Theorem dvcvx 21333

Description: A real function with strictly increasing derivative is strictly convex. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcvx.a	|- ( ph -> A e. RR )
dvcvx.b	|- ( ph -> B e. RR )
dvcvx.l	|- ( ph -> A < B )
dvcvx.f	|- ( ph -> F e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
dvcvx.d	|- ( ph -> ( RR _D F ) Isom < , < ( ( A (,) B ) , W ) )
dvcvx.t	|- ( ph -> T e. ( 0 (,) 1 ) )
dvcvx.c	|- C = ( ( T x. A ) + ( ( 1 - T ) x. B ) )

Assertion

Ref	Expression
dvcvx	|- ( ph -> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) )

Proof of Theorem dvcvx

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvcvx.a	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
2		dvcvx.c	. . . 4 |- C = ( ( T x. A ) + ( ( 1 - T ) x. B ) )
3		dvcvx.t	. . . . . . 7 |- ( ph -> T e. ( 0 (,) 1 ) )
4		elioore 11317	. . . . . . 7 |- ( T e. ( 0 (,) 1 ) -> T e. RR )
5	3, 4	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> T e. RR )
6	5, 1	remulcld 9401	. . . . 5 |- ( ph -> ( T x. A ) e. RR )
7		1re 9372	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
8		resubcl 9660	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. RR /\ T e. RR ) -> ( 1 - T ) e. RR )
9	7, 5, 8	sylancr 656	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 - T ) e. RR )
10		dvcvx.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
11	9, 10	remulcld 9401	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. B ) e. RR )
12	6, 11	readdcld 9400	. . . 4 |- ( ph -> ( ( T x. A ) + ( ( 1 - T ) x. B ) ) e. RR )
13	2, 12	syl5eqel 2517	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
14		1cnd 9389	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. CC )
15	5	recnd 9399	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T e. CC )
16	1	recnd 9399	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. CC )
17	14, 15, 16	subdird 9788	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. A ) = ( ( 1 x. A ) - ( T x. A ) ) )
18	16	mulid2d 9391	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 x. A ) = A )
19	18	oveq1d 6095	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 x. A ) - ( T x. A ) ) = ( A - ( T x. A ) ) )
20	17, 19	eqtrd 2465	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. A ) = ( A - ( T x. A ) ) )
21		dvcvx.l	. . . . . . 7 |- ( ph -> A < B )
22		eliooord 11342	. . . . . . . . . . 11 |- ( T e. ( 0 (,) 1 ) -> ( 0 < T /\ T < 1 ) )
23	3, 22	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 < T /\ T < 1 ) )
24	23	simprd 460	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T < 1 )
25		posdif 9819	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( T < 1 <-> 0 < ( 1 - T ) ) )
26	5, 7, 25	sylancl 655	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( T < 1 <-> 0 < ( 1 - T ) ) )
27	24, 26	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < ( 1 - T ) )
28		ltmul2 10167	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( ( 1 - T ) e. RR /\ 0 < ( 1 - T ) ) ) -> ( A < B <-> ( ( 1 - T ) x. A ) < ( ( 1 - T ) x. B ) ) )
29	1, 10, 9, 27, 28	syl112anc 1215	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A < B <-> ( ( 1 - T ) x. A ) < ( ( 1 - T ) x. B ) ) )
30	21, 29	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. A ) < ( ( 1 - T ) x. B ) )
31	20, 30	eqbrtrrd 4302	. . . . 5 |- ( ph -> ( A - ( T x. A ) ) < ( ( 1 - T ) x. B ) )
32	1, 6, 11	ltsubadd2d 9924	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A - ( T x. A ) ) < ( ( 1 - T ) x. B ) <-> A < ( ( T x. A ) + ( ( 1 - T ) x. B ) ) ) )
33	31, 32	mpbid 210	. . . 4 |- ( ph -> A < ( ( T x. A ) + ( ( 1 - T ) x. B ) ) )
34	33, 2	syl6breqr 4320	. . 3 |- ( ph -> A < C )
35	1	leidd 9893	. . . . 5 |- ( ph -> A <_ A )
36	10	recnd 9399	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. CC )
37	14, 15, 36	subdird 9788	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. B ) = ( ( 1 x. B ) - ( T x. B ) ) )
38	36	mulid2d 9391	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 x. B ) = B )
39	38	oveq1d 6095	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 1 x. B ) - ( T x. B ) ) = ( B - ( T x. B ) ) )
40	37, 39	eqtrd 2465	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. B ) = ( B - ( T x. B ) ) )
41	5, 10	remulcld 9401	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( T x. B ) e. RR )
42	23	simpld 456	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < T )
43		ltmul2 10167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( T e. RR /\ 0 < T ) ) -> ( A < B <-> ( T x. A ) < ( T x. B ) ) )
44	1, 10, 5, 42, 43	syl112anc 1215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A < B <-> ( T x. A ) < ( T x. B ) ) )
45	21, 44	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( T x. A ) < ( T x. B ) )
