Theorem dvcobr 22100

Description: The chain rule for derivatives at a point. For the (simpler but more limited) function version, see dvco 22101. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvco.f	|- ( ph -> F : X --> CC )
dvco.x	|- ( ph -> X C_ S )
dvco.g	|- ( ph -> G : Y --> X )
dvco.y	|- ( ph -> Y C_ T )
dvcobr.s	|- ( ph -> S C_ CC )
dvcobr.t	|- ( ph -> T C_ CC )
dvco.k	|- ( ph -> K e. V )
dvco.l	|- ( ph -> L e. V )
dvco.bf	|- ( ph -> ( G ` C ) ( S _D F ) K )
dvco.bg	|- ( ph -> C ( T _D G ) L )
dvco.j	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )

Assertion

Ref	Expression
dvcobr	|- ( ph -> C ( T _D ( F o. G ) ) ( K x. L ) )

Proof of Theorem dvcobr

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvco.bg	. . . 4 |- ( ph -> C ( T _D G ) L )
2		eqid 2467	. . . . 5 |- ( J ↾t T ) = ( J ↾t T )
3		dvco.j	. . . . 5 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
4		eqid 2467	. . . . 5 |- ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) )
5		dvcobr.t	. . . . 5 |- ( ph -> T C_ CC )
6		dvco.g	. . . . . 6 |- ( ph -> G : Y --> X )
7		dvco.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X C_ S )
8		dvcobr.s	. . . . . . 7 |- ( ph -> S C_ CC )
9	7, 8	sstrd 3514	. . . . . 6 |- ( ph -> X C_ CC )
10		fss 5738	. . . . . 6 |- ( ( G : Y --> X /\ X C_ CC ) -> G : Y --> CC )
11	6, 9, 10	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> G : Y --> CC )
12		dvco.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y C_ T )
13	2, 3, 4, 5, 11, 12	eldv 22053	. . . 4 |- ( ph -> ( C ( T _D G ) L <-> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t T ) ) ` Y ) /\ L e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
14	1, 13	mpbid 210	. . 3 |- ( ph -> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t T ) ) ` Y ) /\ L e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) )
15	14	simpld 459	. 2 |- ( ph -> C e. ( ( int ` ( J ↾t T ) ) ` Y ) )
16		dvco.bf	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G ` C ) ( S _D F ) K )
17		dvco.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : X --> CC )
18	8, 17, 7	dvcl 22054	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( G ` C ) ( S _D F ) K ) -> K e. CC )
19	16, 18	mpdan 668	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. CC )
20	19	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> K e. CC )
21	17	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> F : X --> CC )
22		eldifi 3626	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( Y \ { C } ) -> z e. Y )
23		ffvelrn 6018	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G : Y --> X /\ z e. Y ) -> ( G ` z ) e. X )
24	6, 22, 23	syl2an 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( G ` z ) e. X )
25	21, 24	ffvelrnd 6021	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( F ` ( G ` z ) ) e. CC )
26	25	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( F ` ( G ` z ) ) e. CC )
27	6	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> G : Y --> X )
28	5, 11, 12	dvbss 22056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> dom ( T _D G ) C_ Y )
29		reldv 22025	. . . . . . . . . . . . 13 |- Rel ( T _D G )
30		releldm 5234	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Rel ( T _D G ) /\ C ( T _D G ) L ) -> C e. dom ( T _D G ) )
31	29, 1, 30	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. dom ( T _D G ) )
32	28, 31	sseldd 3505	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. Y )
33	32	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> C e. Y )
34	27, 33	ffvelrnd 6021	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( G ` C ) e. X )
35	21, 34	ffvelrnd 6021	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( F ` ( G ` C ) ) e. CC )
36	35	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( F ` ( G ` C ) ) e. CC )
37	26, 36	subcld 9929	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) e. CC )
38	11	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> G : Y --> CC )
39	22	ad2antlr 726	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> z e. Y )
40	38, 39	ffvelrnd 6021	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( G ` z ) e. CC )
41	32	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> C e. Y )
42	38, 41	ffvelrnd 6021	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( G ` C ) e. CC )
43	40, 42	subcld 9929	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) e. CC )
44		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> -. ( G ` z ) = ( G ` C ) )
45	40, 42	subeq0ad 9939	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) = 0 <-> ( G ` z ) = ( G ` C ) ) )
46	45	necon3abid 2713	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) =/= 0 <-> -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) )
47	44, 46	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) =/= 0 )
48	37, 43, 47	divcld 10319	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) e. CC )
49	20, 48	ifclda 3971	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) e. CC )
50	12, 5	sstrd 3514	. . . . 5 |- ( ph -> Y C_ CC )
51	11, 50, 32	dvlem 22051	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
52		ssid 3523	. . . . 5 |- CC C_ CC
53	52	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> CC C_ CC )
54	3	cnfldtopon 21041	. . . . . . 7 |- J e. (TopOn ` CC )
55		txtopon 19843	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ J e. (TopOn ` CC ) ) -> ( J tX J ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) )
56	54, 54, 55	mp2an 672	. . . . . 6 |- ( J tX J ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) )
57	56	toponunii 19216	. . . . . . 7 |- ( CC X. CC ) = U. ( J tX J )
58	57	restid 14688	. . . . . 6 |- ( ( J tX J ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) -> ( ( J tX J ) ↾t ( CC X. CC ) ) = ( J tX J ) )
59	56, 58	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( J tX J ) ↾t ( CC X. CC ) ) = ( J tX J )
60	59	eqcomi 2480	. . . 4 |- ( J tX J ) = ( ( J tX J ) ↾t ( CC X. CC ) )
61	24	anim1i 568	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) =/= ( G ` C ) ) -> ( ( G ` z ) e. X /\ ( G ` z ) =/= ( G ` C ) ) )
62		eldifsn 4152	. . . . . . 7 |- ( ( G ` z ) e. ( X \ { ( G ` C ) } ) <-> ( ( G ` z ) e. X /\ ( G ` z ) =/= ( G ` C ) ) )
63	61, 62	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) =/= ( G ` C ) ) -> ( G ` z ) e. ( X \ { ( G ` C ) } ) )
64	63	anasss 647	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( z e. ( Y \ { C } ) /\ ( G ` z ) =/= ( G ` C ) ) ) -> ( G ` z ) e. ( X \ { ( G ` C ) } ) )
65		eldifsni 4153	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) -> y =/= ( G ` C ) )
