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Theorem dvcobr 22474
Description: The chain rule for derivatives at a point. For the (simpler but more limited) function version, see dvco 22475. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvco.f  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
dvco.x  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
dvco.g  |-  ( ph  ->  G : Y --> X )
dvco.y  |-  ( ph  ->  Y  C_  T )
dvcobr.s  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
dvcobr.t  |-  ( ph  ->  T  C_  CC )
dvco.k  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
dvco.l  |-  ( ph  ->  L  e.  V )
dvco.bf  |-  ( ph  ->  ( G `  C
) ( S  _D  F ) K )
dvco.bg  |-  ( ph  ->  C ( T  _D  G ) L )
dvco.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
dvcobr  |-  ( ph  ->  C ( T  _D  ( F  o.  G
) ) ( K  x.  L ) )

Proof of Theorem dvcobr
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvco.bg . . . 4  |-  ( ph  ->  C ( T  _D  G ) L )
2 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( Jt  T )  =  ( Jt  T )
3 dvco.j . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
4 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )
5 dvcobr.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  C_  CC )
6 dvco.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : Y --> X )
7 dvco.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
8 dvcobr.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
97, 8sstrd 3509 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
106, 9fssd 5746 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : Y --> CC )
11 dvco.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  C_  T )
122, 3, 4, 5, 10, 11eldv 22427 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C ( T  _D  G ) L  <-> 
( C  e.  ( ( int `  ( Jt  T ) ) `  Y )  /\  L  e.  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) ) ) )
131, 12mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  T ) ) `  Y )  /\  L  e.  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) ) )
1413simpld 459 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  T ) ) `  Y
) )
15 dvco.bf . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G `  C
) ( S  _D  F ) K )
16 dvco.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
178, 16, 7dvcl 22428 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( G `  C ) ( S  _D  F ) K )  ->  K  e.  CC )
1815, 17mpdan 668 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
1918ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  ->  K  e.  CC )
2016adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  ->  F : X --> CC )
21 eldifi 3622 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  -> 
z  e.  Y )
22 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G : Y --> X  /\  z  e.  Y )  ->  ( G `  z
)  e.  X )
236, 21, 22syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( G `  z
)  e.  X )
2420, 23ffvelrnd 6033 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( F `  ( G `  z )
)  e.  CC )
2524adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( F `  ( G `  z ) )  e.  CC )
266adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  ->  G : Y --> X )
275, 10, 11dvbss 22430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  ( T  _D  G )  C_  Y
)
28 reldv 22399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Rel  ( T  _D  G )
29 releldm 5245 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Rel  ( T  _D  G )  /\  C
( T  _D  G
) L )  ->  C  e.  dom  ( T  _D  G ) )
3028, 1, 29sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  dom  ( T  _D  G ) )
3127, 30sseldd 3500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  Y )
3231adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  ->  C  e.  Y )
3326, 32ffvelrnd 6033 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( G `  C
)  e.  X )
3420, 33ffvelrnd 6033 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( F `  ( G `  C )
)  e.  CC )
3534adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( F `  ( G `  C ) )  e.  CC )
3625, 35subcld 9950 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( ( F `
 ( G `  z ) )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  e.  CC )
3710ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  G : Y --> CC )
3821ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  z  e.  Y
)
3937, 38ffvelrnd 6033 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( G `  z )  e.  CC )
4031ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  C  e.  Y
)
4137, 40ffvelrnd 6033 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( G `  C )  e.  CC )
4239, 41subcld 9950 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  e.  CC )
43 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  -.  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )
4439, 41subeq0ad 9960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  =  0  <->  ( G `  z )  =  ( G `  C ) ) )
4544necon3abid 2703 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  =/=  0  <->  -.  ( G `  z )  =  ( G `  C ) ) )