46	6, 41, 10, 45	ltsub2dd 9939	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B - ( T x. B ) ) < ( B - ( T x. A ) ) )
47	40, 46	eqbrtrd 4300	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. B ) < ( B - ( T x. A ) ) )
48	6, 11, 10	ltaddsub2d 9927	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( T x. A ) + ( ( 1 - T ) x. B ) ) < B <-> ( ( 1 - T ) x. B ) < ( B - ( T x. A ) ) ) )
49	47, 48	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( T x. A ) + ( ( 1 - T ) x. B ) ) < B )
50	2, 49	syl5eqbr 4313	. . . . . 6 |- ( ph -> C < B )
51	13, 10, 50	ltled 9509	. . . . 5 |- ( ph -> C <_ B )
52		iccss 11350	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ A /\ C <_ B ) ) -> ( A [,] C ) C_ ( A [,] B ) )
53	1, 10, 35, 51, 52	syl22anc 1212	. . . 4 |- ( ph -> ( A [,] C ) C_ ( A [,] B ) )
54		dvcvx.f	. . . 4 |- ( ph -> F e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
55		rescncf 20314	. . . 4 |- ( ( A [,] C ) C_ ( A [,] B ) -> ( F e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) -> ( F |` ( A [,] C ) ) e. ( ( A [,] C ) -cn-> RR ) ) )
56	53, 54, 55	sylc 60	. . 3 |- ( ph -> ( F |` ( A [,] C ) ) e. ( ( A [,] C ) -cn-> RR ) )
57		ax-resscn 9326	. . . . . . . 8 |- RR C_ CC
58	57	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR C_ CC )
59		cncff 20310	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) -> F : ( A [,] B ) --> RR )
60	54, 59	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : ( A [,] B ) --> RR )
61		fss 5555	. . . . . . . 8 |- ( ( F : ( A [,] B ) --> RR /\ RR C_ CC ) -> F : ( A [,] B ) --> CC )
62	60, 57, 61	sylancl 655	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : ( A [,] B ) --> CC )
63		iccssre 11364	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
64	1, 10, 63	syl2anc 654	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
65		iccssre 11364	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> ( A [,] C ) C_ RR )
66	1, 13, 65	syl2anc 654	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A [,] C ) C_ RR )
67		eqid 2433	. . . . . . . 8 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
68	67	tgioo2 20221	. . . . . . . 8 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
69	67, 68	dvres 21227	. . . . . . 7 |- ( ( ( RR C_ CC /\ F : ( A [,] B ) --> CC ) /\ ( ( A [,] B ) C_ RR /\ ( A [,] C ) C_ RR ) ) -> ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] C ) ) ) )
70	58, 62, 64, 66, 69	syl22anc 1212	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] C ) ) ) )
71		iccntr 20239	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] C ) ) = ( A (,) C ) )
72	1, 13, 71	syl2anc 654	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] C ) ) = ( A (,) C ) )
73	72	reseq2d 5097	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] C ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( A (,) C ) ) )
74	70, 73	eqtrd 2465	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( A (,) C ) ) )
75	74	dmeqd 5029	. . . 4 |- ( ph -> dom ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) = dom ( ( RR _D F ) |` ( A (,) C ) ) )
76		dmres 5119	. . . . 5 |- dom ( ( RR _D F ) |` ( A (,) C ) ) = ( ( A (,) C ) i^i dom ( RR _D F ) )
77	10	rexrd 9420	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. RR* )
78		iooss2 11323	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR* /\ C <_ B ) -> ( A (,) C ) C_ ( A (,) B ) )
79	77, 51, 78	syl2anc 654	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A (,) C ) C_ ( A (,) B ) )
80		dvcvx.d	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D F ) Isom < , < ( ( A (,) B ) , W ) )
81		isof1o 6003	. . . . . . . 8 |- ( ( RR _D F ) Isom < , < ( ( A (,) B ) , W ) -> ( RR _D F ) : ( A (,) B ) -1-1-onto-> W )
82		f1odm 5633	. . . . . . . 8 |- ( ( RR _D F ) : ( A (,) B ) -1-1-onto-> W -> dom ( RR _D F ) = ( A (,) B ) )
83	80, 81, 82	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom ( RR _D F ) = ( A (,) B ) )
84	79, 83	sseqtr4d 3381	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A (,) C ) C_ dom ( RR _D F ) )
85		df-ss 3330	. . . . . 6 |- ( ( A (,) C ) C_ dom ( RR _D F ) <-> ( ( A (,) C ) i^i dom ( RR _D F ) ) = ( A (,) C ) )
86	84, 85	sylib 196	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A (,) C ) i^i dom ( RR _D F ) ) = ( A (,) C ) )
87	76, 86	syl5eq 2477	. . . 4 |- ( ph -> dom ( ( RR _D F ) |` ( A (,) C ) ) = ( A (,) C ) )
88	75, 87	eqtrd 2465	. . 3 |- ( ph -> dom ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) = ( A (,) C ) )
89	1, 13, 34, 56, 88	mvth 21305	. 2 |- ( ph -> E. x e. ( A (,) C ) ( ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) ` x ) = ( ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) / ( C - A ) ) )
