MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcxp2 Structured version   Unicode version

Theorem dvcxp2 22184
Description: The derivative of a complex power with respect to the second argument. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvcxp2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( A  ^c  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( log `  A )  x.  ( A  ^c  x ) ) ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem dvcxp2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnelprrecn 9378 . . . 4  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
21a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  CC  e.  { RR ,  CC }
)
3 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
4 relogcl 22030 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  RR )
54adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  x  e.  CC )  ->  ( log `  A )  e.  RR )
65recnd 9415 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  x  e.  CC )  ->  ( log `  A )  e.  CC )
73, 6mulcld 9409 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  x  e.  CC )  ->  (
x  x.  ( log `  A ) )  e.  CC )
8 efcl 13371 . . . 4  |-  ( y  e.  CC  ->  ( exp `  y )  e.  CC )
98adantl 466 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  y  e.  CC )  ->  ( exp `  y )  e.  CC )
103, 6mulcomd 9410 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  x  e.  CC )  ->  (
x  x.  ( log `  A ) )  =  ( ( log `  A
)  x.  x ) )
1110mpteq2dva 4381 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x  x.  ( log `  A
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( log `  A
)  x.  x ) ) )
1211oveq2d 6110 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x  x.  ( log `  A
) ) ) )  =  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( ( log `  A
)  x.  x ) ) ) )
13 1cnd 9405 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  x  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
142dvmptid 21434 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 ) )
154recnd 9415 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  CC )
162, 3, 13, 14, 15dvmptcmul 21441 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( ( log `  A )  x.  x
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( log `  A
)  x.  1 ) ) )
176mulid1d 9406 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  x  e.  CC )  ->  (
( log `  A
)  x.  1 )  =  ( log `  A
) )
1817mpteq2dva 4381 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( log `  A )  x.  1 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( log `  A
) ) )
1912, 16, 183eqtrd 2479 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x  x.  ( log `  A
) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( log `  A
) ) )
20 dvef 21455 . . . 4  |-  ( CC 
_D  exp )  =  exp
21 eff 13370 . . . . . . . 8  |-  exp : CC
--> CC
2221a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  exp : CC
--> CC )
2322feqmptd 5747 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  exp  =  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) )
2423eqcomd 2448 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) )  =  exp )
2524oveq2d 6110 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y
) ) )  =  ( CC  _D  exp ) )
2620, 25, 243eqtr4a 2501 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y
) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) )
27 fveq2 5694 . . 3  |-  ( y  =  ( x  x.  ( log `  A
) )  ->  ( exp `  y )  =  ( exp `  (
x  x.  ( log `  A ) ) ) )
282, 2, 7, 5, 9, 9, 19, 26, 27, 27dvmptco 21449 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( exp `  (
x  x.  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( exp `  (
x  x.  ( log `  A ) ) )  x.  ( log `  A
) ) ) )
29 rpcn 11002 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  CC )
3029adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  x  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
31 rpne0 11009 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  =/=  0 )
3231adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  x  e.  CC )  ->  A  =/=  0 )
3330, 32, 3cxpefd 22160 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  x  e.  CC )  ->  ( A  ^c  x )  =  ( exp `  (
x  x.  ( log `  A ) ) ) )
3433mpteq2dva 4381 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  |->  ( A  ^c  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( exp `  ( x  x.  ( log `  A ) ) ) ) )
3534oveq2d 6110 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( A  ^c  x ) ) )  =  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( exp `  (
x  x.  ( log `  A ) ) ) ) ) )
3630, 3cxpcld 22156 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  x  e.  CC )  ->  ( A  ^c  x )  e.  CC )
376, 36mulcomd 9410 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  x  e.  CC )  ->  (
( log `  A
)  x.  ( A  ^c  x ) )  =  ( ( A  ^c  x )  x.  ( log `  A ) ) )
3833oveq1d 6109 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  x  e.  CC )  ->  (
( A  ^c 
x )  x.  ( log `  A ) )  =  ( ( exp `  ( x  x.  ( log `  A ) ) )  x.  ( log `  A ) ) )
3937, 38eqtrd 2475 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  x  e.  CC )  ->  (
( log `  A
)  x.  ( A  ^c  x ) )  =  ( ( exp `  ( x  x.  ( log `  A
) ) )  x.  ( log `  A
) ) )
4039mpteq2dva 4381 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( log `  A )  x.  ( A  ^c  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( exp `  ( x  x.  ( log `  A
) ) )  x.  ( log `  A
) ) ) )
4128, 35, 403eqtr4d 2485 1  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( A  ^c  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( log `  A )  x.  ( A  ^c  x ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2609   {cpr 3882    e. cmpt 4353   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   CCcc 9283   RRcr 9284   0cc0 9285   1c1 9286    x. cmul 9290   RR+crp 10994   expce 13350    _D cdv 21341   logclog 22009    ^c ccxp 22010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363  ax-addf 9364  ax-mulf 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-iin 4177  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-of 6323  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-supp 6694  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-2o 6924  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-pm 7220  df-ixp 7267  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-fsupp 7624  df-fi 7664  df-sup 7694  df-oi 7727  df-card 8112  df-cda 8340  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-5 10386  df-6 10387  df-7 10388  df-8 10389  df-9 10390  df-10 10391  df-n0 10583  df-z 10650  df-dec 10759  df-uz 10865  df-q 10957  df-rp 10995  df-xneg 11092  df-xadd 11093  df-xmul 11094  df-ioo 11307  df-ioc 11308  df-ico 11309  df-icc 11310  df-fz 11441  df-fzo 11552  df-fl 11645  df-mod 11712  df-seq 11810  df-exp 11869  df-fac 12055  df-bc 12082  df-hash 12107  df-shft 12559  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728  df-limsup 12952  df-clim 12969  df-rlim 12970  df-sum 13167  df-ef 13356  df-sin 13358  df-cos 13359  df-pi 13361  df-struct 14179  df-ndx 14180  df-slot 14181  df-base 14182  df-sets 14183  df-ress 14184  df-plusg 14254  df-mulr 14255  df-starv 14256  df-sca 14257  df-vsca 14258  df-ip 14259  df-tset 14260  df-ple 14261  df-ds 14263  df-unif 14264  df-hom 14265  df-cco 14266  df-rest 14364  df-topn 14365  df-0g 14383  df-gsum 14384  df-topgen 14385  df-pt 14386  df-prds 14389  df-xrs 14443  df-qtop 14448  df-imas 14449  df-xps 14451  df-mre 14527  df-mrc 14528  df-acs 14530  df-mnd 15418  df-submnd 15468  df-mulg 15551  df-cntz 15838  df-cmn 16282  df-psmet 17812  df-xmet 17813  df-met 17814  df-bl 17815  df-mopn 17816  df-fbas 17817  df-fg 17818  df-cnfld 17822  df-top 18506  df-bases 18508  df-topon 18509  df-topsp 18510  df-cld 18626  df-ntr 18627  df-cls 18628  df-nei 18705  df-lp 18743  df-perf 18744  df-cn 18834  df-cnp 18835  df-haus 18922  df-tx 19138  df-hmeo 19331  df-fil 19422  df-fm 19514  df-flim 19515  df-flf 19516  df-xms 19898  df-ms 19899  df-tms 19900  df-cncf 20457  df-limc 21344  df-dv 21345  df-log 22011  df-cxp 22012
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator