MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcnsqrt Structured version   Unicode version

Theorem dvcnsqrt 23626
Description: Derivative of square root function. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
dvcncxp1.d  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
Assertion
Ref Expression
dvcnsqrt  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  D  |->  ( sqr `  x
) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  x ) ) ) )
Distinct variable group:    x, D

Proof of Theorem dvcnsqrt
StepHypRef Expression
1 halfcn 10780 . . 3  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
2 dvcncxp1.d . . . 4  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
32dvcncxp1 23625 . . 3  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  D  |->  ( x  ^c  ( 1  / 
2 ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( ( 1  /  2 )  x.  ( x  ^c  ( ( 1  /  2 )  - 
1 ) ) ) ) )
41, 3ax-mp 5 . 2  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  D  |->  ( x  ^c  ( 1  / 
2 ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( ( 1  /  2 )  x.  ( x  ^c  ( ( 1  /  2 )  - 
1 ) ) ) )
5 difss 3535 . . . . . . 7  |-  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  C_  CC
62, 5eqsstri 3437 . . . . . 6  |-  D  C_  CC
76sseli 3403 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  x  e.  CC )
8 cxpsqrt 23590 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  ^c  ( 1  /  2 ) )  =  ( sqr `  x ) )
97, 8syl 17 . . . 4  |-  ( x  e.  D  ->  (
x  ^c  ( 1  /  2 ) )  =  ( sqr `  x ) )
109mpteq2ia 4449 . . 3  |-  ( x  e.  D  |->  ( x  ^c  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( sqr `  x ) )
1110oveq2i 6260 . 2  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  D  |->  ( x  ^c  ( 1  / 
2 ) ) ) )  =  ( CC 
_D  ( x  e.  D  |->  ( sqr `  x
) ) )
12 1p0e1 10673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  +  0 )  =  1
13 ax-1cn 9548 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
14 2halves 10792 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  =  1 )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) )  =  1
1612, 15eqtr4i 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  0 )  =  ( ( 1  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) )
17 0cn 9586 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  CC
18 addsubeq4 9841 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  e.  CC  /\  0  e.  CC )  /\  ( ( 1  /  2 )  e.  CC  /\  ( 1  /  2 )  e.  CC ) )  -> 
( ( 1  +  0 )  =  ( ( 1  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  <-> 
( ( 1  / 
2 )  -  1 )  =  ( 0  -  ( 1  / 
2 ) ) ) )
1913, 17, 1, 1, 18mp4an 677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  +  0 )  =  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  /  2
) )  <->  ( (
1  /  2 )  -  1 )  =  ( 0  -  (
1  /  2 ) ) )
2016, 19mpbi 211 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  2 )  -  1 )  =  ( 0  -  (
1  /  2 ) )
21 df-neg 9814 . . . . . . . . 9  |-  -u (
1  /  2 )  =  ( 0  -  ( 1  /  2
) )
2220, 21eqtr4i 2453 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  /  2 )  -  1 )  = 
-u ( 1  / 
2 )
2322oveq2i 6260 . . . . . . 7  |-  ( x  ^c  ( ( 1  /  2 )  -  1 ) )  =  ( x  ^c  -u ( 1  / 
2 ) )
242logdmn0 23527 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  x  =/=  0 )
251a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
267, 24, 25cxpnegd 23602 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  (
x  ^c  -u ( 1  /  2
) )  =  ( 1  /  ( x  ^c  ( 1  /  2 ) ) ) )
2723, 26syl5eq 2474 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  (
x  ^c  ( ( 1  /  2
)  -  1 ) )  =  ( 1  /  ( x  ^c  ( 1  / 
2 ) ) ) )
289oveq2d 6265 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  (
1  /  ( x  ^c  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  x
) ) )
2927, 28eqtrd 2462 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  (
x  ^c  ( ( 1  /  2
)  -  1 ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  x
) ) )
3029oveq2d 6265 . . . 4  |-  ( x  e.  D  ->  (
( 1  /  2
)  x.  ( x  ^c  ( ( 1  /  2 )  -  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  / 
( sqr `  x
) ) ) )
31 1cnd 9610 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  1  e.  CC )
32 2cnd 10633 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  2  e.  CC )
