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Theorem dvcvx 21514
Description: A real function with strictly increasing derivative is strictly convex. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcvx.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
dvcvx.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
dvcvx.l  |-  ( ph  ->  A  <  B )
dvcvx.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> RR ) )
dvcvx.d  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
)  Isom  <  ,  <  ( ( A (,) B
) ,  W ) )
dvcvx.t  |-  ( ph  ->  T  e.  ( 0 (,) 1 ) )
dvcvx.c  |-  C  =  ( ( T  x.  A )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  B ) )
Assertion
Ref Expression
dvcvx  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  <  ( ( T  x.  ( F `  A ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  B )
) ) )

Proof of Theorem dvcvx
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvcvx.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 dvcvx.c . . . 4  |-  C  =  ( ( T  x.  A )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  B ) )
3 dvcvx.t . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  ( 0 (,) 1 ) )
4 elioore 11351 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  T  e.  RR )
53, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
65, 1remulcld 9435 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T  x.  A
)  e.  RR )
7 1re 9406 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
8 resubcl 9694 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  ( 1  -  T
)  e.  RR )
97, 5, 8sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  -  T
)  e.  RR )
10 dvcvx.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
119, 10remulcld 9435 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  T )  x.  B
)  e.  RR )
126, 11readdcld 9434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( T  x.  A )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  B ) )  e.  RR )
132, 12syl5eqel 2527 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
14 1cnd 9423 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
155recnd 9433 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
161recnd 9433 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
1714, 15, 16subdird 9822 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  T )  x.  A
)  =  ( ( 1  x.  A )  -  ( T  x.  A ) ) )
1816mulid2d 9425 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  A
)  =  A )
1918oveq1d 6127 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  x.  A )  -  ( T  x.  A )
)  =  ( A  -  ( T  x.  A ) ) )
2017, 19eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  T )  x.  A
)  =  ( A  -  ( T  x.  A ) ) )
21 dvcvx.l . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  <  B )
22 eliooord 11376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
0  <  T  /\  T  <  1 ) )
233, 22syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  <  T  /\  T  <  1
) )
2423simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  <  1 )
25 posdif 9853 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( T  <  1  <->  0  <  ( 1  -  T ) ) )
265, 7, 25sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( T  <  1  <->  0  <  ( 1  -  T ) ) )
2724, 26mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  ( 1  -  T ) )
28 ltmul2 10201 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
( 1  -  T
)  e.  RR  /\  0  <  ( 1  -  T ) ) )  ->  ( A  < 
B  <->  ( ( 1  -  T )  x.  A )  <  (
( 1  -  T
)  x.  B ) ) )
291, 10, 9, 27, 28syl112anc 1222 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  ( ( 1  -  T
)  x.  A )  <  ( ( 1  -  T )  x.  B ) ) )
3021, 29mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  T )  x.  A
)  <  ( (
1  -  T )  x.  B ) )
3120, 30eqbrtrrd 4335 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  -  ( T  x.  A )
)  <  ( (
1  -  T )  x.  B ) )
321, 6, 11ltsubadd2d 9958 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  ( T  x.  A
) )  <  (
( 1  -  T
)  x.  B )  <-> 
A  <  ( ( T  x.  A )  +  ( ( 1  -  T )  x.  B ) ) ) )
3331, 32mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  <  ( ( T  x.  A )  +  ( ( 1  -  T )  x.  B ) ) )
3433, 2syl6breqr 4353 . . 3  |-  ( ph  ->  A  <  C )
351leidd 9927 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  <_  A )
3610recnd 9433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3714, 15, 36subdird 9822 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  T )  x.  B
)  =  ( ( 1  x.  B )  -  ( T  x.  B ) ) )
3836mulid2d 9425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  B
)  =  B )
3938oveq1d 6127 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  x.  B )  -  ( T  x.  B )
)  =  ( B  -  ( T  x.  B ) ) )
4037, 39eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  T )  x.  B
)  =  ( B  -  ( T  x.  B ) ) )
415, 10remulcld 9435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( T  x.  B
)  e.  RR )
4223simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  T )
43 ltmul2 10201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( T  e.  RR  /\  0  <  T ) )  -> 
( A  <  B  <->  ( T  x.  A )  <  ( T  x.  B ) ) )
441, 10, 5, 42, 43syl112anc 1222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  ( T  x.  A )  <  ( T  x.  B ) ) )
