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Theorem dvcobr 19785
Description: The chain rule for derivatives at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvco.f  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
dvco.x  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
dvco.g  |-  ( ph  ->  G : Y --> X )
dvco.y  |-  ( ph  ->  Y  C_  T )
dvcobr.s  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
dvcobr.t  |-  ( ph  ->  T  C_  CC )
dvco.k  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
dvco.l  |-  ( ph  ->  L  e.  V )
dvco.bf  |-  ( ph  ->  ( G `  C
) ( S  _D  F ) K )
dvco.bg  |-  ( ph  ->  C ( T  _D  G ) L )
dvco.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
dvcobr  |-  ( ph  ->  C ( T  _D  ( F  o.  G
) ) ( K  x.  L ) )

Proof of Theorem dvcobr
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvco.bg . . . 4  |-  ( ph  ->  C ( T  _D  G ) L )
2 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( Jt  T )  =  ( Jt  T )
3 dvco.j . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
4 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )
5 dvcobr.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  C_  CC )
6 dvco.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : Y --> X )
7 dvco.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
8 dvcobr.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
97, 8sstrd 3318 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
10 fss 5558 . . . . . 6  |-  ( ( G : Y --> X  /\  X  C_  CC )  ->  G : Y --> CC )
116, 9, 10syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : Y --> CC )
12 dvco.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  C_  T )
132, 3, 4, 5, 11, 12eldv 19738 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C ( T  _D  G ) L  <-> 
( C  e.  ( ( int `  ( Jt  T ) ) `  Y )  /\  L  e.  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) ) ) )
141, 13mpbid 202 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  T ) ) `  Y )  /\  L  e.  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) ) )
1514simpld 446 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  T ) ) `  Y
) )
16 dvco.bf . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G `  C
) ( S  _D  F ) K )
17 dvco.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
188, 17, 7dvcl 19739 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( G `  C ) ( S  _D  F ) K )  ->  K  e.  CC )
1916, 18mpdan 650 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
2019ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  ->  K  e.  CC )
2117adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  ->  F : X --> CC )
22 eldifi 3429 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  -> 
z  e.  Y )
23 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G : Y --> X  /\  z  e.  Y )  ->  ( G `  z
)  e.  X )
246, 22, 23syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( G `  z
)  e.  X )
2521, 24ffvelrnd 5830 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( F `  ( G `  z )
)  e.  CC )
2625adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( F `  ( G `  z ) )  e.  CC )
276adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  ->  G : Y --> X )
285, 11, 12dvbss 19741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  ( T  _D  G )  C_  Y
)
29 reldv 19710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Rel  ( T  _D  G )
30 releldm 5061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Rel  ( T  _D  G )  /\  C
( T  _D  G
) L )  ->  C  e.  dom  ( T  _D  G ) )
3129, 1, 30sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  dom  ( T  _D  G ) )
3228, 31sseldd 3309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  Y )
3332adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  ->  C  e.  Y )
3427, 33ffvelrnd 5830 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( G `  C
)  e.  X )
3521, 34ffvelrnd 5830 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( F `  ( G `  C )
)  e.  CC )
3635adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( F `  ( G `  C ) )  e.  CC )
3726, 36subcld 9367 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( ( F `
 ( G `  z ) )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  e.  CC )
3811ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  G : Y --> CC )
3922ad2antlr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  z  e.  Y
)
4038, 39ffvelrnd 5830 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( G `  z )  e.  CC )
4132ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  C  e.  Y
)
4238, 41ffvelrnd 5830 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( G `  C )  e.  CC )
4340, 42subcld 9367 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  e.  CC )
44 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  -.  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )
4540, 42subeq0ad 9377 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  =  0  <->  ( G `  z )  =  ( G `  C ) ) )
