MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcobr Structured version   Unicode version

Theorem dvcobr 21262
Description: The chain rule for derivatives at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvco.f  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
dvco.x  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
dvco.g  |-  ( ph  ->  G : Y --> X )
dvco.y  |-  ( ph  ->  Y  C_  T )
dvcobr.s  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
dvcobr.t  |-  ( ph  ->  T  C_  CC )
dvco.k  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
dvco.l  |-  ( ph  ->  L  e.  V )
dvco.bf  |-  ( ph  ->  ( G `  C
) ( S  _D  F ) K )
dvco.bg  |-  ( ph  ->  C ( T  _D  G ) L )
dvco.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
dvcobr  |-  ( ph  ->  C ( T  _D  ( F  o.  G
) ) ( K  x.  L ) )

Proof of Theorem dvcobr
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvco.bg . . . 4  |-  ( ph  ->  C ( T  _D  G ) L )
2 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( Jt  T )  =  ( Jt  T )
3 dvco.j . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
4 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )
5 dvcobr.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  C_  CC )
6 dvco.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : Y --> X )
7 dvco.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
8 dvcobr.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
97, 8sstrd 3354 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
10 fss 5555 . . . . . 6  |-  ( ( G : Y --> X  /\  X  C_  CC )  ->  G : Y --> CC )
116, 9, 10syl2anc 654 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : Y --> CC )
12 dvco.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  C_  T )
132, 3, 4, 5, 11, 12eldv 21215 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C ( T  _D  G ) L  <-> 
( C  e.  ( ( int `  ( Jt  T ) ) `  Y )  /\  L  e.  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) ) ) )
141, 13mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  T ) ) `  Y )  /\  L  e.  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) ) )
1514simpld 456 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  T ) ) `  Y
) )
16 dvco.bf . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G `  C
) ( S  _D  F ) K )
17 dvco.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
188, 17, 7dvcl 21216 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( G `  C ) ( S  _D  F ) K )  ->  K  e.  CC )
1916, 18mpdan 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
2019ad2antrr 718 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  ->  K  e.  CC )
2117adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  ->  F : X --> CC )
22 eldifi 3466 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  -> 
z  e.  Y )
23 ffvelrn 5829 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G : Y --> X  /\  z  e.  Y )  ->  ( G `  z
)  e.  X )
246, 22, 23syl2an 474 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( G `  z
)  e.  X )
2521, 24ffvelrnd 5832 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( F `  ( G `  z )
)  e.  CC )
2625adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( F `  ( G `  z ) )  e.  CC )
276adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  ->  G : Y --> X )
285, 11, 12dvbss 21218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  ( T  _D  G )  C_  Y
)
29 reldv 21187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Rel  ( T  _D  G )
30 releldm 5059 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Rel  ( T  _D  G )  /\  C
( T  _D  G
) L )  ->  C  e.  dom  ( T  _D  G ) )
3129, 1, 30sylancr 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  dom  ( T  _D  G ) )
3228, 31sseldd 3345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  Y )
3332adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  ->  C  e.  Y )
3427, 33ffvelrnd 5832 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( G `  C
)  e.  X )
3521, 34ffvelrnd 5832 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( F `  ( G `  C )
)  e.  CC )
3635adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( F `  ( G `  C ) )  e.  CC )
3726, 36subcld 9707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( ( F `
 ( G `  z ) )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  e.  CC )
3811ad2antrr 718 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  G : Y --> CC )
3922ad2antlr 719 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  z  e.  Y
)
4038, 39ffvelrnd 5832 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( G `  z )  e.  CC )
4132ad2antrr 718 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  C  e.  Y
)
4238, 41ffvelrnd 5832 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( G `  C )  e.  CC )
4340, 42subcld 9707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  e.  CC )
44 simpr 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  -.  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )
4540, 42subeq0ad 9717 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  =  0  <->  ( G `  z )  =  ( G `  C ) ) )
4645necon3abid 2631 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  =/=  0  <->  -.  ( G `  z )  =  ( G `  C ) ) )
