Theorem dvcvx 21514

Description: A real function with strictly increasing derivative is strictly convex. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcvx.a	|- ( ph -> A e. RR )
dvcvx.b	|- ( ph -> B e. RR )
dvcvx.l	|- ( ph -> A < B )
dvcvx.f	|- ( ph -> F e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
dvcvx.d	|- ( ph -> ( RR _D F ) Isom < , < ( ( A (,) B ) , W ) )
dvcvx.t	|- ( ph -> T e. ( 0 (,) 1 ) )
dvcvx.c	|- C = ( ( T x. A ) + ( ( 1 - T ) x. B ) )

Assertion

Ref	Expression
dvcvx	|- ( ph -> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) )

Proof of Theorem dvcvx

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvcvx.a	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
2		dvcvx.c	. . . 4 |- C = ( ( T x. A ) + ( ( 1 - T ) x. B ) )
3		dvcvx.t	. . . . . . 7 |- ( ph -> T e. ( 0 (,) 1 ) )
4		elioore 11351	. . . . . . 7 |- ( T e. ( 0 (,) 1 ) -> T e. RR )
5	3, 4	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> T e. RR )
6	5, 1	remulcld 9435	. . . . 5 |- ( ph -> ( T x. A ) e. RR )
7		1re 9406	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
8		resubcl 9694	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. RR /\ T e. RR ) -> ( 1 - T ) e. RR )
9	7, 5, 8	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 - T ) e. RR )
10		dvcvx.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
11	9, 10	remulcld 9435	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. B ) e. RR )
12	6, 11	readdcld 9434	. . . 4 |- ( ph -> ( ( T x. A ) + ( ( 1 - T ) x. B ) ) e. RR )
13	2, 12	syl5eqel 2527	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
14		1cnd 9423	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. CC )
15	5	recnd 9433	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T e. CC )
16	1	recnd 9433	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. CC )
17	14, 15, 16	subdird 9822	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. A ) = ( ( 1 x. A ) - ( T x. A ) ) )
18	16	mulid2d 9425	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 x. A ) = A )
19	18	oveq1d 6127	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 x. A ) - ( T x. A ) ) = ( A - ( T x. A ) ) )
20	17, 19	eqtrd 2475	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. A ) = ( A - ( T x. A ) ) )
21		dvcvx.l	. . . . . . 7 |- ( ph -> A < B )
22		eliooord 11376	. . . . . . . . . . 11 |- ( T e. ( 0 (,) 1 ) -> ( 0 < T /\ T < 1 ) )
23	3, 22	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 < T /\ T < 1 ) )
24	23	simprd 463	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T < 1 )
25		posdif 9853	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( T < 1 <-> 0 < ( 1 - T ) ) )
26	5, 7, 25	sylancl 662	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( T < 1 <-> 0 < ( 1 - T ) ) )
27	24, 26	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < ( 1 - T ) )
28		ltmul2 10201	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( ( 1 - T ) e. RR /\ 0 < ( 1 - T ) ) ) -> ( A < B <-> ( ( 1 - T ) x. A ) < ( ( 1 - T ) x. B ) ) )
29	1, 10, 9, 27, 28	syl112anc 1222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A < B <-> ( ( 1 - T ) x. A ) < ( ( 1 - T ) x. B ) ) )
30	21, 29	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. A ) < ( ( 1 - T ) x. B ) )
31	20, 30	eqbrtrrd 4335	. . . . 5 |- ( ph -> ( A - ( T x. A ) ) < ( ( 1 - T ) x. B ) )
32	1, 6, 11	ltsubadd2d 9958	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A - ( T x. A ) ) < ( ( 1 - T ) x. B ) <-> A < ( ( T x. A ) + ( ( 1 - T ) x. B ) ) ) )
33	31, 32	mpbid 210	. . . 4 |- ( ph -> A < ( ( T x. A ) + ( ( 1 - T ) x. B ) ) )
34	33, 2	syl6breqr 4353	. . 3 |- ( ph -> A < C )
35	1	leidd 9927	. . . . 5 |- ( ph -> A <_ A )
36	10	recnd 9433	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. CC )
37	14, 15, 36	subdird 9822	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. B ) = ( ( 1 x. B ) - ( T x. B ) ) )
38	36	mulid2d 9425	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 x. B ) = B )
39	38	oveq1d 6127	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 1 x. B ) - ( T x. B ) ) = ( B - ( T x. B ) ) )
40	37, 39	eqtrd 2475	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. B ) = ( B - ( T x. B ) ) )
41	5, 10	remulcld 9435	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( T x. B ) e. RR )
42	23	simpld 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < T )
43		ltmul2 10201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( T e. RR /\ 0 < T ) ) -> ( A < B <-> ( T x. A ) < ( T x. B ) ) )
44	1, 10, 5, 42, 43	syl112anc 1222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A < B <-> ( T x. A ) < ( T x. B ) ) )
