Theorem dvcvx 19857

Description: A real function with strictly increasing derivative is strictly convex. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcvx.a	|- ( ph -> A e. RR )
dvcvx.b	|- ( ph -> B e. RR )
dvcvx.l	|- ( ph -> A < B )
dvcvx.f	|- ( ph -> F e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
dvcvx.d	|- ( ph -> ( RR _D F ) Isom < , < ( ( A (,) B ) , W ) )
dvcvx.t	|- ( ph -> T e. ( 0 (,) 1 ) )
dvcvx.c	|- C = ( ( T x. A ) + ( ( 1 - T ) x. B ) )

Assertion

Ref	Expression
dvcvx	|- ( ph -> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) )

Proof of Theorem dvcvx

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvcvx.a	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
2		dvcvx.c	. . . 4 |- C = ( ( T x. A ) + ( ( 1 - T ) x. B ) )
3		dvcvx.t	. . . . . . 7 |- ( ph -> T e. ( 0 (,) 1 ) )
4		elioore 10902	. . . . . . 7 |- ( T e. ( 0 (,) 1 ) -> T e. RR )
5	3, 4	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> T e. RR )
6	5, 1	remulcld 9072	. . . . 5 |- ( ph -> ( T x. A ) e. RR )
7		1re 9046	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
8		resubcl 9321	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. RR /\ T e. RR ) -> ( 1 - T ) e. RR )
9	7, 5, 8	sylancr 645	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 - T ) e. RR )
10		dvcvx.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
11	9, 10	remulcld 9072	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. B ) e. RR )
12	6, 11	readdcld 9071	. . . 4 |- ( ph -> ( ( T x. A ) + ( ( 1 - T ) x. B ) ) e. RR )
13	2, 12	syl5eqel 2488	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
14		ax-1cn 9004	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. CC )
16	5	recnd 9070	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T e. CC )
17	1	recnd 9070	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. CC )
18	15, 16, 17	subdird 9446	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. A ) = ( ( 1 x. A ) - ( T x. A ) ) )
19	17	mulid2d 9062	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 x. A ) = A )
20	19	oveq1d 6055	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 x. A ) - ( T x. A ) ) = ( A - ( T x. A ) ) )
21	18, 20	eqtrd 2436	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. A ) = ( A - ( T x. A ) ) )
22		dvcvx.l	. . . . . . 7 |- ( ph -> A < B )
23		eliooord 10926	. . . . . . . . . . 11 |- ( T e. ( 0 (,) 1 ) -> ( 0 < T /\ T < 1 ) )
24	3, 23	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 < T /\ T < 1 ) )
25	24	simprd 450	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T < 1 )
26		posdif 9477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( T < 1 <-> 0 < ( 1 - T ) ) )
27	5, 7, 26	sylancl 644	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( T < 1 <-> 0 < ( 1 - T ) ) )
28	25, 27	mpbid 202	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < ( 1 - T ) )
29		ltmul2 9817	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( ( 1 - T ) e. RR /\ 0 < ( 1 - T ) ) ) -> ( A < B <-> ( ( 1 - T ) x. A ) < ( ( 1 - T ) x. B ) ) )
30	1, 10, 9, 28, 29	syl112anc 1188	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A < B <-> ( ( 1 - T ) x. A ) < ( ( 1 - T ) x. B ) ) )
31	22, 30	mpbid 202	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. A ) < ( ( 1 - T ) x. B ) )
32	21, 31	eqbrtrrd 4194	. . . . 5 |- ( ph -> ( A - ( T x. A ) ) < ( ( 1 - T ) x. B ) )
33	1, 6, 11	ltsubadd2d 9580	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A - ( T x. A ) ) < ( ( 1 - T ) x. B ) <-> A < ( ( T x. A ) + ( ( 1 - T ) x. B ) ) ) )
34	32, 33	mpbid 202	. . . 4 |- ( ph -> A < ( ( T x. A ) + ( ( 1 - T ) x. B ) ) )
35	34, 2	syl6breqr 4212	. . 3 |- ( ph -> A < C )
36	1	leidd 9549	. . . . 5 |- ( ph -> A <_ A )
37	10	recnd 9070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. CC )
38	15, 16, 37	subdird 9446	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. B ) = ( ( 1 x. B ) - ( T x. B ) ) )
39	37	mulid2d 9062	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 x. B ) = B )
40	39	oveq1d 6055	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 1 x. B ) - ( T x. B ) ) = ( B - ( T x. B ) ) )
41	38, 40	eqtrd 2436	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. B ) = ( B - ( T x. B ) ) )
42	5, 10	remulcld 9072	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( T x. B ) e. RR )
43	24	simpld 446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < T )
44		ltmul2 9817	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( T e. RR /\ 0 < T ) ) -> ( A < B <-> ( T x. A ) < ( T x. B ) ) )
45	1, 10, 5, 43, 44	syl112anc 1188	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A < B <-> ( T x. A ) < ( T x. B ) ) )
46	22, 45	mpbid 202	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( T x. A ) < ( T x. B ) )
47	6, 42, 10, 46	ltsub2dd 9595	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B - ( T x. B ) ) < ( B - ( T x. A ) ) )
48	41, 47	eqbrtrd 4192	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. B ) < ( B - ( T x. A ) ) )
