Theorem dvcvx 23051

Description: A real function with strictly increasing derivative is strictly convex. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcvx.a	|- ( ph -> A e. RR )
dvcvx.b	|- ( ph -> B e. RR )
dvcvx.l	|- ( ph -> A < B )
dvcvx.f	|- ( ph -> F e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
dvcvx.d	|- ( ph -> ( RR _D F ) Isom < , < ( ( A (,) B ) , W ) )
dvcvx.t	|- ( ph -> T e. ( 0 (,) 1 ) )
dvcvx.c	|- C = ( ( T x. A ) + ( ( 1 - T ) x. B ) )

Assertion

Ref	Expression
dvcvx	|- ( ph -> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) )

Proof of Theorem dvcvx

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvcvx.a	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
2		dvcvx.c	. . . 4 |- C = ( ( T x. A ) + ( ( 1 - T ) x. B ) )
3		dvcvx.t	. . . . . . 7 |- ( ph -> T e. ( 0 (,) 1 ) )
4		elioore 11691	. . . . . . 7 |- ( T e. ( 0 (,) 1 ) -> T e. RR )
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> T e. RR )
6	5, 1	remulcld 9689	. . . . 5 |- ( ph -> ( T x. A ) e. RR )
7		1re 9660	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
8		resubcl 9958	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. RR /\ T e. RR ) -> ( 1 - T ) e. RR )
9	7, 5, 8	sylancr 676	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 - T ) e. RR )
10		dvcvx.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
11	9, 10	remulcld 9689	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. B ) e. RR )
12	6, 11	readdcld 9688	. . . 4 |- ( ph -> ( ( T x. A ) + ( ( 1 - T ) x. B ) ) e. RR )
13	2, 12	syl5eqel 2553	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
14		1cnd 9677	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. CC )
15	5	recnd 9687	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T e. CC )
16	1	recnd 9687	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. CC )
17	14, 15, 16	subdird 10096	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. A ) = ( ( 1 x. A ) - ( T x. A ) ) )
18	16	mulid2d 9679	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 x. A ) = A )
19	18	oveq1d 6323	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 x. A ) - ( T x. A ) ) = ( A - ( T x. A ) ) )
20	17, 19	eqtrd 2505	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. A ) = ( A - ( T x. A ) ) )
21		dvcvx.l	. . . . . . 7 |- ( ph -> A < B )
22		eliooord 11719	. . . . . . . . . . 11 |- ( T e. ( 0 (,) 1 ) -> ( 0 < T /\ T < 1 ) )
23	3, 22	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 < T /\ T < 1 ) )
24	23	simprd 470	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T < 1 )
25		posdif 10128	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( T < 1 <-> 0 < ( 1 - T ) ) )
26	5, 7, 25	sylancl 675	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( T < 1 <-> 0 < ( 1 - T ) ) )
27	24, 26	mpbid 215	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < ( 1 - T ) )
28		ltmul2 10478	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( ( 1 - T ) e. RR /\ 0 < ( 1 - T ) ) ) -> ( A < B <-> ( ( 1 - T ) x. A ) < ( ( 1 - T ) x. B ) ) )
29	1, 10, 9, 27, 28	syl112anc 1296	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A < B <-> ( ( 1 - T ) x. A ) < ( ( 1 - T ) x. B ) ) )
30	21, 29	mpbid 215	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. A ) < ( ( 1 - T ) x. B ) )
31	20, 30	eqbrtrrd 4418	. . . . 5 |- ( ph -> ( A - ( T x. A ) ) < ( ( 1 - T ) x. B ) )
32	1, 6, 11	ltsubadd2d 10232	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A - ( T x. A ) ) < ( ( 1 - T ) x. B ) <-> A < ( ( T x. A ) + ( ( 1 - T ) x. B ) ) ) )
33	31, 32	mpbid 215	. . . 4 |- ( ph -> A < ( ( T x. A ) + ( ( 1 - T ) x. B ) ) )
34	33, 2	syl6breqr 4436	. . 3 |- ( ph -> A < C )
35	1	leidd 10201	. . . . 5 |- ( ph -> A <_ A )
36	10	recnd 9687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. CC )
37	14, 15, 36	subdird 10096	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. B ) = ( ( 1 x. B ) - ( T x. B ) ) )
38	36	mulid2d 9679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 x. B ) = B )
39	38	oveq1d 6323	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 1 x. B ) - ( T x. B ) ) = ( B - ( T x. B ) ) )
40	37, 39	eqtrd 2505	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. B ) = ( B - ( T x. B ) ) )
41	5, 10	remulcld 9689	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( T x. B ) e. RR )
42	23	simpld 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < T )
43		ltmul2 10478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( T e. RR /\ 0 < T ) ) -> ( A < B <-> ( T x. A ) < ( T x. B ) ) )
44	1, 10, 5, 42, 43	syl112anc 1296	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A < B <-> ( T x. A ) < ( T x. B ) ) )
45	21, 44	mpbid 215	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( T x. A ) < ( T x. B ) )
46	6, 41, 10, 45	ltsub2dd 10247	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B - ( T x. B ) ) < ( B - ( T x. A ) ) )
47	40, 46	eqbrtrd 4416	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. B ) < ( B - ( T x. A ) ) )
