Theorem dvcobr 22948

Description: The chain rule for derivatives at a point. For the (simpler but more limited) function version, see dvco 22949. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvco.f	|- ( ph -> F : X --> CC )
dvco.x	|- ( ph -> X C_ S )
dvco.g	|- ( ph -> G : Y --> X )
dvco.y	|- ( ph -> Y C_ T )
dvcobr.s	|- ( ph -> S C_ CC )
dvcobr.t	|- ( ph -> T C_ CC )
dvco.k	|- ( ph -> K e. V )
dvco.l	|- ( ph -> L e. V )
dvco.bf	|- ( ph -> ( G ` C ) ( S _D F ) K )
dvco.bg	|- ( ph -> C ( T _D G ) L )
dvco.j	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )

Assertion

Ref	Expression
dvcobr	|- ( ph -> C ( T _D ( F o. G ) ) ( K x. L ) )

Proof of Theorem dvcobr

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvco.bg	. . . 4 |- ( ph -> C ( T _D G ) L )
2		eqid 2461	. . . . 5 |- ( J ↾t T ) = ( J ↾t T )
3		dvco.j	. . . . 5 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
4		eqid 2461	. . . . 5 |- ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) )
5		dvcobr.t	. . . . 5 |- ( ph -> T C_ CC )
6		dvco.g	. . . . . 6 |- ( ph -> G : Y --> X )
7		dvco.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X C_ S )
8		dvcobr.s	. . . . . . 7 |- ( ph -> S C_ CC )
9	7, 8	sstrd 3453	. . . . . 6 |- ( ph -> X C_ CC )
10	6, 9	fssd 5760	. . . . 5 |- ( ph -> G : Y --> CC )
11		dvco.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y C_ T )
12	2, 3, 4, 5, 10, 11	eldv 22901	. . . 4 |- ( ph -> ( C ( T _D G ) L <-> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t T ) ) ` Y ) /\ L e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
13	1, 12	mpbid 215	. . 3 |- ( ph -> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t T ) ) ` Y ) /\ L e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) )
14	13	simpld 465	. 2 |- ( ph -> C e. ( ( int ` ( J ↾t T ) ) ` Y ) )
15		dvco.bf	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G ` C ) ( S _D F ) K )
16		dvco.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : X --> CC )
17	8, 16, 7	dvcl 22902	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( G ` C ) ( S _D F ) K ) -> K e. CC )
18	15, 17	mpdan 679	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. CC )
19	18	ad2antrr 737	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> K e. CC )
20	16	adantr 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> F : X --> CC )
21		eldifi 3566	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( Y \ { C } ) -> z e. Y )
22		ffvelrn 6042	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G : Y --> X /\ z e. Y ) -> ( G ` z ) e. X )
23	6, 21, 22	syl2an 484	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( G ` z ) e. X )
24	20, 23	ffvelrnd 6045	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( F ` ( G ` z ) ) e. CC )
25	24	adantr 471	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( F ` ( G ` z ) ) e. CC )
26	6	adantr 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> G : Y --> X )
27	5, 10, 11	dvbss 22904	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> dom ( T _D G ) C_ Y )
28		reldv 22873	. . . . . . . . . . . . 13 |- Rel ( T _D G )
29		releldm 5085	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Rel ( T _D G ) /\ C ( T _D G ) L ) -> C e. dom ( T _D G ) )
30	28, 1, 29	sylancr 674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. dom ( T _D G ) )
31	27, 30	sseldd 3444	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. Y )
32	31	adantr 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> C e. Y )
33	26, 32	ffvelrnd 6045	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( G ` C ) e. X )
34	20, 33	ffvelrnd 6045	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( F ` ( G ` C ) ) e. CC )
35	34	adantr 471	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( F ` ( G ` C ) ) e. CC )
36	25, 35	subcld 10011	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) e. CC )
37	10	ad2antrr 737	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> G : Y --> CC )
38	21	ad2antlr 738	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> z e. Y )
39	37, 38	ffvelrnd 6045	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( G ` z ) e. CC )
40	31	ad2antrr 737	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> C e. Y )
41	37, 40	ffvelrnd 6045	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( G ` C ) e. CC )