90	1, 13, 34	ltled 9509	. . . . 5 |- ( ph -> A <_ C )
91	10	leidd 9893	. . . . 5 |- ( ph -> B <_ B )
92		iccss 11350	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ C /\ B <_ B ) ) -> ( C [,] B ) C_ ( A [,] B ) )
93	1, 10, 90, 91, 92	syl22anc 1212	. . . 4 |- ( ph -> ( C [,] B ) C_ ( A [,] B ) )
94		rescncf 20314	. . . 4 |- ( ( C [,] B ) C_ ( A [,] B ) -> ( F e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) -> ( F |` ( C [,] B ) ) e. ( ( C [,] B ) -cn-> RR ) ) )
95	93, 54, 94	sylc 60	. . 3 |- ( ph -> ( F |` ( C [,] B ) ) e. ( ( C [,] B ) -cn-> RR ) )
96		iccssre 11364	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. RR /\ B e. RR ) -> ( C [,] B ) C_ RR )
97	13, 10, 96	syl2anc 654	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C [,] B ) C_ RR )
98	67, 68	dvres 21227	. . . . . . 7 |- ( ( ( RR C_ CC /\ F : ( A [,] B ) --> CC ) /\ ( ( A [,] B ) C_ RR /\ ( C [,] B ) C_ RR ) ) -> ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( C [,] B ) ) ) )
99	58, 62, 64, 97, 98	syl22anc 1212	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( C [,] B ) ) ) )
100		iccntr 20239	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( C [,] B ) ) = ( C (,) B ) )
101	13, 10, 100	syl2anc 654	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( C [,] B ) ) = ( C (,) B ) )
102	101	reseq2d 5097	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( C [,] B ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( C (,) B ) ) )
103	99, 102	eqtrd 2465	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( C (,) B ) ) )
104	103	dmeqd 5029	. . . 4 |- ( ph -> dom ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) = dom ( ( RR _D F ) |` ( C (,) B ) ) )
105		dmres 5119	. . . . 5 |- dom ( ( RR _D F ) |` ( C (,) B ) ) = ( ( C (,) B ) i^i dom ( RR _D F ) )
106	1	rexrd 9420	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR* )
107		iooss1 11322	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ A <_ C ) -> ( C (,) B ) C_ ( A (,) B ) )
108	106, 90, 107	syl2anc 654	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C (,) B ) C_ ( A (,) B ) )
109	108, 83	sseqtr4d 3381	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C (,) B ) C_ dom ( RR _D F ) )
110		df-ss 3330	. . . . . 6 |- ( ( C (,) B ) C_ dom ( RR _D F ) <-> ( ( C (,) B ) i^i dom ( RR _D F ) ) = ( C (,) B ) )
111	109, 110	sylib 196	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( C (,) B ) i^i dom ( RR _D F ) ) = ( C (,) B ) )
112	105, 111	syl5eq 2477	. . . 4 |- ( ph -> dom ( ( RR _D F ) |` ( C (,) B ) ) = ( C (,) B ) )
113	104, 112	eqtrd 2465	. . 3 |- ( ph -> dom ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) = ( C (,) B ) )
114	13, 10, 50, 95, 113	mvth 21305	. 2 |- ( ph -> E. y e. ( C (,) B ) ( ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) ` y ) = ( ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) / ( B - C ) ) )
115		reeanv 2878	. . 3 |- ( E. x e. ( A (,) C ) E. y e. ( C (,) B ) ( ( ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) ` x ) = ( ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) / ( C - A ) ) /\ ( ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) ` y ) = ( ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) / ( B - C ) ) ) <-> ( E. x e. ( A (,) C ) ( ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) ` x ) = ( ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) / ( C - A ) ) /\ E. y e. ( C (,) B ) ( ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) ` y ) = ( ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) / ( B - C ) ) ) )
116	74	fveq1d 5681	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) ` x ) = ( ( ( RR _D F ) |` ( A (,) C ) ) ` x ) )
117		fvres 5692	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( A (,) C ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( A (,) C ) ) ` x ) = ( ( RR _D F ) ` x ) )
118	117	adantr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( A (,) C ) ) ` x ) = ( ( RR _D F ) ` x ) )
119	116, 118	sylan9eq 2485	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) ` x ) = ( ( RR _D F ) ` x ) )
120	13	rexrd 9420	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. RR* )
121		ubicc2 11388	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* /\ A <_ C ) -> C e. ( A [,] C ) )
122	106, 120, 90, 121	syl3anc 1211	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. ( A [,] C ) )
123		fvres 5692	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ( A [,] C ) -> ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) = ( F ` C ) )
124	122, 123	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) = ( F ` C ) )