45	21, 44	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( T x. A ) < ( T x. B ) )
46	6, 41, 10, 45	ltsub2dd 9973	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B - ( T x. B ) ) < ( B - ( T x. A ) ) )
47	40, 46	eqbrtrd 4333	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. B ) < ( B - ( T x. A ) ) )
48	6, 11, 10	ltaddsub2d 9961	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( T x. A ) + ( ( 1 - T ) x. B ) ) < B <-> ( ( 1 - T ) x. B ) < ( B - ( T x. A ) ) ) )
49	47, 48	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( T x. A ) + ( ( 1 - T ) x. B ) ) < B )
50	2, 49	syl5eqbr 4346	. . . . . 6 |- ( ph -> C < B )
51	13, 10, 50	ltled 9543	. . . . 5 |- ( ph -> C <_ B )
52		iccss 11384	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ A /\ C <_ B ) ) -> ( A [,] C ) C_ ( A [,] B ) )
53	1, 10, 35, 51, 52	syl22anc 1219	. . . 4 |- ( ph -> ( A [,] C ) C_ ( A [,] B ) )
54		dvcvx.f	. . . 4 |- ( ph -> F e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
55		rescncf 20495	. . . 4 |- ( ( A [,] C ) C_ ( A [,] B ) -> ( F e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) -> ( F |` ( A [,] C ) ) e. ( ( A [,] C ) -cn-> RR ) ) )
56	53, 54, 55	sylc 60	. . 3 |- ( ph -> ( F |` ( A [,] C ) ) e. ( ( A [,] C ) -cn-> RR ) )
57		ax-resscn 9360	. . . . . . . 8 |- RR C_ CC
58	57	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR C_ CC )
59		cncff 20491	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) -> F : ( A [,] B ) --> RR )
60	54, 59	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : ( A [,] B ) --> RR )
61		fss 5588	. . . . . . . 8 |- ( ( F : ( A [,] B ) --> RR /\ RR C_ CC ) -> F : ( A [,] B ) --> CC )
62	60, 57, 61	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : ( A [,] B ) --> CC )
63		iccssre 11398	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
64	1, 10, 63	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
65		iccssre 11398	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> ( A [,] C ) C_ RR )
66	1, 13, 65	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A [,] C ) C_ RR )
67		eqid 2443	. . . . . . . 8 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
68	67	tgioo2 20402	. . . . . . . 8 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
69	67, 68	dvres 21408	. . . . . . 7 |- ( ( ( RR C_ CC /\ F : ( A [,] B ) --> CC ) /\ ( ( A [,] B ) C_ RR /\ ( A [,] C ) C_ RR ) ) -> ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] C ) ) ) )
70	58, 62, 64, 66, 69	syl22anc 1219	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] C ) ) ) )
71		iccntr 20420	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] C ) ) = ( A (,) C ) )
72	1, 13, 71	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] C ) ) = ( A (,) C ) )
73	72	reseq2d 5131	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] C ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( A (,) C ) ) )
74	70, 73	eqtrd 2475	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( A (,) C ) ) )
75	74	dmeqd 5063	. . . 4 |- ( ph -> dom ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) = dom ( ( RR _D F ) |` ( A (,) C ) ) )
76		dmres 5152	. . . . 5 |- dom ( ( RR _D F ) |` ( A (,) C ) ) = ( ( A (,) C ) i^i dom ( RR _D F ) )
77	10	rexrd 9454	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. RR* )
78		iooss2 11357	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR* /\ C <_ B ) -> ( A (,) C ) C_ ( A (,) B ) )
79	77, 51, 78	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A (,) C ) C_ ( A (,) B ) )
80		dvcvx.d	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D F ) Isom < , < ( ( A (,) B ) , W ) )
81		isof1o 6037	. . . . . . . 8 |- ( ( RR _D F ) Isom < , < ( ( A (,) B ) , W ) -> ( RR _D F ) : ( A (,) B ) -1-1-onto-> W )
82		f1odm 5666	. . . . . . . 8 |- ( ( RR _D F ) : ( A (,) B ) -1-1-onto-> W -> dom ( RR _D F ) = ( A (,) B ) )
83	80, 81, 82	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom ( RR _D F ) = ( A (,) B ) )
84	79, 83	sseqtr4d 3414	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A (,) C ) C_ dom ( RR _D F ) )
85		df-ss 3363	. . . . . 6 |- ( ( A (,) C ) C_ dom ( RR _D F ) <-> ( ( A (,) C ) i^i dom ( RR _D F ) ) = ( A (,) C ) )
86	84, 85	sylib 196	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A (,) C ) i^i dom ( RR _D F ) ) = ( A (,) C ) )
87	76, 86	syl5eq 2487	. . . 4 |- ( ph -> dom ( ( RR _D F ) |` ( A (,) C ) ) = ( A (,) C ) )
88	75, 87	eqtrd 2475	. . 3 |- ( ph -> dom ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) = ( A (,) C ) )
89	1, 13, 34, 56, 88	mvth 21486	. 2 |- ( ph -> E. x e. ( A (,) C ) ( ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) ` x ) = ( ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) / ( C - A ) ) )