42	39, 41	subcld 10011	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) e. CC )
43		simpr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> -. ( G ` z ) = ( G ` C ) )
44	39, 41	subeq0ad 10021	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) = 0 <-> ( G ` z ) = ( G ` C ) ) )
45	44	necon3abid 2671	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) =/= 0 <-> -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) )
46	43, 45	mpbird 240	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) =/= 0 )
47	36, 42, 46	divcld 10410	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) e. CC )
48	19, 47	ifclda 3924	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) e. CC )
49	11, 5	sstrd 3453	. . . . 5 |- ( ph -> Y C_ CC )
50	10, 49, 31	dvlem 22899	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
51		ssid 3462	. . . . 5 |- CC C_ CC
52	51	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> CC C_ CC )
53	3	cnfldtopon 21851	. . . . . . 7 |- J e. (TopOn ` CC )
54		txtopon 20654	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ J e. (TopOn ` CC ) ) -> ( J tX J ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) )
55	53, 53, 54	mp2an 683	. . . . . 6 |- ( J tX J ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) )
56	55	toponunii 19995	. . . . . . 7 |- ( CC X. CC ) = U. ( J tX J )
57	56	restid 15380	. . . . . 6 |- ( ( J tX J ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) -> ( ( J tX J ) ↾t ( CC X. CC ) ) = ( J tX J ) )
58	55, 57	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( J tX J ) ↾t ( CC X. CC ) ) = ( J tX J )
59	58	eqcomi 2470	. . . 4 |- ( J tX J ) = ( ( J tX J ) ↾t ( CC X. CC ) )
60	23	anim1i 576	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) =/= ( G ` C ) ) -> ( ( G ` z ) e. X /\ ( G ` z ) =/= ( G ` C ) ) )
61		eldifsn 4109	. . . . . . 7 |- ( ( G ` z ) e. ( X \ { ( G ` C ) } ) <-> ( ( G ` z ) e. X /\ ( G ` z ) =/= ( G ` C ) ) )
62	60, 61	sylibr 217	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) =/= ( G ` C ) ) -> ( G ` z ) e. ( X \ { ( G ` C ) } ) )
63	62	anasss 657	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( z e. ( Y \ { C } ) /\ ( G ` z ) =/= ( G ` C ) ) ) -> ( G ` z ) e. ( X \ { ( G ` C ) } ) )
64		eldifsni 4110	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) -> y =/= ( G ` C ) )
65		ifnefalse 3904	. . . . . . . 8 |- ( y =/= ( G ` C ) -> if ( y = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) = ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) )
66	64, 65	syl 17	. . . . . . 7 |- ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) -> if ( y = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) = ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) )
67	66	adantl 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) ) -> if ( y = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) = ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) )
68	6, 31	ffvelrnd 6045	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G ` C ) e. X )
69	16, 9, 68	dvlem 22899	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) ) -> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) e. CC )
70	67, 69	eqeltrd 2539	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) ) -> if ( y = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) e. CC )
71		limcresi 22888	. . . . . . 7 |- ( G lim CC C ) C_ ( ( G |` ( Y \ { C } ) ) lim CC C )
72	6	feqmptd 5940	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G = ( z e. Y |-> ( G ` z ) ) )
73	72	reseq1d 5122	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G |` ( Y \ { C } ) ) = ( ( z e. Y |-> ( G ` z ) ) |` ( Y \ { C } ) ) )
74		difss 3571	. . . . . . . . . 10 |- ( Y \ { C } ) C_ Y
75		resmpt 5172	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Y \ { C } ) C_ Y -> ( ( z e. Y |-> ( G ` z ) ) |` ( Y \ { C } ) ) = ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( G ` z ) ) )
76	74, 75	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. Y |-> ( G ` z ) ) |` ( Y \ { C } ) ) = ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( G ` z ) )
77	73, 76	syl6eq 2511	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G |` ( Y \ { C } ) ) = ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( G ` z ) ) )
78	77	oveq1d 6329	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G |` ( Y \ { C } ) ) lim CC C ) = ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( G ` z ) ) lim CC C ) )