4521, 44mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( T  x.  A
)  <  ( T  x.  B ) )
466, 41, 10, 45ltsub2dd 9973 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  -  ( T  x.  B )
)  <  ( B  -  ( T  x.  A ) ) )
4740, 46eqbrtrd 4333 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  T )  x.  B
)  <  ( B  -  ( T  x.  A ) ) )
486, 11, 10ltaddsub2d 9961 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( T  x.  A )  +  ( ( 1  -  T )  x.  B
) )  <  B  <->  ( ( 1  -  T
)  x.  B )  <  ( B  -  ( T  x.  A
) ) ) )
4947, 48mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( T  x.  A )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  B ) )  <  B )
502, 49syl5eqbr 4346 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  <  B )
5113, 10, 50ltled 9543 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  <_  B )
52 iccss 11384 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  <_  A  /\  C  <_  B
) )  ->  ( A [,] C )  C_  ( A [,] B ) )
531, 10, 35, 51, 52syl22anc 1219 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A [,] C
)  C_  ( A [,] B ) )
54 dvcvx.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> RR ) )
55 rescncf 20495 . . . 4  |-  ( ( A [,] C ) 
C_  ( A [,] B )  ->  ( F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR )  ->  ( F  |`  ( A [,] C
) )  e.  ( ( A [,] C
) -cn-> RR ) ) )
5653, 54, 55sylc 60 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A [,] C ) )  e.  ( ( A [,] C ) -cn-> RR ) )
57 ax-resscn 9360 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
5857a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
59 cncff 20491 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR )  ->  F :
( A [,] B
) --> RR )
6054, 59syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : ( A [,] B ) --> RR )
61 fss 5588 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : ( A [,] B ) --> RR 
/\  RR  C_  CC )  ->  F : ( A [,] B ) --> CC )
6260, 57, 61sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : ( A [,] B ) --> CC )
63 iccssre 11398 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
641, 10, 63syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
65 iccssre 11398 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A [,] C
)  C_  RR )
661, 13, 65syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A [,] C
)  C_  RR )
67 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
6867tgioo2 20402 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
6967, 68dvres 21408 . . . . . . 7  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  F : ( A [,] B ) --> CC )  /\  ( ( A [,] B ) 
C_  RR  /\  ( A [,] C )  C_  RR ) )  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( A [,] C ) ) )  =  ( ( RR  _D  F
)  |`  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( A [,] C ) ) ) )
7058, 62, 64, 66, 69syl22anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( A [,] C ) ) )  =  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] C ) ) ) )
71 iccntr 20420 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] C ) )  =  ( A (,) C
) )
721, 13, 71syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] C ) )  =  ( A (,) C
) )
7372reseq2d 5131 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F )  |`  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] C ) ) )  =  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( A (,) C ) ) )
7470, 73eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( A [,] C ) ) )  =  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( A (,) C ) ) )
7574dmeqd 5063 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  ( F  |`  ( A [,] C ) ) )  =  dom  (
( RR  _D  F
)  |`  ( A (,) C ) ) )
76 dmres 5152 . . . . 5  |-  dom  (
( RR  _D  F
)  |`  ( A (,) C ) )  =  ( ( A (,) C )  i^i  dom  ( RR  _D  F
) )
7710rexrd 9454 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
78 iooss2 11357 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  <_  B )  ->  ( A (,) C )  C_  ( A (,) B ) )
7977, 51, 78syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) C
)  C_  ( A (,) B ) )
80 dvcvx.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
)  Isom  <  ,  <  ( ( A (,) B
) ,  W ) )
81 isof1o 6037 . . . . . . . 8  |-  ( ( RR  _D  F ) 
Isom  <  ,  <  (
( A (,) B
) ,  W )  ->  ( RR  _D  F ) : ( A (,) B ) -1-1-onto-> W )
82 f1odm 5666 . . . . . . . 8  |-  ( ( RR  _D  F ) : ( A (,) B ) -1-1-onto-> W  ->  dom  ( RR 
_D  F )  =  ( A (,) B
) )
8380, 81, 823syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
8479, 83sseqtr4d 3414 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A (,) C
)  C_  dom  ( RR 
_D  F ) )
85 df-ss 3363 . . . . . 6  |-  ( ( A (,) C ) 
C_  dom  ( RR  _D  F )  <->  ( ( A (,) C )  i^i 
dom  ( RR  _D  F ) )  =  ( A (,) C
) )
8684, 85sylib 196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) C )  i^i  dom  ( RR  _D  F
) )  =  ( A (,) C ) )
8776, 86syl5eq 2487 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( A (,) C ) )  =  ( A (,) C ) )
8875, 87eqtrd 2475 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  ( F  |`  ( A [,] C ) ) )  =  ( A (,) C ) )
