Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcnvre Unicode version

Theorem dvcnvre 19856
 Description: The derivative rule for inverse functions. If is a continuous and differentiable bijective function from to which never has derivative , then is also differentiable, and its derivative is the reciprocal of the derivative of . (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcnvre.f
dvcnvre.d
dvcnvre.z
dvcnvre.1
Assertion
Ref Expression
dvcnvre
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem dvcnvre
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . 2 fld fld
21tgioo2 18787 . 2 fldt
3 reex 9037 . . . 4
43prid1 3872 . . 3
54a1i 11 . 2
6 retop 18748 . . . . 5
7 dvcnvre.1 . . . . . . 7
8 f1ofo 5640 . . . . . . 7
9 forn 5615 . . . . . . 7
107, 8, 93syl 19 . . . . . 6
11 dvcnvre.f . . . . . . 7
12 cncff 18876 . . . . . . 7
13 frn 5556 . . . . . . 7
1411, 12, 133syl 19 . . . . . 6
1510, 14eqsstr3d 3343 . . . . 5
16 uniretop 18749 . . . . . 6
1716ntrss2 17076 . . . . 5
186, 15, 17sylancr 645 . . . 4
19 f1ocnvfv2 5974 . . . . . . . 8
207, 19sylan 458 . . . . . . 7
21 f1ocnv 5646 . . . . . . . . . . . 12
22 f1of 5633 . . . . . . . . . . . 12
237, 21, 223syl 19 . . . . . . . . . . 11
2423ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . 10
25 dvcnvre.d . . . . . . . . . . . . . . 15
26 dvbsss 19742 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
2825, 27eqsstr3d 3343 . . . . . . . . . . . . . 14
2916ntrss2 17076 . . . . . . . . . . . . . 14
306, 28, 29sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13
31 ax-resscn 9003 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
3311, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
34 fss 5558 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3533, 31, 34sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15
3632, 35, 28, 2, 1dvbssntr 19740 . . . . . . . . . . . . . 14
3725, 36eqsstr3d 3343 . . . . . . . . . . . . 13
3830, 37eqssd 3325 . . . . . . . . . . . 12
3916isopn3 17085 . . . . . . . . . . . . 13
406, 28, 39sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12
4138, 40mpbird 224 . . . . . . . . . . 11
42 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13
4342rexmet 18775 . . . . . . . . . . . 12
44 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14
4542, 44tgioo 18780 . . . . . . . . . . . . 13
4645mopni2 18476 . . . . . . . . . . . 12
4743, 46mp3an1 1266 . . . . . . . . . . 11
4841, 47sylan 458 . . . . . . . . . 10
4924, 48syldan 457 . . . . . . . . 9
5011ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10
5125ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10
52 dvcnvre.z . . . . . . . . . . 11
5352ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10
547ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10
5524adantr 452 . . . . . . . . . 10
56 rphalfcl 10592 . . . . . . . . . . 11
5756ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10
5828ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5958, 55sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6057rpred 10604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6159, 60resubcld 9421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6259, 60readdcld 9071 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
63 elicc2 10931 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6461, 62, 63syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6564biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6665simp1d 969 . . . . . . . . . . . . . . 15
6759adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
68 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6968rpred 10604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7067, 69resubcld 9421 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7161adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7268, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7372rpred 10604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
74 rphalflt 10594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7568, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7673, 69, 67, 75ltsub2dd 9595 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7765simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7870, 71, 66, 76, 77ltletrd 9186 . . . . . . . . . . . . . . 15
7962adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8067, 69readdcld 9071 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8165simp3d 971 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8273, 69, 67, 75ltadd2dd 9185 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8366, 79, 80, 81, 82lelttrd 9184 . . . . . . . . . . . . . . 15
8470rexrd 9090 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8580rexrd 9090 . . . . . . . . . . . . . . . 16
86 elioo2 10913 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8784, 85, 86syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15
8866, 78, 83, 87mpbir3and 1137 . . . . . . . . . . . . . 14
8988ex 424 . . . . . . . . . . . . 13
9089ssrdv 3314 . . . . . . . . . . . 12
91 rpre 10574 . . . . . . . . . . . . . 14
9291ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . 13
9342bl2ioo 18776 . . . . . . . . . . . . 13
9459, 92, 93syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
9590, 94sseqtr4d 3345 . . . . . . . . . . 11
96 simprr 734 . . . . . . . . . . 11
9795, 96sstrd 3318 . . . . . . . . . 10
98 eqid 2404 . . . . . . . . . 10
99 eqid 2404 . . . . . . . . . 10 fldt fldt
100 eqid 2404 . . . . . . . . . 10 fldt fldt
10150, 51, 53, 54, 55, 57, 97, 98, 1, 99, 100dvcnvrelem2 19855 . . . . . . . . 9 fldt fldt
10249, 101rexlimddv 2794 . . . . . . . 8 fldt fldt
103102simpld 446 . . . . . . 7
10420, 103eqeltrrd 2479 . . . . . 6
105104ex 424 . . . . 5
106105ssrdv 3314 . . . 4
10718, 106eqssd 3325 . . 3
10816isopn3 17085 . . . 4
1096, 15, 108sylancr 645 . . 3
110107, 109mpbird 224 . 2
111102simprd 450 . . . . . 6 fldt fldt
11220fveq2d 5691 . . . . . 6 fldt fldt fldt fldt
113111, 112eleqtrd 2480 . . . . 5 fldt fldt
114113ralrimiva 2749 . . . 4 fldt fldt
1151cnfldtopon 18770 . . . . . 6 fld TopOn
11615, 31syl6ss 3320 . . . . . 6
117 resttopon 17179 . . . . . 6 fld TopOn fldt TopOn
118115, 116, 117sylancr 645 . . . . 5 fldt TopOn
11928, 31syl6ss 3320 . . . . . 6
120 resttopon 17179 . . . . . 6 fld TopOn fldt TopOn
121115, 119, 120sylancr 645 . . . . 5 fldt TopOn
122 cncnp 17298 . . . . 5 fldt TopOn fldt TopOn fldt fldt fldt fldt
123118, 121, 122syl2anc 643 . . . 4 fldt fldt fldt fldt
12423, 114, 123mpbir2and 889 . . 3 fldt fldt
1251, 100, 99cncfcn 18892 . . . 4 fldt fldt
126116, 119, 125syl2anc 643 . . 3 fldt fldt
127124, 126eleqtrrd 2481 . 2
1281, 2, 5, 110, 7, 127, 25, 52dvcnv 19814 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1721  wral 2666  wrex 2667   wss 3280  cpr 3775   class class class wbr 4172   cmpt 4226   cxp 4835  ccnv 4836   cdm 4837   crn 4838   cres 4839   ccom 4841  wf 5409  wfo 5411  wf1o 5412  cfv 5413  (class class class)co 6040  cc 8944  cr 8945  cc0 8946  c1 8947   caddc 8949  cxr 9075   clt 9076   cle 9077   cmin 9247   cdiv 9633  c2 10005  crp 10568  cioo 10872  cicc 10875  cabs 11994   ↾t crest 13603  ctopn 13604  ctg 13620  cxmt 16641  cbl 16643  cmopn 16646  ℂfldccnfld 16658  ctop 16913  TopOnctopon 16914  cnt 17036   ccn 17242   ccnp 17243  ccncf 18859   cdv 19703 This theorem is referenced by:  dvrelog  20481 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707
 Copyright terms: Public domain W3C validator