4744, 46mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  =/=  0 )
4837, 43, 47divcld 10095 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( ( ( F `  ( G `
 z ) )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
( G `  z
)  -  ( G `
 C ) ) )  e.  CC )
4920, 48ifclda 3809 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  ->  if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  e.  CC )
5012, 5sstrd 3354 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  C_  CC )
5111, 50, 32dvlem 21213 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  e.  CC )
52 ssid 3363 . . . . 5  |-  CC  C_  CC
5352a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
543cnfldtopon 20204 . . . . . . 7  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
55 txtopon 19006 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  J  e.  (TopOn `  CC )
)  ->  ( J  tX  J )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) ) )
5654, 54, 55mp2an 665 . . . . . 6  |-  ( J 
tX  J )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )
5756toponunii 18379 . . . . . . 7  |-  ( CC 
X.  CC )  = 
U. ( J  tX  J )
5857restid 14355 . . . . . 6  |-  ( ( J  tX  J )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )  ->  ( ( J 
tX  J )t  ( CC 
X.  CC ) )  =  ( J  tX  J ) )
5956, 58ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( J  tX  J )t  ( CC  X.  CC ) )  =  ( J 
tX  J )
6059eqcomi 2437 . . . 4  |-  ( J 
tX  J )  =  ( ( J  tX  J )t  ( CC  X.  CC ) )
6124anim1i 563 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =/=  ( G `  C ) )  -> 
( ( G `  z )  e.  X  /\  ( G `  z
)  =/=  ( G `
 C ) ) )
62 eldifsn 3988 . . . . . . 7  |-  ( ( G `  z )  e.  ( X  \  { ( G `  C ) } )  <-> 
( ( G `  z )  e.  X  /\  ( G `  z
)  =/=  ( G `
 C ) ) )
6361, 62sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =/=  ( G `  C ) )  -> 
( G `  z
)  e.  ( X 
\  { ( G `
 C ) } ) )
6463anasss 640 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  /\  ( G `  z )  =/=  ( G `  C
) ) )  -> 
( G `  z
)  e.  ( X 
\  { ( G `
 C ) } ) )
65 eldifsni 3989 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( X  \  { ( G `  C ) } )  ->  y  =/=  ( G `  C )
)
66 ifnefalse 3789 . . . . . . . 8  |-  ( y  =/=  ( G `  C )  ->  if ( y  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) )  =  ( ( ( F `
 y )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) )
6765, 66syl 16 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( X  \  { ( G `  C ) } )  ->  if ( y  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
y  -  ( G `
 C ) ) ) )  =  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) )
6867adantl 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { ( G `  C ) } ) )  ->  if ( y  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) )  =  ( ( ( F `
 y )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) )
696, 32ffvelrnd 5832 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  X )
7017, 9, 69dvlem 21213 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { ( G `  C ) } ) )  -> 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) )  e.  CC )
7168, 70eqeltrd 2507 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { ( G `  C ) } ) )  ->  if ( y  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) )  e.  CC )
72 limcresi 21202 . . . . . . 7  |-  ( G lim
CC  C )  C_  ( ( G  |`  ( Y  \  { C } ) ) lim CC  C )
736feqmptd 5732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  =  ( z  e.  Y  |->  ( G `
 z ) ) )
7473reseq1d 5096 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( Y  \  { C }
) )  =  ( ( z  e.  Y  |->  ( G `  z
) )  |`  ( Y  \  { C }
) ) )
75 difss 3471 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y 
\  { C }
)  C_  Y
76 resmpt 5144 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  \  { C } )  C_  Y  ->  ( ( z  e.  Y  |->  ( G `  z ) )  |`  ( Y  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( G `
 z ) ) )
7775, 76ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  Y  |->  ( G `  z ) )  |`  ( Y  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( G `  z ) )
7874, 77syl6eq 2481 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( Y  \  { C }
) )  =  ( z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( G `  z ) ) )
7978oveq1d 6095 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G  |`  ( Y  \  { C } ) ) lim CC  C )  =  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( G `
 z ) ) lim
CC  C ) )
8072, 79syl5sseq 3392 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G lim CC  C
)  C_  ( (
z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( G `  z ) ) lim CC  C ) )
81 eqid 2433 . . . . . . . . . 10  |-  ( Jt  Y )  =  ( Jt  Y )
8281, 3dvcnp2 21236 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  C_  CC  /\  G : Y --> CC  /\  Y  C_  T )  /\  C  e.  dom  ( T  _D  G ) )  ->  G  e.  ( ( ( Jt  Y )  CnP  J ) `  C ) )
835, 11, 12, 31, 82syl31anc 1214 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( ( Jt  Y )  CnP  J
) `  C )
)
843, 81cnplimc 21204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  C_  CC  /\  C  e.  Y )  ->  ( G  e.  ( (
( Jt  Y )  CnP  J
) `  C )  <->  ( G : Y --> CC  /\  ( G `  C )  e.  ( G lim CC  C ) ) ) )