49	6, 11, 10	ltaddsub2d 9583	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( T x. A ) + ( ( 1 - T ) x. B ) ) < B <-> ( ( 1 - T ) x. B ) < ( B - ( T x. A ) ) ) )
50	48, 49	mpbird 224	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( T x. A ) + ( ( 1 - T ) x. B ) ) < B )
51	2, 50	syl5eqbr 4205	. . . . . 6 |- ( ph -> C < B )
52	13, 10, 51	ltled 9177	. . . . 5 |- ( ph -> C <_ B )
53		iccss 10934	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ A /\ C <_ B ) ) -> ( A [,] C ) C_ ( A [,] B ) )
54	1, 10, 36, 52, 53	syl22anc 1185	. . . 4 |- ( ph -> ( A [,] C ) C_ ( A [,] B ) )
55		dvcvx.f	. . . 4 |- ( ph -> F e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
56		rescncf 18880	. . . 4 |- ( ( A [,] C ) C_ ( A [,] B ) -> ( F e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) -> ( F |` ( A [,] C ) ) e. ( ( A [,] C ) -cn-> RR ) ) )
57	54, 55, 56	sylc 58	. . 3 |- ( ph -> ( F |` ( A [,] C ) ) e. ( ( A [,] C ) -cn-> RR ) )
58		ax-resscn 9003	. . . . . . . 8 |- RR C_ CC
59	58	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR C_ CC )
60		cncff 18876	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) -> F : ( A [,] B ) --> RR )
61	55, 60	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : ( A [,] B ) --> RR )
62		fss 5558	. . . . . . . 8 |- ( ( F : ( A [,] B ) --> RR /\ RR C_ CC ) -> F : ( A [,] B ) --> CC )
63	61, 58, 62	sylancl 644	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : ( A [,] B ) --> CC )
64		iccssre 10948	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
65	1, 10, 64	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
66		iccssre 10948	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> ( A [,] C ) C_ RR )
67	1, 13, 66	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A [,] C ) C_ RR )
68		eqid 2404	. . . . . . . 8 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
69	68	tgioo2 18787	. . . . . . . 8 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
70	68, 69	dvres 19751	. . . . . . 7 |- ( ( ( RR C_ CC /\ F : ( A [,] B ) --> CC ) /\ ( ( A [,] B ) C_ RR /\ ( A [,] C ) C_ RR ) ) -> ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] C ) ) ) )
71	59, 63, 65, 67, 70	syl22anc 1185	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] C ) ) ) )
72		iccntr 18805	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] C ) ) = ( A (,) C ) )
73	1, 13, 72	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] C ) ) = ( A (,) C ) )
74	73	reseq2d 5105	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] C ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( A (,) C ) ) )
75	71, 74	eqtrd 2436	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( A (,) C ) ) )
76	75	dmeqd 5031	. . . 4 |- ( ph -> dom ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) = dom ( ( RR _D F ) |` ( A (,) C ) ) )
77		dmres 5126	. . . . 5 |- dom ( ( RR _D F ) |` ( A (,) C ) ) = ( ( A (,) C ) i^i dom ( RR _D F ) )
78	10	rexrd 9090	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. RR* )
79		iooss2 10908	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR* /\ C <_ B ) -> ( A (,) C ) C_ ( A (,) B ) )
80	78, 52, 79	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A (,) C ) C_ ( A (,) B ) )
81		dvcvx.d	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D F ) Isom < , < ( ( A (,) B ) , W ) )
82		isof1o 6004	. . . . . . . 8 |- ( ( RR _D F ) Isom < , < ( ( A (,) B ) , W ) -> ( RR _D F ) : ( A (,) B ) -1-1-onto-> W )
83		f1odm 5637	. . . . . . . 8 |- ( ( RR _D F ) : ( A (,) B ) -1-1-onto-> W -> dom ( RR _D F ) = ( A (,) B ) )
84	81, 82, 83	3syl 19	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom ( RR _D F ) = ( A (,) B ) )
85	80, 84	sseqtr4d 3345	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A (,) C ) C_ dom ( RR _D F ) )
86		df-ss 3294	. . . . . 6 |- ( ( A (,) C ) C_ dom ( RR _D F ) <-> ( ( A (,) C ) i^i dom ( RR _D F ) ) = ( A (,) C ) )
87	85, 86	sylib 189	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A (,) C ) i^i dom ( RR _D F ) ) = ( A (,) C ) )
88	77, 87	syl5eq 2448	. . . 4 |- ( ph -> dom ( ( RR _D F ) |` ( A (,) C ) ) = ( A (,) C ) )
89	76, 88	eqtrd 2436	. . 3 |- ( ph -> dom ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) = ( A (,) C ) )
90	1, 13, 35, 57, 89	mvth 19829	. 2 |- ( ph -> E. x e. ( A (,) C ) ( ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) ` x ) = ( ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) / ( C - A ) ) )
91	1, 13, 35	ltled 9177	. . . . 5 |- ( ph -> A <_ C )
92	10	leidd 9549	. . . . 5 |- ( ph -> B <_ B )
93		iccss 10934	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ C /\ B <_ B ) ) -> ( C [,] B ) C_ ( A [,] B ) )
94	1, 10, 91, 92, 93	syl22anc 1185	. . . 4 |- ( ph -> ( C [,] B ) C_ ( A [,] B ) )
95		rescncf 18880	. . . 4 |- ( ( C [,] B ) C_ ( A [,] B ) -> ( F e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) -> ( F |` ( C [,] B ) ) e. ( ( C [,] B ) -cn-> RR ) ) )
96	94, 55, 95	sylc 58	. . 3 |- ( ph -> ( F |` ( C [,] B ) ) e. ( ( C [,] B ) -cn-> RR ) )
97		iccssre 10948	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. RR /\ B e. RR ) -> ( C [,] B ) C_ RR )
