Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvcosre Structured version   Unicode version

Theorem dvcosre 31466
Description: The real derivative of the cosine (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
dvcosre  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  RR  |->  ( cos `  x
) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( sin `  x
) )

Proof of Theorem dvcosre
StepHypRef Expression
1 reelprrecn 9585 . . 3  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
2 cosf 13724 . . 3  |-  cos : CC
--> CC
3 ssid 3523 . . 3  |-  CC  C_  CC
4 nfcv 2629 . . . . . 6  |-  F/_ x RR
5 nfrab1 3042 . . . . . 6  |-  F/_ x { x  e.  CC  |  -u ( sin `  x
)  e.  _V }
64, 5dfss2f 3495 . . . . 5  |-  ( RR  C_  { x  e.  CC  |  -u ( sin `  x
)  e.  _V }  <->  A. x ( x  e.  RR  ->  x  e.  { x  e.  CC  |  -u ( sin `  x
)  e.  _V }
) )
7 recn 9583 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
87sincld 13729 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
98negcld 9918 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  -u ( sin `  x )  e.  CC )
10 elex 3122 . . . . . . 7  |-  ( -u ( sin `  x )  e.  CC  ->  -u ( sin `  x )  e. 
_V )
119, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  -u ( sin `  x )  e. 
_V )
12 rabid 3038 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { x  e.  CC  |  -u ( sin `  x )  e. 
_V }  <->  ( x  e.  CC  /\  -u ( sin `  x )  e. 
_V ) )
137, 11, 12sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  { x  e.  CC  |  -u ( sin `  x
)  e.  _V }
)
146, 13mpgbir 1605 . . . 4  |-  RR  C_  { x  e.  CC  |  -u ( sin `  x
)  e.  _V }
15 dvcos 22211 . . . . 5  |-  ( CC 
_D  cos )  =  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  x ) )
1615dmmpt 5502 . . . 4  |-  dom  ( CC  _D  cos )  =  { x  e.  CC  |  -u ( sin `  x
)  e.  _V }
1714, 16sseqtr4i 3537 . . 3  |-  RR  C_  dom  ( CC  _D  cos )
18 dvres3 22144 . . 3  |-  ( ( ( RR  e.  { RR ,  CC }  /\  cos : CC --> CC )  /\  ( CC  C_  CC  /\  RR  C_  dom  ( CC  _D  cos )
) )  ->  ( RR  _D  ( cos  |`  RR ) )  =  ( ( CC  _D  cos )  |`  RR ) )
191, 2, 3, 17, 18mp4an 673 . 2  |-  ( RR 
_D  ( cos  |`  RR ) )  =  ( ( CC  _D  cos )  |`  RR )
20 ffn 5731 . . . . . . 7  |-  ( cos
: CC --> CC  ->  cos 
Fn  CC )
212, 20ax-mp 5 . . . . . 6  |-  cos  Fn  CC
22 dffn5 5913 . . . . . 6  |-  ( cos 
Fn  CC  <->  cos  =  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) ) )
2321, 22mpbi 208 . . . . 5  |-  cos  =  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) )
2423reseq1i 5269 . . . 4  |-  ( cos  |`  RR )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) )  |`  RR )
25 ax-resscn 9550 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
26 resmpt 5323 . . . . 5  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) )  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( cos `  x
) ) )
2725, 26ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) )  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( cos `  x
) )
2824, 27eqtri 2496 . . 3  |-  ( cos  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( cos `  x ) )
2928oveq2i 6296 . 2  |-  ( RR 
_D  ( cos  |`  RR ) )  =  ( RR 
_D  ( x  e.  RR  |->  ( cos `  x
) ) )
3015reseq1i 5269 . . 3  |-  ( ( CC  _D  cos )  |`  RR )  =  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  x
) )  |`  RR )
31 resmpt 5323 . . . 4  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
x  e.  CC  |->  -u ( sin `  x ) )  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( sin `  x
) ) )
3225, 31ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  x ) )  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( sin `  x
) )
3330, 32eqtri 2496 . 2  |-  ( ( CC  _D  cos )  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( sin `  x ) )
3419, 29, 333eqtr3i 2504 1  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  RR  |->  ( cos `  x
) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( sin `  x
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2818   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   {cpr 4029    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999    |` cres 5001    Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   CCcc 9491   RRcr 9492   -ucneg 9807   sincsin 13664   cosccos 13665    _D cdv 22094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571  ax-addf 9572  ax-mulf 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-fi 7872  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11319  df-xadd 11320  df-xmul 11321  df-ico 11536  df-icc 11537  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-fl 11898  df-seq 12077  df-exp 12136  df-fac 12323  df-bc 12350  df-hash 12375  df-shft 12866  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-limsup 13260  df-clim 13277  df-rlim 13278  df-sum 13475  df-ef 13668  df-sin 13670  df-cos 13671  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-starv 14573  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-unif 14581  df-hom 14582  df-cco 14583  df-rest 14681  df-topn 14682  df-0g 14700  df-gsum 14701  df-topgen 14702  df-pt 14703  df-prds 14706  df-xrs 14760  df-qtop 14765  df-imas 14766  df-xps 14768  df-mre 14844  df-mrc 14845  df-acs 14847  df-mnd 15735  df-submnd 15790  df-mulg 15874  df-cntz 16169  df-cmn 16615  df-psmet 18222  df-xmet 18223  df-met 18224  df-bl 18225  df-mopn 18226  df-fbas 18227  df-fg 18228  df-cnfld 18232  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-topsp 19210  df-cld 19326  df-ntr 19327  df-cls 19328  df-nei 19405  df-lp 19443  df-perf 19444  df-cn 19534  df-cnp 19535  df-haus 19622  df-tx 19890  df-hmeo 20083  df-fil 20174  df-fm 20266  df-flim 20267  df-flf 20268  df-xms 20650  df-ms 20651  df-tms 20652  df-cncf 21209  df-limc 22097  df-dv 22098
This theorem is referenced by:  itgsin0pilem1  31494  itgsinexplem1  31498  fourierdlem39  31673
  Copyright terms: Public domain W3C validator