48	6, 11, 10	ltaddsub2d 10235	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( T x. A ) + ( ( 1 - T ) x. B ) ) < B <-> ( ( 1 - T ) x. B ) < ( B - ( T x. A ) ) ) )
49	47, 48	mpbird 240	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( T x. A ) + ( ( 1 - T ) x. B ) ) < B )
50	2, 49	syl5eqbr 4429	. . . . . 6 |- ( ph -> C < B )
51	13, 10, 50	ltled 9800	. . . . 5 |- ( ph -> C <_ B )
52		iccss 11727	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ A /\ C <_ B ) ) -> ( A [,] C ) C_ ( A [,] B ) )
53	1, 10, 35, 51, 52	syl22anc 1293	. . . 4 |- ( ph -> ( A [,] C ) C_ ( A [,] B ) )
54		dvcvx.f	. . . 4 |- ( ph -> F e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
55		rescncf 22007	. . . 4 |- ( ( A [,] C ) C_ ( A [,] B ) -> ( F e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) -> ( F |` ( A [,] C ) ) e. ( ( A [,] C ) -cn-> RR ) ) )
56	53, 54, 55	sylc 61	. . 3 |- ( ph -> ( F |` ( A [,] C ) ) e. ( ( A [,] C ) -cn-> RR ) )
57		ax-resscn 9614	. . . . . . . 8 |- RR C_ CC
58	57	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR C_ CC )
59		cncff 22003	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) -> F : ( A [,] B ) --> RR )
60	54, 59	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : ( A [,] B ) --> RR )
61		fss 5749	. . . . . . . 8 |- ( ( F : ( A [,] B ) --> RR /\ RR C_ CC ) -> F : ( A [,] B ) --> CC )
62	60, 57, 61	sylancl 675	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : ( A [,] B ) --> CC )
63		iccssre 11741	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
64	1, 10, 63	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
65		iccssre 11741	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> ( A [,] C ) C_ RR )
66	1, 13, 65	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A [,] C ) C_ RR )
67		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
68	67	tgioo2 21899	. . . . . . . 8 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
69	67, 68	dvres 22945	. . . . . . 7 |- ( ( ( RR C_ CC /\ F : ( A [,] B ) --> CC ) /\ ( ( A [,] B ) C_ RR /\ ( A [,] C ) C_ RR ) ) -> ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] C ) ) ) )
70	58, 62, 64, 66, 69	syl22anc 1293	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] C ) ) ) )
71		iccntr 21917	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] C ) ) = ( A (,) C ) )
72	1, 13, 71	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] C ) ) = ( A (,) C ) )
73	72	reseq2d 5111	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] C ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( A (,) C ) ) )
74	70, 73	eqtrd 2505	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( A (,) C ) ) )
75	74	dmeqd 5042	. . . 4 |- ( ph -> dom ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) = dom ( ( RR _D F ) |` ( A (,) C ) ) )
76		dmres 5131	. . . . 5 |- dom ( ( RR _D F ) |` ( A (,) C ) ) = ( ( A (,) C ) i^i dom ( RR _D F ) )
77	10	rexrd 9708	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. RR* )
78		iooss2 11697	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR* /\ C <_ B ) -> ( A (,) C ) C_ ( A (,) B ) )
79	77, 51, 78	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A (,) C ) C_ ( A (,) B ) )
80		dvcvx.d	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D F ) Isom < , < ( ( A (,) B ) , W ) )
81		isof1o 6234	. . . . . . . 8 |- ( ( RR _D F ) Isom < , < ( ( A (,) B ) , W ) -> ( RR _D F ) : ( A (,) B ) -1-1-onto-> W )
82		f1odm 5832	. . . . . . . 8 |- ( ( RR _D F ) : ( A (,) B ) -1-1-onto-> W -> dom ( RR _D F ) = ( A (,) B ) )
83	80, 81, 82	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom ( RR _D F ) = ( A (,) B ) )
84	79, 83	sseqtr4d 3455	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A (,) C ) C_ dom ( RR _D F ) )
85		df-ss 3404	. . . . . 6 |- ( ( A (,) C ) C_ dom ( RR _D F ) <-> ( ( A (,) C ) i^i dom ( RR _D F ) ) = ( A (,) C ) )
86	84, 85	sylib 201	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A (,) C ) i^i dom ( RR _D F ) ) = ( A (,) C ) )
87	76, 86	syl5eq 2517	. . . 4 |- ( ph -> dom ( ( RR _D F ) |` ( A (,) C ) ) = ( A (,) C ) )
88	75, 87	eqtrd 2505	. . 3 |- ( ph -> dom ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) = ( A (,) C ) )
89	1, 13, 34, 56, 88	mvth 23023	. 2 |- ( ph -> E. x e. ( A (,) C ) ( ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) ` x ) = ( ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) / ( C - A ) ) )
90	1, 13, 34	ltled 9800	. . . . 5 |- ( ph -> A <_ C )
91	10	leidd 10201	. . . . 5 |- ( ph -> B <_ B )
92		iccss 11727	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ C /\ B <_ B ) ) -> ( C [,] B ) C_ ( A [,] B ) )
93	1, 10, 90, 91, 92	syl22anc 1293	. . . 4 |- ( ph -> ( C [,] B ) C_ ( A [,] B ) )
94		rescncf 22007	. . . 4 |- ( ( C [,] B ) C_ ( A [,] B ) -> ( F e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) -> ( F |` ( C [,] B ) ) e. ( ( C [,] B ) -cn-> RR ) ) )
95	93, 54, 94	sylc 61	. . 3 |- ( ph -> ( F |` ( C [,] B ) ) e. ( ( C [,] B ) -cn-> RR ) )
96		iccssre 11741	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. RR /\ B e. RR ) -> ( C [,] B ) C_ RR )
97	13, 10, 96	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C [,] B ) C_ RR )