125		lbicc2 11387	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* /\ A <_ C ) -> A e. ( A [,] C ) )
126	106, 120, 90, 125	syl3anc 1211	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. ( A [,] C ) )
127		fvres 5692	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( A [,] C ) -> ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) = ( F ` A ) )
128	126, 127	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) = ( F ` A ) )
129	124, 128	oveq12d 6098	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) = ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) )
130	129	oveq1d 6095	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) / ( C - A ) ) = ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) )
131	130	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) / ( C - A ) ) = ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) )
132	119, 131	eqeq12d 2447	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) ` x ) = ( ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) / ( C - A ) ) <-> ( ( RR _D F ) ` x ) = ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) ) )
133	103	fveq1d 5681	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) ` y ) = ( ( ( RR _D F ) |` ( C (,) B ) ) ` y ) )
134		fvres 5692	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( C (,) B ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( C (,) B ) ) ` y ) = ( ( RR _D F ) ` y ) )
135	134	adantl 463	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( C (,) B ) ) ` y ) = ( ( RR _D F ) ` y ) )
136	133, 135	sylan9eq 2485	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) ` y ) = ( ( RR _D F ) ` y ) )
137		ubicc2 11388	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. RR* /\ B e. RR* /\ C <_ B ) -> B e. ( C [,] B ) )
138	120, 77, 51, 137	syl3anc 1211	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. ( C [,] B ) )
139		fvres 5692	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( C [,] B ) -> ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) = ( F ` B ) )
140	138, 139	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) = ( F ` B ) )
141		lbicc2 11387	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. RR* /\ B e. RR* /\ C <_ B ) -> C e. ( C [,] B ) )
142	120, 77, 51, 141	syl3anc 1211	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. ( C [,] B ) )
143		fvres 5692	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ( C [,] B ) -> ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) = ( F ` C ) )
144	142, 143	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) = ( F ` C ) )
145	140, 144	oveq12d 6098	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) = ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) )
146	145	oveq1d 6095	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) / ( B - C ) ) = ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) )
147	146	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) / ( B - C ) ) = ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) )
148	136, 147	eqeq12d 2447	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) ` y ) = ( ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) / ( B - C ) ) <-> ( ( RR _D F ) ` y ) = ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) ) )
149	132, 148	anbi12d 703	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( ( ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) ` x ) = ( ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) / ( C - A ) ) /\ ( ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) ` y ) = ( ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) / ( B - C ) ) ) <-> ( ( ( RR _D F ) ` x ) = ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) /\ ( ( RR _D F ) ` y ) = ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) ) ) )
150		elioore 11317	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( A (,) C ) -> x e. RR )
151	150	ad2antrl 720	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> x e. RR )
152	13	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> C e. RR )
153		elioore 11317	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( C (,) B ) -> y e. RR )
154	153	ad2antll 721	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> y e. RR )
155		eliooord 11342	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( A (,) C ) -> ( A < x /\ x < C ) )
156	155	ad2antrl 720	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( A < x /\ x < C ) )
157	156	simprd 460	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> x < C )
158		eliooord 11342	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( C (,) B ) -> ( C < y /\ y < B ) )
159	158	ad2antll 721	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( C < y /\ y < B ) )
