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Theorem dvcobr 22948
Description: The chain rule for derivatives at a point. For the (simpler but more limited) function version, see dvco 22949. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvco.f  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
dvco.x  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
dvco.g  |-  ( ph  ->  G : Y --> X )
dvco.y  |-  ( ph  ->  Y  C_  T )
dvcobr.s  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
dvcobr.t  |-  ( ph  ->  T  C_  CC )
dvco.k  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
dvco.l  |-  ( ph  ->  L  e.  V )
dvco.bf  |-  ( ph  ->  ( G `  C
) ( S  _D  F ) K )
dvco.bg  |-  ( ph  ->  C ( T  _D  G ) L )
dvco.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
dvcobr  |-  ( ph  ->  C ( T  _D  ( F  o.  G
) ) ( K  x.  L ) )

Proof of Theorem dvcobr
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvco.bg . . . 4  |-  ( ph  ->  C ( T  _D  G ) L )
2 eqid 2461 . . . . 5  |-  ( Jt  T )  =  ( Jt  T )
3 dvco.j . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
4 eqid 2461 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )
5 dvcobr.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  C_  CC )
6 dvco.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : Y --> X )
7 dvco.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
8 dvcobr.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
97, 8sstrd 3453 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
106, 9fssd 5760 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : Y --> CC )
11 dvco.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  C_  T )
122, 3, 4, 5, 10, 11eldv 22901 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C ( T  _D  G ) L  <-> 
( C  e.  ( ( int `  ( Jt  T ) ) `  Y )  /\  L  e.  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) ) ) )
131, 12mpbid 215 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  T ) ) `  Y )  /\  L  e.  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) ) )
1413simpld 465 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  T ) ) `  Y
) )
15 dvco.bf . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G `  C
) ( S  _D  F ) K )
16 dvco.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
178, 16, 7dvcl 22902 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( G `  C ) ( S  _D  F ) K )  ->  K  e.  CC )
1815, 17mpdan 679 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
1918ad2antrr 737 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  ->  K  e.  CC )
2016adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  ->  F : X --> CC )
21 eldifi 3566 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  -> 
z  e.  Y )
22 ffvelrn 6042 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G : Y --> X  /\  z  e.  Y )  ->  ( G `  z
)  e.  X )
236, 21, 22syl2an 484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( G `  z
)  e.  X )
2420, 23ffvelrnd 6045 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( F `  ( G `  z )
)  e.  CC )
2524adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( F `  ( G `  z ) )  e.  CC )
266adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  ->  G : Y --> X )
275, 10, 11dvbss 22904 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  ( T  _D  G )  C_  Y
)
28 reldv 22873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Rel  ( T  _D  G )
29 releldm 5085 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Rel  ( T  _D  G )  /\  C
( T  _D  G
) L )  ->  C  e.  dom  ( T  _D  G ) )
3028, 1, 29sylancr 674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  dom  ( T  _D  G ) )
3127, 30sseldd 3444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  Y )
3231adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  ->  C  e.  Y )
3326, 32ffvelrnd 6045 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( G `  C
)  e.  X )
3420, 33ffvelrnd 6045 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( F `  ( G `  C )
)  e.  CC )
3534adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( F `  ( G `  C ) )  e.  CC )
3625, 35subcld 10011 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( ( F `
 ( G `  z ) )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  e.  CC )
3710ad2antrr 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  G : Y --> CC )
3821ad2antlr 738 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  z  e.  Y
)
3937, 38ffvelrnd 6045 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( G `  z )  e.  CC )
4031ad2antrr 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  C  e.  Y
)
4137, 40ffvelrnd 6045 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( G `  C )  e.  CC )
4239, 41subcld 10011 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  e.  CC )
43 simpr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  -.  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )
4439, 41subeq0ad 10021 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  =  0  <->  ( G `  z )  =  ( G `  C ) ) )
4544necon3abid 2671 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  =/=  0  <->  -.  ( G `  z )  =  ( G `  C ) ) )
4643, 45mpbird 240 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  =/=  0 )
4736, 42, 46divcld 10410 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( ( ( F `  ( G `
 z ) )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
( G `  z
)  -  ( G `
