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Theorem dvconstbi 30839
Description: The derivative of a function on  S is zero iff it is a constant function. Roughly a biconditional  S analog of dvconst 22055 and dveq0 22136. Corresponds to integration formula " S. 0  _d x  =  C " in section 4.1 of [LarsonHostetlerEdwards] p. 278. (Contributed by Steve Rodriguez, 11-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvconstbi.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvconstbi.y  |-  ( ph  ->  Y : S --> CC )
dvconstbi.dy  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  Y )  =  S )
Assertion
Ref Expression
dvconstbi  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  <->  E. c  e.  CC  Y  =  ( S  X.  { c } ) ) )
Distinct variable groups:    S, c    Y, c
Allowed substitution hint:    ph( c)

Proof of Theorem dvconstbi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvconstbi.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y : S --> CC )
2 dvconstbi.s . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
3 elpri 4047 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  =  RR  \/  S  =  CC ) )
42, 3syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  =  RR  \/  S  =  CC ) )
5 0re 9592 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
6 eleq2 2540 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  =  RR  ->  (
0  e.  S  <->  0  e.  RR ) )
75, 6mpbiri 233 . . . . . . . . 9  |-  ( S  =  RR  ->  0  e.  S )
8 0cn 9584 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  CC
9 eleq2 2540 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  =  CC  ->  (
0  e.  S  <->  0  e.  CC ) )
108, 9mpbiri 233 . . . . . . . . 9  |-  ( S  =  CC  ->  0  e.  S )
117, 10jaoi 379 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  =  RR  \/  S  =  CC )  ->  0  e.  S )
124, 11syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  S )
13 ffvelrn 6017 . . . . . . 7  |-  ( ( Y : S --> CC  /\  0  e.  S )  ->  ( Y `  0
)  e.  CC )
141, 12, 13syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y `  0
)  e.  CC )
1514adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  -> 
( Y `  0
)  e.  CC )
16 ffn 5729 . . . . . . . 8  |-  ( Y : S --> CC  ->  Y  Fn  S )
171, 16syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  Fn  S )
1817adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  ->  Y  Fn  S )
19 fvex 5874 . . . . . . 7  |-  ( Y `
 0 )  e. 
_V
20 fnconstg 5771 . . . . . . 7  |-  ( ( Y `  0 )  e.  _V  ->  ( S  X.  { ( Y `
 0 ) } )  Fn  S )
2119, 20mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  -> 
( S  X.  {
( Y `  0
) } )  Fn  S )
2219fvconst2 6114 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  S  ->  (
( S  X.  {
( Y `  0
) } ) `  y )  =  ( Y `  0 ) )
2322adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  {
0 } ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( ( S  X.  { ( Y `
 0 ) } ) `  y )  =  ( Y ` 
0 ) )
24 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) )
252, 24sblpnf 30793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  0  e.  S )  ->  (
0 ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) ) +oo )  =  S )
2612, 25mpdan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) ) +oo )  =  S )
2726eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( 0 ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) ) +oo ) 
<->  y  e.  S ) )
2827biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  ( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) ) +oo ) )
2912, 26eleqtrrd 2558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) ) +oo ) )
302adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
31 ssid 3523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  S  C_  S
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  ->  S  C_  S )
331adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  ->  Y : S --> CC )
3412adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  -> 
0  e.  S )
35 pnfxr 11317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |- +oo  e.  RR*
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  -> +oo  e.  RR* )
37 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0 ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) ) +oo )  =  ( 0 ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) ) +oo )
3826adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  -> 
( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) ) +oo )  =  S )
39 dvconstbi.dy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  Y )  =  S )
4039adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  ->  dom  ( S  _D  Y
)  =  S )
4138, 40eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  -> 
( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) ) +oo )  =  dom  ( S  _D  Y ) )
42 eqimss 3556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0 ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) ) +oo )  =  dom  ( S  _D  Y )  -> 
( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) ) +oo )  C_  dom  ( S  _D  Y
) )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  -> 
( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) ) +oo )  C_  dom  ( S  _D  Y
) )
445a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  -> 
0  e.  RR )
4526eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) ) +oo ) 
<->  x  e.  S ) )
4645biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) ) +oo ) )  ->  x  e.  S
)
47463adant2 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  x  e.  ( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) ) +oo ) )  ->  x  e.  S
)
48 fveq1 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  ->  ( ( S  _D  Y ) `  x )  =  ( ( S  X.  {
