MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcnv Structured version   Unicode version

Theorem dvcnv 21565
Description: A weak version of dvcnvre 21607, valid for both real and complex domains but under the hypothesis that the inverse function is already known to be continuous, and the image set is known to be open. A more advanced proof can show that these conditions are unnecessary. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcnv.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
dvcnv.k  |-  K  =  ( Jt  S )
dvcnv.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvcnv.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
dvcnv.f  |-  ( ph  ->  F : X -1-1-onto-> Y )
dvcnv.i  |-  ( ph  ->  `' F  e.  ( Y -cn-> X ) )
dvcnv.d  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  =  X )
dvcnv.z  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  ( S  _D  F
) )
Assertion
Ref Expression
dvcnv  |-  ( ph  ->  ( S  _D  `' F )  =  ( x  e.  Y  |->  ( 1  /  ( ( S  _D  F ) `
 ( `' F `  x ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, J    ph, x    x, S    x, Y
Allowed substitution hints:    K( x)    X( x)

Proof of Theorem dvcnv
StepHypRef Expression
1 dvcnv.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 dvfg 21497 . . . . 5  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  `' F ) : dom  ( S  _D  `' F
) --> CC )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  _D  `' F ) : dom  ( S  _D  `' F
) --> CC )
4 recnprss 21495 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
51, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
6 dvcnv.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : X -1-1-onto-> Y )
7 f1ocnv 5751 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
8 f1of 5739 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  ->  `' F : Y --> X )
96, 7, 83syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  `' F : Y --> X )
10 dvcnv.d . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  =  X )
11 dvbsss 21493 . . . . . . . . . 10  |-  dom  ( S  _D  F )  C_  S
1210, 11syl6eqssr 3505 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
1312, 5sstrd 3464 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
14 fss 5665 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F : Y --> X  /\  X  C_  CC )  ->  `' F : Y --> CC )
159, 13, 14syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  `' F : Y --> CC )
16 dvcnv.k . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( Jt  S )
17 dvcnv.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
1817cnfldtopon 20478 . . . . . . . . . 10  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
19 resttopon 18881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
2018, 5, 19sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
2116, 20syl5eqel 2543 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  S ) )
22 dvcnv.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
23 toponss 18650 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  S )  /\  Y  e.  K )  ->  Y  C_  S )
2421, 22, 23syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  C_  S )
255, 15, 24dvbss 21492 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  `' F )  C_  Y
)
26 f1ocnvfv2 6083 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  x  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  x ) )  =  x )
276, 26sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  x )
)  =  x )
281adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2922adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  Y  e.  K )
306adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  F : X -1-1-onto-> Y )
31 dvcnv.i . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  `' F  e.  ( Y -cn-> X ) )
3231adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  `' F  e.  ( Y -cn-> X ) )
3310adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  dom  ( S  _D  F
)  =  X )
34 dvcnv.z . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  ( S  _D  F
) )
3534adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  -.  0  e.  ran  ( S  _D  F ) )
369ffvelrnda 5942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( `' F `  x )  e.  X )
3717, 16, 28, 29, 30, 32, 33, 35, 36dvcnvlem 21564 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  x )
) ( S  _D  `' F ) ( 1  /  ( ( S  _D  F ) `  ( `' F `  x ) ) ) )
3827, 37eqbrtrrd 4412 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  x
( S  _D  `' F ) ( 1  /  ( ( S  _D  F ) `  ( `' F `  x ) ) ) )
