Theorem dvcobr 22474

Description: The chain rule for derivatives at a point. For the (simpler but more limited) function version, see dvco 22475. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvco.f	|- ( ph -> F : X --> CC )
dvco.x	|- ( ph -> X C_ S )
dvco.g	|- ( ph -> G : Y --> X )
dvco.y	|- ( ph -> Y C_ T )
dvcobr.s	|- ( ph -> S C_ CC )
dvcobr.t	|- ( ph -> T C_ CC )
dvco.k	|- ( ph -> K e. V )
dvco.l	|- ( ph -> L e. V )
dvco.bf	|- ( ph -> ( G ` C ) ( S _D F ) K )
dvco.bg	|- ( ph -> C ( T _D G ) L )
dvco.j	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )

Assertion

Ref	Expression
dvcobr	|- ( ph -> C ( T _D ( F o. G ) ) ( K x. L ) )

Proof of Theorem dvcobr

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvco.bg	. . . 4 |- ( ph -> C ( T _D G ) L )
2		eqid 2457	. . . . 5 |- ( J ↾t T ) = ( J ↾t T )
3		dvco.j	. . . . 5 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
4		eqid 2457	. . . . 5 |- ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) )
5		dvcobr.t	. . . . 5 |- ( ph -> T C_ CC )
6		dvco.g	. . . . . 6 |- ( ph -> G : Y --> X )
7		dvco.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X C_ S )
8		dvcobr.s	. . . . . . 7 |- ( ph -> S C_ CC )
9	7, 8	sstrd 3509	. . . . . 6 |- ( ph -> X C_ CC )
10	6, 9	fssd 5746	. . . . 5 |- ( ph -> G : Y --> CC )
11		dvco.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y C_ T )
12	2, 3, 4, 5, 10, 11	eldv 22427	. . . 4 |- ( ph -> ( C ( T _D G ) L <-> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t T ) ) ` Y ) /\ L e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
13	1, 12	mpbid 210	. . 3 |- ( ph -> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t T ) ) ` Y ) /\ L e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) )
14	13	simpld 459	. 2 |- ( ph -> C e. ( ( int ` ( J ↾t T ) ) ` Y ) )
15		dvco.bf	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G ` C ) ( S _D F ) K )
16		dvco.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : X --> CC )
17	8, 16, 7	dvcl 22428	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( G ` C ) ( S _D F ) K ) -> K e. CC )
18	15, 17	mpdan 668	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. CC )
19	18	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> K e. CC )
20	16	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> F : X --> CC )
21		eldifi 3622	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( Y \ { C } ) -> z e. Y )
22		ffvelrn 6030	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G : Y --> X /\ z e. Y ) -> ( G ` z ) e. X )
23	6, 21, 22	syl2an 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( G ` z ) e. X )
24	20, 23	ffvelrnd 6033	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( F ` ( G ` z ) ) e. CC )
25	24	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( F ` ( G ` z ) ) e. CC )
26	6	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> G : Y --> X )
27	5, 10, 11	dvbss 22430	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> dom ( T _D G ) C_ Y )
28		reldv 22399	. . . . . . . . . . . . 13 |- Rel ( T _D G )
29		releldm 5245	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Rel ( T _D G ) /\ C ( T _D G ) L ) -> C e. dom ( T _D G ) )
30	28, 1, 29	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. dom ( T _D G ) )
31	27, 30	sseldd 3500	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. Y )
32	31	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> C e. Y )
33	26, 32	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( G ` C ) e. X )
34	20, 33	ffvelrnd 6033	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( F ` ( G ` C ) ) e. CC )
35	34	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( F ` ( G ` C ) ) e. CC )
36	25, 35	subcld 9950	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) e. CC )
37	10	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> G : Y --> CC )
38	21	ad2antlr 726	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> z e. Y )
39	37, 38	ffvelrnd 6033	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( G ` z ) e. CC )
40	31	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> C e. Y )
41	37, 40	ffvelrnd 6033	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( G ` C ) e. CC )
42	39, 41	subcld 9950	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) e. CC )
43		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> -. ( G ` z ) = ( G ` C ) )
44	39, 41	subeq0ad 9960	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) = 0 <-> ( G ` z ) = ( G ` C ) ) )
45	44	necon3abid 2703	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) =/= 0 <-> -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) )
46	43, 45	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) =/= 0 )
47	36, 42, 46	divcld 10341	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) e. CC )
48	19, 47	ifclda 3976	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) e. CC )
49	11, 5	sstrd 3509	. . . . 5 |- ( ph -> Y C_ CC )