90	1, 13, 34	ltled 9543	. . . . 5 |- ( ph -> A <_ C )
91	10	leidd 9927	. . . . 5 |- ( ph -> B <_ B )
92		iccss 11384	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ C /\ B <_ B ) ) -> ( C [,] B ) C_ ( A [,] B ) )
93	1, 10, 90, 91, 92	syl22anc 1219	. . . 4 |- ( ph -> ( C [,] B ) C_ ( A [,] B ) )
94		rescncf 20495	. . . 4 |- ( ( C [,] B ) C_ ( A [,] B ) -> ( F e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) -> ( F |` ( C [,] B ) ) e. ( ( C [,] B ) -cn-> RR ) ) )
95	93, 54, 94	sylc 60	. . 3 |- ( ph -> ( F |` ( C [,] B ) ) e. ( ( C [,] B ) -cn-> RR ) )
96		iccssre 11398	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. RR /\ B e. RR ) -> ( C [,] B ) C_ RR )
97	13, 10, 96	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C [,] B ) C_ RR )
98	67, 68	dvres 21408	. . . . . . 7 |- ( ( ( RR C_ CC /\ F : ( A [,] B ) --> CC ) /\ ( ( A [,] B ) C_ RR /\ ( C [,] B ) C_ RR ) ) -> ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( C [,] B ) ) ) )
99	58, 62, 64, 97, 98	syl22anc 1219	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( C [,] B ) ) ) )
100		iccntr 20420	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( C [,] B ) ) = ( C (,) B ) )
101	13, 10, 100	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( C [,] B ) ) = ( C (,) B ) )
102	101	reseq2d 5131	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( C [,] B ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( C (,) B ) ) )
103	99, 102	eqtrd 2475	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( C (,) B ) ) )
104	103	dmeqd 5063	. . . 4 |- ( ph -> dom ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) = dom ( ( RR _D F ) |` ( C (,) B ) ) )
105		dmres 5152	. . . . 5 |- dom ( ( RR _D F ) |` ( C (,) B ) ) = ( ( C (,) B ) i^i dom ( RR _D F ) )
106	1	rexrd 9454	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR* )
107		iooss1 11356	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ A <_ C ) -> ( C (,) B ) C_ ( A (,) B ) )
108	106, 90, 107	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C (,) B ) C_ ( A (,) B ) )
109	108, 83	sseqtr4d 3414	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C (,) B ) C_ dom ( RR _D F ) )
110		df-ss 3363	. . . . . 6 |- ( ( C (,) B ) C_ dom ( RR _D F ) <-> ( ( C (,) B ) i^i dom ( RR _D F ) ) = ( C (,) B ) )
111	109, 110	sylib 196	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( C (,) B ) i^i dom ( RR _D F ) ) = ( C (,) B ) )
112	105, 111	syl5eq 2487	. . . 4 |- ( ph -> dom ( ( RR _D F ) |` ( C (,) B ) ) = ( C (,) B ) )
113	104, 112	eqtrd 2475	. . 3 |- ( ph -> dom ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) = ( C (,) B ) )
114	13, 10, 50, 95, 113	mvth 21486	. 2 |- ( ph -> E. y e. ( C (,) B ) ( ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) ` y ) = ( ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) / ( B - C ) ) )
115		reeanv 2909	. . 3 |- ( E. x e. ( A (,) C ) E. y e. ( C (,) B ) ( ( ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) ` x ) = ( ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) / ( C - A ) ) /\ ( ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) ` y ) = ( ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) / ( B - C ) ) ) <-> ( E. x e. ( A (,) C ) ( ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) ` x ) = ( ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) / ( C - A ) ) /\ E. y e. ( C (,) B ) ( ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) ` y ) = ( ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) / ( B - C ) ) ) )
116	74	fveq1d 5714	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) ` x ) = ( ( ( RR _D F ) |` ( A (,) C ) ) ` x ) )
117		fvres 5725	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( A (,) C ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( A (,) C ) ) ` x ) = ( ( RR _D F ) ` x ) )
118	117	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( A (,) C ) ) ` x ) = ( ( RR _D F ) ` x ) )
119	116, 118	sylan9eq 2495	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) ` x ) = ( ( RR _D F ) ` x ) )
120	13	rexrd 9454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. RR* )
121		ubicc2 11423	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* /\ A <_ C ) -> C e. ( A [,] C ) )
122	106, 120, 90, 121	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. ( A [,] C ) )
123		fvres 5725	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ( A [,] C ) -> ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) = ( F ` C ) )
124	122, 123	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) = ( F ` C ) )