4643, 45mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  =/=  0 )
4736, 42, 46divcld 10341 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( ( ( F `  ( G `
 z ) )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
( G `  z
)  -  ( G `
 C ) ) )  e.  CC )
4819, 47ifclda 3976 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  ->  if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  e.  CC )
4911, 5sstrd 3509 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  C_  CC )
5010, 49, 31dvlem 22425 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  e.  CC )
51 ssid 3518 . . . . 5  |-  CC  C_  CC
5251a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
533cnfldtopon 21415 . . . . . . 7  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
54 txtopon 20217 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  J  e.  (TopOn `  CC )
)  ->  ( J  tX  J )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) ) )
5553, 53, 54mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( J 
tX  J )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )
5655toponunii 19559 . . . . . . 7  |-  ( CC 
X.  CC )  = 
U. ( J  tX  J )
5756restid 14850 . . . . . 6  |-  ( ( J  tX  J )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )  ->  ( ( J 
tX  J )t  ( CC 
X.  CC ) )  =  ( J  tX  J ) )
5855, 57ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( J  tX  J )t  ( CC  X.  CC ) )  =  ( J 
tX  J )
5958eqcomi 2470 . . . 4  |-  ( J 
tX  J )  =  ( ( J  tX  J )t  ( CC  X.  CC ) )
6023anim1i 568 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =/=  ( G `  C ) )  -> 
( ( G `  z )  e.  X  /\  ( G `  z
)  =/=  ( G `
 C ) ) )
61 eldifsn 4157 . . . . . . 7  |-  ( ( G `  z )  e.  ( X  \  { ( G `  C ) } )  <-> 
( ( G `  z )  e.  X  /\  ( G `  z
)  =/=  ( G `
 C ) ) )
6260, 61sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =/=  ( G `  C ) )  -> 
( G `  z
)  e.  ( X 
\  { ( G `
 C ) } ) )
6362anasss 647 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  /\  ( G `  z )  =/=  ( G `  C
) ) )  -> 
( G `  z
)  e.  ( X 
\  { ( G `
 C ) } ) )
64 eldifsni 4158 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( X  \  { ( G `  C ) } )  ->  y  =/=  ( G `  C )
)
65 ifnefalse 3956 . . . . . . . 8  |-  ( y  =/=  ( G `  C )  ->  if ( y  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) )  =  ( ( ( F `
 y )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) )
6664, 65syl 16 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( X  \  { ( G `  C ) } )  ->  if ( y  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
y  -  ( G `
 C ) ) ) )  =  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) )
6766adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { ( G `  C ) } ) )  ->  if ( y  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) )  =  ( ( ( F `
 y )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) )
686, 31ffvelrnd 6033 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  X )
6916, 9, 68dvlem 22425 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { ( G `  C ) } ) )  -> 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) )  e.  CC )
7067, 69eqeltrd 2545 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { ( G `  C ) } ) )  ->  if ( y  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) )  e.  CC )
71 limcresi 22414 . . . . . . 7  |-  ( G lim
CC  C )  C_  ( ( G  |`  ( Y  \  { C } ) ) lim CC  C )
726feqmptd 5926 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  =  ( z  e.  Y  |->  ( G `
 z ) ) )
7372reseq1d 5282 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( Y  \  { C }
) )  =  ( ( z  e.  Y  |->  ( G `  z
) )  |`  ( Y  \  { C }
) ) )
74 difss 3627 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y 
\  { C }
)  C_  Y
75 resmpt 5333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  \  { C } )  C_  Y  ->  ( ( z  e.  Y  |->  ( G `  z ) )  |`  ( Y  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( G `
 z ) ) )
7674, 75ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  Y  |->  ( G `  z ) )  |`  ( Y  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( G `  z ) )
7773, 76syl6eq 2514 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( Y  \  { C }
) )  =  ( z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( G `  z ) ) )
7877oveq1d 6311 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G  |`  ( Y  \  { C } ) ) lim CC  C )  =  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( G `
 z ) ) lim
CC  C ) )
7971, 78syl5sseq 3547 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G lim CC  C
)  C_  ( (
z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( G `  z ) ) lim CC  C ) )
80 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( Jt  Y )  =  ( Jt  Y )
8180, 3dvcnp2 22448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  C_  CC  /\  G : Y --> CC  /\  Y  C_  T )  /\  C  e.  dom  ( T  _D  G ) )  ->  G  e.  ( ( ( Jt  Y )  CnP  J ) `  C ) )
825, 10, 11, 30, 81syl31anc 1231 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( ( Jt  Y )  CnP  J
) `  C )
)
833, 80cnplimc 22416 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  C_  CC  /\  C  e.  Y )  ->  ( G  e.  ( (
