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Theorem dvconstbi 31401
Description: The derivative of a function on  S is zero iff it is a constant function. Roughly a biconditional  S analog of dvconst 22445 and dveq0 22526. Corresponds to integration formula " S. 0  _d x  =  C " in section 4.1 of [LarsonHostetlerEdwards] p. 278. (Contributed by Steve Rodriguez, 11-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvconstbi.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvconstbi.y  |-  ( ph  ->  Y : S --> CC )
dvconstbi.dy  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  Y )  =  S )
Assertion
Ref Expression
dvconstbi  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  <->  E. c  e.  CC  Y  =  ( S  X.  { c } ) ) )
Distinct variable groups:    S, c    Y, c
Allowed substitution hint:    ph( c)

Proof of Theorem dvconstbi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvconstbi.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y : S --> CC )
2 dvconstbi.s . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
3 elpri 4052 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  =  RR  \/  S  =  CC ) )
42, 3syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  =  RR  \/  S  =  CC ) )
5 0re 9613 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
6 eleq2 2530 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  =  RR  ->  (
0  e.  S  <->  0  e.  RR ) )
75, 6mpbiri 233 . . . . . . . . 9  |-  ( S  =  RR  ->  0  e.  S )
8 0cn 9605 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  CC
9 eleq2 2530 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  =  CC  ->  (
0  e.  S  <->  0  e.  CC ) )
108, 9mpbiri 233 . . . . . . . . 9  |-  ( S  =  CC  ->  0  e.  S )
117, 10jaoi 379 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  =  RR  \/  S  =  CC )  ->  0  e.  S )
124, 11syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  S )
13 ffvelrn 6030 . . . . . . 7  |-  ( ( Y : S --> CC  /\  0  e.  S )  ->  ( Y `  0
)  e.  CC )
141, 12, 13syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y `  0
)  e.  CC )
1514adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  -> 
( Y `  0
)  e.  CC )
16 ffn 5737 . . . . . . . 8  |-  ( Y : S --> CC  ->  Y  Fn  S )
171, 16syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  Fn  S )
1817adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  ->  Y  Fn  S )
19 fvex 5882 . . . . . . 7  |-  ( Y `
 0 )  e. 
_V
20 fnconstg 5779 . . . . . . 7  |-  ( ( Y `  0 )  e.  _V  ->  ( S  X.  { ( Y `
 0 ) } )  Fn  S )
2119, 20mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  -> 
( S  X.  {
( Y `  0
) } )  Fn  S )
2219fvconst2 6128 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  S  ->  (
( S  X.  {
( Y `  0
) } ) `  y )  =  ( Y `  0 ) )
2322adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  {
0 } ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( ( S  X.  { ( Y `
 0 ) } ) `  y )  =  ( Y ` 
0 ) )
24 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) )
252, 24sblpnf 31352 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  0  e.  S )  ->  (
0 ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) ) +oo )  =  S )
2612, 25mpdan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) ) +oo )  =  S )
2726eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( 0 ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) ) +oo ) 
<->  y  e.  S ) )
2827biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  ( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) ) +oo ) )
2912, 26eleqtrrd 2548 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) ) +oo ) )
302adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
31 ssid 3518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  S  C_  S
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  ->  S  C_  S )
331adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  ->  Y : S --> CC )
3412adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  -> 
0  e.  S )
35 pnfxr 11346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |- +oo  e.  RR*
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  -> +oo  e.  RR* )
37 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0 ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) ) +oo )  =  ( 0 ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) ) +oo )
3826adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  -> 
( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) ) +oo )  =  S )
39 dvconstbi.dy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  Y )  =  S )
4039adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  ->  dom  ( S  _D  Y
)  =  S )
4138, 40eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  -> 
( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) ) +oo )  =  dom  ( S  _D  Y ) )
42 eqimss 3551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0 ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) ) +oo )  =  dom  ( S  _D  Y )  -> 
( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) ) +oo )  C_  dom  ( S  _D  Y
) )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  -> 
( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) ) +oo )  C_  dom  ( S  _D  Y
) )
445a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  -> 
0  e.  RR )
4526eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) ) +oo ) 
<->  x  e.  S ) )
4645biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) ) +oo ) )  ->  x  e.  S
)
47463adant2 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  x  e.  ( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) ) +oo ) )  ->  x  e.  S
)
48 fveq1 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  ->  ( ( S  _D  Y ) `  x )  =  ( ( S  X.  {
0 } ) `  x ) )
49 c0ex 9607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  0  e.  _V