160	159	simpld 456	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> C < y )
161	151, 152, 154, 157, 160	lttrd 9519	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> x < y )
162	80	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( RR _D F ) Isom < , < ( ( A (,) B ) , W ) )
163	79	sselda 3344	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) C ) ) -> x e. ( A (,) B ) )
164	163	adantrr 709	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> x e. ( A (,) B ) )
165	108	sselda 3344	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( C (,) B ) ) -> y e. ( A (,) B ) )
166	165	adantrl 708	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> y e. ( A (,) B ) )
167		isorel 6004	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( RR _D F ) Isom < , < ( ( A (,) B ) , W ) /\ ( x e. ( A (,) B ) /\ y e. ( A (,) B ) ) ) -> ( x < y <-> ( ( RR _D F ) ` x ) < ( ( RR _D F ) ` y ) ) )
168	162, 164, 166, 167	syl12anc 1209	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( x < y <-> ( ( RR _D F ) ` x ) < ( ( RR _D F ) ` y ) ) )
169	161, 168	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( RR _D F ) ` x ) < ( ( RR _D F ) ` y ) )
170		breq12 4285	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( RR _D F ) ` x ) = ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) /\ ( ( RR _D F ) ` y ) = ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) ) -> ( ( ( RR _D F ) ` x ) < ( ( RR _D F ) ` y ) <-> ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) ) )
171	169, 170	syl5ibcom 220	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( ( ( RR _D F ) ` x ) = ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) /\ ( ( RR _D F ) ` y ) = ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) ) -> ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) ) )
172	53, 122	sseldd 3345	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. ( A [,] B ) )
173	60, 172	ffvelrnd 5832	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F ` C ) e. RR )
174	53, 126	sseldd 3345	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. ( A [,] B ) )
175	60, 174	ffvelrnd 5832	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F ` A ) e. RR )
176	173, 175	resubcld 9763	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) e. RR )
177	27	gt0ne0d 9891	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 - T ) =/= 0 )
178	176, 9, 177	redivcld 10146	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) e. RR )
179	93, 138	sseldd 3345	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. ( A [,] B ) )
180	60, 179	ffvelrnd 5832	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F ` B ) e. RR )
181	180, 173	resubcld 9763	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) e. RR )
182	42	gt0ne0d 9891	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> T =/= 0 )
183	181, 5, 182	redivcld 10146	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) e. RR )
184	10, 1	resubcld 9763	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR )
185	1, 10	posdifd 9913	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
186	21, 185	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 < ( B - A ) )
187		ltdiv1 10180	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) e. RR /\ ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) e. RR /\ ( ( B - A ) e. RR /\ 0 < ( B - A ) ) ) -> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) <-> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) / ( B - A ) ) < ( ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) / ( B - A ) ) ) )
188	178, 183, 184, 186, 187	syl112anc 1215	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) <-> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) / ( B - A ) ) < ( ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) / ( B - A ) ) ) )
189	176	recnd 9399	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) e. CC )
190	189, 15	mulcomd 9394	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) x. T ) = ( T x. ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) ) )
191	173	recnd 9399	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F ` C ) e. CC )
192	175	recnd 9399	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F ` A ) e. CC )
193	15, 191, 192	subdid 9787	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( T x. ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) ) = ( ( T x. ( F ` C ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) )
194	190, 193	eqtrd 2465	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) x. T ) = ( ( T x. ( F ` C ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) )
195	181	recnd 9399	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) e. CC )