98	13, 10, 97	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C [,] B ) C_ RR )
99	68, 69	dvres 19751	. . . . . . 7 |- ( ( ( RR C_ CC /\ F : ( A [,] B ) --> CC ) /\ ( ( A [,] B ) C_ RR /\ ( C [,] B ) C_ RR ) ) -> ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( C [,] B ) ) ) )
100	59, 63, 65, 98, 99	syl22anc 1185	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( C [,] B ) ) ) )
101		iccntr 18805	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( C [,] B ) ) = ( C (,) B ) )
102	13, 10, 101	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( C [,] B ) ) = ( C (,) B ) )
103	102	reseq2d 5105	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( C [,] B ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( C (,) B ) ) )
104	100, 103	eqtrd 2436	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( C (,) B ) ) )
105	104	dmeqd 5031	. . . 4 |- ( ph -> dom ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) = dom ( ( RR _D F ) |` ( C (,) B ) ) )
106		dmres 5126	. . . . 5 |- dom ( ( RR _D F ) |` ( C (,) B ) ) = ( ( C (,) B ) i^i dom ( RR _D F ) )
107	1	rexrd 9090	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR* )
108		iooss1 10907	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ A <_ C ) -> ( C (,) B ) C_ ( A (,) B ) )
109	107, 91, 108	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C (,) B ) C_ ( A (,) B ) )
110	109, 84	sseqtr4d 3345	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C (,) B ) C_ dom ( RR _D F ) )
111		df-ss 3294	. . . . . 6 |- ( ( C (,) B ) C_ dom ( RR _D F ) <-> ( ( C (,) B ) i^i dom ( RR _D F ) ) = ( C (,) B ) )
112	110, 111	sylib 189	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( C (,) B ) i^i dom ( RR _D F ) ) = ( C (,) B ) )
113	106, 112	syl5eq 2448	. . . 4 |- ( ph -> dom ( ( RR _D F ) |` ( C (,) B ) ) = ( C (,) B ) )
114	105, 113	eqtrd 2436	. . 3 |- ( ph -> dom ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) = ( C (,) B ) )
115	13, 10, 51, 96, 114	mvth 19829	. 2 |- ( ph -> E. y e. ( C (,) B ) ( ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) ` y ) = ( ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) / ( B - C ) ) )
116		reeanv 2835	. . 3 |- ( E. x e. ( A (,) C ) E. y e. ( C (,) B ) ( ( ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) ` x ) = ( ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) / ( C - A ) ) /\ ( ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) ` y ) = ( ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) / ( B - C ) ) ) <-> ( E. x e. ( A (,) C ) ( ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) ` x ) = ( ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) / ( C - A ) ) /\ E. y e. ( C (,) B ) ( ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) ` y ) = ( ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) / ( B - C ) ) ) )
117	75	fveq1d 5689	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) ` x ) = ( ( ( RR _D F ) |` ( A (,) C ) ) ` x ) )
118		fvres 5704	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( A (,) C ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( A (,) C ) ) ` x ) = ( ( RR _D F ) ` x ) )
119	118	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( A (,) C ) ) ` x ) = ( ( RR _D F ) ` x ) )
120	117, 119	sylan9eq 2456	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) ` x ) = ( ( RR _D F ) ` x ) )
121	13	rexrd 9090	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. RR* )
122		ubicc2 10970	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* /\ A <_ C ) -> C e. ( A [,] C ) )
123	107, 121, 91, 122	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. ( A [,] C ) )
124		fvres 5704	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ( A [,] C ) -> ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) = ( F ` C ) )
125	123, 124	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) = ( F ` C ) )
126		lbicc2 10969	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* /\ A <_ C ) -> A e. ( A [,] C ) )
127	107, 121, 91, 126	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. ( A [,] C ) )
128		fvres 5704	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( A [,] C ) -> ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) = ( F ` A ) )
129	127, 128	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) = ( F ` A ) )
130	125, 129	oveq12d 6058	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) = ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) )
131	130	oveq1d 6055	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) / ( C - A ) ) = ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) )
132	131	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) / ( C - A ) ) = ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) )
133	120, 132	eqeq12d 2418	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) ` x ) = ( ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) / ( C - A ) ) <-> ( ( RR _D F ) ` x ) = ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) ) )
134	104	fveq1d 5689	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) ` y ) = ( ( ( RR _D F ) |` ( C (,) B ) ) ` y ) )