5049fvconst2 6128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  e.  S  ->  (
( S  X.  {
0 } ) `  x )  =  0 )
5148, 50sylan9eq 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( S  _D  Y
)  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  x  e.  S )  ->  (
( S  _D  Y
) `  x )  =  0 )
5251, 8syl6eqel 2553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( S  _D  Y
)  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  x  e.  S )  ->  (
( S  _D  Y
) `  x )  e.  CC )
5352abscld 13278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( S  _D  Y
)  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  x  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( S  _D  Y ) `  x ) )  e.  RR )
5451abs00bd 13135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( S  _D  Y
)  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  x  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( S  _D  Y ) `  x ) )  =  0 )
55 eqle 9704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( abs `  (
( S  _D  Y
) `  x )
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( S  _D  Y ) `
 x ) )  =  0 )  -> 
( abs `  (
( S  _D  Y
) `  x )
)  <_  0 )
5653, 54, 55syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( S  _D  Y
)  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  x  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( S  _D  Y ) `  x ) )  <_ 
0 )
57563adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  x  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( S  _D  Y ) `  x ) )  <_ 
0 )
5847, 57syld3an3 1273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  x  e.  ( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) ) +oo ) )  ->  ( abs `  (
( S  _D  Y
) `  x )
)  <_  0 )
59583expa 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  {
0 } ) )  /\  x  e.  ( 0 ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) ) +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( S  _D  Y ) `  x ) )  <_ 
0 )
6030, 24, 32, 33, 34, 36, 37, 43, 44, 59dvlip2 22521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  {
0 } ) )  /\  ( 0  e.  ( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) ) +oo )  /\  y  e.  ( 0 ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) ) +oo ) ) )  -> 
( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  <_  ( 0  x.  ( abs `  (
0  -  y ) ) ) )
6129, 60sylanr1 652 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  {
0 } ) )  /\  ( ph  /\  y  e.  ( 0 ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) ) +oo ) ) )  -> 
( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  <_  ( 0  x.  ( abs `  (
0  -  y ) ) ) )
62613impdi 1283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  ( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) ) +oo ) )  ->  ( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  <_  ( 0  x.  ( abs `  (
0  -  y ) ) ) )
6328, 62syl3an3 1263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  ( ph  /\  y  e.  S
) )  ->  ( abs `  ( ( Y `
 0 )  -  ( Y `  y ) ) )  <_  (
0  x.  ( abs `  ( 0  -  y
) ) ) )
64633expa 1196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  {
0 } ) )  /\  ( ph  /\  y  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( ( Y ` 
0 )  -  ( Y `  y )
) )  <_  (
0  x.  ( abs `  ( 0  -  y
) ) ) )
65643impdi 1283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( Y `
 0 )  -  ( Y `  y ) ) )  <_  (
0  x.  ( abs `  ( 0  -  y
) ) ) )
66 recnprss 22433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
672, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
6867sseld 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( y  e.  S  ->  y  e.  CC ) )
69 subcl 9838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 0  -  y
)  e.  CC )
7069abscld 13278 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( abs `  (
0  -  y ) )  e.  RR )
718, 70mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  CC  ->  ( abs `  ( 0  -  y ) )  e.  RR )
7268, 71syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( y  e.  S  ->  ( abs `  (
0  -  y ) )  e.  RR ) )
7372imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( 0  -  y ) )  e.  RR )
7473recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( 0  -  y ) )  e.  CC )
7574mul02d 9795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
0  x.  ( abs `  ( 0  -  y
) ) )  =  0 )
76753adant2 1015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  S )  ->  (
0  x.  ( abs `  ( 0  -  y
) ) )  =  0 )
7765, 76breqtrd 4480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( Y `
 0 )  -  ( Y `  y ) ) )  <_  0
)
78 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Y : S --> CC  /\  y  e.  S )  ->  ( Y `  y
)  e.  CC )
7913, 78anim12dan 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Y : S --> CC  /\  ( 0  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( Y `  0
)  e.  CC  /\  ( Y `  y )  e.  CC ) )
801, 79sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( 0  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( Y ` 
0 )  e.  CC  /\  ( Y `  y
)  e.  CC ) )
81803impb 1192 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  0  e.  S  /\  y  e.  S
)  ->  ( ( Y `  0 )  e.  CC  /\  ( Y `
 y )  e.  CC ) )
8212, 81syl3an2 1262 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( Y `  0
)  e.  CC  /\  ( Y `  y )  e.  CC ) )
83823anidm12 1285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( Y `  0
)  e.  CC  /\  ( Y `  y )  e.  CC ) )
84 subcl 9838 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Y `  0
)  e.  CC  /\  ( Y `  y )  e.  CC )  -> 
( ( Y ` 
0 )  -  ( Y `  y )
)  e.  CC )
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) )  e.  CC )
8685absge0d 13286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  0  <_  ( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) ) )
