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Theorem dvcosax 31579
Description: Derivative exercise: the derivative with respect to x of cos(Ax), given a constant  A. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
dvcosax  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  ( A  x.  x )
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) ) ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem dvcosax
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulcl 9588 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( A  x.  x
)  e.  CC )
2 eqidd 2468 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) )
3 cosf 13738 . . . . . . . 8  |-  cos : CC
--> CC
43a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  cos : CC --> CC )
54feqmptd 5927 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  cos  =  ( y  e.  CC  |->  ( cos `  y
) ) )
6 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( A  x.  x )  ->  ( cos `  y )  =  ( cos `  ( A  x.  x )
) )
71, 2, 5, 6fmptco 6065 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos  o.  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  ( A  x.  x )
) ) )
87eqcomd 2475 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  CC  |->  ( cos `  ( A  x.  x ) ) )  =  ( cos 
o.  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) )
98oveq2d 6311 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  ( A  x.  x )
) ) )  =  ( CC  _D  ( cos  o.  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) ) )
10 cnelprrecn 9597 . . . . 5  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
121ralrimiva 2881 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  A. x  e.  CC  ( A  x.  x )  e.  CC )
13 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) )
1413fmpt 6053 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  CC  ( A  x.  x )  e.  CC  <->  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) : CC --> CC )
1512, 14sylib 196 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) : CC --> CC )
16 dvcos 22252 . . . . . . 7  |-  ( CC 
_D  cos )  =  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  x ) )
1716dmeqi 5210 . . . . . 6  |-  dom  ( CC  _D  cos )  =  dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  x
) )
18 sincl 13739 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
1918negcld 9929 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  -u ( sin `  x )  e.  CC )
2019rgen 2827 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  CC  -u ( sin `  x
)  e.  CC
21 dmmptg 5510 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  CC  -u ( sin `  x )  e.  CC  ->  dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  x ) )  =  CC )
2220, 21ax-mp 5 . . . . . 6  |-  dom  (
x  e.  CC  |->  -u ( sin `  x ) )  =  CC
2317, 22eqtri 2496 . . . . 5  |-  dom  ( CC  _D  cos )  =  CC
2423a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( CC  _D  cos )  =  CC )
25 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
26 0red 9609 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  0  e.  RR )
27 cnopn 31341 . . . . . . . . . 10  |-  CC  e.  ( TopOpen ` fld )
28 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2928cnfldtop 21159 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
30 unicntop 31336 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
3130restid 14706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
3229, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
3332eqcomi 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
3427, 33eleqtri 2553 . . . . . . . . 9  |-  CC  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
3534a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  CC  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  CC ) )
36 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  A  e.  CC )
3711, 35, 36dvmptconst 31566 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  A ) )  =  ( x  e.  CC  |->  0 ) )
38 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
39 1red 9623 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  1  e.  RR )
4011dvmptid 22228 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 ) )
4111, 25, 26, 37, 38, 39, 40dvmptmul 22232 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( 0  x.  x )  +  ( 1  x.  A
) ) ) )
4241dmeqd 5211 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) )  =  dom  ( x  e.  CC  |->  ( ( 0  x.  x )  +  ( 1  x.  A ) ) ) )
43 ovex 6320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  x.  x )  +  ( 1  x.  A ) )  e. 