196	9	recnd 9399	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 - T ) e. CC )
197	195, 196	mulcomd 9394	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) x. ( 1 - T ) ) = ( ( 1 - T ) x. ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) ) )
198	180	recnd 9399	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F ` B ) e. CC )
199	196, 198, 191	subdid 9787	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) - ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) )
200	197, 199	eqtrd 2465	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) x. ( 1 - T ) ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) - ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) )
201	194, 200	breq12d 4293	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) x. T ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) x. ( 1 - T ) ) <-> ( ( T x. ( F ` C ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) < ( ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) - ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) ) )
202	5, 42	jca 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( T e. RR /\ 0 < T ) )
203	9, 27	jca 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) e. RR /\ 0 < ( 1 - T ) ) )
204		lt2mul2div 10195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) e. RR /\ ( T e. RR /\ 0 < T ) ) /\ ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) e. RR /\ ( ( 1 - T ) e. RR /\ 0 < ( 1 - T ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) x. T ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) x. ( 1 - T ) ) <-> ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) ) )
205	176, 202, 181, 203, 204	syl22anc 1212	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) x. T ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) x. ( 1 - T ) ) <-> ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) ) )
206	5, 173	remulcld 9401	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( T x. ( F ` C ) ) e. RR )
207	206	recnd 9399	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( T x. ( F ` C ) ) e. CC )
208	9, 173	remulcld 9401	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) e. RR )
209	208	recnd 9399	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) e. CC )
210	5, 175	remulcld 9401	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( T x. ( F ` A ) ) e. RR )
211	210	recnd 9399	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( T x. ( F ` A ) ) e. CC )
212	207, 209, 211	addsubd 9727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( T x. ( F ` C ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) = ( ( ( T x. ( F ` C ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) )
213		ax-1cn 9327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
214		pncan3 9605	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( T e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( T + ( 1 - T ) ) = 1 )
215	15, 213, 214	sylancl 655	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( T + ( 1 - T ) ) = 1 )
216	215	oveq1d 6095	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( T + ( 1 - T ) ) x. ( F ` C ) ) = ( 1 x. ( F ` C ) ) )
217	15, 196, 191	adddird 9398	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( T + ( 1 - T ) ) x. ( F ` C ) ) = ( ( T x. ( F ` C ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) )
218	191	mulid2d 9391	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 x. ( F ` C ) ) = ( F ` C ) )
219	216, 217, 218	3eqtr3d 2473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( T x. ( F ` C ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) = ( F ` C ) )
220	219	oveq1d 6095	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( T x. ( F ` C ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) = ( ( F ` C ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) )
221	212, 220	eqtr3d 2467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( T x. ( F ` C ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) = ( ( F ` C ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) )
222	221	breq1d 4290	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( T x. ( F ` C ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) < ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) <-> ( ( F ` C ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) < ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) )
223	206, 210	resubcld 9763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( T x. ( F ` C ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) e. RR )
224	9, 180	remulcld 9401	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) e. RR )