135		fvres 5704	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( C (,) B ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( C (,) B ) ) ` y ) = ( ( RR _D F ) ` y ) )
136	135	adantl 453	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( C (,) B ) ) ` y ) = ( ( RR _D F ) ` y ) )
137	134, 136	sylan9eq 2456	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) ` y ) = ( ( RR _D F ) ` y ) )
138		ubicc2 10970	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. RR* /\ B e. RR* /\ C <_ B ) -> B e. ( C [,] B ) )
139	121, 78, 52, 138	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. ( C [,] B ) )
140		fvres 5704	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( C [,] B ) -> ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) = ( F ` B ) )
141	139, 140	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) = ( F ` B ) )
142		lbicc2 10969	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. RR* /\ B e. RR* /\ C <_ B ) -> C e. ( C [,] B ) )
143	121, 78, 52, 142	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. ( C [,] B ) )
144		fvres 5704	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ( C [,] B ) -> ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) = ( F ` C ) )
145	143, 144	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) = ( F ` C ) )
146	141, 145	oveq12d 6058	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) = ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) )
147	146	oveq1d 6055	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) / ( B - C ) ) = ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) )
148	147	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) / ( B - C ) ) = ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) )
149	137, 148	eqeq12d 2418	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) ` y ) = ( ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) / ( B - C ) ) <-> ( ( RR _D F ) ` y ) = ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) ) )
150	133, 149	anbi12d 692	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( ( ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) ` x ) = ( ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) / ( C - A ) ) /\ ( ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) ` y ) = ( ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) / ( B - C ) ) ) <-> ( ( ( RR _D F ) ` x ) = ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) /\ ( ( RR _D F ) ` y ) = ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) ) ) )
151		elioore 10902	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( A (,) C ) -> x e. RR )
152	151	ad2antrl 709	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> x e. RR )
153	13	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> C e. RR )
154		elioore 10902	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( C (,) B ) -> y e. RR )
155	154	ad2antll 710	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> y e. RR )
156		eliooord 10926	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( A (,) C ) -> ( A < x /\ x < C ) )
157	156	ad2antrl 709	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( A < x /\ x < C ) )
158	157	simprd 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> x < C )
159		eliooord 10926	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( C (,) B ) -> ( C < y /\ y < B ) )
160	159	ad2antll 710	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( C < y /\ y < B ) )
161	160	simpld 446	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> C < y )
162	152, 153, 155, 158, 161	lttrd 9187	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> x < y )
163	81	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( RR _D F ) Isom < , < ( ( A (,) B ) , W ) )
164	80	sselda 3308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) C ) ) -> x e. ( A (,) B ) )
165	164	adantrr 698	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> x e. ( A (,) B ) )
166	109	sselda 3308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) B ) ) -> y e. ( A (,) B ) )
167	166	adantrl 697	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> y e. ( A (,) B ) )
168		isorel 6005	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( RR _D F ) Isom < , < ( ( A (,) B ) , W ) /\ ( x e. ( A (,) B ) /\ y e. ( A (,) B ) ) ) -> ( x < y <-> ( ( RR _D F ) ` x ) < ( ( RR _D F ) ` y ) ) )
169	163, 165, 167, 168	syl12anc 1182	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( x < y <-> ( ( RR _D F ) ` x ) < ( ( RR _D F ) ` y ) ) )
170	162, 169	mpbid 202	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( RR _D F ) ` x ) < ( ( RR _D F ) ` y ) )
171		breq12 4177	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( RR _D F ) ` x ) = ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) /\ ( ( RR _D F ) ` y ) = ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) ) -> ( ( ( RR _D F ) ` x ) < ( ( RR _D F ) ` y ) <-> ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) ) )