4645necon3abid 2600 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  =/=  0  <->  -.  ( G `  z )  =  ( G `  C ) ) )
4744, 46mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  =/=  0 )
4837, 43, 47divcld 9746 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( ( ( F `  ( G `
 z ) )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
( G `  z
)  -  ( G `
 C ) ) )  e.  CC )
4920, 48ifclda 3726 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  ->  if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  e.  CC )
5012, 5sstrd 3318 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  C_  CC )
5111, 50, 32dvlem 19736 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  e.  CC )
52 ssid 3327 . . . . 5  |-  CC  C_  CC
5352a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
543cnfldtopon 18770 . . . . . . 7  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
55 txtopon 17576 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  J  e.  (TopOn `  CC )
)  ->  ( J  tX  J )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) ) )
5654, 54, 55mp2an 654 . . . . . 6  |-  ( J 
tX  J )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )
5756toponunii 16952 . . . . . . 7  |-  ( CC 
X.  CC )  = 
U. ( J  tX  J )
5857restid 13616 . . . . . 6  |-  ( ( J  tX  J )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )  ->  ( ( J 
tX  J )t  ( CC 
X.  CC ) )  =  ( J  tX  J ) )
5956, 58ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( J  tX  J )t  ( CC  X.  CC ) )  =  ( J 
tX  J )
6059eqcomi 2408 . . . 4  |-  ( J 
tX  J )  =  ( ( J  tX  J )t  ( CC  X.  CC ) )
6124anim1i 552 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =/=  ( G `  C ) )  -> 
( ( G `  z )  e.  X  /\  ( G `  z
)  =/=  ( G `
 C ) ) )
62 eldifsn 3887 . . . . . . 7  |-  ( ( G `  z )  e.  ( X  \  { ( G `  C ) } )  <-> 
( ( G `  z )  e.  X  /\  ( G `  z
)  =/=  ( G `
 C ) ) )
6361, 62sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =/=  ( G `  C ) )  -> 
( G `  z
)  e.  ( X 
\  { ( G `
 C ) } ) )
6463anasss 629 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  /\  ( G `  z )  =/=  ( G `  C
) ) )  -> 
( G `  z
)  e.  ( X 
\  { ( G `
 C ) } ) )
65 eldifsni 3888 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( X  \  { ( G `  C ) } )  ->  y  =/=  ( G `  C )
)
66 ifnefalse 3707 . . . . . . . 8  |-  ( y  =/=  ( G `  C )  ->  if ( y  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) )  =  ( ( ( F `
 y )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) )
6765, 66syl 16 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( X  \  { ( G `  C ) } )  ->  if ( y  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
y  -  ( G `
 C ) ) ) )  =  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) )
6867adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { ( G `  C ) } ) )  ->  if ( y  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) )  =  ( ( ( F `
 y )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) )
696, 32ffvelrnd 5830 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  X )
7017, 9, 69dvlem 19736 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { ( G `  C ) } ) )  -> 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) )  e.  CC )
7168, 70eqeltrd 2478 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { ( G `  C ) } ) )  ->  if ( y  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) )  e.  CC )
72 limcresi 19725 . . . . . . 7  |-  ( G lim
CC  C )  C_  ( ( G  |`  ( Y  \  { C } ) ) lim CC  C )
736feqmptd 5738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  =  ( z  e.  Y  |->  ( G `
 z ) ) )
7473reseq1d 5104 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( Y  \  { C }
) )  =  ( ( z  e.  Y  |->  ( G `  z
) )  |`  ( Y  \  { C }
) ) )
75 difss 3434 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y 
\  { C }
)  C_  Y
76 resmpt 5150 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  \  { C } )  C_  Y  ->  ( ( z  e.  Y  |->  ( G `  z ) )  |`  ( Y  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( G `
 z ) ) )
7775, 76ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  Y  |->  ( G `  z ) )  |`  ( Y  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( G `  z ) )
7874, 77syl6eq 2452 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( Y  \  { C }
) )  =  ( z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( G `  z ) ) )
7978oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G  |`  ( Y  \  { C } ) ) lim CC  C )  =  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( G `
 z ) ) lim
CC  C ) )
8072, 79syl5sseq 3356 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G lim CC  C
)  C_  ( (
z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( G `  z ) ) lim CC  C ) )
81 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( Jt  Y )  =  ( Jt  Y )
8281, 3dvcnp2 19759 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  C_  CC  /\  G : Y --> CC  /\  Y  C_  T )  /\  C  e.  dom  ( T  _D  G ) )  ->  G  e.  ( ( ( Jt  Y )  CnP  J ) `  C ) )