79	71, 78	syl5sseq 3491	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G lim CC C ) C_ ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( G ` z ) ) lim CC C ) )
80		eqid 2461	. . . . . . . . . 10 |- ( J ↾t Y ) = ( J ↾t Y )
81	80, 3	dvcnp2 22922	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T C_ CC /\ G : Y --> CC /\ Y C_ T ) /\ C e. dom ( T _D G ) ) -> G e. ( ( ( J ↾t Y ) CnP J ) ` C ) )
82	5, 10, 11, 30, 81	syl31anc 1279	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. ( ( ( J ↾t Y ) CnP J ) ` C ) )
83	3, 80	cnplimc 22890	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y C_ CC /\ C e. Y ) -> ( G e. ( ( ( J ↾t Y ) CnP J ) ` C ) <-> ( G : Y --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) ) ) )
84	49, 31, 83	syl2anc 671	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G e. ( ( ( J ↾t Y ) CnP J ) ` C ) <-> ( G : Y --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) ) ) )
85	82, 84	mpbid 215	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G : Y --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) ) )
86	85	simprd 469	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) )
87	79, 86	sseldd 3444	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ` C ) e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( G ` z ) ) lim CC C ) )
88		eqid 2461	. . . . . . . . 9 |- ( J ↾t S ) = ( J ↾t S )
89		eqid 2461	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) = ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) )
90	88, 3, 89, 8, 16, 7	eldv 22901	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( G ` C ) ( S _D F ) K <-> ( ( G ` C ) e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) lim CC ( G ` C ) ) ) ) )
91	15, 90	mpbid 215	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G ` C ) e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) lim CC ( G ` C ) ) ) )
92	91	simprd 469	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. ( ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) lim CC ( G ` C ) ) )
93	66	mpteq2ia 4498	. . . . . . 7 |- ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> if ( y = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) ) = ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) )
94	93	oveq1i 6324	. . . . . 6 |- ( ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> if ( y = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) ) lim CC ( G ` C ) ) = ( ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) lim CC ( G ` C ) )
95	92, 94	syl6eleqr 2550	. . . . 5 |- ( ph -> K e. ( ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> if ( y = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) ) lim CC ( G ` C ) ) )
96		eqeq1 2465	. . . . . 6 |- ( y = ( G ` z ) -> ( y = ( G ` C ) <-> ( G ` z ) = ( G ` C ) ) )
97		fveq2 5887	. . . . . . . 8 |- ( y = ( G ` z ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( G ` z ) ) )
98	97	oveq1d 6329	. . . . . . 7 |- ( y = ( G ` z ) -> ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) = ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) )
99		oveq1 6321	. . . . . . 7 |- ( y = ( G ` z ) -> ( y - ( G ` C ) ) = ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) )
100	98, 99	oveq12d 6332	. . . . . 6 |- ( y = ( G ` z ) -> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) )
101	96, 100	ifbieq2d 3917	. . . . 5 |- ( y = ( G ` z ) -> if ( y = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) = if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) )
102		iftrue 3898	. . . . . 6 |- ( ( G ` z ) = ( G ` C ) -> if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) = K )
103	102	ad2antll 740	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( z e. ( Y \ { C } ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) ) -> if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) = K )
104	63, 70, 87, 95, 101, 103	limcco 22896	. . . 4 |- ( ph -> K e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) ) lim CC C ) )
105	13	simprd 469	. . . 4 |- ( ph -> L e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
106	3	mulcn 21947	. . . . 5 |- x. e. ( ( J tX J ) Cn J )
107	5, 10, 11	dvcl 22902	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C ( T _D G ) L ) -> L e. CC )
