Theorem dvcobr 21556

Description: The chain rule for derivatives at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvco.f	|- ( ph -> F : X --> CC )
dvco.x	|- ( ph -> X C_ S )
dvco.g	|- ( ph -> G : Y --> X )
dvco.y	|- ( ph -> Y C_ T )
dvcobr.s	|- ( ph -> S C_ CC )
dvcobr.t	|- ( ph -> T C_ CC )
dvco.k	|- ( ph -> K e. V )
dvco.l	|- ( ph -> L e. V )
dvco.bf	|- ( ph -> ( G ` C ) ( S _D F ) K )
dvco.bg	|- ( ph -> C ( T _D G ) L )
dvco.j	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )

Assertion

Ref	Expression
dvcobr	|- ( ph -> C ( T _D ( F o. G ) ) ( K x. L ) )

Proof of Theorem dvcobr

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvco.bg	. . . 4 |- ( ph -> C ( T _D G ) L )
2		eqid 2454	. . . . 5 |- ( J ↾t T ) = ( J ↾t T )
3		dvco.j	. . . . 5 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
4		eqid 2454	. . . . 5 |- ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) )
5		dvcobr.t	. . . . 5 |- ( ph -> T C_ CC )
6		dvco.g	. . . . . 6 |- ( ph -> G : Y --> X )
7		dvco.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X C_ S )
8		dvcobr.s	. . . . . . 7 |- ( ph -> S C_ CC )
9	7, 8	sstrd 3477	. . . . . 6 |- ( ph -> X C_ CC )
10		fss 5678	. . . . . 6 |- ( ( G : Y --> X /\ X C_ CC ) -> G : Y --> CC )
11	6, 9, 10	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> G : Y --> CC )
12		dvco.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y C_ T )
13	2, 3, 4, 5, 11, 12	eldv 21509	. . . 4 |- ( ph -> ( C ( T _D G ) L <-> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t T ) ) ` Y ) /\ L e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
14	1, 13	mpbid 210	. . 3 |- ( ph -> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t T ) ) ` Y ) /\ L e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) )
15	14	simpld 459	. 2 |- ( ph -> C e. ( ( int ` ( J ↾t T ) ) ` Y ) )
16		dvco.bf	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G ` C ) ( S _D F ) K )
17		dvco.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : X --> CC )
18	8, 17, 7	dvcl 21510	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( G ` C ) ( S _D F ) K ) -> K e. CC )
19	16, 18	mpdan 668	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. CC )
20	19	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> K e. CC )
21	17	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> F : X --> CC )
22		eldifi 3589	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( Y \ { C } ) -> z e. Y )
23		ffvelrn 5953	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G : Y --> X /\ z e. Y ) -> ( G ` z ) e. X )
24	6, 22, 23	syl2an 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( G ` z ) e. X )
25	21, 24	ffvelrnd 5956	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( F ` ( G ` z ) ) e. CC )
26	25	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( F ` ( G ` z ) ) e. CC )
27	6	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> G : Y --> X )
28	5, 11, 12	dvbss 21512	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> dom ( T _D G ) C_ Y )
29		reldv 21481	. . . . . . . . . . . . 13 |- Rel ( T _D G )
30		releldm 5183	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Rel ( T _D G ) /\ C ( T _D G ) L ) -> C e. dom ( T _D G ) )
31	29, 1, 30	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. dom ( T _D G ) )
32	28, 31	sseldd 3468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. Y )
33	32	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> C e. Y )
34	27, 33	ffvelrnd 5956	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( G ` C ) e. X )
35	21, 34	ffvelrnd 5956	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( F ` ( G ` C ) ) e. CC )
36	35	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( F ` ( G ` C ) ) e. CC )
37	26, 36	subcld 9833	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) e. CC )
38	11	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> G : Y --> CC )
39	22	ad2antlr 726	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> z e. Y )
40	38, 39	ffvelrnd 5956	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( G ` z ) e. CC )
41	32	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> C e. Y )
42	38, 41	ffvelrnd 5956	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( G ` C ) e. CC )
43	40, 42	subcld 9833	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) e. CC )
44		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> -. ( G ` z ) = ( G ` C ) )
45	40, 42	subeq0ad 9843	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) = 0 <-> ( G ` z ) = ( G ` C ) ) )
46	45	necon3abid 2698	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) =/= 0 <-> -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) )
47	44, 46	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) =/= 0 )
48	37, 43, 47	divcld 10221	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) e. CC )
49	20, 48	ifclda 3932	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) e. CC )
50	12, 5	sstrd 3477	. . . . 5 |- ( ph -> Y C_ CC )
51	11, 50, 32	dvlem 21507	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
52		ssid 3486	. . . . 5 |- CC C_ CC
53	52	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> CC C_ CC )
