Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcobr Structured version   Unicode version

Theorem dvcobr 22100
 Description: The chain rule for derivatives at a point. For the (simpler but more limited) function version, see dvco 22101. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvco.f
dvco.x
dvco.g
dvco.y
dvcobr.s
dvcobr.t
dvco.k
dvco.l
dvco.bf
dvco.bg
dvco.j fld
Assertion
Ref Expression
dvcobr

Proof of Theorem dvcobr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvco.bg . . . 4
2 eqid 2467 . . . . 5 t t
3 dvco.j . . . . 5 fld
4 eqid 2467 . . . . 5
5 dvcobr.t . . . . 5
6 dvco.g . . . . . 6
7 dvco.x . . . . . . 7
8 dvcobr.s . . . . . . 7
97, 8sstrd 3514 . . . . . 6
10 fss 5738 . . . . . 6
116, 9, 10syl2anc 661 . . . . 5
12 dvco.y . . . . 5
132, 3, 4, 5, 11, 12eldv 22053 . . . 4 t lim
141, 13mpbid 210 . . 3 t lim
1514simpld 459 . 2 t
16 dvco.bf . . . . . . 7
17 dvco.f . . . . . . . 8
188, 17, 7dvcl 22054 . . . . . . 7
1916, 18mpdan 668 . . . . . 6
2019ad2antrr 725 . . . . 5
2117adantr 465 . . . . . . . . 9
22 eldifi 3626 . . . . . . . . . 10
23 ffvelrn 6018 . . . . . . . . . 10
246, 22, 23syl2an 477 . . . . . . . . 9
2521, 24ffvelrnd 6021 . . . . . . . 8
2625adantr 465 . . . . . . 7
276adantr 465 . . . . . . . . . 10
285, 11, 12dvbss 22056 . . . . . . . . . . . 12
29 reldv 22025 . . . . . . . . . . . . 13
30 releldm 5234 . . . . . . . . . . . . 13
3129, 1, 30sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12
3228, 31sseldd 3505 . . . . . . . . . . 11
3332adantr 465 . . . . . . . . . 10
3427, 33ffvelrnd 6021 . . . . . . . . 9
3521, 34ffvelrnd 6021 . . . . . . . 8
3635adantr 465 . . . . . . 7
3726, 36subcld 9929 . . . . . 6
3811ad2antrr 725 . . . . . . . 8
3922ad2antlr 726 . . . . . . . 8
4038, 39ffvelrnd 6021 . . . . . . 7
4132ad2antrr 725 . . . . . . . 8
4238, 41ffvelrnd 6021 . . . . . . 7
4340, 42subcld 9929 . . . . . 6
44 simpr 461 . . . . . . 7
4540, 42subeq0ad 9939 . . . . . . . 8
4645necon3abid 2713 . . . . . . 7
4744, 46mpbird 232 . . . . . 6
4837, 43, 47divcld 10319 . . . . 5
4920, 48ifclda 3971 . . . 4
5012, 5sstrd 3514 . . . . 5
5111, 50, 32dvlem 22051 . . . 4
52 ssid 3523 . . . . 5
5352a1i 11 . . . 4
543cnfldtopon 21041 . . . . . . 7 TopOn
55 txtopon 19843 . . . . . . 7 TopOn TopOn TopOn
5654, 54, 55mp2an 672 . . . . . 6 TopOn
5756toponunii 19216 . . . . . . 7
5857restid 14688 . . . . . 6 TopOn t
5956, 58ax-mp 5 . . . . 5 t
6059eqcomi 2480 . . . 4 t
6124anim1i 568 . . . . . . 7
62 eldifsn 4152 . . . . . . 7
6361, 62sylibr 212 . . . . . 6
6463anasss 647 . . . . 5
65 eldifsni 4153 . . . . . . . 8
66 ifnefalse 3951 . . . . . . . 8
6765, 66syl 16 . . . . . . 7
6867adantl 466 . . . . . 6
696, 32ffvelrnd 6021 . . . . . . 7
7017, 9, 69dvlem 22051 . . . . . 6
7168, 70eqeltrd 2555 . . . . 5
72 limcresi 22040 . . . . . . 7 lim lim
736feqmptd 5919 . . . . . . . . . 10
7473reseq1d 5271 . . . . . . . . 9
75 difss 3631 . . . . . . . . . 10
76 resmpt 5322 . . . . . . . . . 10
7775, 76ax-mp 5 . . . . . . . . 9
7874, 77syl6eq 2524 . . . . . . . 8
7978oveq1d 6298 . . . . . . 7 lim lim
8072, 79syl5sseq 3552 . . . . . 6 lim lim
81 eqid 2467 . . . . . . . . . 10 t t
8281, 3dvcnp2 22074 . . . . . . . . 9 t
835, 11, 12, 31, 82syl31anc 1231 . . . . . . . 8 t
843, 81cnplimc 22042 . . . . . . . . 9 t lim
8550, 32, 84syl2anc 661 . . . . . . . 8 t lim
8683, 85mpbid 210 . . . . . . 7 lim
8786simprd 463 . . . . . 6 lim
8880, 87sseldd 3505 . . . . 5 lim
89 eqid 2467 . . . . . . . . 9 t t
90 eqid 2467 . . . . . . . . 9
9189, 3, 90, 8, 17, 7eldv 22053 . . . . . . . 8 t lim
9216, 91mpbid 210 . . . . . . 7 t lim
9392simprd 463 . . . . . 6 lim
9467mpteq2ia 4529 . . . . . . 7
9594oveq1i 6293 . . . . . 6 lim lim
9693, 95syl6eleqr 2566 . . . . 5 lim
97 eqeq1 2471 . . . . . 6
98 fveq2 5865 . . . . . . . 8
9998oveq1d 6298 . . . . . . 7
100 oveq1 6290 . . . . . . 7
10199, 100oveq12d 6301 . . . . . 6
10297, 101ifbieq2d 3964 . . . . 5
103 iftrue 3945 . . . . . 6
104103ad2antll 728 . . . . 5
10564, 71, 88, 96, 102, 104limcco 22048 . . . 4 lim
10614simprd 463 . . . 4 lim
1073mulcn 21122 . . . . 5
1085, 11, 12dvcl 22054 . . . . . . 7