835, 11, 12, 31, 82syl31anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( ( Jt  Y )  CnP  J
) `  C )
)
843, 81cnplimc 19727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  C_  CC  /\  C  e.  Y )  ->  ( G  e.  ( (
( Jt  Y )  CnP  J
) `  C )  <->  ( G : Y --> CC  /\  ( G `  C )  e.  ( G lim CC  C ) ) ) )
8550, 32, 84syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( ( ( Jt  Y )  CnP  J ) `  C )  <->  ( G : Y --> CC  /\  ( G `  C )  e.  ( G lim CC  C
) ) ) )
8683, 85mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G : Y --> CC  /\  ( G `  C )  e.  ( G lim CC  C ) ) )
8786simprd 450 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  ( G lim
CC  C ) )
8880, 87sseldd 3309 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  ( ( z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( G `  z ) ) lim CC  C ) )
89 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( Jt  S )  =  ( Jt  S )
90 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( X  \  { ( G `  C ) } ) 
|->  ( ( ( F `
 y )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) )  =  ( y  e.  ( X  \  { ( G `  C ) } ) 
|->  ( ( ( F `
 y )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) )
9189, 3, 90, 8, 17, 7eldv 19738 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( G `  C ) ( S  _D  F ) K  <-> 
( ( G `  C )  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  /\  K  e.  ( ( y  e.  ( X  \  {
( G `  C
) } )  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) ) lim CC  ( G `  C ) ) ) ) )
9216, 91mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G `  C )  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  /\  K  e.  ( ( y  e.  ( X  \  {
( G `  C
) } )  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) ) lim CC  ( G `  C ) ) ) )
9392simprd 450 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ( y  e.  ( X 
\  { ( G `
 C ) } )  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
y  -  ( G `
 C ) ) ) ) lim CC  ( G `  C )
) )
9467mpteq2ia 4251 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( X  \  { ( G `  C ) } ) 
|->  if ( y  =  ( G `  C
) ,  K , 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) ) )  =  ( y  e.  ( X 
\  { ( G `
 C ) } )  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
y  -  ( G `
 C ) ) ) )
9594oveq1i 6050 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( X 
\  { ( G `
 C ) } )  |->  if ( y  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
y  -  ( G `
 C ) ) ) ) ) lim CC  ( G `  C ) )  =  ( ( y  e.  ( X 
\  { ( G `
 C ) } )  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
y  -  ( G `
 C ) ) ) ) lim CC  ( G `  C )
)
9693, 95syl6eleqr 2495 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ( y  e.  ( X 
\  { ( G `
 C ) } )  |->  if ( y  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
y  -  ( G `
 C ) ) ) ) ) lim CC  ( G `  C ) ) )
97 eqeq1 2410 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  (
y  =  ( G `
 C )  <->  ( G `  z )  =  ( G `  C ) ) )
98 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( G `  z ) ) )
9998oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  (
( F `  y
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  =  ( ( F `
 ( G `  z ) )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) ) )
100 oveq1 6047 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  (
y  -  ( G `
 C ) )  =  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) )
10199, 100oveq12d 6058 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  (
( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) )  =  ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )
10297, 101ifbieq2d 3719 . . . . 5  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  if ( y  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) )  =  if ( ( G `
 z )  =  ( G `  C
) ,  K , 
( ( ( F `
 ( G `  z ) )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  /  ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) ) ) ) )
103 iftrue 3705 . . . . . 6  |-  ( ( G `  z )  =  ( G `  C )  ->  if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  =  K )
104103ad2antll 710 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) ) )  ->  if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `
 z ) )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
( G `  z
)  -  ( G `
 C ) ) ) )  =  K )
10564, 71, 88, 96, 102, 104limcco 19733 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ( z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `
 z ) )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
( G `  z
)  -  ( G `
 C ) ) ) ) ) lim CC  C ) )
10614simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  ( ( z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
1073mulcn 18850 . . . . 5  |-  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
1085, 11, 12dvcl 19739 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C ( T  _D  G ) L )  ->  L  e.  CC )
1091, 108mpdan 650 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  CC )