 C ) ) )  e.  CC )
4819, 47ifclda 3924 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  ->  if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  e.  CC )
4911, 5sstrd 3453 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  C_  CC )
5010, 49, 31dvlem 22899 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  e.  CC )
51 ssid 3462 . . . . 5  |-  CC  C_  CC
5251a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
533cnfldtopon 21851 . . . . . . 7  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
54 txtopon 20654 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  J  e.  (TopOn `  CC )
)  ->  ( J  tX  J )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) ) )
5553, 53, 54mp2an 683 . . . . . 6  |-  ( J 
tX  J )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )
5655toponunii 19995 . . . . . . 7  |-  ( CC 
X.  CC )  = 
U. ( J  tX  J )
5756restid 15380 . . . . . 6  |-  ( ( J  tX  J )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )  ->  ( ( J 
tX  J )t  ( CC 
X.  CC ) )  =  ( J  tX  J ) )
5855, 57ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( J  tX  J )t  ( CC  X.  CC ) )  =  ( J 
tX  J )
5958eqcomi 2470 . . . 4  |-  ( J 
tX  J )  =  ( ( J  tX  J )t  ( CC  X.  CC ) )
6023anim1i 576 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =/=  ( G `  C ) )  -> 
( ( G `  z )  e.  X  /\  ( G `  z
)  =/=  ( G `
 C ) ) )
61 eldifsn 4109 . . . . . . 7  |-  ( ( G `  z )  e.  ( X  \  { ( G `  C ) } )  <-> 
( ( G `  z )  e.  X  /\  ( G `  z
)  =/=  ( G `
 C ) ) )
6260, 61sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =/=  ( G `  C ) )  -> 
( G `  z
)  e.  ( X 
\  { ( G `
 C ) } ) )
6362anasss 657 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  /\  ( G `  z )  =/=  ( G `  C
) ) )  -> 
( G `  z
)  e.  ( X 
\  { ( G `
 C ) } ) )
64 eldifsni 4110 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( X  \  { ( G `  C ) } )  ->  y  =/=  ( G `  C )
)
65 ifnefalse 3904 . . . . . . . 8  |-  ( y  =/=  ( G `  C )  ->  if ( y  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) )  =  ( ( ( F `
 y )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) )
6664, 65syl 17 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( X  \  { ( G `  C ) } )  ->  if ( y  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
y  -  ( G `
 C ) ) ) )  =  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) )
6766adantl 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { ( G `  C ) } ) )  ->  if ( y  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) )  =  ( ( ( F `
 y )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) )
686, 31ffvelrnd 6045 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  X )
6916, 9, 68dvlem 22899 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { ( G `  C ) } ) )  -> 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) )  e.  CC )
7067, 69eqeltrd 2539 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { ( G `  C ) } ) )  ->  if ( y  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) )  e.  CC )
71 limcresi 22888 . . . . . . 7  |-  ( G lim
CC  C )  C_  ( ( G  |`  ( Y  \  { C } ) ) lim CC  C )
726feqmptd 5940 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  =  ( z  e.  Y  |->  ( G `
 z ) ) )
7372reseq1d 5122 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( Y  \  { C }
) )  =  ( ( z  e.  Y  |->  ( G `  z
) )  |`  ( Y  \  { C }
) ) )
74 difss 3571 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y 
\  { C }
)  C_  Y
75 resmpt 5172 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  \  { C } )  C_  Y  ->  ( ( z  e.  Y  |->  ( G `  z ) )  |`  ( Y  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( G `
 z ) ) )
7674, 75ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  Y  |->  ( G `  z ) )  |`  ( Y  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( G `  z ) )
7773, 76syl6eq 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( Y  \  { C }
) )  =  ( z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( G `  z ) ) )
7877oveq1d 6329 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G  |`  ( Y  \  { C } ) ) lim CC  C )  =  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( G `
 z ) ) lim
CC  C ) )
7971, 78syl5sseq 3491 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G lim CC  C
)  C_  ( (
z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( G `  z ) ) lim CC  C ) )
80 eqid 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( Jt  Y )  =  ( Jt  Y )
8180, 3dvcnp2 22922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  C_  CC  /\  G : Y --> CC  /\  Y  C_  T )  /\  C  e.  dom  ( T  _D  G ) )  ->  G  e.  ( ( ( Jt  Y )  CnP  J ) `  C ) )
825, 10, 11, 30, 81syl31anc 1279 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( ( Jt  Y )  CnP  J
) `  C )
)
833, 80cnplimc 22890 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  C_  CC  /\  C  e.  Y )  ->  ( G  e.  ( (
( Jt  Y )  CnP  J
) `  C )  <->  ( G : Y --> CC  /\  ( G `  C )  e.  ( G lim CC  C ) ) ) )
8449, 31, 83syl2anc 671 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( ( ( Jt  Y )  CnP  J ) `  C )  <->  ( G : Y --> CC  /\  ( G `  C )  e.  ( G lim CC  C
) ) ) )
8582, 84mpbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G : Y --> CC  /\  ( G `  C )  e.  ( G lim CC  C ) ) )
8685simprd 469 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  ( G lim
CC  C ) )