54	3	cnfldtopon 20497	. . . . . . 7 |- J e. (TopOn ` CC )
55		txtopon 19299	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ J e. (TopOn ` CC ) ) -> ( J tX J ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) )
56	54, 54, 55	mp2an 672	. . . . . 6 |- ( J tX J ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) )
57	56	toponunii 18672	. . . . . . 7 |- ( CC X. CC ) = U. ( J tX J )
58	57	restid 14494	. . . . . 6 |- ( ( J tX J ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) -> ( ( J tX J ) ↾t ( CC X. CC ) ) = ( J tX J ) )
59	56, 58	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( J tX J ) ↾t ( CC X. CC ) ) = ( J tX J )
60	59	eqcomi 2467	. . . 4 |- ( J tX J ) = ( ( J tX J ) ↾t ( CC X. CC ) )
61	24	anim1i 568	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) =/= ( G ` C ) ) -> ( ( G ` z ) e. X /\ ( G ` z ) =/= ( G ` C ) ) )
62		eldifsn 4111	. . . . . . 7 |- ( ( G ` z ) e. ( X \ { ( G ` C ) } ) <-> ( ( G ` z ) e. X /\ ( G ` z ) =/= ( G ` C ) ) )
63	61, 62	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) =/= ( G ` C ) ) -> ( G ` z ) e. ( X \ { ( G ` C ) } ) )
64	63	anasss 647	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( z e. ( Y \ { C } ) /\ ( G ` z ) =/= ( G ` C ) ) ) -> ( G ` z ) e. ( X \ { ( G ` C ) } ) )
65		eldifsni 4112	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) -> y =/= ( G ` C ) )
66		ifnefalse 3912	. . . . . . . 8 |- ( y =/= ( G ` C ) -> if ( y = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) = ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) )
67	65, 66	syl 16	. . . . . . 7 |- ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) -> if ( y = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) = ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) )
68	67	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) ) -> if ( y = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) = ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) )
69	6, 32	ffvelrnd 5956	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G ` C ) e. X )
70	17, 9, 69	dvlem 21507	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) ) -> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) e. CC )
71	68, 70	eqeltrd 2542	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) ) -> if ( y = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) e. CC )
72		limcresi 21496	. . . . . . 7 |- ( G lim CC C ) C_ ( ( G |` ( Y \ { C } ) ) lim CC C )
73	6	feqmptd 5856	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G = ( z e. Y |-> ( G ` z ) ) )
74	73	reseq1d 5220	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G |` ( Y \ { C } ) ) = ( ( z e. Y |-> ( G ` z ) ) |` ( Y \ { C } ) ) )
75		difss 3594	. . . . . . . . . 10 |- ( Y \ { C } ) C_ Y
76		resmpt 5267	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Y \ { C } ) C_ Y -> ( ( z e. Y |-> ( G ` z ) ) |` ( Y \ { C } ) ) = ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( G ` z ) ) )
77	75, 76	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. Y |-> ( G ` z ) ) |` ( Y \ { C } ) ) = ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( G ` z ) )
78	74, 77	syl6eq 2511	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G |` ( Y \ { C } ) ) = ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( G ` z ) ) )
79	78	oveq1d 6218	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G |` ( Y \ { C } ) ) lim CC C ) = ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( G ` z ) ) lim CC C ) )
80	72, 79	syl5sseq 3515	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G lim CC C ) C_ ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( G ` z ) ) lim CC C ) )
81		eqid 2454	. . . . . . . . . 10 |- ( J ↾t Y ) = ( J ↾t Y )
82	81, 3	dvcnp2 21530	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T C_ CC /\ G : Y --> CC /\ Y C_ T ) /\ C e. dom ( T _D G ) ) -> G e. ( ( ( J ↾t Y ) CnP J ) ` C ) )
83	5, 11, 12, 31, 82	syl31anc 1222	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. ( ( ( J ↾t Y ) CnP J ) ` C ) )
84	3, 81	cnplimc 21498	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y C_ CC /\ C e. Y ) -> ( G e. ( ( ( J ↾t Y ) CnP J ) ` C ) <-> ( G : Y --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) ) ) )
85	50, 32, 84	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G e. ( ( ( J ↾t Y ) CnP J ) ` C ) <-> ( G : Y --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) ) ) )
86	83, 85	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G : Y --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) ) )
87	86	simprd 463	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) )
88	80, 87	sseldd 3468	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ` C ) e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( G ` z ) ) lim CC C ) )
89		eqid 2454	. . . . . . . . 9 |- ( J ↾t S ) = ( J ↾t S )
90		eqid 2454	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) = ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) )
91	89, 3, 90, 8, 17, 7	eldv 21509	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( G ` C ) ( S _D F ) K <-> ( ( G ` C ) e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) lim CC ( G ` C ) ) ) ) )