108	1, 107	mpdan 679	. . . . . 6 |- ( ph -> L e. CC )
109		opelxpi 4884	. . . . . 6 |- ( ( K e. CC /\ L e. CC ) -> <. K , L >. e. ( CC X. CC ) )
110	18, 108, 109	syl2anc 671	. . . . 5 |- ( ph -> <. K , L >. e. ( CC X. CC ) )
111	56	cncnpi 20342	. . . . 5 |- ( ( x. e. ( ( J tX J ) Cn J ) /\ <. K , L >. e. ( CC X. CC ) ) -> x. e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , L >. ) )
112	106, 110, 111	sylancr 674	. . . 4 |- ( ph -> x. e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , L >. ) )
113	48, 50, 52, 52, 3, 59, 104, 105, 112	limccnp2 22895	. . 3 |- ( ph -> ( K x. L ) e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) lim CC C ) )
114		oveq1 6321	. . . . . . . 8 |- ( K = if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) -> ( K x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
115	114	eqeq1d 2463	. . . . . . 7 |- ( K = if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) -> ( ( K x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) <-> ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) ) )
116		oveq1 6321	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) = if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
117	116	eqeq1d 2463	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) = if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) <-> ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) ) )
118	19	mul01d 9857	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( K x. 0 ) = 0 )
119	9	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> X C_ CC )
120	119, 23	sseldd 3444	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( G ` z ) e. CC )
121	119, 33	sseldd 3444	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( G ` C ) e. CC )
122	120, 121	subeq0ad 10021	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) = 0 <-> ( G ` z ) = ( G ` C ) ) )
123	122	biimpar 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) = 0 )
124	123	oveq1d 6329	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) = ( 0 / ( z - C ) ) )
125	49	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> Y C_ CC )
126	21	adantl 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> z e. Y )
127	125, 126	sseldd 3444	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> z e. CC )
128	125, 32	sseldd 3444	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> C e. CC )
129	127, 128	subcld 10011	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( z - C ) e. CC )
130		eldifsni 4110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( Y \ { C } ) -> z =/= C )
131	130	adantl 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> z =/= C )
132	127, 128, 131	subne0d 10020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( z - C ) =/= 0 )
133	129, 132	div0d 10409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( 0 / ( z - C ) ) = 0 )
134	133	adantr 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( 0 / ( z - C ) ) = 0 )
135	124, 134	eqtrd 2495	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) = 0 )
136	135	oveq2d 6330	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( K x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( K x. 0 ) )
137		fveq2 5887	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G ` z ) = ( G ` C ) -> ( F ` ( G ` z ) ) = ( F ` ( G ` C ) ) )
138	24, 34	subeq0ad 10021	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) = 0 <-> ( F ` ( G ` z ) ) = ( F ` ( G ` C ) ) ) )
139	137, 138	syl5ibr 229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( G ` z ) = ( G ` C ) -> ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) = 0 ) )
140	139	imp 435	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) = 0 )
141	140	oveq1d 6329	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) = ( 0 / ( z - C ) ) )
142	141, 134	eqtrd 2495	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) = 0 )
143	118, 136, 142	3eqtr4d 2505	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( K x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) )
144	129	adantr 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( z - C ) e. CC )
145	132	adantr 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( z - C ) =/= 0 )
146	36, 42, 144, 46, 145	dmdcan2d 10440	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) )
147	115, 117, 143, 146	ifbothda 3927	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) )