( Jt  Y )  CnP  J
) `  C )  <->  ( G : Y --> CC  /\  ( G `  C )  e.  ( G lim CC  C ) ) ) )
8449, 31, 83syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( ( ( Jt  Y )  CnP  J ) `  C )  <->  ( G : Y --> CC  /\  ( G `  C )  e.  ( G lim CC  C
) ) ) )
8582, 84mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G : Y --> CC  /\  ( G `  C )  e.  ( G lim CC  C ) ) )
8685simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  ( G lim
CC  C ) )
8779, 86sseldd 3500 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  ( ( z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( G `  z ) ) lim CC  C ) )
88 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( Jt  S )  =  ( Jt  S )
89 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( X  \  { ( G `  C ) } ) 
|->  ( ( ( F `
 y )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) )  =  ( y  e.  ( X  \  { ( G `  C ) } ) 
|->  ( ( ( F `
 y )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) )
9088, 3, 89, 8, 16, 7eldv 22427 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( G `  C ) ( S  _D  F ) K  <-> 
( ( G `  C )  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  /\  K  e.  ( ( y  e.  ( X  \  {
( G `  C
) } )  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) ) lim CC  ( G `  C ) ) ) ) )
9115, 90mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G `  C )  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  /\  K  e.  ( ( y  e.  ( X  \  {
( G `  C
) } )  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) ) lim CC  ( G `  C ) ) ) )
9291simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ( y  e.  ( X 
\  { ( G `
 C ) } )  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
y  -  ( G `
 C ) ) ) ) lim CC  ( G `  C )
) )
9366mpteq2ia 4539 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( X  \  { ( G `  C ) } ) 
|->  if ( y  =  ( G `  C
) ,  K , 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) ) )  =  ( y  e.  ( X 
\  { ( G `
 C ) } )  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
y  -  ( G `
 C ) ) ) )
9493oveq1i 6306 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( X 
\  { ( G `
 C ) } )  |->  if ( y  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
y  -  ( G `
 C ) ) ) ) ) lim CC  ( G `  C ) )  =  ( ( y  e.  ( X 
\  { ( G `
 C ) } )  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
y  -  ( G `
 C ) ) ) ) lim CC  ( G `  C )
)
9592, 94syl6eleqr 2556 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ( y  e.  ( X 
\  { ( G `
 C ) } )  |->  if ( y  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
y  -  ( G `
 C ) ) ) ) ) lim CC  ( G `  C ) ) )
96 eqeq1 2461 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  (
y  =  ( G `
 C )  <->  ( G `  z )  =  ( G `  C ) ) )
97 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( G `  z ) ) )
9897oveq1d 6311 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  (
( F `  y
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  =  ( ( F `
 ( G `  z ) )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) ) )
99 oveq1 6303 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  (
y  -  ( G `
 C ) )  =  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) )
10098, 99oveq12d 6314 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  (
( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) )  =  ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )
10196, 100ifbieq2d 3969 . . . . 5  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  if ( y  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  ( y  -  ( G `  C ) ) ) )  =  if ( ( G `
 z )  =  ( G `  C
) ,  K , 
( ( ( F `
 ( G `  z ) )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  /  ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) ) ) ) )
102 iftrue 3950 . . . . . 6  |-  ( ( G `  z )  =  ( G `  C )  ->  if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  =  K )
103102ad2antll 728 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) ) )  ->  if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `
 z ) )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
( G `  z
)  -  ( G `
 C ) ) ) )  =  K )
10463, 70, 87, 95, 101, 103limcco 22422 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ( z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `
 z ) )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
( G `  z
)  -  ( G `
 C ) ) ) ) ) lim CC  C ) )
10513simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  ( ( z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
1063mulcn 21496 . . . . 5  |-  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
1075, 10, 11dvcl 22428 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C ( T  _D  G ) L )  ->  L  e.  CC )
1081, 107mpdan 668 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  CC )
109 opelxpi 5040 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CC  /\  L  e.  CC )  -> 
<. K ,  L >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
11018, 108, 109syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. K ,  L >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