891, 13, 34, 56, 88mvth 21486 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( A (,) C ) ( ( RR  _D  ( F  |`  ( A [,] C ) ) ) `  x )  =  ( ( ( ( F  |`  ( A [,] C ) ) `
 C )  -  ( ( F  |`  ( A [,] C ) ) `  A ) )  /  ( C  -  A ) ) )
901, 13, 34ltled 9543 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  <_  C )
9110leidd 9927 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  <_  B )
92 iccss 11384 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  <_  C  /\  B  <_  B
) )  ->  ( C [,] B )  C_  ( A [,] B ) )
931, 10, 90, 91, 92syl22anc 1219 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C [,] B
)  C_  ( A [,] B ) )
94 rescncf 20495 . . . 4  |-  ( ( C [,] B ) 
C_  ( A [,] B )  ->  ( F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR )  ->  ( F  |`  ( C [,] B
) )  e.  ( ( C [,] B
) -cn-> RR ) ) )
9593, 54, 94sylc 60 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( C [,] B ) )  e.  ( ( C [,] B ) -cn-> RR ) )
96 iccssre 11398 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C [,] B
)  C_  RR )
9713, 10, 96syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C [,] B
)  C_  RR )
9867, 68dvres 21408 . . . . . . 7  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  F : ( A [,] B ) --> CC )  /\  ( ( A [,] B ) 
C_  RR  /\  ( C [,] B )  C_  RR ) )  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( C [,] B ) ) )  =  ( ( RR  _D  F
)  |`  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( C [,] B ) ) ) )
9958, 62, 64, 97, 98syl22anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( C [,] B ) ) )  =  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( C [,] B ) ) ) )
100 iccntr 20420 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( C [,] B ) )  =  ( C (,) B
) )
10113, 10, 100syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( C [,] B ) )  =  ( C (,) B
) )
102101reseq2d 5131 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F )  |`  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( C [,] B ) ) )  =  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( C (,) B ) ) )
10399, 102eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( C [,] B ) ) )  =  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( C (,) B ) ) )
104103dmeqd 5063 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  ( F  |`  ( C [,] B ) ) )  =  dom  (
( RR  _D  F
)  |`  ( C (,) B ) ) )
105 dmres 5152 . . . . 5  |-  dom  (
( RR  _D  F
)  |`  ( C (,) B ) )  =  ( ( C (,) B )  i^i  dom  ( RR  _D  F
) )
1061rexrd 9454 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
107 iooss1 11356 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  C )  ->  ( C (,) B )  C_  ( A (,) B ) )
108106, 90, 107syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C (,) B
)  C_  ( A (,) B ) )
109108, 83sseqtr4d 3414 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C (,) B
)  C_  dom  ( RR 
_D  F ) )
110 df-ss 3363 . . . . . 6  |-  ( ( C (,) B ) 
C_  dom  ( RR  _D  F )  <->  ( ( C (,) B )  i^i 
dom  ( RR  _D  F ) )  =  ( C (,) B
) )
111109, 110sylib 196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( C (,) B )  i^i  dom  ( RR  _D  F
) )  =  ( C (,) B ) )
112105, 111syl5eq 2487 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( C (,) B ) )  =  ( C (,) B ) )
113104, 112eqtrd 2475 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  ( F  |`  ( C [,] B ) ) )  =  ( C (,) B ) )
11413, 10, 50, 95, 113mvth 21486 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  ( C (,) B ) ( ( RR  _D  ( F  |`  ( C [,] B ) ) ) `  y )  =  ( ( ( ( F  |`  ( C [,] B ) ) `
 B )  -  ( ( F  |`  ( C [,] B ) ) `  C ) )  /  ( B  -  C ) ) )
115 reeanv 2909 . . 3  |-  ( E. x  e.  ( A (,) C ) E. y  e.  ( C (,) B ) ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( A [,] C ) ) ) `  x )  =  ( ( ( ( F  |`  ( A [,] C ) ) `
 C )  -  ( ( F  |`  ( A [,] C ) ) `  A ) )  /  ( C  -  A ) )  /\  ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( C [,] B ) ) ) `  y
)  =  ( ( ( ( F  |`  ( C [,] B ) ) `  B )  -  ( ( F  |`  ( C [,] B
) ) `  C
) )  /  ( B  -  C )
) )  <->  ( E. x  e.  ( A (,) C ) ( ( RR  _D  ( F  |`  ( A [,] C
) ) ) `  x )  =  ( ( ( ( F  |`  ( A [,] C
) ) `  C
)  -  ( ( F  |`  ( A [,] C ) ) `  A ) )  / 
( C  -  A
) )  /\  E. y  e.  ( C (,) B ) ( ( RR  _D  ( F  |`  ( C [,] B
) ) ) `  y )  =  ( ( ( ( F  |`  ( C [,] B
) ) `  B
)  -  ( ( F  |`  ( C [,] B ) ) `  C ) )  / 
( B  -  C
) ) ) )
11674fveq1d 5714 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( A [,] C ) ) ) `  x )  =  ( ( ( RR  _D  F )  |`  ( A (,) C
) ) `  x
) )
117 fvres 5725 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( A (,) C )  ->  (
( ( RR  _D  F )  |`  ( A (,) C ) ) `
 x )  =  ( ( RR  _D  F ) `  x
) )
118117adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( A (,) C )  /\  y  e.  ( C (,) B ) )  -> 
( ( ( RR 
_D  F )  |`  ( A (,) C ) ) `  x )  =  ( ( RR 
_D  F ) `  x ) )
119116, 118sylan9eq 2495 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A (,) C
)  /\  y  e.  ( C (,) B ) ) )  ->  (
( RR  _D  ( F  |`  ( A [,] C ) ) ) `
 x )  =  ( ( RR  _D  F ) `  x
) )
12013rexrd 9454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
121 ubicc2 11423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  A  <_  C )  ->  C  e.  ( A [,] C
) )