98	67, 68	dvres 22945	. . . . . . 7 |- ( ( ( RR C_ CC /\ F : ( A [,] B ) --> CC ) /\ ( ( A [,] B ) C_ RR /\ ( C [,] B ) C_ RR ) ) -> ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( C [,] B ) ) ) )
99	58, 62, 64, 97, 98	syl22anc 1293	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( C [,] B ) ) ) )
100		iccntr 21917	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( C [,] B ) ) = ( C (,) B ) )
101	13, 10, 100	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( C [,] B ) ) = ( C (,) B ) )
102	101	reseq2d 5111	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( C [,] B ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( C (,) B ) ) )
103	99, 102	eqtrd 2505	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( C (,) B ) ) )
104	103	dmeqd 5042	. . . 4 |- ( ph -> dom ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) = dom ( ( RR _D F ) |` ( C (,) B ) ) )
105		dmres 5131	. . . . 5 |- dom ( ( RR _D F ) |` ( C (,) B ) ) = ( ( C (,) B ) i^i dom ( RR _D F ) )
106	1	rexrd 9708	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR* )
107		iooss1 11696	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ A <_ C ) -> ( C (,) B ) C_ ( A (,) B ) )
108	106, 90, 107	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C (,) B ) C_ ( A (,) B ) )
109	108, 83	sseqtr4d 3455	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C (,) B ) C_ dom ( RR _D F ) )
110		df-ss 3404	. . . . . 6 |- ( ( C (,) B ) C_ dom ( RR _D F ) <-> ( ( C (,) B ) i^i dom ( RR _D F ) ) = ( C (,) B ) )
111	109, 110	sylib 201	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( C (,) B ) i^i dom ( RR _D F ) ) = ( C (,) B ) )
112	105, 111	syl5eq 2517	. . . 4 |- ( ph -> dom ( ( RR _D F ) |` ( C (,) B ) ) = ( C (,) B ) )
113	104, 112	eqtrd 2505	. . 3 |- ( ph -> dom ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) = ( C (,) B ) )
114	13, 10, 50, 95, 113	mvth 23023	. 2 |- ( ph -> E. y e. ( C (,) B ) ( ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) ` y ) = ( ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) / ( B - C ) ) )
115		reeanv 2944	. . 3 |- ( E. x e. ( A (,) C ) E. y e. ( C (,) B ) ( ( ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) ` x ) = ( ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) / ( C - A ) ) /\ ( ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) ` y ) = ( ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) / ( B - C ) ) ) <-> ( E. x e. ( A (,) C ) ( ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) ` x ) = ( ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) / ( C - A ) ) /\ E. y e. ( C (,) B ) ( ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) ` y ) = ( ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) / ( B - C ) ) ) )
116	74	fveq1d 5881	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) ` x ) = ( ( ( RR _D F ) |` ( A (,) C ) ) ` x ) )
117		fvres 5893	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( A (,) C ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( A (,) C ) ) ` x ) = ( ( RR _D F ) ` x ) )
118	117	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( A (,) C ) ) ` x ) = ( ( RR _D F ) ` x ) )
119	116, 118	sylan9eq 2525	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) ` x ) = ( ( RR _D F ) ` x ) )
120	13	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. RR* )
121		ubicc2 11775	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* /\ A <_ C ) -> C e. ( A [,] C ) )
122	106, 120, 90, 121	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. ( A [,] C ) )
123		fvres 5893	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ( A [,] C ) -> ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) = ( F ` C ) )
124	122, 123	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) = ( F ` C ) )
125		lbicc2 11774	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* /\ A <_ C ) -> A e. ( A [,] C ) )
126	106, 120, 90, 125	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. ( A [,] C ) )
127		fvres 5893	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( A [,] C ) -> ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) = ( F ` A ) )
128	126, 127	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) = ( F ` A ) )
129	124, 128	oveq12d 6326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) = ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) )
130	129	oveq1d 6323	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) / ( C - A ) ) = ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) )
131	130	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) / ( C - A ) ) = ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) )
132	119, 131	eqeq12d 2486	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) ` x ) = ( ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) / ( C - A ) ) <-> ( ( RR _D F ) ` x ) = ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) ) )
133	103	fveq1d 5881	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) ` y ) = ( ( ( RR _D F ) |` ( C (,) B ) ) ` y ) )