39 reldv 21461 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  ( S  _D  `' F )
4039releldmi 5174 . . . . . . . . 9  |-  ( x ( S  _D  `' F ) ( 1  /  ( ( S  _D  F ) `  ( `' F `  x ) ) )  ->  x  e.  dom  ( S  _D  `' F ) )
4138, 40syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  dom  ( S  _D  `' F ) )
4241ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Y  ->  x  e.  dom  ( S  _D  `' F ) ) )
4342ssrdv 3460 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  C_  dom  ( S  _D  `' F ) )
4425, 43eqssd 3471 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  `' F )  =  Y )
4544feq2d 5645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  `' F ) : dom  ( S  _D  `' F
) --> CC  <->  ( S  _D  `' F ) : Y --> CC ) )
463, 45mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  _D  `' F ) : Y --> CC )
4746feqmptd 5843 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  `' F )  =  ( x  e.  Y  |->  ( ( S  _D  `' F ) `  x
) ) )
483adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( S  _D  `' F ) : dom  ( S  _D  `' F ) --> CC )
49 ffun 5659 . . . . 5  |-  ( ( S  _D  `' F
) : dom  ( S  _D  `' F ) --> CC  ->  Fun  ( S  _D  `' F ) )
5048, 49syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  Fun  ( S  _D  `' F
) )
51 funbrfv 5829 . . . 4  |-  ( Fun  ( S  _D  `' F )  ->  (
x ( S  _D  `' F ) ( 1  /  ( ( S  _D  F ) `  ( `' F `  x ) ) )  ->  (
( S  _D  `' F ) `  x
)  =  ( 1  /  ( ( S  _D  F ) `  ( `' F `  x ) ) ) ) )
5250, 38, 51sylc 60 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( S  _D  `' F ) `  x
)  =  ( 1  /  ( ( S  _D  F ) `  ( `' F `  x ) ) ) )
5352mpteq2dva 4476 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Y  |->  ( ( S  _D  `' F ) `  x
) )  =  ( x  e.  Y  |->  ( 1  /  ( ( S  _D  F ) `
 ( `' F `  x ) ) ) ) )
5447, 53eqtrd 2492 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  `' F )  =  ( x  e.  Y  |->  ( 1  /  ( ( S  _D  F ) `
 ( `' F `  x ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    C_ wss 3426   {cpr 3977   class class class wbr 4390    |-> cmpt 4448   `'ccnv 4937   dom cdm 4938   ran crn 4939   Fun wfun 5510   -->wf 5512   -1-1-onto->wf1o 5515   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   CCcc 9381   RRcr 9382   0cc0 9383   1c1 9384    / cdiv 10094   ↾t crest 14461   TopOpenctopn 14462  ℂfldccnfld 17927  TopOnctopon 18615   -cn->ccncf 20568    _D cdv 21454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-inf2 7948  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461  ax-mulf 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-se 4778  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-isom 5525  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-of 6420  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-supp 6791  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-2o 7021  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-pm 7317  df-ixp 7364  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-fsupp 7722  df-fi 7762  df-sup 7792  df-oi 7825  df-card 8210  df-cda 8438  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-7 10486  df-8 10487  df-9 10488  df-10 10489  df-n0 10681  df-z 10748  df-dec 10857  df-uz 10963  df-q 11055  df-rp 11093  df-xneg 11190  df-xadd 11191  df-xmul 11192  df-icc 11408  df-fz 11539  df-fzo 11650  df-seq 11908  df-exp 11967  df-hash 12205  df-cj 12690  df-re 12691  df-im 12692  df-sqr 12826  df-abs 12827  df-struct 14278  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-ress 14283  df-plusg 14353  df-mulr 14354  df-starv 14355  df-sca 14356  df-vsca 14357  df-ip 14358  df-tset 14359  df-ple 14360  df-ds 14362  df-unif 14363  df-hom 14364  df-cco 14365  df-rest 14463  df-topn 14464  df-0g 14482  df-gsum 14483  df-topgen 14484  df-pt 14485  df-prds 14488  df-xrs 14542  df-qtop 14547  df-imas 14548  df-xps 14550  df-mre 14626  df-mrc 14627  df-acs 14629  df-mnd 15517  df-submnd 15567  df-mulg 15650  df-cntz 15937  df-cmn 16383  df-psmet 17918  df-xmet 17919  df-met 17920  df-bl 17921  df-mopn 17922  df-fbas 17923  df-fg 17924  df-cnfld 17928  df-top 18619  df-bases 18621  df-topon 18622  df-topsp 18623  df-cld 18739  df-ntr 18740  df-cls 18741  df-nei 18818  df-lp 18856  df-perf 18857  df-cn 18947  df-cnp 18948  df-haus 19035  df-tx 19251  df-hmeo 19444  df-fil 19535  df-fm 19627  df-flim 19628  df-flf 19629  df-xms 20011  df-ms 20012  df-tms 20013  df-cncf 20570  df-limc 21457  df-dv 21458
This theorem is referenced by:  dvcnvre  21607  dvlog  22212
  Copyright terms: Public domain W3C validator