87863adant2 1015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  S )  ->  0  <_  ( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) ) )
8885abscld 13278 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( Y `
 0 )  -  ( Y `  y ) ) )  e.  RR )
89 letri3 9687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  =  0  <->  (
( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  <_  0  /\  0  <_  ( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) ) ) ) )
9088, 5, 89sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  =  0  <->  (
( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  <_  0  /\  0  <_  ( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) ) ) ) )
91903adant2 1015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  =  0  <->  (
( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  <_  0  /\  0  <_  ( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) ) ) ) )
9277, 87, 91mpbir2and 922 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( Y `
 0 )  -  ( Y `  y ) ) )  =  0 )
9385abs00ad 13134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  =  0  <->  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) )  =  0 ) )
94933adant2 1015 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  =  0  <->  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) )  =  0 ) )
9592, 94mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  S )  ->  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) )  =  0 )
96 subeq0 9864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Y `  0
)  e.  CC  /\  ( Y `  y )  e.  CC )  -> 
( ( ( Y `
 0 )  -  ( Y `  y ) )  =  0  <->  ( Y `  0 )  =  ( Y `  y ) ) )
9783, 96syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( Y ` 
0 )  -  ( Y `  y )
)  =  0  <->  ( Y `  0 )  =  ( Y `  y ) ) )
98973adant2 1015 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( Y ` 
0 )  -  ( Y `  y )
)  =  0  <->  ( Y `  0 )  =  ( Y `  y ) ) )
9995, 98mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  S )  ->  ( Y `  0 )  =  ( Y `  y ) )
100993expa 1196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  {
0 } ) )  /\  y  e.  S
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) )
10123, 100eqtr2d 2499 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  {
0 } ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( Y `  y )  =  ( ( S  X.  {
( Y `  0
) } ) `  y ) )
10218, 21, 101eqfnfvd 5985 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  ->  Y  =  ( S  X.  { ( Y ` 
0 ) } ) )
103 sneq 4042 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( Y ` 
0 )  ->  { x }  =  { ( Y `  0 ) } )
104103xpeq2d 5032 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( Y ` 
0 )  ->  ( S  X.  { x }
)  =  ( S  X.  { ( Y `
 0 ) } ) )
105104eqeq2d 2471 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( Y ` 
0 )  ->  ( Y  =  ( S  X.  { x } )  <-> 
Y  =  ( S  X.  { ( Y `
 0 ) } ) ) )
106105rspcev 3210 . . . . 5  |-  ( ( ( Y `  0
)  e.  CC  /\  Y  =  ( S  X.  { ( Y ` 
0 ) } ) )  ->  E. x  e.  CC  Y  =  ( S  X.  { x } ) )
10715, 102, 106syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  ->  E. x  e.  CC  Y  =  ( S  X.  { x } ) )
108107ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  ->  E. x  e.  CC  Y  =  ( S  X.  { x } ) ) )
109 oveq2 6304 . . . . . 6  |-  ( Y  =  ( S  X.  { x } )  ->  ( S  _D  Y )  =  ( S  _D  ( S  X.  { x }
) ) )
1101093ad2ant3 1019 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  Y  =  ( S  X.  { x } ) )  -> 
( S  _D  Y
)  =  ( S  _D  ( S  X.  { x } ) ) )
111 dvsconst 31397 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  x  e.  CC )  ->  ( S  _D  ( S  X.  { x } ) )  =  ( S  X.  { 0 } ) )
1122, 111sylan 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( S  _D  ( S  X.  { x } ) )  =  ( S  X.  { 0 } ) )
1131123adant3 1016 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  Y  =  ( S  X.  { x } ) )  -> 
( S  _D  ( S  X.  { x }
) )  =  ( S  X.  { 0 } ) )
114110, 113eqtrd 2498 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  Y  =  ( S  X.  { x } ) )  -> 
( S  _D  Y
)  =  ( S  X.  { 0 } ) )
115114rexlimdv3a 2951 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  CC  Y  =  ( S  X.  { x } )  ->  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  {
0 } ) ) )
116108, 115impbid 191 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  <->  E. x  e.  CC  Y  =  ( S  X.  { x } ) ) )
117 sneq 4042 . . . . 5  |-  ( c  =  x  ->  { c }  =  { x } )
118117xpeq2d 5032 . . . 4  |-  ( c  =  x  ->  ( S  X.  { c } )  =  ( S  X.  { x }
) )
119118eqeq2d 2471 . . 3  |-  ( c  =  x  ->  ( Y  =  ( S  X.  { c } )  <-> 
Y  =  ( S  X.  { x }
) ) )
120119cbvrexv 3085 . 2  |-  ( E. c  e.  CC  Y  =  ( S  X.  { c } )  <->  E. x  e.  CC  Y  =  ( S  X.  { x } ) )
121116, 120syl6bbr 263 1  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  <->  E. c  e.  CC  Y  =  ( S  X.  { c } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   {csn 4032   {cpr 4034   class class class wbr 4456    X. cxp 5006   dom cdm 5008    |` cres 5010    o. ccom 5012    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509    x. cmul 9514   +oocpnf 9642   RR*cxr 9644    <_ cle 9646    - cmin 9824   abscabs 13078   ballcbl 18531    _D cdv 22392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-fbas 18542  df-fg 18543  df-cnfld 18547  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648  df-nei 19725  df-lp 19763  df-perf 19764  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-haus 19942  df-cmp 20013  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-fil 20472  df-fm 20564  df-flim 20565  df-flf 20566  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950  df-cncf 21507  df-limc 22395  df-dv 22396
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