MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvconst Structured version   Unicode version

Theorem dvconst 21350
Description: Derivative of a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvconst  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( CC  X.  { A } ) )  =  ( CC  X.  { 0 } ) )

Proof of Theorem dvconst
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fconst6g 5596 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  X.  { A }
) : CC --> CC )
2 simpr2 990 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x ) )  ->  z  e.  CC )
3 fvconst2g 5928 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( CC  X.  { A } ) `  z )  =  A )
42, 3syldan 467 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x ) )  ->  ( ( CC 
X.  { A }
) `  z )  =  A )
5 fvconst2g 5928 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( CC  X.  { A } ) `  x )  =  A )
653ad2antr1 1148 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x ) )  ->  ( ( CC 
X.  { A }
) `  x )  =  A )
74, 6oveq12d 6108 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x ) )  ->  ( ( ( CC  X.  { A } ) `  z
)  -  ( ( CC  X.  { A } ) `  x
) )  =  ( A  -  A ) )
8 subid 9624 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  -  A )  =  0 )
98adantr 462 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x ) )  ->  ( A  -  A )  =  0 )
107, 9eqtrd 2473 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x ) )  ->  ( ( ( CC  X.  { A } ) `  z
)  -  ( ( CC  X.  { A } ) `  x
) )  =  0 )
1110oveq1d 6105 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x ) )  ->  ( ( ( ( CC  X.  { A } ) `  z
)  -  ( ( CC  X.  { A } ) `  x
) )  /  (
z  -  x ) )  =  ( 0  /  ( z  -  x ) ) )
12 simpr1 989 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x ) )  ->  x  e.  CC )
132, 12subcld 9715 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x ) )  ->  ( z  -  x )  e.  CC )
14 simpr3 991 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x ) )  ->  z  =/=  x
)
152, 12, 14subne0d 9724 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x ) )  ->  ( z  -  x )  =/=  0
)
1613, 15div0d 10102 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x ) )  ->  ( 0  / 
( z  -  x
) )  =  0 )
1711, 16eqtrd 2473 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x ) )  ->  ( ( ( ( CC  X.  { A } ) `  z
)  -  ( ( CC  X.  { A } ) `  x
) )  /  (
z  -  x ) )  =  0 )
18 0cn 9374 . 2  |-  0  e.  CC
191, 17, 18dvidlem 21349 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( CC  X.  { A } ) )  =  ( CC  X.  { 0 } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   {csn 3874    X. cxp 4834   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   0cc0 9278    - cmin 9591    / cdiv 9989    _D cdv 21297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fi 7657  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-icc 11303  df-fz 11434  df-seq 11803  df-exp 11862  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-rest 14357  df-topn 14358  df-topgen 14378  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-cncf 20413  df-limc 21300  df-dv 21301
This theorem is referenced by:  dvcmul  21377  dvcmulf  21378  dvexp2  21387  dvmptc  21391  dvef  21411  dvsconst  29529
  Copyright terms: Public domain W3C validator