122106, 120, 90, 121syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A [,] C ) )
123 fvres 5725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( A [,] C )  ->  (
( F  |`  ( A [,] C ) ) `
 C )  =  ( F `  C
) )
124122, 123syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( A [,] C ) ) `  C )  =  ( F `  C ) )
125 lbicc2 11422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  A  <_  C )  ->  A  e.  ( A [,] C
) )
126106, 120, 90, 125syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  ( A [,] C ) )
127 fvres 5725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( A [,] C )  ->  (
( F  |`  ( A [,] C ) ) `
 A )  =  ( F `  A
) )
128126, 127syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( A [,] C ) ) `  A )  =  ( F `  A ) )
129124, 128oveq12d 6130 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  ( A [,] C
) ) `  C
)  -  ( ( F  |`  ( A [,] C ) ) `  A ) )  =  ( ( F `  C )  -  ( F `  A )
) )
130129oveq1d 6127 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F  |`  ( A [,] C ) ) `  C )  -  (
( F  |`  ( A [,] C ) ) `
 A ) )  /  ( C  -  A ) )  =  ( ( ( F `
 C )  -  ( F `  A ) )  /  ( C  -  A ) ) )
131130adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A (,) C
)  /\  y  e.  ( C (,) B ) ) )  ->  (
( ( ( F  |`  ( A [,] C
) ) `  C
)  -  ( ( F  |`  ( A [,] C ) ) `  A ) )  / 
( C  -  A
) )  =  ( ( ( F `  C )  -  ( F `  A )
)  /  ( C  -  A ) ) )
132119, 131eqeq12d 2457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A (,) C
)  /\  y  e.  ( C (,) B ) ) )  ->  (
( ( RR  _D  ( F  |`  ( A [,] C ) ) ) `  x )  =  ( ( ( ( F  |`  ( A [,] C ) ) `
 C )  -  ( ( F  |`  ( A [,] C ) ) `  A ) )  /  ( C  -  A ) )  <-> 
( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  ( ( ( F `  C
)  -  ( F `
 A ) )  /  ( C  -  A ) ) ) )
133103fveq1d 5714 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( C [,] B ) ) ) `  y )  =  ( ( ( RR  _D  F )  |`  ( C (,) B
) ) `  y
) )
134 fvres 5725 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( C (,) B )  ->  (
( ( RR  _D  F )  |`  ( C (,) B ) ) `
 y )  =  ( ( RR  _D  F ) `  y
) )
135134adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( A (,) C )  /\  y  e.  ( C (,) B ) )  -> 
( ( ( RR 
_D  F )  |`  ( C (,) B ) ) `  y )  =  ( ( RR 
_D  F ) `  y ) )
136133, 135sylan9eq 2495 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A (,) C
)  /\  y  e.  ( C (,) B ) ) )  ->  (
( RR  _D  ( F  |`  ( C [,] B ) ) ) `
 y )  =  ( ( RR  _D  F ) `  y
) )
137 ubicc2 11423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  <_  B )  ->  B  e.  ( C [,] B
) )
138120, 77, 51, 137syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  ( C [,] B ) )
139 fvres 5725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( C [,] B )  ->  (
( F  |`  ( C [,] B ) ) `
 B )  =  ( F `  B
) )
140138, 139syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( C [,] B ) ) `  B )  =  ( F `  B ) )
141 lbicc2 11422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  <_  B )  ->  C  e.  ( C [,] B
) )
142120, 77, 51, 141syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  ( C [,] B ) )
143 fvres 5725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( C [,] B )  ->  (
( F  |`  ( C [,] B ) ) `
 C )  =  ( F `  C
) )
144142, 143syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( C [,] B ) ) `  C )  =  ( F `  C ) )
145140, 144oveq12d 6130 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  ( C [,] B
) ) `  B
)  -  ( ( F  |`  ( C [,] B ) ) `  C ) )  =  ( ( F `  B )  -  ( F `  C )
) )
146145oveq1d 6127 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F  |`  ( C [,] B ) ) `  B )  -  (
( F  |`  ( C [,] B ) ) `
 C ) )  /  ( B  -  C ) )  =  ( ( ( F `
 B )  -  ( F `  C ) )  /  ( B  -  C ) ) )
147146adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A (,) C
)  /\  y  e.  ( C (,) B ) ) )  ->  (
( ( ( F  |`  ( C [,] B
) ) `  B
)  -  ( ( F  |`  ( C [,] B ) ) `  C ) )  / 
( B  -  C
) )  =  ( ( ( F `  B )  -  ( F `  C )
)  /  ( B  -  C ) ) )
148136, 147eqeq12d 2457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A (,) C
)  /\  y  e.  ( C (,) B ) ) )  ->  (
( ( RR  _D  ( F  |`  ( C [,] B ) ) ) `  y )  =  ( ( ( ( F  |`  ( C [,] B ) ) `
 B )  -  ( ( F  |`  ( C [,] B ) ) `  C ) )  /  ( B  -  C ) )  <-> 
( ( RR  _D  F ) `  y
)  =  ( ( ( F `  B
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( B  -  C ) ) ) )
149132, 148anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A (,) C
)  /\  y  e.  ( C (,) B ) ) )  ->  (
( ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( A [,] C ) ) ) `  x
)  =  ( ( ( ( F  |`  ( A [,] C ) ) `  C )  -  ( ( F  |`  ( A [,] C
) ) `  A
) )  /  ( C  -  A )
)  /\  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( C [,] B ) ) ) `  y
)  =  ( ( ( ( F  |`  ( C [,] B ) ) `  B )  -  ( ( F  |`  ( C [,] B
) ) `  C
) )  /  ( B  -  C )
) )  <->  ( (
( RR  _D  F
) `  x )  =  ( ( ( F `  C )  -  ( F `  A ) )  / 
( C  -  A
) )  /\  (
( RR  _D  F
) `  y )  =  ( ( ( F `  B )  -  ( F `  C ) )  / 
( B  -  C
) ) ) ) )
150 elioore 11351 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( A (,) C )  ->  x  e.  RR )
151150ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A (,) C
)  /\  y  e.  ( C (,) B ) ) )  ->  x  e.  RR )
15213adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A (,) C