66		ifnefalse 3951	. . . . . . . 8 |- ( y =/= ( G ` C ) -> if ( y = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) = ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) )
67	65, 66	syl 16	. . . . . . 7 |- ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) -> if ( y = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) = ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) )
68	67	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) ) -> if ( y = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) = ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) )
69	6, 32	ffvelrnd 6021	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G ` C ) e. X )
70	17, 9, 69	dvlem 22051	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) ) -> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) e. CC )
71	68, 70	eqeltrd 2555	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) ) -> if ( y = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) e. CC )
72		limcresi 22040	. . . . . . 7 |- ( G lim CC C ) C_ ( ( G |` ( Y \ { C } ) ) lim CC C )
73	6	feqmptd 5919	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G = ( z e. Y |-> ( G ` z ) ) )
74	73	reseq1d 5271	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G |` ( Y \ { C } ) ) = ( ( z e. Y |-> ( G ` z ) ) |` ( Y \ { C } ) ) )
75		difss 3631	. . . . . . . . . 10 |- ( Y \ { C } ) C_ Y
76		resmpt 5322	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Y \ { C } ) C_ Y -> ( ( z e. Y |-> ( G ` z ) ) |` ( Y \ { C } ) ) = ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( G ` z ) ) )
77	75, 76	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. Y |-> ( G ` z ) ) |` ( Y \ { C } ) ) = ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( G ` z ) )
78	74, 77	syl6eq 2524	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G |` ( Y \ { C } ) ) = ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( G ` z ) ) )
79	78	oveq1d 6298	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G |` ( Y \ { C } ) ) lim CC C ) = ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( G ` z ) ) lim CC C ) )
80	72, 79	syl5sseq 3552	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G lim CC C ) C_ ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( G ` z ) ) lim CC C ) )
81		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( J ↾t Y ) = ( J ↾t Y )
82	81, 3	dvcnp2 22074	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T C_ CC /\ G : Y --> CC /\ Y C_ T ) /\ C e. dom ( T _D G ) ) -> G e. ( ( ( J ↾t Y ) CnP J ) ` C ) )
83	5, 11, 12, 31, 82	syl31anc 1231	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. ( ( ( J ↾t Y ) CnP J ) ` C ) )
84	3, 81	cnplimc 22042	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y C_ CC /\ C e. Y ) -> ( G e. ( ( ( J ↾t Y ) CnP J ) ` C ) <-> ( G : Y --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) ) ) )
85	50, 32, 84	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G e. ( ( ( J ↾t Y ) CnP J ) ` C ) <-> ( G : Y --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) ) ) )
86	83, 85	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G : Y --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) ) )
87	86	simprd 463	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) )
88	80, 87	sseldd 3505	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ` C ) e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( G ` z ) ) lim CC C ) )
89		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- ( J ↾t S ) = ( J ↾t S )
90		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) = ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) )
91	89, 3, 90, 8, 17, 7	eldv 22053	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( G ` C ) ( S _D F ) K <-> ( ( G ` C ) e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) lim CC ( G ` C ) ) ) ) )
92	16, 91	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G ` C ) e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) lim CC ( G ` C ) ) ) )
93	92	simprd 463	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. ( ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) lim CC ( G ` C ) ) )
94	67	mpteq2ia 4529	. . . . . . 7 |- ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> if ( y = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) ) = ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) )
95	94	oveq1i 6293	. . . . . 6 |- ( ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> if ( y = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) ) lim CC ( G ` C ) ) = ( ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) lim CC ( G ` C ) )
96	93, 95	syl6eleqr 2566	. . . . 5 |- ( ph -> K e. ( ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> if ( y = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) ) lim CC ( G ` C ) ) )
97		eqeq1 2471	. . . . . 6 |- ( y = ( G ` z ) -> ( y = ( G ` C ) <-> ( G ` z ) = ( G ` C ) ) )
98		fveq2 5865	. . . . . . . 8 |- ( y = ( G ` z ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( G ` z ) ) )
99	98	oveq1d 6298	. . . . . . 7 |- ( y = ( G ` z ) -> ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) = ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) )
100		oveq1 6290	. . . . . . 7 |- ( y = ( G ` z ) -> ( y - ( G ` C ) ) = ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) )
101	99, 100	oveq12d 6301	. . . . . 6 |- ( y = ( G ` z ) -> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) )
102	97, 101	ifbieq2d 3964	. . . . 5 |- ( y = ( G ` z ) -> if ( y = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) = if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) )
103		iftrue 3945	. . . . . 6 |- ( ( G ` z ) = ( G ` C ) -> if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) = K )
104	103	ad2antll 728	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( z e. ( Y \ { C } ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) ) -> if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) = K )
105	64, 71, 88, 96, 102, 104	limcco 22048	. . . 4 |- ( ph -> K e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) ) lim CC C ) )
106	14	simprd 463	. . . 4 |- ( ph -> L e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
107	3	mulcn 21122	. . . . 5 |- x. e. ( ( J tX J ) Cn J )
108	5, 11, 12	dvcl 22054	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C ( T _D G ) L ) -> L e. CC )
109	1, 108	mpdan 668	. . . . . 6 |- ( ph -> L e. CC )
110		opelxpi 5030	. . . . . 6 |- ( ( K e. CC /\ L e. CC ) -> <. K , L >. e. ( CC X. CC ) )