8550, 32, 84syl2anc 654 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( ( ( Jt  Y )  CnP  J ) `  C )  <->  ( G : Y --> CC  /\  ( G `  C )  e.  ( G lim CC  C
) ) ) )
8683, 85mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G : Y --> CC  /\  ( G `  C )  e.  ( G lim CC  C ) ) )
8786simprd 460 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  ( G lim
CC  C ) )
8880, 87sseldd 3345 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  ( ( z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( G `  z ) ) lim CC  C ) )
89 eqid 2433 . . . . . . . . 9  |-  ( Jt  S )  =  ( Jt  S )
90 eqid 2433 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( X  \  { ( G `  C ) } ) 
|->  ( ( ( F `
 y )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) )  =  ( y  e.  ( X  \  { ( G `  C ) } ) 
|->  ( ( ( F `
 y )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) )
9189, 3, 90, 8, 17, 7eldv 21215 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( G `  C ) ( S  _D  F ) K  <-> 
( ( G `  C )  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  /\  K  e.  ( ( y  e.  ( X  \  {
( G `  C
) } )  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) ) lim CC  ( G `  C ) ) ) ) )
9216, 91mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G `  C )  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  /\  K  e.  ( ( y  e.  ( X  \  {
( G `  C
) } )  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) ) lim CC  ( G `  C ) ) ) )
9392simprd 460 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ( y  e.  ( X 
\  { ( G `
 C ) } )  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
y  -  ( G `
 C ) ) ) ) lim CC  ( G `  C )
) )
9467mpteq2ia 4362 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( X  \  { ( G `  C ) } ) 
|->  if ( y  =  ( G `  C
) ,  K , 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) ) )  =  ( y  e.  ( X 
\  { ( G `
 C ) } )  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
y  -  ( G `
 C ) ) ) )
9594oveq1i 6090 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( X 
\  { ( G `
 C ) } )  |->  if ( y  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
y  -  ( G `
 C ) ) ) ) ) lim CC  ( G `  C ) )  =  ( ( y  e.  ( X 
\  { ( G `
 C ) } )  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
y  -  ( G `
 C ) ) ) ) lim CC  ( G `  C )
)
9693, 95syl6eleqr 2524 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ( y  e.  ( X 
\  { ( G `
 C ) } )  |->  if ( y  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
y  -  ( G `
 C ) ) ) ) ) lim CC  ( G `  C ) ) )
97 eqeq1 2439 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  (
y  =  ( G `
 C )  <->  ( G `  z )  =  ( G `  C ) ) )
98 fveq2 5679 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( G `  z ) ) )
9998oveq1d 6095 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  (
( F `  y
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  =  ( ( F `
 ( G `  z ) )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) ) )
100 oveq1 6087 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  (
y  -  ( G `
 C ) )  =  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) )
10199, 100oveq12d 6098 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  (
( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) )  =  ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )
10297, 101ifbieq2d 3802 . . . . 5  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  if ( y  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) )  =  if ( ( G `
 z )  =  ( G `  C
) ,  K , 
( ( ( F `
 ( G `  z ) )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  /  ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) ) ) ) )
103 iftrue 3785 . . . . . 6  |-  ( ( G `  z )  =  ( G `  C )  ->  if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  =  K )
104103ad2antll 721 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) ) )  ->  if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `
 z ) )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
( G `  z
)  -  ( G `
 C ) ) ) )  =  K )
10564, 71, 88, 96, 102, 104limcco 21210 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ( z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `
 z ) )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
( G `  z
)  -  ( G `
 C ) ) ) ) ) lim CC  C ) )
10614simprd 460 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  ( ( z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
1073mulcn 20285 . . . . 5  |-  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
1085, 11, 12dvcl 21216 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C ( T  _D  G ) L )  ->  L  e.  CC )
1091, 108mpdan 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  CC )
110 opelxpi 4858 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CC  /\  L  e.  CC )  -> 
<. K ,  L >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
11119, 109, 110syl2anc 654 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. K ,  L >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
11257cncnpi 18724 . . . . 5  |-  ( (  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J )  /\  <. K ,  L >.  e.  ( CC  X.  CC ) )  ->  x.  e.  ( ( ( J 
tX  J )  CnP 
J ) `  <. K ,  L >. )
)
113107, 111, 112sylancr 656 . . . 4  |-  ( ph  ->  x.  e.  ( ( ( J  tX  J