225	223, 208, 224	ltaddsubd 9926	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( T x. ( F ` C ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) < ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) <-> ( ( T x. ( F ` C ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) < ( ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) - ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) ) )
226	173, 210, 224	ltsubadd2d 9924	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( F ` C ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) < ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) <-> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) ) )
227	222, 225, 226	3bitr3d 283	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( T x. ( F ` C ) ) - ( T x. ( F ` A ) ) ) < ( ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) - ( ( 1 - T ) x. ( F ` C ) ) ) <-> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) ) )
228	201, 205, 227	3bitr3d 283	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) <-> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) ) )
229	184	recnd 9399	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B - A ) e. CC )
230	186	gt0ne0d 9891	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B - A ) =/= 0 )
231	189, 196, 229, 177, 230	divdiv1d 10125	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) / ( B - A ) ) = ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( ( 1 - T ) x. ( B - A ) ) ) )
232	20	oveq2d 6096	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( 1 - T ) x. B ) - ( ( 1 - T ) x. A ) ) = ( ( ( 1 - T ) x. B ) - ( A - ( T x. A ) ) ) )
233	11	recnd 9399	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. B ) e. CC )
234	6	recnd 9399	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( T x. A ) e. CC )
235	233, 16, 234	subsub3d 9736	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( 1 - T ) x. B ) - ( A - ( T x. A ) ) ) = ( ( ( ( 1 - T ) x. B ) + ( T x. A ) ) - A ) )
236	232, 235	eqtrd 2465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( 1 - T ) x. B ) - ( ( 1 - T ) x. A ) ) = ( ( ( ( 1 - T ) x. B ) + ( T x. A ) ) - A ) )
237	196, 36, 16	subdid 9787	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. ( B - A ) ) = ( ( ( 1 - T ) x. B ) - ( ( 1 - T ) x. A ) ) )
238	234, 233	addcomd 9558	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( T x. A ) + ( ( 1 - T ) x. B ) ) = ( ( ( 1 - T ) x. B ) + ( T x. A ) ) )
239	2, 238	syl5eq 2477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> C = ( ( ( 1 - T ) x. B ) + ( T x. A ) ) )
240	239	oveq1d 6095	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C - A ) = ( ( ( ( 1 - T ) x. B ) + ( T x. A ) ) - A ) )
241	236, 237, 240	3eqtr4d 2475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 1 - T ) x. ( B - A ) ) = ( C - A ) )
242	241	oveq2d 6096	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( ( 1 - T ) x. ( B - A ) ) ) = ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) )
243	231, 242	eqtrd 2465	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) / ( B - A ) ) = ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) )
244	195, 15, 229, 182, 230	divdiv1d 10125	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) / ( B - A ) ) = ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( T x. ( B - A ) ) ) )
245	36, 233, 234	subsub4d 9737	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( B - ( ( 1 - T ) x. B ) ) - ( T x. A ) ) = ( B - ( ( ( 1 - T ) x. B ) + ( T x. A ) ) ) )
246	40	oveq2d 6096	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( B - ( ( 1 - T ) x. B ) ) = ( B - ( B - ( T x. B ) ) ) )
247	41	recnd 9399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( T x. B ) e. CC )
248	36, 247	nncand 9711	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( B - ( B - ( T x. B ) ) ) = ( T x. B ) )
249	246, 248	eqtrd 2465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( B - ( ( 1 - T ) x. B ) ) = ( T x. B ) )
250	249	oveq1d 6095	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( B - ( ( 1 - T ) x. B ) ) - ( T x. A ) ) = ( ( T x. B ) - ( T x. A ) ) )
251	245, 250	eqtr3d 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B - ( ( ( 1 - T ) x. B ) + ( T x. A ) ) ) = ( ( T x. B ) - ( T x. A ) ) )
252	239	oveq2d 6096	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B - C ) = ( B - ( ( ( 1 - T ) x. B ) + ( T x. A ) ) ) )
253	15, 36, 16	subdid 9787	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( T x. ( B - A ) ) = ( ( T x. B ) - ( T x. A ) ) )
254	251, 252, 253	3eqtr4d 2475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B - C ) = ( T x. ( B - A ) ) )
255	254	oveq2d 6096	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) = ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( T x. ( B - A ) ) ) )