)  /\  y  e.  ( C (,) B ) ) )  ->  C  e.  RR )
153 elioore 11351 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( C (,) B )  ->  y  e.  RR )
154153ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A (,) C
)  /\  y  e.  ( C (,) B ) ) )  ->  y  e.  RR )
155 eliooord 11376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( A (,) C )  ->  ( A  <  x  /\  x  <  C ) )
156155ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A (,) C
)  /\  y  e.  ( C (,) B ) ) )  ->  ( A  <  x  /\  x  <  C ) )
157156simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A (,) C
)  /\  y  e.  ( C (,) B ) ) )  ->  x  <  C )
158 eliooord 11376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( C (,) B )  ->  ( C  <  y  /\  y  <  B ) )
159158ad2antll 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A (,) C
)  /\  y  e.  ( C (,) B ) ) )  ->  ( C  <  y  /\  y  <  B ) )
160159simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A (,) C
)  /\  y  e.  ( C (,) B ) ) )  ->  C  <  y )
161151, 152, 154, 157, 160lttrd 9553 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A (,) C
)  /\  y  e.  ( C (,) B ) ) )  ->  x  <  y )
16280adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A (,) C
)  /\  y  e.  ( C (,) B ) ) )  ->  ( RR  _D  F )  Isom  <  ,  <  ( ( A (,) B ) ,  W ) )
16379sselda 3377 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) C ) )  ->  x  e.  ( A (,) B ) )
164163adantrr 716 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A (,) C
)  /\  y  e.  ( C (,) B ) ) )  ->  x  e.  ( A (,) B
) )
165108sselda 3377 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) B ) )  ->  y  e.  ( A (,) B ) )
166165adantrl 715 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A (,) C
)  /\  y  e.  ( C (,) B ) ) )  ->  y  e.  ( A (,) B
) )
167 isorel 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( RR  _D  F
)  Isom  <  ,  <  ( ( A (,) B
) ,  W )  /\  ( x  e.  ( A (,) B
)  /\  y  e.  ( A (,) B ) ) )  ->  (
x  <  y  <->  ( ( RR  _D  F ) `  x )  <  (
( RR  _D  F
) `  y )
) )
168162, 164, 166, 167syl12anc 1216 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A (,) C
)  /\  y  e.  ( C (,) B ) ) )  ->  (
x  <  y  <->  ( ( RR  _D  F ) `  x )  <  (
( RR  _D  F
) `  y )
) )
169161, 168mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A (,) C
)  /\  y  e.  ( C (,) B ) ) )  ->  (
( RR  _D  F
) `  x )  <  ( ( RR  _D  F ) `  y
) )
170 breq12 4318 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  ( ( ( F `  C
)  -  ( F `
 A ) )  /  ( C  -  A ) )  /\  ( ( RR  _D  F ) `  y
)  =  ( ( ( F `  B
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( B  -  C ) ) )  ->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 x )  < 
( ( RR  _D  F ) `  y
)  <->  ( ( ( F `  C )  -  ( F `  A ) )  / 
( C  -  A
) )  <  (
( ( F `  B )  -  ( F `  C )
)  /  ( B  -  C ) ) ) )
171169, 170syl5ibcom 220 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A (,) C
)  /\  y  e.  ( C (,) B ) ) )  ->  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  ( ( ( F `  C )  -  ( F `  A )
)  /  ( C  -  A ) )  /\  ( ( RR 
_D  F ) `  y )  =  ( ( ( F `  B )  -  ( F `  C )
)  /  ( B  -  C ) ) )  ->  ( (
( F `  C
)  -  ( F `
 A ) )  /  ( C  -  A ) )  < 
( ( ( F `
 B )  -  ( F `  C ) )  /  ( B  -  C ) ) ) )
17253, 122sseldd 3378 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A [,] B ) )
17360, 172ffvelrnd 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  RR )
17453, 126sseldd 3378 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  ( A [,] B ) )
17560, 174ffvelrnd 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  e.  RR )
176173, 175resubcld 9797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C )  -  ( F `  A )
)  e.  RR )
17727gt0ne0d 9925 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  -  T
)  =/=  0 )
178176, 9, 177redivcld 10180 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 C )  -  ( F `  A ) )  /  ( 1  -  T ) )  e.  RR )
17993, 138sseldd 3378 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] B ) )
18060, 179ffvelrnd 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F `  B
)  e.  RR )
181180, 173resubcld 9797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( F `  B )  -  ( F `  C )
)  e.  RR )
18242gt0ne0d 9925 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
183181, 5, 182redivcld 10180 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 B )  -  ( F `  C ) )  /  T )  e.  RR )
18410, 1resubcld 9797 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
1851, 10posdifd 9947 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
18621, 185mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  ( B  -  A ) )
187 ltdiv1 10214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F `
 C )  -  ( F `  A ) )  /  ( 1  -  T ) )  e.  RR  /\  (
( ( F `  B )  -  ( F `  C )
)  /  T )  e.  RR  /\  (
( B  -  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( B  -  A ) ) )  ->  ( ( ( ( F `  C
)  -  ( F `
 A ) )  /  ( 1  -  T ) )  < 
( ( ( F `
 B )  -  ( F `  C ) )  /  T )  <-> 
( ( ( ( F `  C )  -  ( F `  A ) )  / 
( 1  -  T
) )  /  ( B  -  A )
)  <  ( (
( ( F `  B )  -  ( F `  C )
)  /  T )  /  ( B  -  A ) ) ) )