134		fvres 5893	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( C (,) B ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( C (,) B ) ) ` y ) = ( ( RR _D F ) ` y ) )
135	134	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( C (,) B ) ) ` y ) = ( ( RR _D F ) ` y ) )
136	133, 135	sylan9eq 2525	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) ` y ) = ( ( RR _D F ) ` y ) )
137		ubicc2 11775	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. RR* /\ B e. RR* /\ C <_ B ) -> B e. ( C [,] B ) )
138	120, 77, 51, 137	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. ( C [,] B ) )
139		fvres 5893	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( C [,] B ) -> ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) = ( F ` B ) )
140	138, 139	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) = ( F ` B ) )
141		lbicc2 11774	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. RR* /\ B e. RR* /\ C <_ B ) -> C e. ( C [,] B ) )
142	120, 77, 51, 141	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. ( C [,] B ) )
143		fvres 5893	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ( C [,] B ) -> ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) = ( F ` C ) )
144	142, 143	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) = ( F ` C ) )
145	140, 144	oveq12d 6326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) = ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) )
146	145	oveq1d 6323	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) / ( B - C ) ) = ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) )
147	146	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) / ( B - C ) ) = ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) )
148	136, 147	eqeq12d 2486	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) ` y ) = ( ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) / ( B - C ) ) <-> ( ( RR _D F ) ` y ) = ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) ) )
149	132, 148	anbi12d 725	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( ( ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) ` x ) = ( ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) / ( C - A ) ) /\ ( ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) ` y ) = ( ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) / ( B - C ) ) ) <-> ( ( ( RR _D F ) ` x ) = ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) /\ ( ( RR _D F ) ` y ) = ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) ) ) )
150		elioore 11691	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( A (,) C ) -> x e. RR )
151	150	ad2antrl 742	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> x e. RR )
152	13	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> C e. RR )
153		elioore 11691	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( C (,) B ) -> y e. RR )
154	153	ad2antll 743	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> y e. RR )
155		eliooord 11719	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( A (,) C ) -> ( A < x /\ x < C ) )
156	155	ad2antrl 742	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( A < x /\ x < C ) )
157	156	simprd 470	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> x < C )
158		eliooord 11719	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( C (,) B ) -> ( C < y /\ y < B ) )
159	158	ad2antll 743	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( C < y /\ y < B ) )
160	159	simpld 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> C < y )
161	151, 152, 154, 157, 160	lttrd 9813	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> x < y )
162	80	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( RR _D F ) Isom < , < ( ( A (,) B ) , W ) )
163	79	sselda 3418	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) C ) ) -> x e. ( A (,) B ) )
164	163	adantrr 731	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> x e. ( A (,) B ) )
165	108	sselda 3418	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) B ) ) -> y e. ( A (,) B ) )
166	165	adantrl 730	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> y e. ( A (,) B ) )
167		isorel 6235	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( RR _D F ) Isom < , < ( ( A (,) B ) , W ) /\ ( x e. ( A (,) B ) /\ y e. ( A (,) B ) ) ) -> ( x < y <-> ( ( RR _D F ) ` x ) < ( ( RR _D F ) ` y ) ) )
168	162, 164, 166, 167	syl12anc 1290	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( x < y <-> ( ( RR _D F ) ` x ) < ( ( RR _D F ) ` y ) ) )
169	161, 168	mpbid 215	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( RR _D F ) ` x ) < ( ( RR _D F ) ` y ) )
170		breq12 4400	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( RR _D F ) ` x ) = ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) /\ ( ( RR _D F ) ` y ) = ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) ) -> ( ( ( RR _D F ) ` x ) < ( ( RR _D F ) ` y ) <-> ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) ) )