172	170, 171	syl5ibcom 212	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( ( ( RR _D F ) ` x ) = ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) /\ ( ( RR _D F ) ` y ) = ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) ) -> ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) ) )
173	54, 123	sseldd 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. ( A [,] B ) )
174	61, 173	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F ` C ) e. RR )
175	54, 127	sseldd 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. ( A [,] B ) )
176	61, 175	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F ` A ) e. RR )
177	174, 176	resubcld 9421	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) e. RR )
178	28	gt0ne0d 9547	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 - T ) =/= 0 )
179	177, 9, 178	redivcld 9798	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) e. RR )
180	94, 139	sseldd 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. ( A [,] B ) )
181	61, 180	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F ` B ) e. RR )
182	181, 174	resubcld 9421	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) e. RR )
183	43	gt0ne0d 9547	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> T =/= 0 )
184	182, 5, 183	redivcld 9798	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) e. RR )
185	10, 1	resubcld 9421	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR )
186	1, 10	posdifd 9569	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
187	22, 186	mpbid 202	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 < ( B - A ) )
188		ltdiv1 9830	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) e. RR /\ ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) e. RR /\ ( ( B - A ) e. RR /\ 0 < ( B - A ) ) ) -> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) <-> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) / ( B - A ) ) < ( ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) / ( B - A ) ) ) )
189	179, 184, 185, 187, 188	syl112anc 1188	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) <-> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) / ( B - A ) ) < ( ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) / ( B - A ) ) ) )
190	177	recnd 9070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) e. CC )
191	190, 16	mulcomd 9065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) x. T ) = ( T x. ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) ) )
192	174	recnd 9070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F ` C ) e. CC )
193	176	recnd 9070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F ` A ) e. CC )
194	16, 192, 193	subdid 9445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( T x. ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) ) = ( ( T x. ( F ` C ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) )
195	191, 194	eqtrd 2436	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) x. T ) = ( ( T x. ( F ` C ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) )
196	182	recnd 9070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) e. CC )
197	9	recnd 9070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 - T ) e. CC )
198	196, 197	mulcomd 9065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) x. ( 1 - T ) ) = ( ( 1 - T ) x. ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) ) )
199	181	recnd 9070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F ` B ) e. CC )
200	197, 199, 192	subdid 9445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) - ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) )
201	198, 200	eqtrd 2436	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) x. ( 1 - T ) ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) - ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) )
202	195, 201	breq12d 4185	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) x. T ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) x. ( 1 - T ) ) <-> ( ( T x. ( F ` C ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) < ( ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) - ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) ) )
203	5, 43	jca 519	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( T e. RR /\ 0 < T ) )
204	9, 28	jca 519	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) e. RR /\ 0 < ( 1 - T ) ) )
205		lt2mul2div 9842	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) e. RR /\ ( T e. RR /\ 0 < T ) ) /\ ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) e. RR /\ ( ( 1 - T ) e. RR /\ 0 < ( 1 - T ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) x. T ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) x. ( 1 - T ) ) <-> ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) ) )
206	177, 203, 182, 204, 205	syl22anc 1185	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) x. T ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) x. ( 1 - T ) ) <-> ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) ) )
207	5, 174	remulcld 9072	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( T x. ( F ` C ) ) e. RR )
208	207	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( T x. ( F ` C ) ) e. CC )