188178, 183, 184, 186, 187syl112anc 1222 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  C )  -  ( F `  A ) )  / 
( 1  -  T
) )  <  (
( ( F `  B )  -  ( F `  C )
)  /  T )  <-> 
( ( ( ( F `  C )  -  ( F `  A ) )  / 
( 1  -  T
) )  /  ( B  -  A )
)  <  ( (
( ( F `  B )  -  ( F `  C )
)  /  T )  /  ( B  -  A ) ) ) )
189176recnd 9433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C )  -  ( F `  A )
)  e.  CC )
190189, 15mulcomd 9428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 C )  -  ( F `  A ) )  x.  T )  =  ( T  x.  ( ( F `  C )  -  ( F `  A )
) ) )
191173recnd 9433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  CC )
192175recnd 9433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  e.  CC )
19315, 191, 192subdid 9821 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( T  x.  (
( F `  C
)  -  ( F `
 A ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `
 C ) )  -  ( T  x.  ( F `  A ) ) ) )
194190, 193eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 C )  -  ( F `  A ) )  x.  T )  =  ( ( T  x.  ( F `  C ) )  -  ( T  x.  ( F `  A )
) ) )
195181recnd 9433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( F `  B )  -  ( F `  C )
)  e.  CC )
1969recnd 9433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  -  T
)  e.  CC )
197195, 196mulcomd 9428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 B )  -  ( F `  C ) )  x.  ( 1  -  T ) )  =  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( F `  B )  -  ( F `  C )
) ) )
198180recnd 9433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F `  B
)  e.  CC )
199196, 198, 191subdid 9821 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  T )  x.  (
( F `  B
)  -  ( F `
 C ) ) )  =  ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( F `
 B ) )  -  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  C
) ) ) )
200197, 199eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 B )  -  ( F `  C ) )  x.  ( 1  -  T ) )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  B ) )  -  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  C )
) ) )
201194, 200breq12d 4326 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  C )  -  ( F `  A ) )  x.  T )  <  (
( ( F `  B )  -  ( F `  C )
)  x.  ( 1  -  T ) )  <-> 
( ( T  x.  ( F `  C ) )  -  ( T  x.  ( F `  A ) ) )  <  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  B ) )  -  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  C )
) ) ) )
2025, 42jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( T  e.  RR  /\  0  <  T ) )
2039, 27jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  T )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  -  T ) ) )
204 lt2mul2div 10229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F `
 C )  -  ( F `  A ) )  e.  RR  /\  ( T  e.  RR  /\  0  <  T ) )  /\  ( ( ( F `  B
)  -  ( F `
 C ) )  e.  RR  /\  (
( 1  -  T
)  e.  RR  /\  0  <  ( 1  -  T ) ) ) )  ->  ( (
( ( F `  C )  -  ( F `  A )
)  x.  T )  <  ( ( ( F `  B )  -  ( F `  C ) )  x.  ( 1  -  T
) )  <->  ( (
( F `  C
)  -  ( F `
 A ) )  /  ( 1  -  T ) )  < 
( ( ( F `
 B )  -  ( F `  C ) )  /  T ) ) )
205176, 202, 181, 203, 204syl22anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  C )  -  ( F `  A ) )  x.  T )  <  (
( ( F `  B )  -  ( F `  C )
)  x.  ( 1  -  T ) )  <-> 
( ( ( F `
 C )  -  ( F `  A ) )  /  ( 1  -  T ) )  <  ( ( ( F `  B )  -  ( F `  C ) )  /  T ) ) )
2065, 173remulcld 9435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( T  x.  ( F `  C )
)  e.  RR )
207206recnd 9433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( T  x.  ( F `  C )
)  e.  CC )
2089, 173remulcld 9435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  C )
)  e.  RR )
209208recnd 9433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  C )
)  e.  CC )
2105, 175remulcld 9435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( T  x.  ( F `  A )
)  e.  RR )
211210recnd 9433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( T  x.  ( F `  A )
)  e.  CC )
212207, 209, 211addsubd 9761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( T  x.  ( F `  C ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  C )
) )  -  ( T  x.  ( F `  A ) ) )  =  ( ( ( T  x.  ( F `
 C ) )  -  ( T  x.  ( F `  A ) ) )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  ( F `
 C ) ) ) )
213 ax-1cn 9361 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
214 pncan3 9639 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( T  +  ( 1  -  T ) )  =  1 )
21515, 213, 214sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( T  +  ( 1  -  T ) )  =  1 )
216215oveq1d 6127 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( T  +  ( 1  -  T
) )  x.  ( F `  C )
)  =  ( 1  x.  ( F `  C ) ) )
21715, 196, 191adddird 9432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( T  +  ( 1  -  T
) )  x.  ( F `  C )
)  =  ( ( T  x.  ( F `
 C ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  C
) ) ) )
218191mulid2d 9425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( F `  C )
)  =  ( F `
 C ) )
219216, 217, 2183eqtr3d 2483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( T  x.  ( F `  C ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  C ) ) )  =  ( F `  C ) )