171	169, 170	syl5ibcom 228	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( ( ( RR _D F ) ` x ) = ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) /\ ( ( RR _D F ) ` y ) = ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) ) -> ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) ) )
172	53, 122	sseldd 3419	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. ( A [,] B ) )
173	60, 172	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F ` C ) e. RR )
174	53, 126	sseldd 3419	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. ( A [,] B ) )
175	60, 174	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F ` A ) e. RR )
176	173, 175	resubcld 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) e. RR )
177	27	gt0ne0d 10199	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 - T ) =/= 0 )
178	176, 9, 177	redivcld 10457	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) e. RR )
179	93, 138	sseldd 3419	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. ( A [,] B ) )
180	60, 179	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F ` B ) e. RR )
181	180, 173	resubcld 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) e. RR )
182	42	gt0ne0d 10199	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> T =/= 0 )
183	181, 5, 182	redivcld 10457	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) e. RR )
184	10, 1	resubcld 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR )
185	1, 10	posdifd 10221	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
186	21, 185	mpbid 215	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 < ( B - A ) )
187		ltdiv1 10491	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) e. RR /\ ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) e. RR /\ ( ( B - A ) e. RR /\ 0 < ( B - A ) ) ) -> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) <-> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) / ( B - A ) ) < ( ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) / ( B - A ) ) ) )
188	178, 183, 184, 186, 187	syl112anc 1296	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) <-> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) / ( B - A ) ) < ( ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) / ( B - A ) ) ) )
189	176	recnd 9687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) e. CC )
190	189, 15	mulcomd 9682	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) x. T ) = ( T x. ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) ) )
191	173	recnd 9687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F ` C ) e. CC )
192	175	recnd 9687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F ` A ) e. CC )
193	15, 191, 192	subdid 10095	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( T x. ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) ) = ( ( T x. ( F ` C ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) )
194	190, 193	eqtrd 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) x. T ) = ( ( T x. ( F ` C ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) )
195	181	recnd 9687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) e. CC )
196	9	recnd 9687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 - T ) e. CC )
197	195, 196	mulcomd 9682	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) x. ( 1 - T ) ) = ( ( 1 - T ) x. ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) ) )
198	180	recnd 9687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F ` B ) e. CC )
199	196, 198, 191	subdid 10095	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) - ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) )
200	197, 199	eqtrd 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) x. ( 1 - T ) ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) - ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) )
201	194, 200	breq12d 4408	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) x. T ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) x. ( 1 - T ) ) <-> ( ( T x. ( F ` C ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) < ( ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) - ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) ) )
202	5, 42	jca 541	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( T e. RR /\ 0 < T ) )
203	9, 27	jca 541	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) e. RR /\ 0 < ( 1 - T ) ) )
204		lt2mul2div 10505	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) e. RR /\ ( T e. RR /\ 0 < T ) ) /\ ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) e. RR /\ ( ( 1 - T ) e. RR /\ 0 < ( 1 - T ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) x. T ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) x. ( 1 - T ) ) <-> ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) ) )
205	176, 202, 181, 203, 204	syl22anc 1293	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) x. T ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) x. ( 1 - T ) ) <-> ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) ) )
206	5, 173	remulcld 9689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( T x. ( F ` C ) ) e. RR )
207	206	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( T x. ( F ` C ) ) e. CC )