148		fvco3 5964	. . . . . . . . 9 |- ( ( G : Y --> X /\ z e. Y ) -> ( ( F o. G ) ` z ) = ( F ` ( G ` z ) ) )
149	6, 21, 148	syl2an 484	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( F o. G ) ` z ) = ( F ` ( G ` z ) ) )
150		fvco3 5964	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G : Y --> X /\ C e. Y ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )
151	6, 31, 150	syl2anc 671	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )
152	151	adantr 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )
153	149, 152	oveq12d 6332	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) = ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) )
154	153	oveq1d 6329	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) )
155	147, 154	eqtr4d 2498	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) )
156	155	mpteq2dva 4502	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) = ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
157	156	oveq1d 6329	. . 3 |- ( ph -> ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) lim CC C ) = ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
158	113, 157	eleqtrd 2541	. 2 |- ( ph -> ( K x. L ) e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
159		eqid 2461	. . 3 |- ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) )
160		fco 5761	. . . 4 |- ( ( F : X --> CC /\ G : Y --> X ) -> ( F o. G ) : Y --> CC )
161	16, 6, 160	syl2anc 671	. . 3 |- ( ph -> ( F o. G ) : Y --> CC )
162	2, 3, 159, 5, 161, 11	eldv 22901	. 2 |- ( ph -> ( C ( T _D ( F o. G ) ) ( K x. L ) <-> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t T ) ) ` Y ) /\ ( K x. L ) e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
163	14, 158, 162	mpbir2and 938	1 |- ( ph -> C ( T _D ( F o. G ) ) ( K x. L ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   = wceq 1454   e. wcel 1897   =/= wne 2632   \ cdif 3412   C_ wss 3415   ifcif 3892   {csn 3979   <.cop 3985   class class class wbr 4415   |-> cmpt 4474   X. cxp 4850   dom cdm 4852   |` cres 4854   o. ccom 4856   Rel wrel 4857   -->wf 5596   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   CCcc 9562   0cc0 9564   x. cmul 9569   - cmin 9885   / cdiv 10296   ↾_t crest 15367   TopOpenctopn 15368  ℂ_fldccnfld 19018  TopOnctopon 19966   intcnt 20080   Cn ccn 20288   CnP ccnp 20289   tX ctx 20623   lim CC climc 22865   _D cdv 22866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642  ax-addf 9643  ax-mulf 9644

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-iin 4294  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-of 6557  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-supp 6941  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-2o 7208  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-pm 7500  df-ixp 7548  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-fsupp 7909  df-fi 7950  df-sup 7981  df-inf 7982  df-oi 8050  df-card 8398  df-cda 8623  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-4 10697  df-5 10698  df-6 10699  df-7 10700  df-8 10701  df-9 10702  df-10 10703  df-n0 10898  df-z 10966  df-dec 11080  df-uz 11188  df-q 11293  df-rp 11331  df-xneg 11437  df-xadd 11438  df-xmul 11439  df-icc 11670  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-seq 12245  df-exp 12304  df-hash 12547  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-struct 15171  df-ndx 15172  df-slot 15173  df-base 15174  df-sets 15175  df-ress 15176  df-plusg 15251  df-mulr 15252  df-starv 15253  df-sca 15254  df-vsca 15255  df-ip 15256  df-tset 15257  df-ple 15258  df-ds 15260  df-unif 15261  df-hom 15262  df-cco 15263  df-rest 15369  df-topn 15370  df-0g 15388  df-gsum 15389  df-topgen 15390  df-pt 15391  df-prds 15394  df-xrs 15448  df-qtop 15454  df-imas 15455  df-xps 15458  df-mre 15540  df-mrc 15541  df-acs 15543  df-mgm 16536  df-sgrp 16575  df-mnd 16585  df-submnd 16631  df-mulg 16724  df-cntz 17019  df-cmn 17480  df-psmet 19010  df-xmet 19011  df-met 19012  df-bl 19013  df-mopn 19014  df-cnfld 19019  df-top 19969  df-bases 19970  df-topon 19971  df-topsp 19972  df-ntr 20083  df-cn 20291  df-cnp 20292  df-tx 20625  df-hmeo 20818  df-xms 21383  df-ms 21384  df-tms 21385  df-cncf 21958  df-limc 22869  df-dv 22870

This theorem is referenced by:  dvco  22949  dvcof  22950  dvef  22980