337sqrtcld 13442 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  ( sqr `  x )  e.  CC )
34 2ne0 10653 . . . . . . 7  |-  2  =/=  0
3534a1i 11 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  2  =/=  0 )
367adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  D  /\  ( sqr `  x )  =  0 )  ->  x  e.  CC )
37 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  D  /\  ( sqr `  x )  =  0 )  -> 
( sqr `  x
)  =  0 )
3836, 37sqr00d 13446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  D  /\  ( sqr `  x )  =  0 )  ->  x  =  0 )
3938ex 435 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  (
( sqr `  x
)  =  0  ->  x  =  0 ) )
4039necon3d 2622 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  (
x  =/=  0  -> 
( sqr `  x
)  =/=  0 ) )
4124, 40mpd 15 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  ( sqr `  x )  =/=  0 )
4231, 32, 31, 33, 35, 41divmuldivd 10375 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  (
( 1  /  2
)  x.  ( 1  /  ( sqr `  x
) ) )  =  ( ( 1  x.  1 )  /  (
2  x.  ( sqr `  x ) ) ) )
43 1t1e1 10708 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
4443oveq1i 6259 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  1 )  /  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) )  =  ( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  x ) ) )
4542, 44syl6eq 2478 . . . 4  |-  ( x  e.  D  ->  (
( 1  /  2
)  x.  ( 1  /  ( sqr `  x
) ) )  =  ( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  x ) ) ) )
4630, 45eqtrd 2462 . . 3  |-  ( x  e.  D  ->  (
( 1  /  2
)  x.  ( x  ^c  ( ( 1  /  2 )  -  1 ) ) )  =  ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )
4746mpteq2ia 4449 . 2  |-  ( x  e.  D  |->  ( ( 1  /  2 )  x.  ( x  ^c  ( ( 1  /  2 )  - 
1 ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )
484, 11, 473eqtr3i 2458 1  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  D  |->  ( sqr `  x
) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  x ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2599    \ cdif 3376    |-> cmpt 4425   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   CCcc 9488   0cc0 9490   1c1 9491    + caddc 9493    x. cmul 9495   -oocmnf 9624    - cmin 9811   -ucneg 9812    / cdiv 10220   2c2 10610   (,]cioc 11587   sqrcsqrt 13240    _D cdv 22760    ^c ccxp 23447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-iin 4245  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-supp 6870  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-2o 7138  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-ixp 7478  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-fsupp 7837  df-fi 7878  df-sup 7909  df-inf 7910  df-oi 7978  df-card 8325  df-cda 8549  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-z 10889  df-dec 11003  df-uz 11111  df-q 11216  df-rp 11254  df-xneg 11360  df-xadd 11361  df-xmul 11362  df-ioo 11590  df-ioc 11591  df-ico 11592  df-icc 11593  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-fl 11978  df-mod 12047  df-seq 12164  df-exp 12223  df-fac 12410  df-bc 12438  df-hash 12466  df-shft 13074  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-limsup 13469  df-clim 13495  df-rlim 13496  df-sum 13696  df-ef 14064  df-sin 14066  df-cos 14067  df-tan 14068  df-pi 14069  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-starv 15148  df-sca 15149  df-vsca 15150  df-ip 15151  df-tset 15152  df-ple 15153  df-ds 15155  df-unif 15156  df-hom 15157  df-cco 15158  df-rest 15264  df-topn 15265  df-0g 15283  df-gsum 15284  df-topgen 15285  df-pt 15286  df-prds 15289  df-xrs 15343  df-qtop 15349  df-imas 15350  df-xps 15353  df-mre 15435  df-mrc 15436  df-acs 15438  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-submnd 16526  df-mulg 16619  df-cntz 16914  df-cmn 17375  df-psmet 18905  df-xmet 18906  df-met 18907  df-bl 18908  df-mopn 18909  df-fbas 18910  df-fg 18911  df-cnfld 18914  df-top 19863  df-bases 19864  df-topon 19865  df-topsp 19866  df-cld 19976  df-ntr 19977  df-cls 19978  df-nei 20056  df-lp 20094  df-perf 20095  df-cn 20185  df-cnp 20186  df-haus 20273  df-cmp 20344  df-tx 20519  df-hmeo 20712  df-fil 20803  df-fm 20895  df-flim 20896  df-flf 20897  df-xms 21277  df-ms 21278  df-tms 21279  df-cncf 21852  df-limc 22763  df-dv 22764  df-log 23448  df-cxp 23449
This theorem is referenced by:  dvasin  31935
  Copyright terms: Public domain W3C validator