8779, 86sseldd 3444 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  ( ( z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( G `  z ) ) lim CC  C ) )
88 eqid 2461 . . . . . . . . 9  |-  ( Jt  S )  =  ( Jt  S )
89 eqid 2461 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( X  \  { ( G `  C ) } ) 
|->  ( ( ( F `
 y )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) )  =  ( y  e.  ( X  \  { ( G `  C ) } ) 
|->  ( ( ( F `
 y )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) )
9088, 3, 89, 8, 16, 7eldv 22901 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( G `  C ) ( S  _D  F ) K  <-> 
( ( G `  C )  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  /\  K  e.  ( ( y  e.  ( X  \  {
( G `  C
) } )  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) ) lim CC  ( G `  C ) ) ) ) )
9115, 90mpbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G `  C )  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  /\  K  e.  ( ( y  e.  ( X  \  {
( G `  C
) } )  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) ) lim CC  ( G `  C ) ) ) )
9291simprd 469 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ( y  e.  ( X 
\  { ( G `
 C ) } )  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
y  -  ( G `
 C ) ) ) ) lim CC  ( G `  C )
) )
9366mpteq2ia 4498 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( X  \  { ( G `  C ) } ) 
|->  if ( y  =  ( G `  C
) ,  K , 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) ) )  =  ( y  e.  ( X 
\  { ( G `
 C ) } )  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
y  -  ( G `
 C ) ) ) )
9493oveq1i 6324 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( X 
\  { ( G `
 C ) } )  |->  if ( y  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
y  -  ( G `
 C ) ) ) ) ) lim CC  ( G `  C ) )  =  ( ( y  e.  ( X 
\  { ( G `
 C ) } )  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
y  -  ( G `
 C ) ) ) ) lim CC  ( G `  C )
)
9592, 94syl6eleqr 2550 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ( y  e.  ( X 
\  { ( G `
 C ) } )  |->  if ( y  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
y  -  ( G `
 C ) ) ) ) ) lim CC  ( G `  C ) ) )
96 eqeq1 2465 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  (
y  =  ( G `
 C )  <->  ( G `  z )  =  ( G `  C ) ) )
97 fveq2 5887 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( G `  z ) ) )
9897oveq1d 6329 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  (
( F `  y
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  =  ( ( F `
 ( G `  z ) )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) ) )
99 oveq1 6321 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  (
y  -  ( G `
 C ) )  =  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) )
10098, 99oveq12d 6332 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  (
( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) )  =  ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )
10196, 100ifbieq2d 3917 . . . . 5  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  if ( y  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) )  =  if ( ( G `
 z )  =  ( G `  C
) ,  K , 
( ( ( F `
 ( G `  z ) )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  /  ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) ) ) ) )
102 iftrue 3898 . . . . . 6  |-  ( ( G `  z )  =  ( G `  C )  ->  if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  =  K )
103102ad2antll 740 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) ) )  ->  if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `
 z ) )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
( G `  z
)  -  ( G `
 C ) ) ) )  =  K )
10463, 70, 87, 95, 101, 103limcco 22896 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ( z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `
 z ) )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
( G `  z
)  -  ( G `
 C ) ) ) ) ) lim CC  C ) )
10513simprd 469 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  ( ( z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
1063mulcn 21947 . . . . 5  |-  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
1075, 10, 11dvcl 22902 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C ( T  _D  G ) L )  ->  L  e.  CC )
1081, 107mpdan 679 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  CC )
109 opelxpi 4884 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CC  /\  L  e.  CC )  -> 
<. K ,  L >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
11018, 108, 109syl2anc 671 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. K ,  L >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
11156cncnpi 20342 . . . . 5  |-  ( (  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J )  /\  <. K ,  L >.  e.  ( CC  X.  CC ) )  ->  x.  e.  ( ( ( J 
tX  J )  CnP 
J ) `  <. K ,  L >. )
)
112106, 110, 111sylancr 674 . . . 4  |-  ( ph  ->  x.  e.  ( ( ( J  tX  J
)  CnP  J ) `  <. K ,  L >. ) )
11348, 50, 52, 52, 3, 59, 104, 105, 112limccnp2 22895 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  x.  L
)  e.  ( ( z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( if ( ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  x.  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) ) lim CC  C
) )
114 oveq1 6321 . . . . . . . 8  |-  ( K  =  if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `
 z ) )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
( G `  z