209	9, 174	remulcld 9072	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) e. RR )
210	209	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) e. CC )
211	5, 176	remulcld 9072	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( T x. ( F ` A ) ) e. RR )
212	211	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( T x. ( F ` A ) ) e. CC )
213	208, 210, 212	addsubd 9388	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( T x. ( F ` C ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) = ( ( ( T x. ( F ` C ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) )
214		pncan3 9269	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( T e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( T + ( 1 - T ) ) = 1 )
215	16, 14, 214	sylancl 644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( T + ( 1 - T ) ) = 1 )
216	215	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( T + ( 1 - T ) ) x. ( F ` C ) ) = ( 1 x. ( F ` C ) ) )
217	16, 197, 192	adddird 9069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( T + ( 1 - T ) ) x. ( F ` C ) ) = ( ( T x. ( F ` C ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) )
218	192	mulid2d 9062	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 x. ( F ` C ) ) = ( F ` C ) )
219	216, 217, 218	3eqtr3d 2444	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( T x. ( F ` C ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) = ( F ` C ) )
220	219	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( T x. ( F ` C ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) = ( ( F ` C ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) )
221	213, 220	eqtr3d 2438	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( T x. ( F ` C ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) = ( ( F ` C ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) )
222	221	breq1d 4182	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( T x. ( F ` C ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) < ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) <-> ( ( F ` C ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) < ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) )
223	207, 211	resubcld 9421	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( T x. ( F ` C ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) e. RR )
224	9, 181	remulcld 9072	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) e. RR )
225	223, 209, 224	ltaddsubd 9582	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( T x. ( F ` C ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) < ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) <-> ( ( T x. ( F ` C ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) < ( ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) - ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) ) )
226	174, 211, 224	ltsubadd2d 9580	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( F ` C ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) < ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) <-> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) ) )
227	222, 225, 226	3bitr3d 275	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( T x. ( F ` C ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) < ( ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) - ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) <-> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) ) )
228	202, 206, 227	3bitr3d 275	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) <-> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) ) )
229	185	recnd 9070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B - A ) e. CC )
230	187	gt0ne0d 9547	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B - A ) =/= 0 )
231	190, 197, 229, 178, 230	divdiv1d 9777	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) / ( B - A ) ) = ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( ( 1 - T ) x. ( B - A ) ) ) )
232	21	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( 1 - T ) x. B ) - ( ( 1 - T ) x. A ) ) = ( ( ( 1 - T ) x. B ) - ( A - ( T x. A ) ) ) )
233	11	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. B ) e. CC )
234	6	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( T x. A ) e. CC )
235	233, 17, 234	subsub3d 9397	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( 1 - T ) x. B ) - ( A - ( T x. A ) ) ) = ( ( ( ( 1 - T ) x. B ) + ( T x. A ) ) - A ) )
236	232, 235	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( 1 - T ) x. B ) - ( ( 1 - T ) x. A ) ) = ( ( ( ( 1 - T ) x. B ) + ( T x. A ) ) - A ) )
237	197, 37, 17	subdid 9445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. ( B - A ) ) = ( ( ( 1 - T ) x. B ) - ( ( 1 - T ) x. A ) ) )
238	234, 233	addcomd 9224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( T x. A ) + ( ( 1 - T ) x. B ) ) = ( ( ( 1 - T ) x. B ) + ( T x. A ) ) )
239	2, 238	syl5eq 2448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> C = ( ( ( 1 - T ) x. B ) + ( T x. A ) ) )