256	244, 255	eqtr4d 2468	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) / ( B - A ) ) = ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) )
257	243, 256	breq12d 4293	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( 1 - T ) ) / ( B - A ) ) < ( ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / T ) / ( B - A ) ) <-> ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) ) )
258	188, 228, 257	3bitr3rd 284	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) <-> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) ) )
259	258	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) < ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) <-> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) ) )
260	171, 259	sylibd 214	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( ( ( RR _D F ) ` x ) = ( ( ( F ` C ) - ( F ` A ) ) / ( C - A ) ) /\ ( ( RR _D F ) ` y ) = ( ( ( F ` B ) - ( F ` C ) ) / ( B - C ) ) ) -> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) ) )
261	149, 260	sylbid 215	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) C ) /\ y e. ( C (,) B ) ) ) -> ( ( ( ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) ` x ) = ( ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) / ( C - A ) ) /\ ( ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) ` y ) = ( ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) / ( B - C ) ) ) -> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) ) )
262	261	rexlimdvva 2838	. . 3 |- ( ph -> ( E. x e. ( A (,) C ) E. y e. ( C (,) B ) ( ( ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) ` x ) = ( ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) / ( C - A ) ) /\ ( ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) ` y ) = ( ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) / ( B - C ) ) ) -> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) ) )
263	115, 262	syl5bir 218	. 2 |- ( ph -> ( ( E. x e. ( A (,) C ) ( ( RR _D ( F |` ( A [,] C ) ) ) ` x ) = ( ( ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` C ) - ( ( F |` ( A [,] C ) ) ` A ) ) / ( C - A ) ) /\ E. y e. ( C (,) B ) ( ( RR _D ( F |` ( C [,] B ) ) ) ` y ) = ( ( ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` B ) - ( ( F |` ( C [,] B ) ) ` C ) ) / ( B - C ) ) ) -> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) ) )
264	89, 114, 263	mp2and 672	1 |- ( ph -> ( F ` C ) < ( ( T x. ( F ` A ) ) + ( ( 1 - T ) x. ( F ` B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1362   e. wcel 1755   E.wrex 2706   i^i cin 3315   C_ wss 3316   class class class wbr 4280   dom cdm 4827   ran crn 4828   |` cres 4829   -->wf 5402   -1-1-onto->wf1o 5405   ` cfv 5406   Isom wiso 5407  (class class class)co 6080   CCcc 9267   RRcr 9268   0cc0 9269   1c1 9270   + caddc 9272   x. cmul 9274   RR*cxr 9404   < clt 9405   <_ cle 9406   - cmin 9582   / cdiv 9980   (,)cioo 11287   [,]cicc 11290   TopOpenctopn 14342   topGenctg 14358  ℂ_fldccnfld 17661   intcnt 18462   -cn->ccncf 20293   _D cdv 21179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347  ax-addf 9348  ax-mulf 9349

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-4 10369  df-5 10370  df-6 10371  df-7 10372  df-8 10373  df-9 10374  df-10 10375  df-n0 10567  df-z 10634  df-dec 10743  df-uz 10849  df-q 10941  df-rp 10979  df-xneg 11076  df-xadd 11077  df-xmul 11078  df-ioo 11291  df-ico 11293  df-icc 11294  df-fz 11424  df-fzo 11532  df-seq 11790  df-exp 11849  df-hash 12087  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708  df-struct 14158  df-ndx 14159  df-slot 14160  df-base 14161  df-sets 14162  df-ress 14163  df-plusg 14233  df-mulr 14234  df-starv 14235  df-sca 14236  df-vsca 14237  df-ip 14238  df-tset 14239  df-ple 14240  df-ds 14242  df-unif 14243  df-hom 14244  df-cco 14245  df-rest 14343  df-topn 14344  df-0g 14362  df-gsum 14363  df-topgen 14364  df-pt 14365  df-prds 14368  df-xrs 14422  df-qtop 14427  df-imas 14428  df-xps 14430  df-mre 14506  df-mrc 14507  df-acs 14509  df-mnd 15397  df-submnd 15447  df-mulg 15527  df-cntz 15814  df-cmn 16258  df-psmet 17652  df-xmet 17653  df-met 17654  df-bl 17655  df-mopn 17656  df-fbas 17657  df-fg 17658  df-cnfld 17662  df-top 18344  df-bases 18346  df-topon 18347  df-topsp 18348  df-cld 18464  df-ntr 18465  df-cls 18466  df-nei 18543  df-lp 18581  df-perf 18582  df-cn 18672  df-cnp 18673  df-haus 18760  df-cmp 18831  df-tx 18976  df-hmeo 19169  df-fil 19260  df-fm 19352  df-flim 19353  df-flf 19354  df-xms 19736  df-ms 19737  df-tms 19738  df-cncf 20295  df-limc 21182  df-dv 21183

This theorem is referenced by:  efcvx  21798  logccv  21992