)  -  ( G `
 C ) ) ) )  ->  ( K  x.  ( (
( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( if ( ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  x.  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )
115114eqeq1d 2463 . . . . . . 7  |-  ( K  =  if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `
 z ) )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
( G `  z
)  -  ( G `
 C ) ) ) )  ->  (
( K  x.  (
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( z  -  C ) )  <->  ( if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  x.  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )
116 oveq1 6321 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) )  =  if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  -> 
( ( ( ( F `  ( G `
 z ) )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
( G `  z
)  -  ( G `
 C ) ) )  x.  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( if ( ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  x.  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )
117116eqeq1d 2463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) )  =  if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  -> 
( ( ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) )  x.  (
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( z  -  C ) )  <->  ( if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  x.  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )
11819mul01d 9857 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  -> 
( K  x.  0 )  =  0 )
1199adantr 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  ->  X  C_  CC )
120119, 23sseldd 3444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( G `  z
)  e.  CC )
121119, 33sseldd 3444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( G `  C
)  e.  CC )
122120, 121subeq0ad 10021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  =  0  <->  ( G `  z )  =  ( G `  C ) ) )
123122biimpar 492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  -> 
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  =  0 )
124123oveq1d 6329 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  =  ( 0  / 
( z  -  C
) ) )
12549adantr 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  ->  Y  C_  CC )
12621adantl 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
z  e.  Y )
127125, 126sseldd 3444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
z  e.  CC )
128125, 32sseldd 3444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  ->  C  e.  CC )
129127, 128subcld 10011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( z  -  C
)  e.  CC )
130 eldifsni 4110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  -> 
z  =/=  C )
131130adantl 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
z  =/=  C )
132127, 128, 131subne0d 10020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( z  -  C
)  =/=  0 )
133129, 132div0d 10409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( 0  /  (
z  -  C ) )  =  0 )
134133adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  -> 
( 0  /  (
z  -  C ) )  =  0 )
135124, 134eqtrd 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  =  0 )
136135oveq2d 6330 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  -> 
( K  x.  (
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( K  x.  0 ) )
137 fveq2 5887 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  z )  =  ( G `  C )  ->  ( F `  ( G `  z ) )  =  ( F `  ( G `  C )
) )
13824, 34subeq0ad 10021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 ( G `  z ) )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  =  0  <->  ( F `  ( G `  z ) )  =  ( F `  ( G `  C )
) ) )
139137, 138syl5ibr 229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( ( G `  z )  =  ( G `  C )  ->  ( ( F `
 ( G `  z ) )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  =  0 ) )
140139imp 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  -> 
( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  =  0 )
141140oveq1d 6329 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  -> 
( ( ( F `
 ( G `  z ) )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  /  ( z  -  C ) )  =  ( 0  / 
( z  -  C
) ) )
142141, 134eqtrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  -> 
( ( ( F `
 ( G `  z ) )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  /  ( z  -  C ) )  =  0 )
143118, 136, 1423eqtr4d 2505 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  -> 
( K  x.  (
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( z  -  C ) ) )
144129adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( z  -  C )  e.  CC )
145132adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( z  -  C )  =/=  0
)
14636, 42, 144, 46, 145dmdcan2d 10440 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) )  x.  (
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( z  -  C ) ) )
147115, 117, 143, 146ifbothda 3927 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `
 z ) )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
( G `  z
)  -  ( G `
 C ) ) ) )  x.  (
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( z  -  C ) ) )
148 fvco3 5964 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G : Y --> X  /\  z  e.  Y )  ->  ( ( F  o.  G ) `  z
)  =  ( F `
 ( G `  z ) ) )
1496, 21, 148syl2an 484 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( ( F  o.  G ) `  z
