MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvconst Structured version   Unicode version

Theorem dvconst 22055
Description: Derivative of a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvconst  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( CC  X.  { A } ) )  =  ( CC  X.  { 0 } ) )

Proof of Theorem dvconst
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fconst6g 5772 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  X.  { A }
) : CC --> CC )
2 simpr2 1003 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x ) )  ->  z  e.  CC )
3 fvconst2g 6112 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( CC  X.  { A } ) `  z )  =  A )
42, 3syldan 470 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x ) )  ->  ( ( CC 
X.  { A }
) `  z )  =  A )
5 fvconst2g 6112 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( CC  X.  { A } ) `  x )  =  A )
653ad2antr1 1161 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x ) )  ->  ( ( CC 
X.  { A }
) `  x )  =  A )
74, 6oveq12d 6300 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x ) )  ->  ( ( ( CC  X.  { A } ) `  z
)  -  ( ( CC  X.  { A } ) `  x
) )  =  ( A  -  A ) )
8 subid 9834 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  -  A )  =  0 )
98adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x ) )  ->  ( A  -  A )  =  0 )
107, 9eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x ) )  ->  ( ( ( CC  X.  { A } ) `  z
)  -  ( ( CC  X.  { A } ) `  x
) )  =  0 )
1110oveq1d 6297 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x ) )  ->  ( ( ( ( CC  X.  { A } ) `  z
)  -  ( ( CC  X.  { A } ) `  x
) )  /  (
z  -  x ) )  =  ( 0  /  ( z  -  x ) ) )
12 simpr1 1002 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x ) )  ->  x  e.  CC )
132, 12subcld 9926 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x ) )  ->  ( z  -  x )  e.  CC )
14 simpr3 1004 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x ) )  ->  z  =/=  x
)
152, 12, 14subne0d 9935 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x ) )  ->  ( z  -  x )  =/=  0
)
1613, 15div0d 10315 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x ) )  ->  ( 0  / 
( z  -  x
) )  =  0 )
1711, 16eqtrd 2508 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x ) )  ->  ( ( ( ( CC  X.  { A } ) `  z
)  -  ( ( CC  X.  { A } ) `  x
) )  /  (
z  -  x ) )  =  0 )
18 0cn 9584 . 2  |-  0  e.  CC
191, 17, 18dvidlem 22054 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( CC  X.  { A } ) )  =  ( CC  X.  { 0 } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   {csn 4027    X. cxp 4997   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   0cc0 9488    - cmin 9801    / cdiv 10202    _D cdv 22002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fi 7867  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-icc 11532  df-fz 11669  df-seq 12072  df-exp 12131  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-rest 14674  df-topn 14675  df-topgen 14695  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-cncf 21117  df-limc 22005  df-dv 22006
This theorem is referenced by:  dvcmul  22082  dvcmulf  22083  dvexp2  22092  dvmptc  22096  dvef  22116  dvsconst  30835
  Copyright terms: Public domain W3C validator