MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvconst Structured version   Unicode version

Theorem dvconst 22610
Description: Derivative of a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvconst  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( CC  X.  { A } ) )  =  ( CC  X.  { 0 } ) )

Proof of Theorem dvconst
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fconst6g 5756 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  X.  { A }
) : CC --> CC )
2 simpr2 1004 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x ) )  ->  z  e.  CC )
3 fvconst2g 6104 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( CC  X.  { A } ) `  z )  =  A )
42, 3syldan 468 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x ) )  ->  ( ( CC 
X.  { A }
) `  z )  =  A )
5 fvconst2g 6104 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( CC  X.  { A } ) `  x )  =  A )
653ad2antr1 1162 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x ) )  ->  ( ( CC 
X.  { A }
) `  x )  =  A )
74, 6oveq12d 6295 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x ) )  ->  ( ( ( CC  X.  { A } ) `  z
)  -  ( ( CC  X.  { A } ) `  x
) )  =  ( A  -  A ) )
8 subid 9873 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  -  A )  =  0 )
98adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x ) )  ->  ( A  -  A )  =  0 )
107, 9eqtrd 2443 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x ) )  ->  ( ( ( CC  X.  { A } ) `  z
)  -  ( ( CC  X.  { A } ) `  x
) )  =  0 )
1110oveq1d 6292 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x ) )  ->  ( ( ( ( CC  X.  { A } ) `  z
)  -  ( ( CC  X.  { A } ) `  x
) )  /  (
z  -  x ) )  =  ( 0  /  ( z  -  x ) ) )
12 simpr1 1003 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x ) )  ->  x  e.  CC )
132, 12subcld 9966 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x ) )  ->  ( z  -  x )  e.  CC )
14 simpr3 1005 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x ) )  ->  z  =/=  x
)
152, 12, 14subne0d 9975 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x ) )  ->  ( z  -  x )  =/=  0
)
1613, 15div0d 10359 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x ) )  ->  ( 0  / 
( z  -  x
) )  =  0 )
1711, 16eqtrd 2443 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x ) )  ->  ( ( ( ( CC  X.  { A } ) `  z
)  -  ( ( CC  X.  { A } ) `  x
) )  /  (
z  -  x ) )  =  0 )
18 0cn 9617 . 2  |-  0  e.  CC
191, 17, 18dvidlem 22609 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( CC  X.  { A } ) )  =  ( CC  X.  { 0 } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   {csn 3971    X. cxp 4820   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   CCcc 9519   0cc0 9521    - cmin 9840    / cdiv 10246    _D cdv 22557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fi 7904  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xneg 11370  df-xadd 11371  df-xmul 11372  df-icc 11588  df-fz 11725  df-seq 12150  df-exp 12209  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-starv 14922  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-unif 14930  df-rest 15035  df-topn 15036  df-topgen 15056  df-psmet 18729  df-xmet 18730  df-met 18731  df-bl 18732  df-mopn 18733  df-fbas 18734  df-fg 18735  df-cnfld 18739  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-topsp 19693  df-cld 19810  df-ntr 19811  df-cls 19812  df-nei 19890  df-lp 19928  df-perf 19929  df-cn 20019  df-cnp 20020  df-haus 20107  df-fil 20637  df-fm 20729  df-flim 20730  df-flf 20731  df-xms 21113  df-ms 21114  df-cncf 21672  df-limc 22560  df-dv 22561
This theorem is referenced by:  dvcmul  22637  dvcmulf  22638  dvexp2  22647  dvmptc  22651  dvef  22671  dvsconst  36063  binomcxplemnotnn0  36089
  Copyright terms: Public domain W3C validator