0 } ) `  x ) )
49 c0ex 9586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  0  e.  _V
5049fvconst2 6114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  e.  S  ->  (
( S  X.  {
0 } ) `  x )  =  0 )
5148, 50sylan9eq 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( S  _D  Y
)  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  x  e.  S )  ->  (
( S  _D  Y
) `  x )  =  0 )
5251, 8syl6eqel 2563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( S  _D  Y
)  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  x  e.  S )  ->  (
( S  _D  Y
) `  x )  e.  CC )
5352abscld 13226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( S  _D  Y
)  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  x  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( S  _D  Y ) `  x ) )  e.  RR )
5451abs00bd 13083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( S  _D  Y
)  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  x  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( S  _D  Y ) `  x ) )  =  0 )
55 eqle 9683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( abs `  (
( S  _D  Y
) `  x )
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( S  _D  Y ) `
 x ) )  =  0 )  -> 
( abs `  (
( S  _D  Y
) `  x )
)  <_  0 )
5653, 54, 55syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( S  _D  Y
)  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  x  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( S  _D  Y ) `  x ) )  <_ 
0 )
57563adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  x  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( S  _D  Y ) `  x ) )  <_ 
0 )
5847, 57syld3an3 1273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  x  e.  ( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) ) +oo ) )  ->  ( abs `  (
( S  _D  Y
) `  x )
)  <_  0 )
59583expa 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  {
0 } ) )  /\  x  e.  ( 0 ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) ) +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( S  _D  Y ) `  x ) )  <_ 
0 )
6030, 24, 32, 33, 34, 36, 37, 43, 44, 59dvlip2 22131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  {
0 } ) )  /\  ( 0  e.  ( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) ) +oo )  /\  y  e.  ( 0 ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) ) +oo ) ) )  -> 
( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  <_  ( 0  x.  ( abs `  (
0  -  y ) ) ) )
6129, 60sylanr1 652 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  {
0 } ) )  /\  ( ph  /\  y  e.  ( 0 ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) ) +oo ) ) )  -> 
( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  <_  ( 0  x.  ( abs `  (
0  -  y ) ) ) )
62613impdi 1283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  ( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) ) +oo ) )  ->  ( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  <_  ( 0  x.  ( abs `  (
0  -  y ) ) ) )
6328, 62syl3an3 1263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  ( ph  /\  y  e.  S
) )  ->  ( abs `  ( ( Y `
 0 )  -  ( Y `  y ) ) )  <_  (
0  x.  ( abs `  ( 0  -  y
) ) ) )
64633expa 1196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  {
0 } ) )  /\  ( ph  /\  y  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( ( Y ` 
0 )  -  ( Y `  y )
) )  <_  (
0  x.  ( abs `  ( 0  -  y
) ) ) )
65643impdi 1283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( Y `
 0 )  -  ( Y `  y ) ) )  <_  (
0  x.  ( abs `  ( 0  -  y
) ) ) )
66 recnprss 22043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
672, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
6867sseld 3503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( y  e.  S  ->  y  e.  CC ) )
69 subcl 9815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 0  -  y
)  e.  CC )
7069abscld 13226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( abs `  (
0  -  y ) )  e.  RR )
718, 70mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  CC  ->  ( abs `  ( 0  -  y ) )  e.  RR )
7268, 71syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( y  e.  S  ->  ( abs `  (
0  -  y ) )  e.  RR ) )
7372imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( 0  -  y ) )  e.  RR )
7473recnd 9618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( 0  -  y ) )  e.  CC )
7574mul02d 9773 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
0  x.  ( abs `  ( 0  -  y
) ) )  =  0 )
76753adant2 1015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  S )  ->  (
0  x.  ( abs `  ( 0  -  y
) ) )  =  0 )
7765, 76breqtrd 4471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( Y `
 0 )  -  ( Y `  y ) ) )  <_  0
)
78 ffvelrn 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Y : S --> CC  /\  y  e.  S )  ->  ( Y `  y
)  e.  CC )
7913, 78anim12dan 835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Y : S --> CC  /\  ( 0  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( Y `  0
)  e.  CC  /\  ( Y `  y )  e.  CC ) )
801, 79sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( 0  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( Y ` 
0 )  e.  CC  /\  ( Y `  y
)  e.  CC ) )
81803impb 1192 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  0  e.  S  /\  y  e.  S
)  ->  ( ( Y `  0 )  e.  CC  /\  ( Y `
 y )  e.  CC ) )
8212, 81syl3an2 1262 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( Y `  0
)  e.  CC  /\  ( Y `  y )  e.  CC ) )
83823anidm12 1285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( Y `  0
)  e.  CC  /\  ( Y `  y )  e.  CC ) )
84 subcl 9815 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Y `  0
)  e.  CC  /\  ( Y `  y )  e.  CC )  -> 
( ( Y ` 