220219oveq1d 6127 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( T  x.  ( F `  C ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  C )
) )  -  ( T  x.  ( F `  A ) ) )  =  ( ( F `
 C )  -  ( T  x.  ( F `  A )
) ) )
221212, 220eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( T  x.  ( F `  C ) )  -  ( T  x.  ( F `  A )
) )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  ( F `
 C ) ) )  =  ( ( F `  C )  -  ( T  x.  ( F `  A ) ) ) )
222221breq1d 4323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( T  x.  ( F `
 C ) )  -  ( T  x.  ( F `  A ) ) )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  B ) )  <->  ( ( F `  C )  -  ( T  x.  ( F `  A ) ) )  <  (
( 1  -  T
)  x.  ( F `
 B ) ) ) )
223206, 210resubcld 9797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( T  x.  ( F `  C ) )  -  ( T  x.  ( F `  A ) ) )  e.  RR )
2249, 180remulcld 9435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  B )
)  e.  RR )
225223, 208, 224ltaddsubd 9960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( T  x.  ( F `
 C ) )  -  ( T  x.  ( F `  A ) ) )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  B ) )  <->  ( ( T  x.  ( F `  C ) )  -  ( T  x.  ( F `  A )
) )  <  (
( ( 1  -  T )  x.  ( F `  B )
)  -  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  C ) ) ) ) )
226173, 210, 224ltsubadd2d 9958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 C )  -  ( T  x.  ( F `  A )
) )  <  (
( 1  -  T
)  x.  ( F `
 B ) )  <-> 
( F `  C
)  <  ( ( T  x.  ( F `  A ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  B )
) ) ) )
227222, 225, 2263bitr3d 283 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( T  x.  ( F `  C ) )  -  ( T  x.  ( F `  A )
) )  <  (
( ( 1  -  T )  x.  ( F `  B )
)  -  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  C ) ) )  <-> 
( F `  C
)  <  ( ( T  x.  ( F `  A ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  B )
) ) ) )
228201, 205, 2273bitr3d 283 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  C )  -  ( F `  A ) )  / 
( 1  -  T
) )  <  (
( ( F `  B )  -  ( F `  C )
)  /  T )  <-> 
( F `  C
)  <  ( ( T  x.  ( F `  A ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  B )
) ) ) )
229184recnd 9433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  CC )
230186gt0ne0d 9925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  =/=  0 )
231189, 196, 229, 177, 230divdiv1d 10159 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  C )  -  ( F `  A ) )  / 
( 1  -  T
) )  /  ( B  -  A )
)  =  ( ( ( F `  C
)  -  ( F `
 A ) )  /  ( ( 1  -  T )  x.  ( B  -  A
) ) ) )
23220oveq2d 6128 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  T )  x.  B )  -  (
( 1  -  T
)  x.  A ) )  =  ( ( ( 1  -  T
)  x.  B )  -  ( A  -  ( T  x.  A
) ) ) )
23311recnd 9433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  T )  x.  B
)  e.  CC )
2346recnd 9433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( T  x.  A
)  e.  CC )
235233, 16, 234subsub3d 9770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  T )  x.  B )  -  ( A  -  ( T  x.  A ) ) )  =  ( ( ( ( 1  -  T
)  x.  B )  +  ( T  x.  A ) )  -  A ) )
236232, 235eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  T )  x.  B )  -  (
( 1  -  T
)  x.  A ) )  =  ( ( ( ( 1  -  T )  x.  B
)  +  ( T  x.  A ) )  -  A ) )
237196, 36, 16subdid 9821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  T )  x.  ( B  -  A )
)  =  ( ( ( 1  -  T
)  x.  B )  -  ( ( 1  -  T )  x.  A ) ) )
238234, 233addcomd 9592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( T  x.  A )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  B ) )  =  ( ( ( 1  -  T
)  x.  B )  +  ( T  x.  A ) ) )
2392, 238syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  =  ( ( ( 1  -  T
)  x.  B )  +  ( T  x.  A ) ) )
240239oveq1d 6127 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  -  A
)  =  ( ( ( ( 1  -  T )  x.  B
)  +  ( T  x.  A ) )  -  A ) )
241236, 237, 2403eqtr4d 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  T )  x.  ( B  -  A )
)  =  ( C  -  A ) )
242241oveq2d 6128 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 C )  -  ( F `  A ) )  /  ( ( 1  -  T )  x.  ( B  -  A ) ) )  =  ( ( ( F `  C )  -  ( F `  A ) )  / 
( C  -  A
) ) )
243231, 242eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  C )  -  ( F `  A ) )  / 
( 1  -  T
) )  /  ( B  -  A )
)  =  ( ( ( F `  C
)  -  ( F `
 A ) )  /  ( C  -  A ) ) )
244195, 15, 229, 182, 230divdiv1d 10159 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  B )  -  ( F `  C ) )  /  T )  /  ( B  -  A )
)  =  ( ( ( F `  B
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( T  x.  ( B  -  A
) ) ) )
24536, 233, 234subsub4d 9771 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  ( ( 1  -  T )  x.  B
) )  -  ( T  x.  A )
)  =  ( B  -  ( ( ( 1  -  T )  x.  B )  +  ( T  x.  A
) ) ) )
24640oveq2d 6128 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( B  -  (
( 1  -  T
)  x.  B ) )  =  ( B  -  ( B  -  ( T  x.  B
) ) ) )
24741recnd 9433 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( T  x.  B
)  e.  CC )
24836, 247nncand 9745 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( B  -  ( B  -  ( T  x.  B ) ) )  =  ( T  x.  B ) )
