MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcof Structured version   Unicode version

Theorem dvcof 21540
Description: The chain rule for everywhere-differentiable functions. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcof.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvcof.t  |-  ( ph  ->  T  e.  { RR ,  CC } )
dvcof.f  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
dvcof.g  |-  ( ph  ->  G : Y --> X )
dvcof.df  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  =  X )
dvcof.dg  |-  ( ph  ->  dom  ( T  _D  G )  =  Y )
Assertion
Ref Expression
dvcof  |-  ( ph  ->  ( T  _D  ( F  o.  G )
)  =  ( ( ( S  _D  F
)  o.  G )  oF  x.  ( T  _D  G ) ) )

Proof of Theorem dvcof
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvcof.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
21adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  F : X --> CC )
3 dvcof.df . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  =  X )
4 dvbsss 21495 . . . . . 6  |-  dom  ( S  _D  F )  C_  S
53, 4syl6eqssr 3507 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
65adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  X  C_  S )
7 dvcof.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : Y --> X )
87adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  G : Y --> X )
9 dvcof.dg . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( T  _D  G )  =  Y )
10 dvbsss 21495 . . . . . 6  |-  dom  ( T  _D  G )  C_  T
119, 10syl6eqssr 3507 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  C_  T )
1211adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  Y  C_  T )
13 dvcof.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
1413adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
15 dvcof.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  { RR ,  CC } )
1615adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  T  e.  { RR ,  CC } )
177ffvelrnda 5944 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( G `  x )  e.  X )
183adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  dom  ( S  _D  F
)  =  X )
1917, 18eleqtrrd 2542 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( G `  x )  e.  dom  ( S  _D  F ) )
209eleq2d 2521 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  dom  ( T  _D  G
)  <->  x  e.  Y
) )
2120biimpar 485 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  dom  ( T  _D  G ) )
222, 6, 8, 12, 14, 16, 19, 21dvco 21539 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( T  _D  ( F  o.  G )
) `  x )  =  ( ( ( S  _D  F ) `
 ( G `  x ) )  x.  ( ( T  _D  G ) `  x
) ) )
2322mpteq2dva 4478 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Y  |->  ( ( T  _D  ( F  o.  G
) ) `  x
) )  =  ( x  e.  Y  |->  ( ( ( S  _D  F ) `  ( G `  x )
)  x.  ( ( T  _D  G ) `
 x ) ) ) )
24 dvfg 21499 . . . . 5  |-  ( T  e.  { RR ,  CC }  ->  ( T  _D  ( F  o.  G
) ) : dom  ( T  _D  ( F  o.  G )
) --> CC )
2515, 24syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  _D  ( F  o.  G )
) : dom  ( T  _D  ( F  o.  G ) ) --> CC )
26 recnprss 21497 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  { RR ,  CC }  ->  T  C_  CC )
2715, 26syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  C_  CC )
28 fco 5668 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X --> CC  /\  G : Y --> X )  ->  ( F  o.  G ) : Y --> CC )
291, 7, 28syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
) : Y --> CC )
3027, 29, 11dvbss 21494 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( T  _D  ( F  o.  G
) )  C_  Y
)
31 recnprss 21497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
3214, 31syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  S  C_  CC )
3316, 26syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  T  C_  CC )
34 fvex 5801 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  _D  F ) `
 ( G `  x ) )  e. 
_V
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( S  _D  F
) `  ( G `  x ) )  e. 
_V )
36 fvex 5801 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  _D  G ) `
 x )  e. 
_V
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( T  _D  G
) `  x )  e.  _V )
38 dvfg 21499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F
) --> CC )
39 ffun 5661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC 
->  Fun  ( S  _D  F ) )
40 funfvbrb 5917 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun  ( S  _D  F
)  ->  ( ( G `  x )  e.  dom  ( S  _D  F )  <->  ( G `  x ) ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F
) `  ( G `  x ) ) ) )
4114, 38, 39, 404syl 21 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( G `  x
)  e.  dom  ( S  _D  F )  <->  ( G `  x ) ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F
) `  ( G `  x ) ) ) )
4219, 41mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( G `  x )
( S  _D  F
) ( ( S  _D  F ) `  ( G `  x ) ) )
43 dvfg 21499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  { RR ,  CC }  ->  ( T  _D  G ) : dom  ( T  _D  G
) --> CC )
44 ffun 5661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  _D  G ) : dom  ( T  _D  G ) --> CC 
->  Fun  ( T  _D  G ) )
45 funfvbrb 5917 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun  ( T  _D  G
)  ->  ( x  e.  dom  ( T  _D  G )  <->  x ( T  _D  G ) ( ( T  _D  G
) `  x )
) )
4616, 43, 44, 454syl 21 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