1091, 108mpdan 668 . . . . . 6
110 opelxpi 5030 . . . . . 6
11119, 109, 110syl2anc 661 . . . . 5
11257cncnpi 19561 . . . . 5
113107, 111, 112sylancr 663 . . . 4
11449, 51, 53, 53, 3, 60, 105, 106, 113limccnp2 22047 . . 3 lim
115 oveq1 6290 . . . . . . . 8
116115eqeq1d 2469 . . . . . . 7
117 oveq1 6290 . . . . . . . 8
118117eqeq1d 2469 . . . . . . 7
11920mul01d 9777 . . . . . . . 8
1209adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
121120, 24sseldd 3505 . . . . . . . . . . . . 13
122120, 34sseldd 3505 . . . . . . . . . . . . 13
123121, 122subeq0ad 9939 . . . . . . . . . . . 12
124123biimpar 485 . . . . . . . . . . 11
125124oveq1d 6298 . . . . . . . . . 10
12650adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
12722adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
128126, 127sseldd 3505 . . . . . . . . . . . . 13
129126, 33sseldd 3505 . . . . . . . . . . . . 13
130128, 129subcld 9929 . . . . . . . . . . . 12
131 eldifsni 4153 . . . . . . . . . . . . . 14
132131adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
133128, 129, 132subne0d 9938 . . . . . . . . . . . 12
134130, 133div0d 10318 . . . . . . . . . . 11
135134adantr 465 . . . . . . . . . 10
136125, 135eqtrd 2508 . . . . . . . . 9
137136oveq2d 6299 . . . . . . . 8
138 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . 12
13925, 35subeq0ad 9939 . . . . . . . . . . . 12
140138, 139syl5ibr 221 . . . . . . . . . . 11
141140imp 429 . . . . . . . . . 10
142141oveq1d 6298 . . . . . . . . 9
143142, 135eqtrd 2508 . . . . . . . 8
144119, 137, 1433eqtr4d 2518 . . . . . . 7
145130adantr 465 . . . . . . . 8
146133adantr 465 . . . . . . . 8
14737, 43, 145, 47, 146dmdcan2d 10349 . . . . . . 7
148116, 118, 144, 147ifbothda 3974 . . . . . 6
149 fvco3 5943 . . . . . . . . 9
1506, 22, 149syl2an 477 . . . . . . . 8
151 fvco3 5943 . . . . . . . . . 10
1526, 32, 151syl2anc 661 . . . . . . . . 9
153152adantr 465 . . . . . . . 8
154150, 153oveq12d 6301 . . . . . . 7
155154oveq1d 6298 . . . . . 6
156148, 155eqtr4d 2511 . . . . 5
157156mpteq2dva 4533 . . . 4
158157oveq1d 6298 . . 3 lim lim
159114, 158eleqtrd 2557 . 2 lim
160 eqid 2467 . . 3
161 fco 5740 . . . 4
16217, 6, 161syl2anc 661 . . 3
1632, 3, 160, 5, 162, 12eldv 22053 . 2 t lim
16415, 159, 163mpbir2and 920 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662   cdif 3473   wss 3476  cif 3939  csn 4027  cop 4033   class class class wbr 4447   cmpt 4505   cxp 4997   cdm 4999   cres 5001   ccom 5003   wrel 5004  wf 5583  cfv 5587  (class class class)co 6283  cc 9489  cc0 9491   cmul 9496   cmin 9804   cdiv 10205   ↾t crest 14675  ctopn 14676  ℂfldccnfld 18207  TopOnctopon 19178  cnt 19300   ccn 19507   ccnp 19508   ctx 19812   lim climc 22017   cdv 22018 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569  ax-addf 9570  ax-mulf 9571 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7829  df-fi 7870  df-sup 7900  df-oi 7934  df-card 8319  df-cda 8547  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-10 10601  df-n0 10795  df-z 10864  df-dec 10976  df-uz 11082  df-q 11182  df-rp 11220  df-xneg 11317  df-xadd 11318  df-xmul 11319  df-icc 11535  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-seq 12075  df-exp 12134  df-hash 12373  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-starv 14569  df-sca 14570  df-vsca 14571  df-ip 14572  df-tset 14573  df-ple 14574  df-ds 14576  df-unif 14577  df-hom 14578  df-cco 14579  df-rest 14677  df-topn 14678  df-0g 14696  df-gsum 14697  df-topgen 14698  df-pt 14699  df-prds 14702  df-xrs 14756  df-qtop 14761  df-imas 14762  df-xps 14764  df-mre 14840  df-mrc 14841  df-acs 14843  df-mnd 15731  df-submnd 15784  df-mulg 15867  df-cntz 16157  df-cmn 16603  df-psmet 18198  df-xmet 18199  df-met 18200  df-bl 18201  df-mopn 18202  df-cnfld 18208  df-top 19182  df-bases 19184  df-topon 19185  df-topsp 19186  df-ntr 19303  df-cn 19510  df-cnp 19511  df-tx 19814  df-hmeo 20007  df-xms 20574  df-ms 20575  df-tms 20576  df-cncf 21133  df-limc 22021  df-dv 22022 This theorem is referenced by:  dvco  22101  dvcof  22102  dvef  22132
 Copyright terms: Public domain W3C validator