50	10, 49, 31	dvlem 22425	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
51		ssid 3518	. . . . 5 |- CC C_ CC
52	51	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> CC C_ CC )
53	3	cnfldtopon 21415	. . . . . . 7 |- J e. (TopOn ` CC )
54		txtopon 20217	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ J e. (TopOn ` CC ) ) -> ( J tX J ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) )
55	53, 53, 54	mp2an 672	. . . . . 6 |- ( J tX J ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) )
56	55	toponunii 19559	. . . . . . 7 |- ( CC X. CC ) = U. ( J tX J )
57	56	restid 14850	. . . . . 6 |- ( ( J tX J ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) -> ( ( J tX J ) ↾t ( CC X. CC ) ) = ( J tX J ) )
58	55, 57	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( J tX J ) ↾t ( CC X. CC ) ) = ( J tX J )
59	58	eqcomi 2470	. . . 4 |- ( J tX J ) = ( ( J tX J ) ↾t ( CC X. CC ) )
60	23	anim1i 568	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) =/= ( G ` C ) ) -> ( ( G ` z ) e. X /\ ( G ` z ) =/= ( G ` C ) ) )
61		eldifsn 4157	. . . . . . 7 |- ( ( G ` z ) e. ( X \ { ( G ` C ) } ) <-> ( ( G ` z ) e. X /\ ( G ` z ) =/= ( G ` C ) ) )
62	60, 61	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) =/= ( G ` C ) ) -> ( G ` z ) e. ( X \ { ( G ` C ) } ) )
63	62	anasss 647	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( z e. ( Y \ { C } ) /\ ( G ` z ) =/= ( G ` C ) ) ) -> ( G ` z ) e. ( X \ { ( G ` C ) } ) )
64		eldifsni 4158	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) -> y =/= ( G ` C ) )
65		ifnefalse 3956	. . . . . . . 8 |- ( y =/= ( G ` C ) -> if ( y = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) = ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) )
66	64, 65	syl 16	. . . . . . 7 |- ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) -> if ( y = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) = ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) )
67	66	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) ) -> if ( y = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) = ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) )
68	6, 31	ffvelrnd 6033	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G ` C ) e. X )
69	16, 9, 68	dvlem 22425	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) ) -> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) e. CC )
70	67, 69	eqeltrd 2545	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) ) -> if ( y = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) e. CC )
71		limcresi 22414	. . . . . . 7 |- ( G lim CC C ) C_ ( ( G |` ( Y \ { C } ) ) lim CC C )
72	6	feqmptd 5926	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G = ( z e. Y |-> ( G ` z ) ) )
73	72	reseq1d 5282	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G |` ( Y \ { C } ) ) = ( ( z e. Y |-> ( G ` z ) ) |` ( Y \ { C } ) ) )
74		difss 3627	. . . . . . . . . 10 |- ( Y \ { C } ) C_ Y
75		resmpt 5333	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Y \ { C } ) C_ Y -> ( ( z e. Y |-> ( G ` z ) ) |` ( Y \ { C } ) ) = ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( G ` z ) ) )
76	74, 75	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. Y |-> ( G ` z ) ) |` ( Y \ { C } ) ) = ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( G ` z ) )
77	73, 76	syl6eq 2514	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G |` ( Y \ { C } ) ) = ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( G ` z ) ) )
78	77	oveq1d 6311	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G |` ( Y \ { C } ) ) lim CC C ) = ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( G ` z ) ) lim CC C ) )
79	71, 78	syl5sseq 3547	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G lim CC C ) C_ ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( G ` z ) ) lim CC C ) )
80		eqid 2457	. . . . . . . . . 10 |- ( J ↾t Y ) = ( J ↾t Y )
81	80, 3	dvcnp2 22448	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T C_ CC /\ G : Y --> CC /\ Y C_ T ) /\ C e. dom ( T _D G ) ) -> G e. ( ( ( J ↾t Y ) CnP J ) ` C ) )
82	5, 10, 11, 30, 81	syl31anc 1231	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. ( ( ( J ↾t Y ) CnP J ) ` C ) )
83	3, 80	cnplimc 22416	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y C_ CC /\ C e. Y ) -> ( G e. ( ( ( J ↾t Y ) CnP J ) ` C ) <-> ( G : Y --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) ) ) )
84	49, 31, 83	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G e. ( ( ( J ↾t Y ) CnP J ) ` C ) <-> ( G : Y --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) ) ) )
85	82, 84	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G : Y --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) ) )
86	85	simprd 463	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) )
87	79, 86	sseldd 3500	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ` C ) e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( G ` z ) ) lim CC C ) )