x  e.  dom  ( T  _D  G )  <->  x ( T  _D  G ) ( ( T  _D  G
) `  x )
) )
4721, 46mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  x
( T  _D  G
) ( ( T  _D  G ) `  x ) )
48 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
492, 6, 8, 12, 32, 33, 35, 37, 42, 47, 48dvcobr 21538 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  x
( T  _D  ( F  o.  G )
) ( ( ( S  _D  F ) `
 ( G `  x ) )  x.  ( ( T  _D  G ) `  x
) ) )
50 reldv 21463 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  ( T  _D  ( F  o.  G ) )
5150releldmi 5176 . . . . . . . . 9  |-  ( x ( T  _D  ( F  o.  G )
) ( ( ( S  _D  F ) `
 ( G `  x ) )  x.  ( ( T  _D  G ) `  x
) )  ->  x  e.  dom  ( T  _D  ( F  o.  G
) ) )
5249, 51syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  dom  ( T  _D  ( F  o.  G
) ) )
5352ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Y  ->  x  e.  dom  ( T  _D  ( F  o.  G ) ) ) )
5453ssrdv 3462 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  C_  dom  ( T  _D  ( F  o.  G ) ) )
5530, 54eqssd 3473 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( T  _D  ( F  o.  G
) )  =  Y )
5655feq2d 5647 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( T  _D  ( F  o.  G
) ) : dom  ( T  _D  ( F  o.  G )
) --> CC  <->  ( T  _D  ( F  o.  G
) ) : Y --> CC ) )
5725, 56mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  _D  ( F  o.  G )
) : Y --> CC )
5857feqmptd 5845 . 2  |-  ( ph  ->  ( T  _D  ( F  o.  G )
)  =  ( x  e.  Y  |->  ( ( T  _D  ( F  o.  G ) ) `
 x ) ) )
5915, 11ssexd 4539 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  _V )
607feqmptd 5845 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  Y  |->  ( G `
 x ) ) )
6113, 38syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )
623feq2d 5647 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F
) --> CC  <->  ( S  _D  F ) : X --> CC ) )
6361, 62mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
) : X --> CC )
6463feqmptd 5845 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
)  =  ( y  e.  X  |->  ( ( S  _D  F ) `
 y ) ) )
65 fveq2 5791 . . . 4  |-  ( y  =  ( G `  x )  ->  (
( S  _D  F
) `  y )  =  ( ( S  _D  F ) `  ( G `  x ) ) )
6617, 60, 64, 65fmptco 5977 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F )  o.  G
)  =  ( x  e.  Y  |->  ( ( S  _D  F ) `
 ( G `  x ) ) ) )
6715, 43syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T  _D  G
) : dom  ( T  _D  G ) --> CC )
689feq2d 5647 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( T  _D  G ) : dom  ( T  _D  G
) --> CC  <->  ( T  _D  G ) : Y --> CC ) )
6967, 68mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  _D  G
) : Y --> CC )
7069feqmptd 5845 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  _D  G
)  =  ( x  e.  Y  |->  ( ( T  _D  G ) `
 x ) ) )
7159, 35, 37, 66, 70offval2 6438 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  _D  F )  o.  G )  oF  x.  ( T  _D  G ) )  =  ( x  e.  Y  |->  ( ( ( S  _D  F ) `  ( G `  x ) )  x.  ( ( T  _D  G ) `
 x ) ) ) )
7223, 58, 713eqtr4d 2502 1  |-  ( ph  ->  ( T  _D  ( F  o.  G )
)  =  ( ( ( S  _D  F
)  o.  G )  oF  x.  ( T  _D  G ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3070    C_ wss 3428   {cpr 3979   class class class wbr 4392    |-> cmpt 4450   dom cdm 4940    o. ccom 4944   Fun wfun 5512   -->wf 5514   ` cfv 5518  (class class class)co 6192    oFcof 6420   CCcc 9383   RRcr 9384    x. cmul 9390   TopOpenctopn 14464  ℂfldccnfld 17929    _D cdv 21456
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463  ax-addf 9464  ax-mulf 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-of 6422  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-supp 6793  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-2o 7023  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-pm 7319  df-ixp 7366  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fsupp 7724  df-fi 7764  df-sup 7794  df-oi 7827  df-card 8212  df-cda 8440  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-q 11057  df-rp 11095  df-xneg 11192  df-xadd 11193  df-xmul 11194  df-icc 11410  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-seq 11910  df-exp 11969  df-hash 12207  df-cj 12692  df-re 12693  df-im 12694  df-sqr 12828  df-abs 12829  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-starv 14357  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-ip 14360  df-tset 14361  df-ple 14362  df-ds 14364  df-unif 14365  df-hom 14366  df-cco 14367  df-rest 14465  df-topn 14466  df-0g 14484  df-gsum 14485  df-topgen 14486  df-pt 14487  df-prds 14490  df-xrs 14544  df-qtop 14549  df-imas 14550  df-xps 14552  df-mre 14628  df-mrc 14629  df-acs 14631  df-mnd 15519  df-submnd 15569  df-mulg 15652  df-cntz 15939  df-cmn 16385  df-psmet 17920  df-xmet 17921  df-met 17922  df-bl 17923  df-mopn 17924  df-fbas 17925  df-fg 17926  df-cnfld 17930  df-top 18621  df-bases 18623  df-topon 18624  df-topsp 18625  df-cld 18741  df-ntr 18742  df-cls 18743  df-nei 18820  df-lp 18858  df-perf 18859  df-cn 18949  df-cnp 18950  df-haus 19037  df-tx 19253  df-hmeo 19446  df-fil 19537  df-fm 19629  df-flim 19630  df-flf 19631  df-xms 20013  df-ms 20014  df-tms 20015  df-cncf 20572  df-limc 21459  df-dv 21460
This theorem is referenced by:  dvmptco  21564
  Copyright terms: Public domain W3C validator