11156cncnpi 19905 . . . . 5  |-  ( (  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J )  /\  <. K ,  L >.  e.  ( CC  X.  CC ) )  ->  x.  e.  ( ( ( J 
tX  J )  CnP 
J ) `  <. K ,  L >. )
)
112106, 110, 111sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  x.  e.  ( ( ( J  tX  J
)  CnP  J ) `  <. K ,  L >. ) )
11348, 50, 52, 52, 3, 59, 104, 105, 112limccnp2 22421 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  x.  L
)  e.  ( ( z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( if ( ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  x.  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) ) lim CC  C
) )
114 oveq1 6303 . . . . . . . 8  |-  ( K  =  if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `
 z ) )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
( G `  z
)  -  ( G `
 C ) ) ) )  ->  ( K  x.  ( (
( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( if ( ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  x.  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )
115114eqeq1d 2459 . . . . . . 7  |-  ( K  =  if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `
 z ) )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
( G `  z
)  -  ( G `
 C ) ) ) )  ->  (
( K  x.  (
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( z  -  C ) )  <->  ( if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  x.  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )
116 oveq1 6303 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) )  =  if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  -> 
( ( ( ( F `  ( G `
 z ) )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
( G `  z
)  -  ( G `
 C ) ) )  x.  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( if ( ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  x.  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )
117116eqeq1d 2459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) )  =  if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  -> 
( ( ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) )  x.  (
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( z  -  C ) )  <->  ( if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  x.  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )
11819mul01d 9796 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  -> 
( K  x.  0 )  =  0 )
1199adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  ->  X  C_  CC )
120119, 23sseldd 3500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( G `  z
)  e.  CC )
121119, 33sseldd 3500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( G `  C
)  e.  CC )
122120, 121subeq0ad 9960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  =  0  <->  ( G `  z )  =  ( G `  C ) ) )
123122biimpar 485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  -> 
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  =  0 )
124123oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  =  ( 0  / 
( z  -  C
) ) )
12549adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  ->  Y  C_  CC )
12621adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
z  e.  Y )
127125, 126sseldd 3500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
z  e.  CC )
128125, 32sseldd 3500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  ->  C  e.  CC )
129127, 128subcld 9950 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( z  -  C
)  e.  CC )
130 eldifsni 4158 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  -> 
z  =/=  C )
131130adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
z  =/=  C )
132127, 128, 131subne0d 9959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( z  -  C
)  =/=  0 )
133129, 132div0d 10340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( 0  /  (
z  -  C ) )  =  0 )
134133adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  -> 
( 0  /  (
z  -  C ) )  =  0 )
135124, 134eqtrd 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  =  0 )
136135oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  -> 
( K  x.  (
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( K  x.  0 ) )
137 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  z )  =  ( G `  C )  ->  ( F `  ( G `  z ) )  =  ( F `  ( G `  C )
) )
13824, 34subeq0ad 9960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 ( G `  z ) )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  =  0  <->  ( F `  ( G `  z ) )  =  ( F `  ( G `  C )
) ) )
139137, 138syl5ibr 221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( ( G `  z )  =  ( G `  C )  ->  ( ( F `
 ( G `  z ) )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  =  0 ) )
140139imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  -> 
( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  =  0 )
141140oveq1d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  -> 
( ( ( F `
 ( G `  z ) )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  /  ( z  -  C ) )  =  ( 0  / 
( z  -  C
) ) )
142141, 134eqtrd 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  -> 