208	9, 173	remulcld 9689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) e. RR )
209	208	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) e. CC )
210	5, 175	remulcld 9689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( T x. ( F ` A ) ) e. RR )
211	210	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( T x. ( F ` A ) ) e. CC )
212	207, 209, 211	addsubd 10026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( T x. ( F ` C ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) = ( ( ( T x. ( F ` C ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) )
213		ax-1cn 9615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
214		pncan3 9903	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( T e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( T + ( 1 - T ) ) = 1 )
215	15, 213, 214	sylancl 675	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( T + ( 1 - T ) ) = 1 )
216	215	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( T + ( 1 - T ) ) x. ( F ` C ) ) = ( 1 x. ( F ` C ) ) )
217	15, 196, 191	adddird 9686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( T + ( 1 - T ) ) x. ( F ` C ) ) = ( ( T x. ( F ` C ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) )
218	191	mulid2d 9679	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 x. ( F ` C ) ) = ( F ` C ) )
219	216, 217, 218	3eqtr3d 2513	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( T x. ( F ` C ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) = ( F ` C ) )
220	219	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( T x. ( F ` C ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) = ( ( F ` C ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) )
221	212, 220	eqtr3d 2507	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( T x. ( F ` C ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) = ( ( F ` C ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) )
222	221	breq1d 4405	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( T x. ( F ` C ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) < ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) <-> ( ( F ` C ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) < ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) )
223	206, 210	resubcld 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( T x. ( F ` C ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) e. RR )
224	9, 180	remulcld 9689	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) e. RR )
225	223, 208, 224	ltaddsubd 10234	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( T x. ( F ` C ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) < ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) <-> ( ( T x. ( F ` C ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) < ( ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) - ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) ) )
226	173, 210, 224	ltsubadd2d 10232	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( F ` C ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) < ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) <-> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) ) )
227	222, 225, 226	3bitr3d 291	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( T x. ( F ` C ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) < ( ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) - ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) <-> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) ) )
228	201, 205, 227	3bitr3d 291	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) <-> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) ) )
229	184	recnd 9687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B - A ) e. CC )
230	186	gt0ne0d 10199	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B - A ) =/= 0 )
231	189, 196, 229, 177, 230	divdiv1d 10436	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) / ( B - A ) ) = ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( ( 1 - T ) x. ( B - A ) ) ) )
232	20	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( 1 - T ) x. B ) - ( ( 1 - T ) x. A ) ) = ( ( ( 1 - T ) x. B ) - ( A - ( T x. A ) ) ) )
233	11	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. B ) e. CC )
234	6	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( T x. A ) e. CC )
235	233, 16, 234	subsub3d 10035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( 1 - T ) x. B ) - ( A - ( T x. A ) ) ) = ( ( ( ( 1 - T ) x. B ) + ( T x. A ) ) - A ) )
236	232, 235	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( 1 - T ) x. B ) - ( ( 1 - T ) x. A ) ) = ( ( ( ( 1 - T ) x. B ) + ( T x. A ) ) - A ) )
237	196, 36, 16	subdid 10095	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. ( B - A ) ) = ( ( ( 1 - T ) x. B ) - ( ( 1 - T ) x. A ) ) )
238	234, 233	addcomd 9853	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( T x. A ) + ( ( 1 - T ) x. B ) ) = ( ( ( 1 - T ) x. B ) + ( T x. A ) ) )
239	2, 238	syl5eq 2517	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> C = ( ( ( 1 - T ) x. B ) + ( T x. A ) ) )