249246, 248eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  -  (
( 1  -  T
)  x.  B ) )  =  ( T  x.  B ) )
250249oveq1d 6127 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  ( ( 1  -  T )  x.  B
) )  -  ( T  x.  A )
)  =  ( ( T  x.  B )  -  ( T  x.  A ) ) )
251245, 250eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  -  (
( ( 1  -  T )  x.  B
)  +  ( T  x.  A ) ) )  =  ( ( T  x.  B )  -  ( T  x.  A ) ) )
252239oveq2d 6128 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  -  C
)  =  ( B  -  ( ( ( 1  -  T )  x.  B )  +  ( T  x.  A
) ) ) )
25315, 36, 16subdid 9821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( T  x.  ( B  -  A )
)  =  ( ( T  x.  B )  -  ( T  x.  A ) ) )
254251, 252, 2533eqtr4d 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  -  C
)  =  ( T  x.  ( B  -  A ) ) )
255254oveq2d 6128 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 B )  -  ( F `  C ) )  /  ( B  -  C ) )  =  ( ( ( F `  B )  -  ( F `  C ) )  / 
( T  x.  ( B  -  A )
) ) )
256244, 255eqtr4d 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  B )  -  ( F `  C ) )  /  T )  /  ( B  -  A )
)  =  ( ( ( F `  B
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( B  -  C ) ) )
257243, 256breq12d 4326 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( F `  C
)  -  ( F `
 A ) )  /  ( 1  -  T ) )  / 
( B  -  A
) )  <  (
( ( ( F `
 B )  -  ( F `  C ) )  /  T )  /  ( B  -  A ) )  <->  ( (
( F `  C
)  -  ( F `
 A ) )  /  ( C  -  A ) )  < 
( ( ( F `
 B )  -  ( F `  C ) )  /  ( B  -  C ) ) ) )
258188, 228, 2573bitr3rd 284 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  C )  -  ( F `  A ) )  / 
( C  -  A
) )  <  (
( ( F `  B )  -  ( F `  C )
)  /  ( B  -  C ) )  <-> 
( F `  C
)  <  ( ( T  x.  ( F `  A ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  B )
) ) ) )
259258adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A (,) C
)  /\  y  e.  ( C (,) B ) ) )  ->  (
( ( ( F `
 C )  -  ( F `  A ) )  /  ( C  -  A ) )  <  ( ( ( F `  B )  -  ( F `  C ) )  / 
( B  -  C
) )  <->  ( F `  C )  <  (
( T  x.  ( F `  A )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  B ) ) ) ) )
260171, 259sylibd 214 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A (,) C
)  /\  y  e.  ( C (,) B ) ) )  ->  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  ( ( ( F `  C )  -  ( F `  A )
)  /  ( C  -  A ) )  /\  ( ( RR 
_D  F ) `  y )  =  ( ( ( F `  B )  -  ( F `  C )
)  /  ( B  -  C ) ) )  ->  ( F `  C )  <  (
( T  x.  ( F `  A )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  B ) ) ) ) )
261149, 260sylbid 215 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A (,) C
)  /\  y  e.  ( C (,) B ) ) )  ->  (
( ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( A [,] C ) ) ) `  x
)  =  ( ( ( ( F  |`  ( A [,] C ) ) `  C )  -  ( ( F  |`  ( A [,] C
) ) `  A
) )  /  ( C  -  A )
)  /\  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( C [,] B ) ) ) `  y
)  =  ( ( ( ( F  |`  ( C [,] B ) ) `  B )  -  ( ( F  |`  ( C [,] B
) ) `  C
) )  /  ( B  -  C )
) )  ->  ( F `  C )  <  ( ( T  x.  ( F `  A ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  B ) ) ) ) )
262261rexlimdvva 2869 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( A (,) C
) E. y  e.  ( C (,) B
) ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( A [,] C
) ) ) `  x )  =  ( ( ( ( F  |`  ( A [,] C
) ) `  C
)  -  ( ( F  |`  ( A [,] C ) ) `  A ) )  / 
( C  -  A
) )  /\  (
( RR  _D  ( F  |`  ( C [,] B ) ) ) `
 y )  =  ( ( ( ( F  |`  ( C [,] B ) ) `  B )  -  (
( F  |`  ( C [,] B ) ) `
 C ) )  /  ( B  -  C ) ) )  ->  ( F `  C )  <  (
( T  x.  ( F `  A )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  B ) ) ) ) )
263115, 262syl5bir 218 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E. x  e.  ( A (,) C
) ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( A [,] C ) ) ) `  x
)  =  ( ( ( ( F  |`  ( A [,] C ) ) `  C )  -  ( ( F  |`  ( A [,] C
) ) `  A
) )  /  ( C  -  A )
)  /\  E. y  e.  ( C (,) B
) ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( C [,] B ) ) ) `  y
)  =  ( ( ( ( F  |`  ( C [,] B ) ) `  B )  -  ( ( F  |`  ( C [,] B
) ) `  C
) )  /  ( B  -  C )
) )  ->  ( F `  C )  <  ( ( T  x.  ( F `  A ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  B ) ) ) ) )
26489, 114, 263mp2and 679 1  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  <  ( ( T  x.  ( F `  A ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  B )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2737    i^i cin 3348    C_ wss 3349   class class class wbr 4313   dom cdm 4861   ran crn 4862    |` cres 4863   -->wf 5435   -1-1-onto->wf1o 5438   ` cfv 5439    Isom wiso 5440  (class class class)co 6112   CCcc 9301   RRcr 9302   0cc0 9303   1c1 9304    + caddc 9306    x. cmul 9308   RR*cxr 9438    < clt 9439    <_ cle 9440    - cmin 9616    / cdiv 10014   (,)cioo 11321   [,]cicc 11324   TopOpenctopn 14381   topGenctg 14397  ℂfldccnfld 17840   intcnt 18643   -cn->ccncf 20474    _D cdv 21360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382  ax-mulf 9383
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This theorem is referenced by:  efcvx  21936  logccv  22130
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