110 opelxpi 4869 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CC  /\  L  e.  CC )  -> 
<. K ,  L >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
11119, 109, 110syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. K ,  L >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
11257cncnpi 17296 . . . . 5  |-  ( (  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J )  /\  <. K ,  L >.  e.  ( CC  X.  CC ) )  ->  x.  e.  ( ( ( J 
tX  J )  CnP 
J ) `  <. K ,  L >. )
)
113107, 111, 112sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  x.  e.  ( ( ( J  tX  J
)  CnP  J ) `  <. K ,  L >. ) )
11449, 51, 53, 53, 3, 60, 105, 106, 113limccnp2 19732 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  x.  L
)  e.  ( ( z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( if ( ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  x.  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) ) lim CC  C
) )
115 oveq1 6047 . . . . . . . 8  |-  ( K  =  if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `
 z ) )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
( G `  z
)  -  ( G `
 C ) ) ) )  ->  ( K  x.  ( (
( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( if ( ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  x.  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )
116115eqeq1d 2412 . . . . . . 7  |-  ( K  =  if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `
 z ) )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
( G `  z
)  -  ( G `
 C ) ) ) )  ->  (
( K  x.  (
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( z  -  C ) )  <->  ( if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  x.  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )
117 oveq1 6047 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) )  =  if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  -> 
( ( ( ( F `  ( G `
 z ) )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
( G `  z
)  -  ( G `
 C ) ) )  x.  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( if ( ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  x.  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )
118117eqeq1d 2412 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) )  =  if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  -> 
( ( ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) )  x.  (
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( z  -  C ) )  <->  ( if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  x.  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )
11920mul01d 9221 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  -> 
( K  x.  0 )  =  0 )
1209adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  ->  X  C_  CC )
121120, 24sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( G `  z
)  e.  CC )
122120, 34sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( G `  C
)  e.  CC )
123121, 122subeq0ad 9377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  =  0  <->  ( G `  z )  =  ( G `  C ) ) )
124123biimpar 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  -> 
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  =  0 )
125124oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  =  ( 0  / 
( z  -  C
) ) )
12650adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  ->  Y  C_  CC )
12722adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
z  e.  Y )
128126, 127sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
z  e.  CC )
129126, 33sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  ->  C  e.  CC )
130128, 129subcld 9367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( z  -  C
)  e.  CC )
131 eldifsni 3888 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  -> 
z  =/=  C )
132131adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
z  =/=  C )
133128, 129, 132subne0d 9376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( z  -  C
)  =/=  0 )
134130, 133div0d 9745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( 0  /  (
z  -  C ) )  =  0 )
135134adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  -> 
( 0  /  (
z  -  C ) )  =  0 )
136125, 135eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  =  0 )
137136oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  -> 
( K  x.  (
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( K  x.  0 ) )
138 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  z )  =  ( G `  C )  ->  ( F `  ( G `  z ) )  =  ( F `  ( G `  C )
) )
13925, 35subeq0ad 9377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 ( G `  z ) )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  =  0  <->  ( F `  ( G `  z ) )  =  ( F `  ( G `  C )
) ) )
140138, 139syl5ibr 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( ( G `  z )  =  ( G `  C )  ->  ( ( F `
 ( G `  z ) )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  =  0 ) )
141140imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  -> 
( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  =  0 )
142141oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  -> 
( ( ( F `
 ( G `  z ) )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  /  ( z  -  C ) )  =  ( 0  / 
( z  -  C
) ) )
143142, 135eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  -> 
( ( ( F `
 ( G `  z ) )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  /  ( z  -  C ) )  =  0 )
144119, 137, 1433eqtr4d 2446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  -> 
( K  x.  (
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( z  -  C ) ) )
145130adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( z  -  C )  e.  CC )
146133adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( z  -  C )  =/=  0
)
14737, 43, 145, 47, 146dmdcan2d 9776 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) )  x.  (
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( z  -  C ) ) )
148116, 118, 144, 147ifbothda 3729 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `
 z ) )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
( G `  z
)  -  ( G `
 C ) ) ) )  x.  (
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( z  -  C ) ) )
149 fvco3 5759 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G : Y --> X  /\  z  e.  Y )  ->  ( ( F  o.  G ) `  z
)  =  ( F `
 ( G `  z ) ) )
1506, 22, 149syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( ( F  o.  G ) `  z
)  =  ( F `
 ( G `  z ) ) )
151 fvco3 5759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G : Y --> X  /\  C  e.  Y )  ->  ( ( F  o.  G ) `  C
)  =  ( F `
 ( G `  C ) ) )
1526, 32, 151syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  G ) `  C
)  =  ( F `
 ( G `  C ) ) )
153152adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( ( F  o.  G ) `  C
)  =  ( F `
 ( G `  C ) ) )
154150, 153oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F  o.  G ) `  z )  -  (
( F  o.  G
) `  C )
)  =  ( ( F `  ( G `
 z ) )  -  ( F `  ( G `  C ) ) ) )
155154oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( F  o.  G ) `
 z )  -  ( ( F  o.  G ) `  C
) )  /  (
z  -  C ) )  =  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( z  -  C ) ) )
156148, 155eqtr4d 2439 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `
 z ) )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
( G `  z
)  -  ( G `
 C ) ) ) )  x.  (
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( ( ( ( F  o.  G ) `  z
)  -  ( ( F  o.  G ) `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )
157156mpteq2dva 4255 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  x.  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )  =  ( z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( ( ( ( F  o.  G
) `  z )  -  ( ( F  o.  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) )
158157oveq1d 6055 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  x.  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) ) lim CC  C
)  =  ( ( z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( ( ( ( F  o.  G
) `  z )  -  ( ( F  o.  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
159114, 158eleqtrd 2480 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  x.  L
)  e.  ( ( z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( ( ( ( F  o.  G
) `  z )  -  ( ( F  o.  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
160 eqid 2404 . . 3  |-  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o.  G ) `  z )  -  (
( F  o.  G
) `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o.  G ) `  z )  -  (
( F  o.  G
) `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )
161 fco 5559 . . . 4  |-  ( ( F : X --> CC  /\  G : Y --> X )  ->  ( F  o.  G ) : Y --> CC )
16217, 6, 161syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
) : Y --> CC )
1632, 3, 160, 5, 162, 12eldv 19738 . 2  |-  ( ph  ->  ( C ( T  _D  ( F  o.  G ) ) ( K  x.  L )  <-> 
( C  e.  ( ( int `  ( Jt  T ) ) `  Y )  /\  ( K  x.  L )  e.  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o.  G ) `  z
)  -  ( ( F  o.  G ) `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) ) ) )
16415, 159, 163mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  C ( T  _D  ( F  o.  G
) ) ( K  x.  L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567    \ cdif 3277    C_ wss 3280   ifcif 3699   {csn 3774   <.cop 3777   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   dom cdm 4837    |` cres 4839    o. ccom 4841   Rel wrel 4842   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946    x. cmul 8951    - cmin 9247    / cdiv 9633   ↾t crest 13603   TopOpenctopn 13604  ℂfldccnfld 16658  TopOnctopon 16914   intcnt 17036    Cn ccn 17242    CnP ccnp 17243    tX ctx 17545   lim CC climc 19702    _D cdv 19703
This theorem is referenced by:  dvco  19786  dvcof  19787  dvef  19817
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-ntr 17039  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707
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