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Theorem dvcosax 31962
Description: Derivative exercise: the derivative with respect to x of cos(Ax), given a constant  A. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
dvcosax  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  ( A  x.  x )
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) ) ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem dvcosax
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulcl 9565 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( A  x.  x
)  e.  CC )
2 eqidd 2455 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) )
3 cosf 13942 . . . . . . . 8  |-  cos : CC
--> CC
43a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  cos : CC --> CC )
54feqmptd 5901 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  cos  =  ( y  e.  CC  |->  ( cos `  y
) ) )
6 fveq2 5848 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( A  x.  x )  ->  ( cos `  y )  =  ( cos `  ( A  x.  x )
) )
71, 2, 5, 6fmptco 6040 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos  o.  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  ( A  x.  x )
) ) )
87eqcomd 2462 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  CC  |->  ( cos `  ( A  x.  x ) ) )  =  ( cos 
o.  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) )
98oveq2d 6286 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  ( A  x.  x )
) ) )  =  ( CC  _D  ( cos  o.  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) ) )
10 cnelprrecn 9574 . . . . 5  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
12 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) )
131, 12fmptd 6031 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) : CC --> CC )
14 dvcos 22550 . . . . . . 7  |-  ( CC 
_D  cos )  =  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  x ) )
1514dmeqi 5193 . . . . . 6  |-  dom  ( CC  _D  cos )  =  dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  x
) )
16 dmmptg 5487 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  CC  -u ( sin `  x )  e.  CC  ->  dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  x ) )  =  CC )
17 sincl 13943 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
1817negcld 9909 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  -u ( sin `  x )  e.  CC )
1916, 18mprg 2817 . . . . . 6  |-  dom  (
x  e.  CC  |->  -u ( sin `  x ) )  =  CC
2015, 19eqtri 2483 . . . . 5  |-  dom  ( CC  _D  cos )  =  CC
2120a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( CC  _D  cos )  =  CC )
22 simpl 455 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
23 0red 9586 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  0  e.  RR )
24 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  A  e.  CC )
2511, 24dvmptc 22527 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  A ) )  =  ( x  e.  CC  |->  0 ) )
26 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
27 1red 9600 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  1  e.  RR )
2811dvmptid 22526 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 ) )
2911, 22, 23, 25, 26, 27, 28dvmptmul 22530 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( 0  x.  x )  +  ( 1  x.  A
) ) ) )
3029dmeqd 5194 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) )  =  dom  ( x  e.  CC  |->  ( ( 0  x.  x )  +  ( 1  x.  A ) ) ) )
31 dmmptg 5487 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  CC  (
( 0  x.  x
)  +  ( 1  x.  A ) )  e.  _V  ->  dom  ( x  e.  CC  |->  ( ( 0  x.  x )  +  ( 1  x.  A ) ) )  =  CC )
32 ovex 6298 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  x.  x )  +  ( 1  x.  A ) )  e. 
_V
3332a1i 11 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( 0  x.  x
)  +  ( 1  x.  A ) )  e.  _V )
3431, 33mprg 2817 . . . . 5  |-  dom  (
x  e.  CC  |->  ( ( 0  x.  x
)  +  ( 1  x.  A ) ) )  =  CC
3530, 34syl6eq 2511 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) )  =  CC )
3611, 11, 4, 13, 21, 35dvcof 22517 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( cos  o.  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x
) ) ) )  =  ( ( ( CC  _D  cos )  o.  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x
) ) )  oF  x.  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) ) )
37 dvcos 22550 . . . . . . 7  |-  ( CC 
_D  cos )  =  ( y  e.  CC  |->  -u ( sin `  y ) )
3837a1i 11 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  cos )  =  ( y  e.  CC  |->  -u ( sin `  y
) ) )
39 fveq2 5848 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( A  x.  x )  ->  ( sin `  y )  =  ( sin `  ( A  x.  x )
) )
4039negeqd 9805 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( A  x.  x )  ->  -u ( sin `  y )  = 
-u ( sin `  ( A  x.  x )
) )
411, 2, 38, 40fmptco 6040 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( CC  _D  cos )  o.  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) ) )
4241oveq1d 6285 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( CC  _D  cos )  o.  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) )  oF  x.  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x
) ) ) )  =  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) )  oF  x.  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) ) )
43 cnex 9562 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
4443mptex 6118 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) )  e.  _V
45 ovex 6298 . . . . . 6  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) )  e.  _V
46 offval3 6767 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) )  e.  _V  /\  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) )  oF  x.  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) )  =  ( y  e.  ( dom  (
x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) )  i^i  dom  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) )  |->  ( ( ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) ) `  y )  x.  ( ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) `
 y ) ) ) )
4744, 45, 46mp2an 670 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) )  oF  x.  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) )  =  ( y  e.  ( dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) )  i^i  dom  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) )  |->  ( ( ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) ) `  y
)  x.  ( ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) `  y ) ) )
4847a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) )  oF  x.  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x
) ) ) )  =  ( y  e.  ( dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) )  i^i  dom  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x
) ) ) ) 
|->  ( ( ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) ) `
 y )  x.  ( ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x
) ) ) `  y ) ) ) )
491sincld 13947 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( sin `  ( A  x.  x )
)  e.  CC )
5049negcld 9909 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  -> 
-u ( sin `  ( A  x.  x )
)  e.  CC )
5150ralrimiva 2868 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  A. x  e.  CC  -u ( sin `  ( A  x.  x )
)  e.  CC )
52 dmmptg 5487 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  CC  -u ( sin `  ( A  x.  x ) )  e.  CC  ->  dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) )  =  CC )
5351, 52syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) )  =  CC )
5453, 35ineq12d 3687 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) )  i^i  dom  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) )  =  ( CC  i^i  CC ) )
55 inidm 3693 . . . . . 6  |-  ( CC 
i^i  CC )  =  CC
5654, 55syl6eq 2511 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) )  i^i  dom  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) )  =  CC )
57 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) )  i^i  dom  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) ) )  ->  y  e.  ( dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) )  i^i  dom  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) ) )
5856adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) )  i^i  dom  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) ) )  ->  ( dom  (
x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) )  i^i  dom  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) )  =  CC )
5957, 58eleqtrd 2544 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) )  i^i  dom  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) ) )  ->  y  e.  CC )
60 eqidd 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  CC  ->  (
x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) ) )
61 oveq2 6278 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  y ) )
6261fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( sin `  ( A  x.  x ) )  =  ( sin `  ( A  x.  y )
) )
6362negeqd 9805 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) )  = 
-u ( sin `  ( A  x.  y )
) )
6463adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  =  y )  -> 
-u ( sin `  ( A  x.  x )
)  =  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) )
65 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  CC  ->  y  e.  CC )
66 negex 9809 . . . . . . . . . . 11  |-  -u ( sin `  ( A  x.  y ) )  e. 
