Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvdivcncf Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dvdivcncf 37896
Description: A sufficient condition for the derivative of a quotient to be continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdivcncf.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvdivcncf.f  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
dvdivcncf.g  |-  ( ph  ->  G : X --> ( CC 
\  { 0 } ) )
dvdivcncf.fdv  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
)  e.  ( X
-cn-> CC ) )
dvdivcncf.gdv  |-  ( ph  ->  ( S  _D  G
)  e.  ( X
-cn-> CC ) )
Assertion
Ref Expression
dvdivcncf  |-  ( ph  ->  ( S  _D  ( F  oF  /  G
) )  e.  ( X -cn-> CC ) )

Proof of Theorem dvdivcncf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdivcncf.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 dvdivcncf.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
3 dvdivcncf.g . . 3  |-  ( ph  ->  G : X --> ( CC 
\  { 0 } ) )
4 dvdivcncf.fdv . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
)  e.  ( X
-cn-> CC ) )
5 cncff 22003 . . . 4  |-  ( ( S  _D  F )  e.  ( X -cn-> CC )  ->  ( S  _D  F ) : X --> CC )
6 fdm 5745 . . . 4  |-  ( ( S  _D  F ) : X --> CC  ->  dom  ( S  _D  F
)  =  X )
74, 5, 63syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  =  X )
8 dvdivcncf.gdv . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  _D  G
)  e.  ( X
-cn-> CC ) )
9 cncff 22003 . . . 4  |-  ( ( S  _D  G )  e.  ( X -cn-> CC )  ->  ( S  _D  G ) : X --> CC )
10 fdm 5745 . . . 4  |-  ( ( S  _D  G ) : X --> CC  ->  dom  ( S  _D  G
)  =  X )
118, 9, 103syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  G )  =  X )
121, 2, 3, 7, 11dvdivf 37891 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  ( F  oF  /  G
) )  =  ( ( ( ( S  _D  F )  oF  x.  G )  oF  -  (
( S  _D  G
)  oF  x.  F ) )  oF  /  ( G  oF  x.  G
) ) )
13 ax-resscn 9614 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  CC
14 sseq1 3439 . . . . . . . . 9  |-  ( S  =  RR  ->  ( S  C_  CC  <->  RR  C_  CC ) )
1513, 14mpbiri 241 . . . . . . . 8  |-  ( S  =  RR  ->  S  C_  CC )
16 eqimss 3470 . . . . . . . 8  |-  ( S  =  CC  ->  S  C_  CC )
1715, 16pm3.2i 462 . . . . . . 7  |-  ( ( S  =  RR  ->  S 
C_  CC )  /\  ( S  =  CC  ->  S  C_  CC )
)
18 elpri 3976 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  =  RR  \/  S  =  CC ) )
191, 18syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  =  RR  \/  S  =  CC ) )
20 pm3.44 520 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  =  RR 
->  S  C_  CC )  /\  ( S  =  CC  ->  S  C_  CC ) )  ->  (
( S  =  RR  \/  S  =  CC )  ->  S  C_  CC ) )
2117, 19, 20mpsyl 64 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
22 difssd 3550 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( CC  \  {
0 } )  C_  CC )
233, 22fssd 5750 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : X --> CC )
24 dvbsss 22936 . . . . . . 7  |-  dom  ( S  _D  F )  C_  S
257, 24syl6eqssr 3469 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
26 dvcn 22954 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  G : X --> CC  /\  X  C_  S )  /\  dom  ( S  _D  G
)  =  X )  ->  G  e.  ( X -cn-> CC ) )
2721, 23, 25, 11, 26syl31anc 1295 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  ( X
-cn-> CC ) )
284, 27mulcncff 37842 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F )  oF  x.  G )  e.  ( X -cn-> CC ) )
29 dvcn 22954 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : X --> CC  /\  X  C_  S )  /\  dom  ( S  _D  F
)  =  X )  ->  F  e.  ( X -cn-> CC ) )
3021, 2, 25, 7, 29syl31anc 1295 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X
-cn-> CC ) )
318, 30mulcncff 37842 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  G )  oF  x.  F )  e.  ( X -cn-> CC ) )
3228, 31subcncff 37854 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  _D  F )  oF  x.  G )  oF  -  (
( S  _D  G
)  oF  x.  F ) )  e.  ( X -cn-> CC ) )
33 eldifi 3544 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  x  e.  CC )
3433adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  x  e.  CC )
35 eldifi 3544 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  y  e.  CC )
3635adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  y  e.  CC )
3734, 36mulcld 9681 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x  x.  y )  e.  CC )
38 eldifsni 4089 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  x  =/=  0
)
3938adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  x  =/=  0
)
40 eldifsni 4089 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  y  =/=  0
)
4140adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  y  =/=  0
)
4234, 36, 39, 41mulne0d 10286 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x  x.  y )  =/=  0
)
43 eldifsn 4088 . . . . . . 7  |-  ( ( x  x.  y )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( ( x  x.  y )  e.  CC  /\  ( x  x.  y
)  =/=  0 ) )
4437, 42, 43sylanbrc 677 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x  x.  y )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
4544adantl 473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) ) )  ->  (
x  x.  y )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
461, 25ssexd 4543 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
47 inidm 3632 . . . . 5  |-  ( X  i^i  X )  =  X
4845, 3, 3, 46, 46, 47off 6565 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  oF  x.  G ) : X --> ( CC  \  { 0 } ) )
4927, 27mulcncff 37842 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  oF  x.  G )  e.  ( X -cn-> CC ) )
50 cncffvrn 22008 . . . . 5  |-  ( ( ( CC  \  {
0 } )  C_  CC  /\  ( G  oF  x.  G )  e.  ( X -cn-> CC ) )  ->  ( ( G  oF  x.  G
)  e.  ( X
-cn-> ( CC  \  {
0 } ) )  <-> 
( G  oF  x.  G ) : X --> ( CC  \  { 0 } ) ) )
5122, 49, 50syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( G  oF  x.  G )  e.  ( X -cn-> ( CC 
\  { 0 } ) )  <->  ( G  oF  x.  G
) : X --> ( CC 
\  { 0 } ) ) )
5248, 51mpbird 240 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  oF  x.  G )  e.  ( X -cn-> ( CC 
\  { 0 } ) ) )
5332, 52divcncff 37866 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( S  _D  F )  oF  x.  G
)  oF  -  ( ( S  _D  G )  oF  x.  F ) )  oF  /  ( G  oF  x.  G
) )  e.  ( X -cn-> CC ) )
5412, 53eqeltrd 2549 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  ( F  oF  /  G
) )  e.  ( X -cn-> CC ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    C_ wss 3390   {csn 3959   {cpr 3961   dom cdm 4839   -->wf 5585  (class class class)co 6308    oFcof 6548   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557    x. cmul 9562    - cmin 9880    / cdiv 10291   -cn->ccncf 21986    _D cdv 22897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-t1 20407  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901
This theorem is referenced by:  fourierdlem58  38140  fourierdlem59  38141
  Copyright terms: Public domain W3C validator