125		lbicc2 11422	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* /\ A <_ C ) -> A e. ( A [,] C ) )
126	106, 120, 90, 125	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. ( A [,] C ) )
127		fvres 5725	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( A [,] C ) -> ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) = ( F ` A ) )
128	126, 127	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) = ( F ` A ) )
129	124, 128	oveq12d 6130	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) = ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) )
130	129	oveq1d 6127	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) / ( C - A ) ) = ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) )
131	130	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) / ( C - A ) ) = ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) )
132	119, 131	eqeq12d 2457	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) ` x ) = ( ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) / ( C - A ) ) <-> ( ( RR _D F ) ` x ) = ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) ) )
133	103	fveq1d 5714	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) ` y ) = ( ( ( RR _D F ) |` ( C (,) B ) ) ` y ) )
134		fvres 5725	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( C (,) B ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( C (,) B ) ) ` y ) = ( ( RR _D F ) ` y ) )
135	134	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( C (,) B ) ) ` y ) = ( ( RR _D F ) ` y ) )
136	133, 135	sylan9eq 2495	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) ` y ) = ( ( RR _D F ) ` y ) )
137		ubicc2 11423	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. RR* /\ B e. RR* /\ C <_ B ) -> B e. ( C [,] B ) )
138	120, 77, 51, 137	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. ( C [,] B ) )
139		fvres 5725	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( C [,] B ) -> ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) = ( F ` B ) )
140	138, 139	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) = ( F ` B ) )
141		lbicc2 11422	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. RR* /\ B e. RR* /\ C <_ B ) -> C e. ( C [,] B ) )
142	120, 77, 51, 141	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. ( C [,] B ) )
143		fvres 5725	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ( C [,] B ) -> ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) = ( F ` C ) )
144	142, 143	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) = ( F ` C ) )
145	140, 144	oveq12d 6130	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) = ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) )
146	145	oveq1d 6127	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) / ( B - C ) ) = ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) )
147	146	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) / ( B - C ) ) = ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) )
148	136, 147	eqeq12d 2457	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) ` y ) = ( ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) / ( B - C ) ) <-> ( ( RR _D F ) ` y ) = ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) ) )
149	132, 148	anbi12d 710	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( ( ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) ` x ) = ( ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) / ( C - A ) ) /\ ( ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) ` y ) = ( ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) / ( B - C ) ) ) <-> ( ( ( RR _D F ) ` x ) = ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) /\ ( ( RR _D F ) ` y ) = ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) ) ) )
150		elioore 11351	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( A (,) C ) -> x e. RR )
151	150	ad2antrl 727	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> x e. RR )
152	13	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> C e. RR )
153		elioore 11351	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( C (,) B ) -> y e. RR )
154	153	ad2antll 728	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> y e. RR )
155		eliooord 11376	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( A (,) C ) -> ( A < x /\ x < C ) )
156	155	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( A < x /\ x < C ) )
157	156	simprd 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> x < C )
158		eliooord 11376	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( C (,) B ) -> ( C < y /\ y < B ) )
