvdslcm  36065  lcmdvds  36075  etransclem24  37422  etransclem25  37423  etransclem28  37426
  Copyright terms: Public domain W3C validator