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Theorem dvcosax 37808
Description: Derivative exercise: the derivative with respect to x of cos(Ax), given a constant  A. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
dvcosax  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  ( A  x.  x )
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) ) ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem dvcosax
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulcl 9628 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( A  x.  x
)  e.  CC )
2 eqidd 2454 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) )
3 cosf 14191 . . . . . . . 8  |-  cos : CC
--> CC
43a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  cos : CC --> CC )
54feqmptd 5923 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  cos  =  ( y  e.  CC  |->  ( cos `  y
) ) )
6 fveq2 5870 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( A  x.  x )  ->  ( cos `  y )  =  ( cos `  ( A  x.  x )
) )
71, 2, 5, 6fmptco 6061 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos  o.  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  ( A  x.  x )
) ) )
87eqcomd 2459 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  CC  |->  ( cos `  ( A  x.  x ) ) )  =  ( cos 
o.  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) )
98oveq2d 6311 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  ( A  x.  x )
) ) )  =  ( CC  _D  ( cos  o.  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) ) )
10 cnelprrecn 9637 . . . . 5  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
12 eqid 2453 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) )
131, 12fmptd 6051 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) : CC --> CC )
14 dvcos 22947 . . . . . . 7  |-  ( CC 
_D  cos )  =  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  x ) )
1514dmeqi 5039 . . . . . 6  |-  dom  ( CC  _D  cos )  =  dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  x
) )
16 dmmptg 5335 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  CC  -u ( sin `  x )  e.  CC  ->  dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  x ) )  =  CC )
17 sincl 14192 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
1817negcld 9978 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  -u ( sin `  x )  e.  CC )
1916, 18mprg 2753 . . . . . 6  |-  dom  (
x  e.  CC  |->  -u ( sin `  x ) )  =  CC
2015, 19eqtri 2475 . . . . 5  |-  dom  ( CC  _D  cos )  =  CC
2120a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( CC  _D  cos )  =  CC )
22 simpl 459 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
23 0red 9649 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  0  e.  RR )
24 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  A  e.  CC )
2511, 24dvmptc 22924 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  A ) )  =  ( x  e.  CC  |->  0 ) )
26 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
27 1red 9663 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  1  e.  RR )
2811dvmptid 22923 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 ) )
2911, 22, 23, 25, 26, 27, 28dvmptmul 22927 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( 0  x.  x )  +  ( 1  x.  A
) ) ) )
3029dmeqd 5040 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) )  =  dom  ( x  e.  CC  |->  ( ( 0  x.  x )  +  ( 1  x.  A ) ) ) )
31 dmmptg 5335 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  CC  (
( 0  x.  x
)  +  ( 1  x.  A ) )  e.  _V  ->  dom  ( x  e.  CC  |->  ( ( 0  x.  x )  +  ( 1  x.  A ) ) )  =  CC )
32 ovex 6323 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  x.  x )  +  ( 1  x.  A ) )  e. 
_V
3332a1i 11 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( 0  x.  x
)  +  ( 1  x.  A ) )  e.  _V )
3431, 33mprg 2753 . . . . 5  |-  dom  (
x  e.  CC  |->  ( ( 0  x.  x
)  +  ( 1  x.  A ) ) )  =  CC
3530, 34syl6eq 2503 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) )  =  CC )
3611, 11, 4, 13, 21, 35dvcof 22914 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( cos  o.  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x
) ) ) )  =  ( ( ( CC  _D  cos )  o.  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x
) ) )  oF  x.  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) ) )
37 dvcos 22947 . . . . . . 7  |-  ( CC 
_D  cos )  =  ( y  e.  CC  |->  -u ( sin `  y ) )
3837a1i 11 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  cos )  =  ( y  e.  CC  |->  -u ( sin `  y
) ) )
39 fveq2 5870 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( A  x.  x )  ->  ( sin `  y )  =  ( sin `  ( A  x.  x )
) )
4039negeqd 9874 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( A  x.  x )  ->  -u ( sin `  y )  = 
-u ( sin `  ( A  x.  x )
) )
411, 2, 38, 40fmptco 6061 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( CC  _D  cos )  o.  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) ) )
4241oveq1d 6310 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( CC  _D  cos )  o.  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) )  oF  x.  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x
) ) ) )  =  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) )  oF  x.  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) ) )
43 cnex 9625 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
4443mptex 6141 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) )  e.  _V
45 ovex 6323 . . . . . 6  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) )  e.  _V
46 offval3 6792 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) )  e.  _V  /\  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) )  oF  x.  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) )  =  ( y  e.  ( dom  (
x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) )  i^i  dom  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) )  |->  ( ( ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) ) `  y )  x.  ( ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) `
 y ) ) ) )
4744, 45, 46mp2an 679 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) )  oF  x.  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) )  =  ( y  e.  ( dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) )  i^i  dom  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) )  |->  ( ( ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) ) `  y
)  x.  ( ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) `  y ) ) )
4847a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) )  oF  x.  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x
) ) ) )  =  ( y  e.  ( dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) )  i^i  dom  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x
) ) ) ) 
|->  ( ( ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) ) `
 y )  x.  ( ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x
) ) ) `  y ) ) ) )
491sincld 14196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( sin `  ( A  x.  x )
)  e.  CC )
5049negcld 9978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  -> 
-u ( sin `  ( A  x.  x )
)  e.  CC )
5150ralrimiva 2804 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  A. x  e.  CC  -u ( sin `  ( A  x.  x )
)  e.  CC )
52 dmmptg 5335 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  CC  -u ( sin `  ( A  x.  x ) )  e.  CC  ->  dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) )  =  CC )
5351, 52syl 17 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) )  =  CC )
5453, 35ineq12d 3637 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) )  i^i  dom  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) )  =  ( CC  i^i  CC ) )
55 inidm 3643 . . . . . 6  |-  ( CC 
i^i  CC )  =  CC
5654, 55syl6eq 2503 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) )  i^i  dom  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) )  =  CC )
57 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) )  i^i  dom  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) ) )  ->  y  e.  ( dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) )  i^i  dom  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) ) )
5856adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) )  i^i  dom  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) ) )  ->  ( dom  (
x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) )  i^i  dom  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) )  =  CC )
5957, 58eleqtrd 2533 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) )  i^i  dom  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) ) )  ->  y  e.  CC )
60 eqidd 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  CC  ->  (
x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) ) )
61 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  y ) )
6261fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( sin `  ( A  x.  x ) )  =  ( sin `  ( A  x.  y )
) )
6362negeqd 9874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) )  = 
-u ( sin `  ( A  x.  y )
) )
6463adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  =  y )  -> 
-u ( sin `  ( A  x.  x )
)  =  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) )
65 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  CC  ->  y  e.  CC )
66 negex 9878 . . . . . . . . . . 11  |-  -u ( sin `  ( A  x.  y ) )  e. 