159	158	ad2antll 728	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( C < y /\ y < B ) )
160	159	simpld 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> C < y )
161	151, 152, 154, 157, 160	lttrd 9553	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> x < y )
162	80	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( RR _D F ) Isom < , < ( ( A (,) B ) , W ) )
163	79	sselda 3377	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) C ) ) -> x e. ( A (,) B ) )
164	163	adantrr 716	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> x e. ( A (,) B ) )
165	108	sselda 3377	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) B ) ) -> y e. ( A (,) B ) )
166	165	adantrl 715	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> y e. ( A (,) B ) )
167		isorel 6038	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( RR _D F ) Isom < , < ( ( A (,) B ) , W ) /\ ( x e. ( A (,) B ) /\ y e. ( A (,) B ) ) ) -> ( x < y <-> ( ( RR _D F ) ` x ) < ( ( RR _D F ) ` y ) ) )
168	162, 164, 166, 167	syl12anc 1216	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( x < y <-> ( ( RR _D F ) ` x ) < ( ( RR _D F ) ` y ) ) )
169	161, 168	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( RR _D F ) ` x ) < ( ( RR _D F ) ` y ) )
170		breq12 4318	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( RR _D F ) ` x ) = ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) /\ ( ( RR _D F ) ` y ) = ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) ) -> ( ( ( RR _D F ) ` x ) < ( ( RR _D F ) ` y ) <-> ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) ) )
171	169, 170	syl5ibcom 220	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( ( ( RR _D F ) ` x ) = ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) /\ ( ( RR _D F ) ` y ) = ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) ) -> ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) ) )
172	53, 122	sseldd 3378	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. ( A [,] B ) )
173	60, 172	ffvelrnd 5865	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F ` C ) e. RR )
174	53, 126	sseldd 3378	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. ( A [,] B ) )
175	60, 174	ffvelrnd 5865	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F ` A ) e. RR )
176	173, 175	resubcld 9797	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) e. RR )
177	27	gt0ne0d 9925	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 - T ) =/= 0 )
178	176, 9, 177	redivcld 10180	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) e. RR )
179	93, 138	sseldd 3378	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. ( A [,] B ) )
180	60, 179	ffvelrnd 5865	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F ` B ) e. RR )
181	180, 173	resubcld 9797	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) e. RR )
182	42	gt0ne0d 9925	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> T =/= 0 )
183	181, 5, 182	redivcld 10180	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) e. RR )
184	10, 1	resubcld 9797	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR )
185	1, 10	posdifd 9947	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
186	21, 185	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 < ( B - A ) )
187		ltdiv1 10214	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) e. RR /\ ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) e. RR /\ ( ( B - A ) e. RR /\ 0 < ( B - A ) ) ) -> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) <-> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) / ( B - A ) ) < ( ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) / ( B - A ) ) ) )
188	178, 183, 184, 186, 187	syl112anc 1222	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) <-> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) / ( B - A ) ) < ( ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) / ( B - A ) ) ) )
189	176	recnd 9433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) e. CC )
190	189, 15	mulcomd 9428	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) x. T ) = ( T x. ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) ) )
191	173	recnd 9433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F ` C ) e. CC )
192	175	recnd 9433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F ` A ) e. CC )
193	15, 191, 192	subdid 9821	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( T x. ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) ) = ( ( T x. ( F ` C ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) )
194	190, 193	eqtrd 2475	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) x. T ) = ( ( T x. ( F ` C ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) )