)  =  ( F `
 ( G `  z ) ) )
150 fvco3 5964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G : Y --> X  /\  C  e.  Y )  ->  ( ( F  o.  G ) `  C
)  =  ( F `
 ( G `  C ) ) )
1516, 31, 150syl2anc 671 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  G ) `  C
)  =  ( F `
 ( G `  C ) ) )
152151adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( ( F  o.  G ) `  C
)  =  ( F `
 ( G `  C ) ) )
153149, 152oveq12d 6332 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F  o.  G ) `  z )  -  (
( F  o.  G
) `  C )
)  =  ( ( F `  ( G `
 z ) )  -  ( F `  ( G `  C ) ) ) )
154153oveq1d 6329 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( F  o.  G ) `
 z )  -  ( ( F  o.  G ) `  C
) )  /  (
z  -  C ) )  =  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( z  -  C ) ) )
155147, 154eqtr4d 2498 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `
 z ) )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
( G `  z
)  -  ( G `
 C ) ) ) )  x.  (
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( ( ( ( F  o.  G ) `  z
)  -  ( ( F  o.  G ) `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )
156155mpteq2dva 4502 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  x.  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )  =  ( z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( ( ( ( F  o.  G
) `  z )  -  ( ( F  o.  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) )
157156oveq1d 6329 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  x.  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) ) lim CC  C
)  =  ( ( z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( ( ( ( F  o.  G
) `  z )  -  ( ( F  o.  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
158113, 157eleqtrd 2541 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  x.  L
)  e.  ( ( z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( ( ( ( F  o.  G
) `  z )  -  ( ( F  o.  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
159 eqid 2461 . . 3  |-  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o.  G ) `  z )  -  (
( F  o.  G
) `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o.  G ) `  z )  -  (
( F  o.  G
) `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )
160 fco 5761 . . . 4  |-  ( ( F : X --> CC  /\  G : Y --> X )  ->  ( F  o.  G ) : Y --> CC )
16116, 6, 160syl2anc 671 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
) : Y --> CC )
1622, 3, 159, 5, 161, 11eldv 22901 . 2  |-  ( ph  ->  ( C ( T  _D  ( F  o.  G ) ) ( K  x.  L )  <-> 
( C  e.  ( ( int `  ( Jt  T ) ) `  Y )  /\  ( K  x.  L )  e.  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o.  G ) `  z
)  -  ( ( F  o.  G ) `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) ) ) )
16314, 158, 162mpbir2and 938 1  |-  ( ph  ->  C ( T  _D  ( F  o.  G
) ) ( K  x.  L ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1454    e. wcel 1897    =/= wne 2632    \ cdif 3412    C_ wss 3415   ifcif 3892   {csn 3979   <.cop 3985   class class class wbr 4415    |-> cmpt 4474    X. cxp 4850   dom cdm 4852    |` cres 4854    o. ccom 4856   Rel wrel 4857   -->wf 5596   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   CCcc 9562   0cc0 9564    x. cmul 9569    - cmin 9885    / cdiv 10296   ↾t crest 15367   TopOpenctopn 15368  ℂfldccnfld 19018  TopOnctopon 19966   intcnt 20080    Cn ccn 20288    CnP ccnp 20289    tX ctx 20623   lim CC climc 22865    _D cdv 22866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642  ax-addf 9643  ax-mulf 9644
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-iin 4294  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-of 6557  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-supp 6941  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-2o 7208  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-pm 7500  df-ixp 7548  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-fsupp 7909  df-fi 7950  df-sup 7981  df-inf 7982  df-oi 8050  df-card 8398  df-cda 8623  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-4 10697  df-5 10698  df-6 10699  df-7 10700  df-8 10701  df-9 10702  df-10 10703  df-n0 10898  df-z 10966  df-dec 11080  df-uz 11188  df-q 11293  df-rp 11331  df-xneg 11437  df-xadd 11438  df-xmul 11439  df-icc 11670  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-seq 12245  df-exp 12304  df-hash 12547  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-struct 15171  df-ndx 15172  df-slot 15173  df-base 15174  df-sets 15175  df-ress 15176  df-plusg 15251  df-mulr 15252  df-starv 15253  df-sca 15254  df-vsca 15255  df-ip 15256  df-tset 15257  df-ple 15258  df-ds 15260  df-unif 15261  df-hom 15262  df-cco 15263  df-rest 15369  df-topn 15370  df-0g 15388  df-gsum 15389  df-topgen 15390  df-pt 15391  df-prds 15394  df-xrs 15448  df-qtop 15454  df-imas 15455  df-xps 15458  df-mre 15540  df-mrc 15541  df-acs 15543  df-mgm 16536  df-sgrp 16575  df-mnd 16585  df-submnd 16631  df-mulg 16724  df-cntz 17019  df-cmn 17480  df-psmet 19010  df-xmet 19011  df-met 19012  df-bl 19013  df-mopn 19014  df-cnfld 19019  df-top 19969  df-bases 19970  df-topon 19971  df-topsp 19972  df-ntr 20083  df-cn 20291  df-cnp 20292  df-tx 20625  df-hmeo 20818  df-xms 21383  df-ms 21384  df-tms 21385  df-cncf 21958  df-limc 22869  df-dv 22870
This theorem is referenced by:  dvco  22949  dvcof  22950  dvef  22980
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