111	19, 109, 110	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> <. K , L >. e. ( CC X. CC ) )
112	57	cncnpi 19561	. . . . 5 |- ( ( x. e. ( ( J tX J ) Cn J ) /\ <. K , L >. e. ( CC X. CC ) ) -> x. e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , L >. ) )
113	107, 111, 112	sylancr 663	. . . 4 |- ( ph -> x. e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , L >. ) )
114	49, 51, 53, 53, 3, 60, 105, 106, 113	limccnp2 22047	. . 3 |- ( ph -> ( K x. L ) e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) lim CC C ) )
115		oveq1 6290	. . . . . . . 8 |- ( K = if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) -> ( K x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
116	115	eqeq1d 2469	. . . . . . 7 |- ( K = if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) -> ( ( K x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) <-> ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) ) )
117		oveq1 6290	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) = if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
118	117	eqeq1d 2469	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) = if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) <-> ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) ) )
119	20	mul01d 9777	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( K x. 0 ) = 0 )
120	9	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> X C_ CC )
121	120, 24	sseldd 3505	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( G ` z ) e. CC )
122	120, 34	sseldd 3505	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( G ` C ) e. CC )
123	121, 122	subeq0ad 9939	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) = 0 <-> ( G ` z ) = ( G ` C ) ) )
124	123	biimpar 485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) = 0 )
125	124	oveq1d 6298	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) = ( 0 / ( z - C ) ) )
126	50	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> Y C_ CC )
127	22	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> z e. Y )
128	126, 127	sseldd 3505	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> z e. CC )
129	126, 33	sseldd 3505	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> C e. CC )
130	128, 129	subcld 9929	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( z - C ) e. CC )
131		eldifsni 4153	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( Y \ { C } ) -> z =/= C )
132	131	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> z =/= C )
133	128, 129, 132	subne0d 9938	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( z - C ) =/= 0 )
134	130, 133	div0d 10318	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( 0 / ( z - C ) ) = 0 )
135	134	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( 0 / ( z - C ) ) = 0 )
136	125, 135	eqtrd 2508	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) = 0 )
137	136	oveq2d 6299	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( K x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( K x. 0 ) )
138		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G ` z ) = ( G ` C ) -> ( F ` ( G ` z ) ) = ( F ` ( G ` C ) ) )
139	25, 35	subeq0ad 9939	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) = 0 <-> ( F ` ( G ` z ) ) = ( F ` ( G ` C ) ) ) )
140	138, 139	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( G ` z ) = ( G ` C ) -> ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) = 0 ) )
141	140	imp 429	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) = 0 )
142	141	oveq1d 6298	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) = ( 0 / ( z - C ) ) )
143	142, 135	eqtrd 2508	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) = 0 )
144	119, 137, 143	3eqtr4d 2518	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( K x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) )
145	130	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( z - C ) e. CC )
146	133	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( z - C ) =/= 0 )
147	37, 43, 145, 47, 146	dmdcan2d 10349	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) )
148	116, 118, 144, 147	ifbothda 3974	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) )
149		fvco3 5943	. . . . . . . . 9 |- ( ( G : Y --> X /\ z e. Y ) -> ( ( F o. G ) ` z ) = ( F ` ( G ` z ) ) )
150	6, 22, 149	syl2an 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( F o. G ) ` z ) = ( F ` ( G ` z ) ) )
151		fvco3 5943	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G : Y --> X /\ C e. Y ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )
152	6, 32, 151	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )
153	152	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )
154	150, 153	oveq12d 6301	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) = ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) )
155	154	oveq1d 6298	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) )
156	148, 155	eqtr4d 2511	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) )
157	156	mpteq2dva 4533	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) = ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
158	157	oveq1d 6298	. . 3 |- ( ph -> ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) lim CC C ) = ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
159	114, 158	eleqtrd 2557	. 2 |- ( ph -> ( K x. L ) e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
160		eqid 2467	. . 3 |- ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) )
161		fco 5740	. . . 4 |- ( ( F : X --> CC /\ G : Y --> X ) -> ( F o. G ) : Y --> CC )
162	17, 6, 161	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( F o. G ) : Y --> CC )
163	2, 3, 160, 5, 162, 12	eldv 22053	. 2 |- ( ph -> ( C ( T _D ( F o. G ) ) ( K x. L ) <-> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t T ) ) ` Y ) /\ ( K x. L ) e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
164	15, 159, 163	mpbir2and 920	1 |- ( ph -> C ( T _D ( F o. G ) ) ( K x. L ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   \ cdif 3473   C_ wss 3476   ifcif 3939   {csn 4027   <.cop 4033   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   X. cxp 4997   dom cdm 4999   |` cres 5001   o. ccom 5003   Rel wrel 5004   -->wf 5583   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   CCcc 9489   0cc0 9491   x. cmul 9496   - cmin 9804   / cdiv 10205   ↾_t crest 14675   TopOpenctopn 14676  ℂ_fldccnfld 18207  TopOnctopon 19178   intcnt 19300   Cn ccn 19507   CnP ccnp 19508   tX ctx 19812   lim CC climc 22017   _D cdv 22018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569  ax-addf 9570  ax-mulf 9571