195	181	recnd 9433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) e. CC )
196	9	recnd 9433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 - T ) e. CC )
197	195, 196	mulcomd 9428	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) x. ( 1 - T ) ) = ( ( 1 - T ) x. ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) ) )
198	180	recnd 9433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F ` B ) e. CC )
199	196, 198, 191	subdid 9821	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) - ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) )
200	197, 199	eqtrd 2475	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) x. ( 1 - T ) ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) - ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) )
201	194, 200	breq12d 4326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) x. T ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) x. ( 1 - T ) ) <-> ( ( T x. ( F ` C ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) < ( ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) - ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) ) )
202	5, 42	jca 532	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( T e. RR /\ 0 < T ) )
203	9, 27	jca 532	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) e. RR /\ 0 < ( 1 - T ) ) )
204		lt2mul2div 10229	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) e. RR /\ ( T e. RR /\ 0 < T ) ) /\ ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) e. RR /\ ( ( 1 - T ) e. RR /\ 0 < ( 1 - T ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) x. T ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) x. ( 1 - T ) ) <-> ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) ) )
205	176, 202, 181, 203, 204	syl22anc 1219	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) x. T ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) x. ( 1 - T ) ) <-> ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) ) )
206	5, 173	remulcld 9435	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( T x. ( F ` C ) ) e. RR )
207	206	recnd 9433	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( T x. ( F ` C ) ) e. CC )
208	9, 173	remulcld 9435	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) e. RR )
209	208	recnd 9433	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) e. CC )
210	5, 175	remulcld 9435	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( T x. ( F ` A ) ) e. RR )
211	210	recnd 9433	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( T x. ( F ` A ) ) e. CC )
212	207, 209, 211	addsubd 9761	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( T x. ( F ` C ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) = ( ( ( T x. ( F ` C ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) )
213		ax-1cn 9361	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
214		pncan3 9639	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( T e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( T + ( 1 - T ) ) = 1 )
215	15, 213, 214	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( T + ( 1 - T ) ) = 1 )
216	215	oveq1d 6127	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( T + ( 1 - T ) ) x. ( F ` C ) ) = ( 1 x. ( F ` C ) ) )
217	15, 196, 191	adddird 9432	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( T + ( 1 - T ) ) x. ( F ` C ) ) = ( ( T x. ( F ` C ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) )
218	191	mulid2d 9425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 x. ( F ` C ) ) = ( F ` C ) )
219	216, 217, 218	3eqtr3d 2483	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( T x. ( F ` C ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) = ( F ` C ) )
220	219	oveq1d 6127	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( T x. ( F ` C ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) = ( ( F ` C ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) )
221	212, 220	eqtr3d 2477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( T x. ( F ` C ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) = ( ( F ` C ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) )
222	221	breq1d 4323	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( T x. ( F ` C ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) < ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) <-> ( ( F ` C ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) < ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) )
223	206, 210	resubcld 9797	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( T x. ( F ` C ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) e. RR )