_V
4443a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( 0  x.  x
)  +  ( 1  x.  A ) )  e.  _V )
4544rgen 2827 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  CC  ( ( 0  x.  x )  +  ( 1  x.  A
) )  e.  _V
46 dmmptg 5510 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  CC  (
( 0  x.  x
)  +  ( 1  x.  A ) )  e.  _V  ->  dom  ( x  e.  CC  |->  ( ( 0  x.  x )  +  ( 1  x.  A ) ) )  =  CC )
4745, 46ax-mp 5 . . . . . 6  |-  dom  (
x  e.  CC  |->  ( ( 0  x.  x
)  +  ( 1  x.  A ) ) )  =  CC
4847a1i 11 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( x  e.  CC  |->  ( ( 0  x.  x )  +  ( 1  x.  A ) ) )  =  CC )
4942, 48eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) )  =  CC )
5011, 11, 4, 15, 24, 49dvcof 22219 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( cos  o.  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x
) ) ) )  =  ( ( ( CC  _D  cos )  o.  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x
) ) )  oF  x.  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) ) )
51 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( sin `  x )  =  ( sin `  y
) )
5251negeqd 9826 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  -u ( sin `  x )  = 
-u ( sin `  y
) )
5352cbvmptv 4544 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  x ) )  =  ( y  e.  CC  |->  -u ( sin `  y
) )
5416, 53eqtri 2496 . . . . . . 7  |-  ( CC 
_D  cos )  =  ( y  e.  CC  |->  -u ( sin `  y ) )
5554a1i 11 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  cos )  =  ( y  e.  CC  |->  -u ( sin `  y
) ) )
56 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( A  x.  x )  ->  ( sin `  y )  =  ( sin `  ( A  x.  x )
) )
5756negeqd 9826 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( A  x.  x )  ->  -u ( sin `  y )  = 
-u ( sin `  ( A  x.  x )
) )
581, 2, 55, 57fmptco 6065 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( CC  _D  cos )  o.  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) ) )
5958oveq1d 6310 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( CC  _D  cos )  o.  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) )  oF  x.  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x
) ) ) )  =  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) )  oF  x.  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) ) )
6010elexi 3128 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
61 mptexg 6141 . . . . . . 7  |-  ( CC  e.  _V  ->  (
x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) )  e.  _V )
6260, 61ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) )  e.  _V
63 ovex 6320 . . . . . 6  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) )  e.  _V
64 offval3 6789 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) )  e.  _V  /\  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) )  oF  x.  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) )  =  ( y  e.  ( dom  (
x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) )  i^i  dom  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) )  |->  ( ( ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) ) `  y )  x.  ( ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) `
 y ) ) ) )
6562, 63, 64mp2an 672 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) )  oF  x.  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) )  =  ( y  e.  ( dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) )  i^i  dom  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) )  |->  ( ( ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) ) `  y
)  x.  ( ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) `  y ) ) )
6665a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) )  oF  x.  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x
) ) ) )  =  ( y  e.  ( dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) )  i^i  dom  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x
) ) ) ) 
|->  ( ( ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) ) `
 y )  x.  ( ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x
) ) ) `  y ) ) ) )
67 sincl 13739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  x.  x )  e.  CC  ->  ( sin `  ( A  x.  x ) )  e.  CC )
681, 67syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( sin `  ( A  x.  x )
)  e.  CC )
69 negcl 9832 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sin `  ( A  x.  x ) )  e.  CC  ->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) )  e.  CC )
7068, 69syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  -> 
-u ( sin `  ( A  x.  x )
)  e.  CC )
7170ralrimiva 2881 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  A. x  e.  CC  -u ( sin `  ( A  x.  x )
)  e.  CC )
72 dmmptg 5510 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  CC  -u ( sin `  ( A  x.  x ) )  e.  CC  ->  dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) )  =  CC )
7371, 72syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) )  =  CC )
7473, 49ineq12d 3706 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) )  i^i  dom  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) )  =  ( CC  i^i  CC ) )
75 inidm 3712 . . . . . . 7  |-  ( CC 
i^i  CC )  =  CC
7675a1i 11 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  i^i  CC )  =  CC )
7774, 76eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) )  i^i  dom  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) )  =  CC )
78 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) )  i^i  dom  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) ) )  ->  A  e.  CC )
79 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) )  i^i  dom  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) ) )  ->  y  e.  ( dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) )  i^i  dom  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) ) )
8078, 77syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) )  i^i  dom  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) ) )  ->  ( dom  (
x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) )  i^i  dom  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) )  =  CC )
8179, 80eleqtrd 2557 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) )  i^i  dom  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) ) )  ->  y  e.  CC )
82 eqidd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  CC  ->  (
x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) ) )
83 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  y ) )
8483fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( sin `  ( A  x.  x ) )  =  ( sin `  ( A  x.  y )
) )
8584negeqd 9826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) )  = 
-u ( sin `  ( A  x.  y )
) )
8685adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  =  y )  -> 
-u ( sin `  ( A  x.  x )
)  =  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) )
87 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  CC  ->  y  e.  CC )
88 negex 9830 . . . . . . . . . . 11  |-  -u ( sin `  ( A  x.  y ) )  e. 
_V
8988a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  CC  ->  -u ( sin `  ( A  x.  y ) )  e. 