0 )  -  ( Y `  y )
)  e.  CC )
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) )  e.  CC )
8685absge0d 13234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  0  <_  ( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) ) )
87863adant2 1015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  S )  ->  0  <_  ( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) ) )
8885abscld 13226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( Y `
 0 )  -  ( Y `  y ) ) )  e.  RR )
89 letri3 9666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  =  0  <->  (
( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  <_  0  /\  0  <_  ( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) ) ) ) )
9088, 5, 89sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  =  0  <->  (
( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  <_  0  /\  0  <_  ( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) ) ) ) )
91903adant2 1015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  =  0  <->  (
( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  <_  0  /\  0  <_  ( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) ) ) ) )
9277, 87, 91mpbir2and 920 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( Y `
 0 )  -  ( Y `  y ) ) )  =  0 )
9385abs00ad 13082 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  =  0  <->  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) )  =  0 ) )
94933adant2 1015 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  =  0  <->  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) )  =  0 ) )
9592, 94mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  S )  ->  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) )  =  0 )
96 subeq0 9841 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Y `  0
)  e.  CC  /\  ( Y `  y )  e.  CC )  -> 
( ( ( Y `
 0 )  -  ( Y `  y ) )  =  0  <->  ( Y `  0 )  =  ( Y `  y ) ) )
9783, 96syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( Y ` 
0 )  -  ( Y `  y )
)  =  0  <->  ( Y `  0 )  =  ( Y `  y ) ) )
98973adant2 1015 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( Y ` 
0 )  -  ( Y `  y )
)  =  0  <->  ( Y `  0 )  =  ( Y `  y ) ) )
9995, 98mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  S )  ->  ( Y `  0 )  =  ( Y `  y ) )
100993expa 1196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  {
0 } ) )  /\  y  e.  S
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) )
10123, 100eqtr2d 2509 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  {
0 } ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( Y `  y )  =  ( ( S  X.  {
( Y `  0
) } ) `  y ) )
10218, 21, 101eqfnfvd 5976 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  ->  Y  =  ( S  X.  { ( Y ` 
0 ) } ) )
103 sneq 4037 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( Y ` 
0 )  ->  { x }  =  { ( Y `  0 ) } )
104103xpeq2d 5023 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( Y ` 
0 )  ->  ( S  X.  { x }
)  =  ( S  X.  { ( Y `
 0 ) } ) )
105104eqeq2d 2481 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( Y ` 
0 )  ->  ( Y  =  ( S  X.  { x } )  <-> 
Y  =  ( S  X.  { ( Y `
 0 ) } ) ) )
106105rspcev 3214 . . . . 5  |-  ( ( ( Y `  0
)  e.  CC  /\  Y  =  ( S  X.  { ( Y ` 
0 ) } ) )  ->  E. x  e.  CC  Y  =  ( S  X.  { x } ) )
10715, 102, 106syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  ->  E. x  e.  CC  Y  =  ( S  X.  { x } ) )
108107ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  ->  E. x  e.  CC  Y  =  ( S  X.  { x } ) ) )
109 oveq2 6290 . . . . . 6  |-  ( Y  =  ( S  X.  { x } )  ->  ( S  _D  Y )  =  ( S  _D  ( S  X.  { x }
) ) )
1101093ad2ant3 1019 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  Y  =  ( S  X.  { x } ) )  -> 
( S  _D  Y
)  =  ( S  _D  ( S  X.  { x } ) ) )
111 dvsconst 30835 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  x  e.  CC )  ->  ( S  _D  ( S  X.  { x } ) )  =  ( S  X.  { 0 } ) )
1122, 111sylan 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( S  _D  ( S  X.  { x } ) )  =  ( S  X.  { 0 } ) )
1131123adant3 1016 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  Y  =  ( S  X.  { x } ) )  -> 
( S  _D  ( S  X.  { x }
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114110, 113eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  Y  =  ( S  X.  { x } ) )  -> 
( S  _D  Y
)  =  ( S  X.  { 0 } ) )
115114rexlimdv3a 2957 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  CC  Y  =  ( S  X.  { x } )  ->  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  {
0 } ) ) )
116108, 115impbid 191 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  <->  E. x  e.  CC  Y  =  ( S  X.  { x } ) ) )
117 sneq 4037 . . . . 5  |-  ( c  =  x  ->  { c }  =  { x } )
118117xpeq2d 5023 . . . 4  |-  ( c  =  x  ->  ( S  X.  { c } )  =  ( S  X.  { x }
) )
119118eqeq2d 2481 . . 3  |-  ( c  =  x  ->  ( Y  =  ( S  X.  { c } )  <-> 
Y  =  ( S  X.  { x }
) ) )
120119cbvrexv 3089 . 2  |-  ( E. c  e.  CC  Y  =  ( S  X.  { c } )  <->  E. x  e.  CC  Y  =  ( S  X.  { x } ) )
121116, 120syl6bbr 263 1  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  <->  E. c  e.  CC  Y  =  ( S  X.  { c } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   {csn 4027   {cpr 4029   class class class wbr 4447    X. cxp 4997   dom cdm 4999    |` cres 5001    o. ccom 5003    Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488    x. cmul 9493   +oocpnf 9621   RR*cxr 9623    <_ cle 9625    - cmin 9801   abscabs 13026   ballcbl 18176    _D cdv 22002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-cmp 19653  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117  df-limc 22005  df-dv 22006
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