)  CnP  J ) `  <. K ,  L >. ) )
11449, 51, 53, 53, 3, 60, 105, 106, 113limccnp2 21209 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  x.  L
)  e.  ( ( z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( if ( ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  x.  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) ) lim CC  C
) )
115 oveq1 6087 . . . . . . . 8  |-  ( K  =  if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `
 z ) )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
( G `  z
)  -  ( G `
 C ) ) ) )  ->  ( K  x.  ( (
( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( if ( ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  x.  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )
116115eqeq1d 2441 . . . . . . 7  |-  ( K  =  if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `
 z ) )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
( G `  z
)  -  ( G `
 C ) ) ) )  ->  (
( K  x.  (
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( z  -  C ) )  <->  ( if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  x.  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )
117 oveq1 6087 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) )  =  if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  -> 
( ( ( ( F `  ( G `
 z ) )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
( G `  z
)  -  ( G `
 C ) ) )  x.  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( if ( ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  x.  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )
118117eqeq1d 2441 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) )  =  if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  -> 
( ( ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) )  x.  (
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( z  -  C ) )  <->  ( if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  x.  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )
11920mul01d 9556 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  -> 
( K  x.  0 )  =  0 )
1209adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  ->  X  C_  CC )
121120, 24sseldd 3345 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( G `  z
)  e.  CC )
122120, 34sseldd 3345 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( G `  C
)  e.  CC )
123121, 122subeq0ad 9717 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  =  0  <->  ( G `  z )  =  ( G `  C ) ) )
124123biimpar 482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  -> 
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  =  0 )
125124oveq1d 6095 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  =  ( 0  / 
( z  -  C
) ) )
12650adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  ->  Y  C_  CC )
12722adantl 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
z  e.  Y )
128126, 127sseldd 3345 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
z  e.  CC )
129126, 33sseldd 3345 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  ->  C  e.  CC )
130128, 129subcld 9707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( z  -  C
)  e.  CC )
131 eldifsni 3989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  -> 
z  =/=  C )
132131adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
z  =/=  C )
133128, 129, 132subne0d 9716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( z  -  C
)  =/=  0 )
134130, 133div0d 10094 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( 0  /  (
z  -  C ) )  =  0 )
135134adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  -> 
( 0  /  (
z  -  C ) )  =  0 )
136125, 135eqtrd 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  =  0 )
137136oveq2d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  -> 
( K  x.  (
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( K  x.  0 ) )
138 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  z )  =  ( G `  C )  ->  ( F `  ( G `  z ) )  =  ( F `  ( G `  C )
) )
13925, 35subeq0ad 9717 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 ( G `  z ) )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  =  0  <->  ( F `  ( G `  z ) )  =  ( F `  ( G `  C )
) ) )
140138, 139syl5ibr 221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( ( G `  z )  =  ( G `  C )  ->  ( ( F `
 ( G `  z ) )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  =  0 ) )
141140imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  -> 
( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  =  0 )
142141oveq1d 6095 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  -> 
( ( ( F `
 ( G `  z ) )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  /  ( z  -  C ) )  =  ( 0  / 
( z  -  C
) ) )
143142, 135eqtrd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  -> 
( ( ( F `
 ( G `  z ) )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  /  ( z  -  C ) )  =  0 )
144119, 137, 1433eqtr4d 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  -> 
( K  x.  (
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( z  -  C ) ) )
145130adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( z  -  C )  e.  CC )
146133adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( z  -  C )  =/=  0
)