( ( ( F `
 ( G `  z ) )  -  ( F `  ( G `
 C ) ) )  /  ( z  -  C ) )  =  0 )
143118, 136, 1423eqtr4d 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  ( G `  z )  =  ( G `  C ) )  -> 
( K  x.  (
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( z  -  C ) ) )
144129adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( z  -  C )  e.  CC )
145132adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( z  -  C )  =/=  0
)
14636, 42, 144, 46, 145dmdcan2d 10371 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  /\  -.  ( G `  z
)  =  ( G `
 C ) )  ->  ( ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) )  x.  (
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( z  -  C ) ) )
147115, 117, 143, 146ifbothda 3979 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `
 z ) )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
( G `  z
)  -  ( G `
 C ) ) ) )  x.  (
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( z  -  C ) ) )
148 fvco3 5950 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G : Y --> X  /\  z  e.  Y )  ->  ( ( F  o.  G ) `  z
)  =  ( F `
 ( G `  z ) ) )
1496, 21, 148syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( ( F  o.  G ) `  z
)  =  ( F `
 ( G `  z ) ) )
150 fvco3 5950 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G : Y --> X  /\  C  e.  Y )  ->  ( ( F  o.  G ) `  C
)  =  ( F `
 ( G `  C ) ) )
1516, 31, 150syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  G ) `  C
)  =  ( F `
 ( G `  C ) ) )
152151adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( ( F  o.  G ) `  C
)  =  ( F `
 ( G `  C ) ) )
153149, 152oveq12d 6314 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F  o.  G ) `  z )  -  (
( F  o.  G
) `  C )
)  =  ( ( F `  ( G `
 z ) )  -  ( F `  ( G `  C ) ) ) )
154153oveq1d 6311 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( F  o.  G ) `
 z )  -  ( ( F  o.  G ) `  C
) )  /  (
z  -  C ) )  =  ( ( ( F `  ( G `  z )
)  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( z  -  C ) ) )
155147, 154eqtr4d 2501 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `
 z ) )  -  ( F `  ( G `  C ) ) )  /  (
( G `  z
)  -  ( G `
 C ) ) ) )  x.  (
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( ( ( ( F  o.  G ) `  z
)  -  ( ( F  o.  G ) `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )
156155mpteq2dva 4543 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  x.  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )  =  ( z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( ( ( ( F  o.  G
) `  z )  -  ( ( F  o.  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) )
157156oveq1d 6311 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( if ( ( G `  z )  =  ( G `  C ) ,  K ,  ( ( ( F `  ( G `  z ) )  -  ( F `
 ( G `  C ) ) )  /  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )  x.  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) ) lim CC  C
)  =  ( ( z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( ( ( ( F  o.  G
) `  z )  -  ( ( F  o.  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
158113, 157eleqtrd 2547 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  x.  L
)  e.  ( ( z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( ( ( ( F  o.  G
) `  z )  -  ( ( F  o.  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
159 eqid 2457 . . 3  |-  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o.  G ) `  z )  -  (
( F  o.  G
) `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o.  G ) `  z )  -  (
( F  o.  G
) `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )
160 fco 5747 . . . 4  |-  ( ( F : X --> CC  /\  G : Y --> X )  ->  ( F  o.  G ) : Y --> CC )
16116, 6, 160syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
) : Y --> CC )
1622, 3, 159, 5, 161, 11eldv 22427 . 2  |-  ( ph  ->  ( C ( T  _D  ( F  o.  G ) ) ( K  x.  L )  <-> 
( C  e.  ( ( int `  ( Jt  T ) ) `  Y )  /\  ( K  x.  L )  e.  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o.  G ) `  z
)  -  ( ( F  o.  G ) `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) ) ) )
16314, 158, 162mpbir2and 922 1  |-  ( ph  ->  C ( T  _D  ( F  o.  G
) ) ( K  x.  L ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652    \ cdif 3468    C_ wss 3471   ifcif 3944   {csn 4032   <.cop 4038   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    X. cxp 5006   dom cdm 5008    |` cres 5010    o. ccom 5012   Rel wrel 5013   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   0cc0 9509    x. cmul 9514    - cmin 9824    / cdiv 10227   ↾t crest 14837   TopOpenctopn 14838  ℂfldccnfld 18546  TopOnctopon 19521   intcnt 19644    Cn ccn 19851    CnP ccnp 19852    tX ctx 20186   lim CC climc 22391    _D cdv 22392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-cnfld 18547  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-ntr 19647  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950  df-cncf 21507  df-limc 22395  df-dv 22396
This theorem is referenced by:  dvco  22475  dvcof  22476  dvef  22506
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