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7829  df-fi 7870  df-sup 7900  df-oi 7934  df-card 8319  df-cda 8547  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-10 10601  df-n0 10795  df-z 10864  df-dec 10976  df-uz 11082  df-q 11182  df-rp 11220  df-xneg 11317  df-xadd 11318  df-xmul 11319  df-icc 11535  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-seq 12075  df-exp 12134  df-hash 12373  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-starv 14569  df-sca 14570  df-vsca 14571  df-ip 14572  df-tset 14573  df-ple 14574  df-ds 14576  df-unif 14577  df-hom 14578  df-cco 14579  df-rest 14677  df-topn 14678  df-0g 14696  df-gsum 14697  df-topgen 14698  df-pt 14699  df-prds 14702  df-xrs 14756  df-qtop 14761  df-imas 14762  df-xps 14764  df-mre 14840  df-mrc 14841  df-acs 14843  df-mnd 15731  df-submnd 15784  df-mulg 15867  df-cntz 16157  df-cmn 16603  df-psmet 18198  df-xmet 18199  df-met 18200  df-bl 18201  df-mopn 18202  df-cnfld 18208  df-top 19182  df-bases 19184  df-topon 19185  df-topsp 19186  df-ntr 19303  df-cn 19510  df-cnp 19511  df-tx 19814  df-hmeo 20007  df-xms 20574  df-ms 20575  df-tms 20576  df-cncf 21133  df-limc 22021  df-dv 22022

This theorem is referenced by:  dvco  22101  dvcof  22102  dvef  22132