14737, 43, 145, 47, 146dmdcan2d 10125 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) )  x.  (
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( z  -  C ) ) )
148116, 118, 144, 147ifbothda 3812 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `
 z ) )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
( G `  z
)  -  ( G `
 C ) ) ) )  x.  (
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( z  -  C ) ) )
149 fvco3 5756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G : Y --> X  /\  z  e.  Y )  ->  ( ( F  o.  G ) `  z
)  =  ( F `
 ( G `  z ) ) )
1506, 22, 149syl2an 474 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( ( F  o.  G ) `  z
)  =  ( F `
 ( G `  z ) ) )
151 fvco3 5756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G : Y --> X  /\  C  e.  Y )  ->  ( ( F  o.  G ) `  C
)  =  ( F `
 ( G `  C ) ) )
1526, 32, 151syl2anc 654 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  G ) `  C
)  =  ( F `
 ( G `  C ) ) )
153152adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( ( F  o.  G ) `  C
)  =  ( F `
 ( G `  C ) ) )
154150, 153oveq12d 6098 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F  o.  G ) `  z )  -  (
( F  o.  G
) `  C )
)  =  ( ( F `  ( G `
 z ) )  -  ( F `  ( G `  C ) ) ) )
155154oveq1d 6095 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( F  o.  G ) `
 z )  -  ( ( F  o.  G ) `  C
) )  /  (
z  -  C ) )  =  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( z  -  C ) ) )
156148, 155eqtr4d 2468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `
 z ) )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
( G `  z
)  -  ( G `
 C ) ) ) )  x.  (
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( ( ( ( F  o.  G ) `  z
)  -  ( ( F  o.  G ) `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )
157156mpteq2dva 4366 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  x.  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )  =  ( z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( ( ( ( F  o.  G
) `  z )  -  ( ( F  o.  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) )
158157oveq1d 6095 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  x.  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) ) lim CC  C
)  =  ( ( z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( ( ( ( F  o.  G
) `  z )  -  ( ( F  o.  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
159114, 158eleqtrd 2509 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  x.  L
)  e.  ( ( z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( ( ( ( F  o.  G
) `  z )  -  ( ( F  o.  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
160 eqid 2433 . . 3  |-  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o.  G ) `  z )  -  (
( F  o.  G
) `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o.  G ) `  z )  -  (
( F  o.  G
) `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )
161 fco 5556 . . . 4  |-  ( ( F : X --> CC  /\  G : Y --> X )  ->  ( F  o.  G ) : Y --> CC )
16217, 6, 161syl2anc 654 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
) : Y --> CC )
1632, 3, 160, 5, 162, 12eldv 21215 . 2  |-  ( ph  ->  ( C ( T  _D  ( F  o.  G ) ) ( K  x.  L )  <-> 
( C  e.  ( ( int `  ( Jt  T ) ) `  Y )  /\  ( K  x.  L )  e.  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o.  G ) `  z
)  -  ( ( F  o.  G ) `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) ) ) )
16415, 159, 163mpbir2and 906 1  |-  ( ph  ->  C ( T  _D  ( F  o.  G
) ) ( K  x.  L ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596    \ cdif 3313    C_ wss 3316   ifcif 3779   {csn 3865   <.cop 3871   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338    X. cxp 4825   dom cdm 4827    |` cres 4829    o. ccom 4831   Rel wrel 4832   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9268   0cc0 9270    x. cmul 9275    - cmin 9583    / cdiv 9981   ↾t crest 14342   TopOpenctopn 14343  ℂfldccnfld 17662  TopOnctopon 18341   intcnt 18463    Cn ccn 18670    CnP ccnp 18671    tX ctx 18975   lim CC climc 21179    _D cdv 21180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348  ax-addf 9349  ax-mulf 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-icc 11295  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-seq 11791  df-exp 11850  df-hash 12088  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-starv 14236  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-ip 14239  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-unif 14244  df-hom 14245  df-cco 14246  df-rest 14344  df-topn 14345  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-topgen 14365  df-pt 14366  df-prds 14369  df-xrs 14423  df-qtop 14428  df-imas 14429  df-xps 14431  df-mre 14507  df-mrc 14508  df-acs 14510  df-mnd 15398  df-submnd 15448  df-mulg 15528  df-cntz 15815  df-cmn 16259  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-cnfld 17663  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-topsp 18349  df-ntr 18466  df-cn 18673  df-cnp 18674  df-tx 18977  df-hmeo 19170  df-xms 19737  df-ms 19738  df-tms 19739  df-cncf 20296  df-limc 21183  df-dv 21184
This theorem is referenced by:  dvco  21263  dvcof  21264  dvef  21294
  Copyright terms: Public domain W3C validator