92	16, 91	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G ` C ) e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) lim CC ( G ` C ) ) ) )
93	92	simprd 463	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. ( ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) lim CC ( G ` C ) ) )
94	67	mpteq2ia 4485	. . . . . . 7 |- ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> if ( y = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) ) = ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) )
95	94	oveq1i 6213	. . . . . 6 |- ( ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> if ( y = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) ) lim CC ( G ` C ) ) = ( ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) lim CC ( G ` C ) )
96	93, 95	syl6eleqr 2553	. . . . 5 |- ( ph -> K e. ( ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> if ( y = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) ) lim CC ( G ` C ) ) )
97		eqeq1 2458	. . . . . 6 |- ( y = ( G ` z ) -> ( y = ( G ` C ) <-> ( G ` z ) = ( G ` C ) ) )
98		fveq2 5802	. . . . . . . 8 |- ( y = ( G ` z ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( G ` z ) ) )
99	98	oveq1d 6218	. . . . . . 7 |- ( y = ( G ` z ) -> ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) = ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) )
100		oveq1 6210	. . . . . . 7 |- ( y = ( G ` z ) -> ( y - ( G ` C ) ) = ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) )
101	99, 100	oveq12d 6221	. . . . . 6 |- ( y = ( G ` z ) -> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) )
102	97, 101	ifbieq2d 3925	. . . . 5 |- ( y = ( G ` z ) -> if ( y = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) = if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) )
103		iftrue 3908	. . . . . 6 |- ( ( G ` z ) = ( G ` C ) -> if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) = K )
104	103	ad2antll 728	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( z e. ( Y \ { C } ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) ) -> if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) = K )
105	64, 71, 88, 96, 102, 104	limcco 21504	. . . 4 |- ( ph -> K e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) ) lim CC C ) )
106	14	simprd 463	. . . 4 |- ( ph -> L e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
107	3	mulcn 20578	. . . . 5 |- x. e. ( ( J tX J ) Cn J )
108	5, 11, 12	dvcl 21510	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C ( T _D G ) L ) -> L e. CC )
109	1, 108	mpdan 668	. . . . . 6 |- ( ph -> L e. CC )
110		opelxpi 4982	. . . . . 6 |- ( ( K e. CC /\ L e. CC ) -> <. K , L >. e. ( CC X. CC ) )
111	19, 109, 110	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> <. K , L >. e. ( CC X. CC ) )
112	57	cncnpi 19017	. . . . 5 |- ( ( x. e. ( ( J tX J ) Cn J ) /\ <. K , L >. e. ( CC X. CC ) ) -> x. e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , L >. ) )
113	107, 111, 112	sylancr 663	. . . 4 |- ( ph -> x. e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , L >. ) )
114	49, 51, 53, 53, 3, 60, 105, 106, 113	limccnp2 21503	. . 3 |- ( ph -> ( K x. L ) e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) lim CC C ) )
115		oveq1 6210	. . . . . . . 8 |- ( K = if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) -> ( K x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
116	115	eqeq1d 2456	. . . . . . 7 |- ( K = if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) -> ( ( K x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) <-> ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) ) )
117		oveq1 6210	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) = if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
118	117	eqeq1d 2456	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) = if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) <-> ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) ) )
119	20	mul01d 9682	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( K x. 0 ) = 0 )
120	9	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> X C_ CC )
121	120, 24	sseldd 3468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( G ` z ) e. CC )
122	120, 34	sseldd 3468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( G ` C ) e. CC )
123	121, 122	subeq0ad 9843	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) = 0 <-> ( G ` z ) = ( G ` C ) ) )
124	123	biimpar 485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) = 0 )
125	124	oveq1d 6218	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) = ( 0 / ( z - C ) ) )
126	50	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> Y C_ CC )
127	22	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> z e. Y )
128	126, 127	sseldd 3468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> z e. CC )
129	126, 33	sseldd 3468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> C e. CC )
130	128, 129	subcld 9833	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( z - C ) e. CC )
131		eldifsni 4112	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( Y \ { C } ) -> z =/= C )
132	131	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> z =/= C )
133	128, 129, 132	subne0d 9842	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( z - C ) =/= 0 )