240	239	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C - A ) = ( ( ( ( 1 - T ) x. B ) + ( T x. A ) ) - A ) )
241	236, 237, 240	3eqtr4d 2515	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. ( B - A ) ) = ( C - A ) )
242	241	oveq2d 6324	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( ( 1 - T ) x. ( B - A ) ) ) = ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) )
243	231, 242	eqtrd 2505	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) / ( B - A ) ) = ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) )
244	195, 15, 229, 182, 230	divdiv1d 10436	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) / ( B - A ) ) = ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( T x. ( B - A ) ) ) )
245	36, 233, 234	subsub4d 10036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( B - ( ( 1 - T ) x. B ) ) - ( T x. A ) ) = ( B - ( ( ( 1 - T ) x. B ) + ( T x. A ) ) ) )
246	40	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( B - ( ( 1 - T ) x. B ) ) = ( B - ( B - ( T x. B ) ) ) )
247	41	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( T x. B ) e. CC )
248	36, 247	nncand 10010	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( B - ( B - ( T x. B ) ) ) = ( T x. B ) )
249	246, 248	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( B - ( ( 1 - T ) x. B ) ) = ( T x. B ) )
250	249	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( B - ( ( 1 - T ) x. B ) ) - ( T x. A ) ) = ( ( T x. B ) - ( T x. A ) ) )
251	245, 250	eqtr3d 2507	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B - ( ( ( 1 - T ) x. B ) + ( T x. A ) ) ) = ( ( T x. B ) - ( T x. A ) ) )
252	239	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B - C ) = ( B - ( ( ( 1 - T ) x. B ) + ( T x. A ) ) ) )
253	15, 36, 16	subdid 10095	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( T x. ( B - A ) ) = ( ( T x. B ) - ( T x. A ) ) )
254	251, 252, 253	3eqtr4d 2515	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B - C ) = ( T x. ( B - A ) ) )
255	254	oveq2d 6324	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) = ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( T x. ( B - A ) ) ) )
256	244, 255	eqtr4d 2508	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) / ( B - A ) ) = ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) )
257	243, 256	breq12d 4408	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) / ( B - A ) ) < ( ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) / ( B - A ) ) <-> ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) ) )
258	188, 228, 257	3bitr3rd 292	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) <-> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) ) )
259	258	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) <-> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) ) )
260	171, 259	sylibd 222	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( ( ( RR _D F ) ` x ) = ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) /\ ( ( RR _D F ) ` y ) = ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) ) -> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) ) )
261	149, 260	sylbid 223	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( ( ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) ` x ) = ( ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) / ( C - A ) ) /\ ( ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) ` y ) = ( ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) / ( B - C ) ) ) -> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) ) )
262	261	rexlimdvva 2878	. . 3 |- ( ph -> ( E. x e. ( A (,) C ) E. y e. ( C (,) B ) ( ( ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) ` x ) = ( ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) / ( C - A ) ) /\ ( ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) ` y ) = ( ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) / ( B - C ) ) ) -> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) ) )
263	115, 262	syl5bir 226	. 2 |- ( ph -> ( ( E. x e. ( A (,) C ) ( ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) ` x ) = ( ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) / ( C - A ) ) /\ E. y e. ( C (,) B ) ( ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) ` y ) = ( ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) / ( B - C ) ) ) -> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) ) )
264	89, 114, 263	mp2and 693	1 |- ( ph -> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   E.wrex 2757   i^i cin 3389   C_ wss 3390   class class class wbr 4395   dom cdm 4839   ran crn 4840   |` cres 4841   -->wf 5585   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589   Isom wiso 5590  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   / cdiv 10291   (,)cioo 11660   [,]cicc 11663   TopOpenctopn 15398   topGenctg 15414  ℂ_fldccnfld 19047   intcnt 20109   -cn->ccncf 21986   _D cdv 22897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901

This theorem is referenced by:  efcvx  23483  logccv  23687