_V
6766a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  CC  ->  -u ( sin `  ( A  x.  y ) )  e. 
_V )
6860, 64, 65, 67fvmptd 5959 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) ) `  y
)  =  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) )
6968adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) ) `  y
)  =  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) )
7029adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( 0  x.  x
)  +  ( 1  x.  A ) ) ) )
71 oveq2 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
0  x.  x )  =  ( 0  x.  y ) )
7271oveq1d 6310 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( 0  x.  x
)  +  ( 1  x.  A ) )  =  ( ( 0  x.  y )  +  ( 1  x.  A
) ) )
73 mul02 9816 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  CC  ->  (
0  x.  y )  =  0 )
74 mulid2 9646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  x.  A )  =  A )
7573, 74oveqan12rd 6315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( 0  x.  y )  +  ( 1  x.  A ) )  =  ( 0  +  A ) )
76 addid2 9821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  +  A )  =  A )
7776adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 0  +  A
)  =  A )
7875, 77eqtrd 2487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( 0  x.  y )  +  ( 1  x.  A ) )  =  A )
7972, 78sylan9eqr 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  x  =  y )  ->  ( (
0  x.  x )  +  ( 1  x.  A ) )  =  A )
80 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  y  e.  CC )
81 simpl 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
8270, 79, 80, 81fvmptd 5959 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x
) ) ) `  y )  =  A )
8369, 82oveq12d 6313 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) ) `
 y )  x.  ( ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x
) ) ) `  y ) )  =  ( -u ( sin `  ( A  x.  y
) )  x.  A
) )
84 mulcl 9628 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( A  x.  y
)  e.  CC )
8584sincld 14196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( sin `  ( A  x.  y )
)  e.  CC )
8685negcld 9978 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  -> 
-u ( sin `  ( A  x.  y )
)  e.  CC )
8786, 81mulcomd 9669 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( -u ( sin `  ( A  x.  y
) )  x.  A
)  =  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y )
) ) )
8883, 87eqtrd 2487 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) ) `
 y )  x.  ( ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x
) ) ) `  y ) )  =  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) )
8959, 88syldan 473 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) )  i^i  dom  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) ) )  ->  ( ( ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) ) `  y )  x.  ( ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) `
 y ) )  =  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y )
) ) )
9056, 89mpteq12dva 4483 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
y  e.  ( dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) )  i^i  dom  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) )  |->  ( ( ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) ) `  y
)  x.  ( ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) `  y ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) ) )
9142, 48, 903eqtrd 2491 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( CC  _D  cos )  o.  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) )  oF  x.  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x
) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y )
) ) ) )
929, 36, 913eqtrd 2491 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  ( A  x.  x )
) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) ) )
93 oveq2 6303 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  ( A  x.  y )  =  ( A  x.  x ) )
9493fveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  ( sin `  ( A  x.  y ) )  =  ( sin `  ( A  x.  x )
) )
9594negeqd 9874 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  -u ( sin `  ( A  x.  y ) )  = 
-u ( sin `  ( A  x.  x )
) )
9695oveq2d 6311 . . 3  |-  ( y  =  x  ->  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y
) ) )  =  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) ) )
9796cbvmptv 4498 . 2  |-  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y )
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) ) )
9892, 97syl6eq 2503 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  ( A  x.  x )
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889   A.wral 2739   _Vcvv 3047    i^i cin 3405   {cpr 3972    |-> cmpt 4464   dom cdm 4837    o. ccom 4841   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295    oFcof 6534   CCcc 9542   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545    + caddc 9547    x. cmul 9549   -ucneg 9866   sincsin 14128   cosccos 14129    _D cdv 22830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-seq 12221  df-exp 12280  df-fac 12467  df-bc 12495  df-hash 12523  df-shft 13142  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-limsup 13538  df-clim 13564  df-rlim 13565  df-sum 13765  df-ef 14133  df-sin 14135  df-cos 14136  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-rest 15333  df-topn 15334  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-topgen 15354  df-pt 15355  df-prds 15358  df-xrs 15412  df-qtop 15418  df-imas 15419  df-xps 15422  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-mulg 16688  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-fbas 18979  df-fg 18980  df-cnfld 18983  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-cld 20046  df-ntr 20047  df-cls 20048  df-nei 20126  df-lp 20164  df-perf 20165  df-cn 20255  df-cnp 20256  df-haus 20343  df-tx 20589  df-hmeo 20782  df-fil 20873  df-fm 20965  df-flim 20966  df-flf 20967  df-xms 21347  df-ms 21348  df-tms 21349  df-cncf 21922  df-limc 22833  df-dv 22834
This theorem is referenced by:  itgsincmulx  37861
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