224	9, 180	remulcld 9435	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) e. RR )
225	223, 208, 224	ltaddsubd 9960	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( T x. ( F ` C ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) < ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) <-> ( ( T x. ( F ` C ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) < ( ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) - ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) ) )
226	173, 210, 224	ltsubadd2d 9958	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( F ` C ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) < ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) <-> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) ) )
227	222, 225, 226	3bitr3d 283	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( T x. ( F ` C ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) < ( ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) - ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) <-> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) ) )
228	201, 205, 227	3bitr3d 283	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) <-> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) ) )
229	184	recnd 9433	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B - A ) e. CC )
230	186	gt0ne0d 9925	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B - A ) =/= 0 )
231	189, 196, 229, 177, 230	divdiv1d 10159	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) / ( B - A ) ) = ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( ( 1 - T ) x. ( B - A ) ) ) )
232	20	oveq2d 6128	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( 1 - T ) x. B ) - ( ( 1 - T ) x. A ) ) = ( ( ( 1 - T ) x. B ) - ( A - ( T x. A ) ) ) )
233	11	recnd 9433	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. B ) e. CC )
234	6	recnd 9433	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( T x. A ) e. CC )
235	233, 16, 234	subsub3d 9770	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( 1 - T ) x. B ) - ( A - ( T x. A ) ) ) = ( ( ( ( 1 - T ) x. B ) + ( T x. A ) ) - A ) )
236	232, 235	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( 1 - T ) x. B ) - ( ( 1 - T ) x. A ) ) = ( ( ( ( 1 - T ) x. B ) + ( T x. A ) ) - A ) )
237	196, 36, 16	subdid 9821	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. ( B - A ) ) = ( ( ( 1 - T ) x. B ) - ( ( 1 - T ) x. A ) ) )
238	234, 233	addcomd 9592	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( T x. A ) + ( ( 1 - T ) x. B ) ) = ( ( ( 1 - T ) x. B ) + ( T x. A ) ) )
239	2, 238	syl5eq 2487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> C = ( ( ( 1 - T ) x. B ) + ( T x. A ) ) )
240	239	oveq1d 6127	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C - A ) = ( ( ( ( 1 - T ) x. B ) + ( T x. A ) ) - A ) )
241	236, 237, 240	3eqtr4d 2485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. ( B - A ) ) = ( C - A ) )
242	241	oveq2d 6128	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( ( 1 - T ) x. ( B - A ) ) ) = ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) )
243	231, 242	eqtrd 2475	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) / ( B - A ) ) = ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) )
244	195, 15, 229, 182, 230	divdiv1d 10159	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) / ( B - A ) ) = ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( T x. ( B - A ) ) ) )
245	36, 233, 234	subsub4d 9771	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( B - ( ( 1 - T ) x. B ) ) - ( T x. A ) ) = ( B - ( ( ( 1 - T ) x. B ) + ( T x. A ) ) ) )
246	40	oveq2d 6128	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( B - ( ( 1 - T ) x. B ) ) = ( B - ( B - ( T x. B ) ) ) )
247	41	recnd 9433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( T x. B ) e. CC )
248	36, 247	nncand 9745	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( B - ( B - ( T x. B ) ) ) = ( T x. B ) )
249	246, 248	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( B - ( ( 1 - T ) x. B ) ) = ( T x. B ) )
250	249	oveq1d 6127	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( B - ( ( 1 - T ) x. B ) ) - ( T x. A ) ) = ( ( T x. B ) - ( T x. A ) ) )
251	245, 250	eqtr3d 2477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B - ( ( ( 1 - T ) x. B ) + ( T x. A ) ) ) = ( ( T x. B ) - ( T x. A ) ) )
252	239	oveq2d 6128	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B - C ) = ( B - ( ( ( 1 - T ) x. B ) + ( T x. A ) ) ) )