88		eqid 2457	. . . . . . . . 9 |- ( J ↾t S ) = ( J ↾t S )
89		eqid 2457	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) = ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) )
90	88, 3, 89, 8, 16, 7	eldv 22427	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( G ` C ) ( S _D F ) K <-> ( ( G ` C ) e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) lim CC ( G ` C ) ) ) ) )
91	15, 90	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G ` C ) e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) lim CC ( G ` C ) ) ) )
92	91	simprd 463	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. ( ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) lim CC ( G ` C ) ) )
93	66	mpteq2ia 4539	. . . . . . 7 |- ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> if ( y = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) ) = ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) )
94	93	oveq1i 6306	. . . . . 6 |- ( ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> if ( y = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) ) lim CC ( G ` C ) ) = ( ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) lim CC ( G ` C ) )
95	92, 94	syl6eleqr 2556	. . . . 5 |- ( ph -> K e. ( ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> if ( y = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) ) lim CC ( G ` C ) ) )
96		eqeq1 2461	. . . . . 6 |- ( y = ( G ` z ) -> ( y = ( G ` C ) <-> ( G ` z ) = ( G ` C ) ) )
97		fveq2 5872	. . . . . . . 8 |- ( y = ( G ` z ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( G ` z ) ) )
98	97	oveq1d 6311	. . . . . . 7 |- ( y = ( G ` z ) -> ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) = ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) )
99		oveq1 6303	. . . . . . 7 |- ( y = ( G ` z ) -> ( y - ( G ` C ) ) = ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) )
100	98, 99	oveq12d 6314	. . . . . 6 |- ( y = ( G ` z ) -> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) )
101	96, 100	ifbieq2d 3969	. . . . 5 |- ( y = ( G ` z ) -> if ( y = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) = if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) )
102		iftrue 3950	. . . . . 6 |- ( ( G ` z ) = ( G ` C ) -> if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) = K )
103	102	ad2antll 728	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( z e. ( Y \ { C } ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) ) -> if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) = K )
104	63, 70, 87, 95, 101, 103	limcco 22422	. . . 4 |- ( ph -> K e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) ) lim CC C ) )
105	13	simprd 463	. . . 4 |- ( ph -> L e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
106	3	mulcn 21496	. . . . 5 |- x. e. ( ( J tX J ) Cn J )
107	5, 10, 11	dvcl 22428	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C ( T _D G ) L ) -> L e. CC )
108	1, 107	mpdan 668	. . . . . 6 |- ( ph -> L e. CC )
109		opelxpi 5040	. . . . . 6 |- ( ( K e. CC /\ L e. CC ) -> <. K , L >. e. ( CC X. CC ) )
110	18, 108, 109	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> <. K , L >. e. ( CC X. CC ) )
111	56	cncnpi 19905	. . . . 5 |- ( ( x. e. ( ( J tX J ) Cn J ) /\ <. K , L >. e. ( CC X. CC ) ) -> x. e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , L >. ) )
112	106, 110, 111	sylancr 663	. . . 4 |- ( ph -> x. e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , L >. ) )
113	48, 50, 52, 52, 3, 59, 104, 105, 112	limccnp2 22421	. . 3 |- ( ph -> ( K x. L ) e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) lim CC C ) )
114		oveq1 6303	. . . . . . . 8 |- ( K = if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) -> ( K x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
115	114	eqeq1d 2459	. . . . . . 7 |- ( K = if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) -> ( ( K x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) <-> ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) ) )
116		oveq1 6303	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) = if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
117	116	eqeq1d 2459	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) = if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) <-> ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) ) )
118	19	mul01d 9796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( K x. 0 ) = 0 )
119	9	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> X C_ CC )
120	119, 23	sseldd 3500	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( G ` z ) e. CC )
121	119, 33	sseldd 3500	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( G ` C ) e. CC )
122	120, 121	subeq0ad 9960	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) = 0 <-> ( G ` z ) = ( G ` C ) ) )
123	122	biimpar 485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) = 0 )
124	123	oveq1d 6311	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) = ( 0 / ( z - C ) ) )