134	130, 133	div0d 10220	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( 0 / ( z - C ) ) = 0 )
135	134	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( 0 / ( z - C ) ) = 0 )
136	125, 135	eqtrd 2495	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) = 0 )
137	136	oveq2d 6219	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( K x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( K x. 0 ) )
138		fveq2 5802	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G ` z ) = ( G ` C ) -> ( F ` ( G ` z ) ) = ( F ` ( G ` C ) ) )
139	25, 35	subeq0ad 9843	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) = 0 <-> ( F ` ( G ` z ) ) = ( F ` ( G ` C ) ) ) )
140	138, 139	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( G ` z ) = ( G ` C ) -> ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) = 0 ) )
141	140	imp 429	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) = 0 )
142	141	oveq1d 6218	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) = ( 0 / ( z - C ) ) )
143	142, 135	eqtrd 2495	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) = 0 )
144	119, 137, 143	3eqtr4d 2505	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( K x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) )
145	130	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( z - C ) e. CC )
146	133	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( z - C ) =/= 0 )
147	37, 43, 145, 47, 146	dmdcan2d 10251	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) )
148	116, 118, 144, 147	ifbothda 3935	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) )
149		fvco3 5880	. . . . . . . . 9 |- ( ( G : Y --> X /\ z e. Y ) -> ( ( F o. G ) ` z ) = ( F ` ( G ` z ) ) )
150	6, 22, 149	syl2an 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( F o. G ) ` z ) = ( F ` ( G ` z ) ) )
151		fvco3 5880	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G : Y --> X /\ C e. Y ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )
152	6, 32, 151	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )
153	152	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )
154	150, 153	oveq12d 6221	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) = ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) )
155	154	oveq1d 6218	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) )
156	148, 155	eqtr4d 2498	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) )
157	156	mpteq2dva 4489	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) = ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
158	157	oveq1d 6218	. . 3 |- ( ph -> ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) lim CC C ) = ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
159	114, 158	eleqtrd 2544	. 2 |- ( ph -> ( K x. L ) e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
160		eqid 2454	. . 3 |- ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) )
161		fco 5679	. . . 4 |- ( ( F : X --> CC /\ G : Y --> X ) -> ( F o. G ) : Y --> CC )
162	17, 6, 161	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( F o. G ) : Y --> CC )
163	2, 3, 160, 5, 162, 12	eldv 21509	. 2 |- ( ph -> ( C ( T _D ( F o. G ) ) ( K x. L ) <-> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t T ) ) ` Y ) /\ ( K x. L ) e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
164	15, 159, 163	mpbir2and 913	1 |- ( ph -> C ( T _D ( F o. G ) ) ( K x. L ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2648   \ cdif 3436   C_ wss 3439   ifcif 3902   {csn 3988   <.cop 3994   class class class wbr 4403   |-> cmpt 4461   X. cxp 4949   dom cdm 4951   |` cres 4953   o. ccom 4955   Rel wrel 4956   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   CCcc 9394   0cc0 9396   x. cmul 9401   - cmin 9709   / cdiv 10107   ↾_t crest 14481   TopOpenctopn 14482  ℂ_fldccnfld 17946  TopOnctopon 18634   intcnt 18756   Cn ccn 18963   CnP ccnp 18964   tX ctx 19268   lim CC climc 21473   _D cdv 21474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474  ax-addf 9475  ax-mulf 9476

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-fi 7775  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-q 11068  df-rp 11106  df-xneg 11203  df-xadd 11204  df-xmul 11205  df-icc 11421  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-seq 11927  df-exp 11986  df-hash 12224  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-starv 14375  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-unif 14383  df-hom 14384  df-cco 14385  df-rest 14483  df-topn 14484  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-topgen 14504  df-pt 14505  df-prds 14508  df-xrs 14562  df-qtop 14567  df-imas 14568  df-xps 14570  df-mre 14646  df-mrc 14647  df-acs 14649  df-mnd 15537  df-submnd 15587  df-mulg 15670  df-cntz 15957  df-cmn 16403  df-psmet 17937  df-xmet 17938  df-met 17939  df-bl 17940  df-mopn 17941  df-cnfld 17947  df-top 18638  df-bases 18640  df-topon 18641  df-topsp 18642  df-ntr 18759  df-cn 18966  df-cnp 18967  df-tx 19270  df-hmeo 19463  df-xms 20030  df-ms 20031  df-tms 20032  df-cncf 20589  df-limc 21477  df-dv 21478

This theorem is referenced by:  dvco  21557  dvcof  21558  dvef  21588