_V )
9082, 86, 87, 89fvmptd 5962 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) ) `  y
)  =  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) )
9190adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) ) `  y
)  =  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) )
9241adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( 0  x.  x
)  +  ( 1  x.  A ) ) ) )
93 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
0  x.  x )  =  ( 0  x.  y ) )
9493oveq1d 6310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( 0  x.  x
)  +  ( 1  x.  A ) )  =  ( ( 0  x.  y )  +  ( 1  x.  A
) ) )
9594adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  x  =  y )  ->  ( (
0  x.  x )  +  ( 1  x.  A ) )  =  ( ( 0  x.  y )  +  ( 1  x.  A ) ) )
96 mul02 9769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  CC  ->  (
0  x.  y )  =  0 )
9796adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 0  x.  y
)  =  0 )
98 mulid2 9606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  x.  A )  =  A )
9998adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 1  x.  A
)  =  A )
10097, 99oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( 0  x.  y )  +  ( 1  x.  A ) )  =  ( 0  +  A ) )
101 addid2 9774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  +  A )  =  A )
102101adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 0  +  A
)  =  A )
103100, 102eqtrd 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( 0  x.  y )  +  ( 1  x.  A ) )  =  A )
104103adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  x  =  y )  ->  ( (
0  x.  y )  +  ( 1  x.  A ) )  =  A )
10595, 104eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  x  =  y )  ->  ( (
0  x.  x )  +  ( 1  x.  A ) )  =  A )
106 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  y  e.  CC )
107 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
10892, 105, 106, 107fvmptd 5962 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x
) ) ) `  y )  =  A )
10991, 108oveq12d 6313 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) ) `
 y )  x.  ( ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x
) ) ) `  y ) )  =  ( -u ( sin `  ( A  x.  y
) )  x.  A
) )
110 mulcl 9588 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( A  x.  y
)  e.  CC )
111 sincl 13739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  x.  y )  e.  CC  ->  ( sin `  ( A  x.  y ) )  e.  CC )
112110, 111syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( sin `  ( A  x.  y )
)  e.  CC )
113 negcl 9832 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sin `  ( A  x.  y ) )  e.  CC  ->  -u ( sin `  ( A  x.  y ) )  e.  CC )
114112, 113syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  -> 
-u ( sin `  ( A  x.  y )
)  e.  CC )
115114, 107mulcomd 9629 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( -u ( sin `  ( A  x.  y
) )  x.  A
)  =  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y )
) ) )
116109, 115eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) ) `
 y )  x.  ( ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x
) ) ) `  y ) )  =  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) )
11778, 81, 116syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) )  i^i  dom  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) ) )  ->  ( ( ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) ) `  y )  x.  ( ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) `
 y ) )  =  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y )
) ) )
11877, 117mpteq12dva 4530 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
y  e.  ( dom  ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) )  i^i  dom  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) )  |->  ( ( ( x  e.  CC  |->  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) ) `  y
)  x.  ( ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) ) `  y ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) ) )
11959, 66, 1183eqtrd 2512 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( CC  _D  cos )  o.  (
x  e.  CC  |->  ( A  x.  x ) ) )  oF  x.  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x
) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y )
) ) ) )
1209, 50, 1193eqtrd 2512 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  ( A  x.  x )
) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) ) )
121 oveq2 6303 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  ( A  x.  y )  =  ( A  x.  x ) )
122121fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  ( sin `  ( A  x.  y ) )  =  ( sin `  ( A  x.  x )
) )
123122negeqd 9826 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  -u ( sin `  ( A  x.  y ) )  = 
-u ( sin `  ( A  x.  x )
) )
124123oveq2d 6311 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y
) ) )  =  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) ) )
125124cbvmptv 4544 . . 3  |-  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y )
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) ) )
126125a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  x )
) ) ) )
127120, 126eqtrd 2508 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  ( A  x.  x )
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  x ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   _Vcvv 3118    i^i cin 3480   {cpr 4035    |-> cmpt 4511   dom cdm 5005    o. ccom 5009   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    oFcof 6533   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509   -ucneg 9818   sincsin 13678   cosccos 13679   ↾t crest 14693   TopOpenctopn 14694  ℂfldccnfld 18290   Topctop 19263    _D cdv 22135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12880  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-ef 13682  df-sin 13684  df-cos 13685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-limc 22138  df-dv 22139
This theorem is referenced by:  itgsincmulx  31615
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