253	15, 36, 16	subdid 9821	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( T x. ( B - A ) ) = ( ( T x. B ) - ( T x. A ) ) )
254	251, 252, 253	3eqtr4d 2485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B - C ) = ( T x. ( B - A ) ) )
255	254	oveq2d 6128	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) = ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( T x. ( B - A ) ) ) )
256	244, 255	eqtr4d 2478	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) / ( B - A ) ) = ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) )
257	243, 256	breq12d 4326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) / ( B - A ) ) < ( ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) / ( B - A ) ) <-> ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) ) )
258	188, 228, 257	3bitr3rd 284	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) <-> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) ) )
259	258	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) <-> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) ) )
260	171, 259	sylibd 214	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( ( ( RR _D F ) ` x ) = ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) /\ ( ( RR _D F ) ` y ) = ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) ) -> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) ) )
261	149, 260	sylbid 215	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( ( ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) ` x ) = ( ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) / ( C - A ) ) /\ ( ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) ` y ) = ( ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) / ( B - C ) ) ) -> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) ) )
262	261	rexlimdvva 2869	. . 3 |- ( ph -> ( E. x e. ( A (,) C ) E. y e. ( C (,) B ) ( ( ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) ` x ) = ( ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) / ( C - A ) ) /\ ( ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) ` y ) = ( ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) / ( B - C ) ) ) -> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) ) )
263	115, 262	syl5bir 218	. 2 |- ( ph -> ( ( E. x e. ( A (,) C ) ( ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) ` x ) = ( ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) / ( C - A ) ) /\ E. y e. ( C (,) B ) ( ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) ` y ) = ( ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) / ( B - C ) ) ) -> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) ) )
264	89, 114, 263	mp2and 679	1 |- ( ph -> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   E.wrex 2737   i^i cin 3348   C_ wss 3349   class class class wbr 4313   dom cdm 4861   ran crn 4862   |` cres 4863   -->wf 5435   -1-1-onto->wf1o 5438   ` cfv 5439   Isom wiso 5440  (class class class)co 6112   CCcc 9301   RRcr 9302   0cc0 9303   1c1 9304   + caddc 9306   x. cmul 9308   RR*cxr 9438   < clt 9439   <_ cle 9440   - cmin 9616   / cdiv 10014   (,)cioo 11321   [,]cicc 11324   TopOpenctopn 14381   topGenctg 14397  ℂ_fldccnfld 17840   intcnt 18643   -cn->ccncf 20474   _D cdv 21360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382  ax-mulf 9383

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-ixp 7285  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fsupp 7642  df-fi 7682  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ioo 11325  df-ico 11327  df-icc 11328  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-seq 11828  df-exp 11887  df-hash 12125  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-starv 14274  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-ip 14277  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-unif 14282  df-hom 14283  df-cco 14284  df-rest 14382  df-topn 14383  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-topgen 14403  df-pt 14404  df-prds 14407  df-xrs 14461  df-qtop 14466  df-imas 14467  df-xps 14469  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-mulg 15569  df-cntz 15856  df-cmn 16300  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-fbas 17836  df-fg 17837  df-cnfld 17841  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-topsp 18529  df-cld 18645  df-ntr 18646  df-cls 18647  df-nei 18724  df-lp 18762  df-perf 18763  df-cn 18853  df-cnp 18854  df-haus 18941  df-cmp 19012  df-tx 19157  df-hmeo 19350  df-fil 19441  df-fm 19533  df-flim 19534  df-flf 19535  df-xms 19917  df-ms 19918  df-tms 19919  df-cncf 20476  df-limc 21363  df-dv 21364

This theorem is referenced by:  efcvx  21936  logccv  22130