_V
6766a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  CC  ->  -u ( sin `  ( A  x.  y ) )  e. 
_V )
6860, 64, 65, 67fvmptd 5936 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) ) `  y
)  =  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) )
6968adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) ) `  y
)  =  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) )
7029adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( 0  x.  x
)  +  ( 1  x.  A ) ) ) )
71 oveq2 6278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
0  x.  x )  =  ( 0  x.  y ) )
7271oveq1d 6285 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( 0  x.  x
)  +  ( 1  x.  A ) )  =  ( ( 0  x.  y )  +  ( 1  x.  A
) ) )
73 mul02 9747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  CC  ->  (
0  x.  y )  =  0 )
74 mulid2 9583 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  x.  A )  =  A )
7573, 74oveqan12rd 6290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( 0  x.  y )  +  ( 1  x.  A ) )  =  ( 0  +  A ) )
76 addid2 9752 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  +  A )  =  A )
7776adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 0  +  A
)  =  A )
7875, 77eqtrd 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( 0  x.  y )  +  ( 1  x.  A ) )  =  A )
7972, 78sylan9eqr 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  x  =  y )  ->  ( (
0  x.  x )  +  ( 1  x.  A ) )  =  A )
80 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  y  e.  CC )
81 simpl 455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
8270, 79, 80, 81fvmptd 5936 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x
) ) ) `  y )  =  A )
8369, 82oveq12d 6288 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) ) `
 y )  x.  ( ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x
) ) ) `  y ) )  =  ( -u ( sin `  ( A  x.  y
) )  x.  A
) )
84 mulcl 9565 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( A  x.  y
)  e.  CC )
8584sincld 13947 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( sin `  ( A  x.  y )
)  e.  CC )
8685negcld 9909 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  -> 
-u ( sin `  ( A  x.  y )
)  e.  CC )
8786, 81mulcomd 9606 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( -u ( sin `  ( A  x.  y
) )  x.  A
)  =  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y )
) ) )
8883, 87eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) ) `
 y )  x.  ( ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x
) ) ) `  y ) )  =  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) )
8959, 88syldan 468 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) )  i^i  dom  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) ) )  ->  ( ( ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) ) `  y )  x.  ( ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) `
 y ) )  =  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y )
) ) )
9056, 89mpteq12dva 4516 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
y  e.  ( dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) )  i^i  dom  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) )  |->  ( ( ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) ) `  y
)  x.  ( ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) `  y ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) ) )
9142, 48, 903eqtrd 2499 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( CC  _D  cos )  o.  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) )  oF  x.  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x
) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y )
) ) ) )
929, 36, 913eqtrd 2499 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  ( A  x.  x )
) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) ) )
93 oveq2 6278 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  ( A  x.  y )  =  ( A  x.  x ) )
9493fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  ( sin `  ( A  x.  y ) )  =  ( sin `  ( A  x.  x )
) )
9594negeqd 9805 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  -u ( sin `  ( A  x.  y ) )  = 
-u ( sin `  ( A  x.  x )
) )
9695oveq2d 6286 . . 3  |-  ( y  =  x  ->  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y
) ) )  =  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) ) )
9796cbvmptv 4530 . 2  |-  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y )
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) ) )
9892, 97syl6eq 2511 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  ( A  x.  x )
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   _Vcvv 3106    i^i cin 3460   {cpr 4018    |-> cmpt 4497   dom cdm 4988    o. ccom 4992   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    oFcof 6511   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486   -ucneg 9797   sincsin 13881   cosccos 13882    _D cdv 22433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12982  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-ef 13885  df-sin 13887  df-cos 13888  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-haus 19983  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cncf 21548  df-limc 22436  df-dv 22437
This theorem is referenced by:  itgsincmulx  32012
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