240	239	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C - A ) = ( ( ( ( 1 - T ) x. B ) + ( T x. A ) ) - A ) )
241	236, 237, 240	3eqtr4d 2446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. ( B - A ) ) = ( C - A ) )
242	241	oveq2d 6056	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( ( 1 - T ) x. ( B - A ) ) ) = ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) )
243	231, 242	eqtrd 2436	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) / ( B - A ) ) = ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) )
244	196, 16, 229, 183, 230	divdiv1d 9777	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) / ( B - A ) ) = ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( T x. ( B - A ) ) ) )
245	37, 233, 234	subsub4d 9398	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( B - ( ( 1 - T ) x. B ) ) - ( T x. A ) ) = ( B - ( ( ( 1 - T ) x. B ) + ( T x. A ) ) ) )
246	41	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( B - ( ( 1 - T ) x. B ) ) = ( B - ( B - ( T x. B ) ) ) )
247	42	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( T x. B ) e. CC )
248	37, 247	nncand 9372	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( B - ( B - ( T x. B ) ) ) = ( T x. B ) )
249	246, 248	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( B - ( ( 1 - T ) x. B ) ) = ( T x. B ) )
250	249	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( B - ( ( 1 - T ) x. B ) ) - ( T x. A ) ) = ( ( T x. B ) - ( T x. A ) ) )
251	245, 250	eqtr3d 2438	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B - ( ( ( 1 - T ) x. B ) + ( T x. A ) ) ) = ( ( T x. B ) - ( T x. A ) ) )
252	239	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B - C ) = ( B - ( ( ( 1 - T ) x. B ) + ( T x. A ) ) ) )
253	16, 37, 17	subdid 9445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( T x. ( B - A ) ) = ( ( T x. B ) - ( T x. A ) ) )
254	251, 252, 253	3eqtr4d 2446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B - C ) = ( T x. ( B - A ) ) )
255	254	oveq2d 6056	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) = ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( T x. ( B - A ) ) ) )
256	244, 255	eqtr4d 2439	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) / ( B - A ) ) = ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) )
257	243, 256	breq12d 4185	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) / ( B - A ) ) < ( ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) / ( B - A ) ) <-> ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) ) )
258	189, 228, 257	3bitr3rd 276	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) <-> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) ) )
259	258	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) <-> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) ) )
260	172, 259	sylibd 206	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( ( ( RR _D F ) ` x ) = ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) /\ ( ( RR _D F ) ` y ) = ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) ) -> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) ) )
261	150, 260	sylbid 207	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( ( ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) ` x ) = ( ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) / ( C - A ) ) /\ ( ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) ` y ) = ( ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) / ( B - C ) ) ) -> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) ) )
262	261	rexlimdvva 2797	. . 3 |- ( ph -> ( E. x e. ( A (,) C ) E. y e. ( C (,) B ) ( ( ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) ` x ) = ( ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) / ( C - A ) ) /\ ( ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) ` y ) = ( ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) / ( B - C ) ) ) -> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) ) )
263	116, 262	syl5bir 210	. 2 |- ( ph -> ( ( E. x e. ( A (,) C ) ( ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) ` x ) = ( ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) / ( C - A ) ) /\ E. y e. ( C (,) B ) ( ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) ` y ) = ( ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) / ( B - C ) ) ) -> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) ) )
264	90, 115, 263	mp2and 661	1 |- ( ph -> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   E.wrex 2667   i^i cin 3279   C_ wss 3280   class class class wbr 4172   dom cdm 4837   ran crn 4838   |` cres 4839   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413   Isom wiso 5414  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   RR*cxr 9075   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   / cdiv 9633   (,)cioo 10872   [,]cicc 10875   TopOpenctopn 13604   topGenctg 13620  ℂ_fldccnfld 16658   intcnt 17036   -cn->ccncf 18859   _D cdv 19703

This theorem is referenced by:  efcvx  20318  logccv  20507

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707