125	49	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> Y C_ CC )
126	21	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> z e. Y )
127	125, 126	sseldd 3500	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> z e. CC )
128	125, 32	sseldd 3500	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> C e. CC )
129	127, 128	subcld 9950	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( z - C ) e. CC )
130		eldifsni 4158	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( Y \ { C } ) -> z =/= C )
131	130	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> z =/= C )
132	127, 128, 131	subne0d 9959	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( z - C ) =/= 0 )
133	129, 132	div0d 10340	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( 0 / ( z - C ) ) = 0 )
134	133	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( 0 / ( z - C ) ) = 0 )
135	124, 134	eqtrd 2498	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) = 0 )
136	135	oveq2d 6312	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( K x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( K x. 0 ) )
137		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G ` z ) = ( G ` C ) -> ( F ` ( G ` z ) ) = ( F ` ( G ` C ) ) )
138	24, 34	subeq0ad 9960	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) = 0 <-> ( F ` ( G ` z ) ) = ( F ` ( G ` C ) ) ) )
139	137, 138	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( G ` z ) = ( G ` C ) -> ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) = 0 ) )
140	139	imp 429	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) = 0 )
141	140	oveq1d 6311	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) = ( 0 / ( z - C ) ) )
142	141, 134	eqtrd 2498	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) = 0 )
143	118, 136, 142	3eqtr4d 2508	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( K x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) )
144	129	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( z - C ) e. CC )
145	132	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( z - C ) =/= 0 )
146	36, 42, 144, 46, 145	dmdcan2d 10371	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) )
147	115, 117, 143, 146	ifbothda 3979	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) )
148		fvco3 5950	. . . . . . . . 9 |- ( ( G : Y --> X /\ z e. Y ) -> ( ( F o. G ) ` z ) = ( F ` ( G ` z ) ) )
149	6, 21, 148	syl2an 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( F o. G ) ` z ) = ( F ` ( G ` z ) ) )
150		fvco3 5950	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G : Y --> X /\ C e. Y ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )
151	6, 31, 150	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )
152	151	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )
153	149, 152	oveq12d 6314	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) = ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) )
154	153	oveq1d 6311	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) )
155	147, 154	eqtr4d 2501	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) )
156	155	mpteq2dva 4543	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) = ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
157	156	oveq1d 6311	. . 3 |- ( ph -> ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) lim CC C ) = ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
158	113, 157	eleqtrd 2547	. 2 |- ( ph -> ( K x. L ) e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
159		eqid 2457	. . 3 |- ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) )
160		fco 5747	. . . 4 |- ( ( F : X --> CC /\ G : Y --> X ) -> ( F o. G ) : Y --> CC )
161	16, 6, 160	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( F o. G ) : Y --> CC )
162	2, 3, 159, 5, 161, 11	eldv 22427	. 2 |- ( ph -> ( C ( T _D ( F o. G ) ) ( K x. L ) <-> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t T ) ) ` Y ) /\ ( K x. L ) e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
163	14, 158, 162	mpbir2and 922	1 |- ( ph -> C ( T _D ( F o. G ) ) ( K x. L ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   \ cdif 3468   C_ wss 3471   ifcif 3944   {csn 4032   <.cop 4038   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   X. cxp 5006   dom cdm 5008   |` cres 5010   o. ccom 5012   Rel wrel 5013   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   0cc0 9509   x. cmul 9514   - cmin 9824   / cdiv 10227   ↾_t crest 14837   TopOpenctopn 14838  ℂ_fldccnfld 18546  TopOnctopon 19521   intcnt 19644   Cn ccn 19851   CnP ccnp 19852   tX ctx 20186   lim CC climc 22391   _D cdv 22392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-cnfld 18547  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-ntr 19647  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950  df-cncf 21507  df-limc 22395  df-dv 22396

This theorem is referenced by:  dvco  22475  dvcof  22476  dvef  22506