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Theorem dvcnp2 22860
Description: A function is continuous at each point for which it is differentiable. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcnp.j  |-  J  =  ( Kt  A )
dvcnp.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
dvcnp2  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B  e.  dom  ( S  _D  F ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)

Proof of Theorem dvcnp2
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldmg 5045 . . 3  |-  ( B  e.  dom  ( S  _D  F )  -> 
( B  e.  dom  ( S  _D  F
)  <->  E. y  B ( S  _D  F ) y ) )
21ibi 244 . 2  |-  ( B  e.  dom  ( S  _D  F )  ->  E. y  B ( S  _D  F ) y )
3 simpl2 1009 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  F : A --> CC )
43ffvelrnda 6033 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
5 dvcnp.k . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
65cnfldtop 21790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K  e. 
Top
7 simpl1 1008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  S  C_  CC )
8 cnex 9620 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  CC  e.  _V
9 ssexg 4566 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  S  e.  _V )
107, 8, 9sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  S  e.  _V )
11 resttop 20162 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Top  /\  S  e.  _V )  ->  ( Kt  S )  e.  Top )
126, 10, 11sylancr 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( Kt  S )  e.  Top )
13 simpl3 1010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  A  C_  S
)
145cnfldtopon 21789 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
15 resttopon 20163 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
1614, 7, 15sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S
) )
17 toponuni 19928 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  S  =  U. ( Kt  S ) )
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  S  =  U. ( Kt  S ) )
1913, 18sseqtrd 3500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  A  C_  U. ( Kt  S ) )
20 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. ( Kt  S )  =  U. ( Kt  S )
2120ntrss2 20058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Kt  S )  e.  Top  /\  A  C_  U. ( Kt  S ) )  -> 
( ( int `  ( Kt  S ) ) `  A )  C_  A
)
2212, 19, 21syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  A )  C_  A
)
23 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Kt  S )  =  ( Kt  S )
24 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
)  /  ( z  -  B ) ) )  =  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
)  /  ( z  -  B ) ) )
25 simp1 1005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  S  C_  CC )
26 simp2 1006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  F : A --> CC )
27 simp3 1007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  A  C_  S )
2823, 5, 24, 25, 26, 27eldv 22839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  ( B ( S  _D  F ) y  <->  ( B  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  A )  /\  y  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  /  ( z  -  B ) ) ) lim
CC  B ) ) ) )
2928simprbda 627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  B  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  A ) )
3022, 29sseldd 3465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  B  e.  A
)
313, 30ffvelrnd 6034 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( F `  B )  e.  CC )
3231adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  B )  e.  CC )
334, 32subcld 9986 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  e.  CC )
34 ssid 3483 . . . . . . . . 9  |-  CC  C_  CC
3534a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  CC  C_  CC )
36 txtopon 20592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )
)  ->  ( K  tX  K )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) ) )
3714, 14, 36mp2an 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( K 
tX  K )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )
3837toponunii 19933 . . . . . . . . . . 11  |-  ( CC 
X.  CC )  = 
U. ( K  tX  K )
3938restid 15319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  tX  K )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )  ->  ( ( K 
tX  K )t  ( CC 
X.  CC ) )  =  ( K  tX  K ) )
4037, 39ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  tX  K )t  ( CC  X.  CC ) )  =  ( K 
tX  K )
4140eqcomi 2435 . . . . . . . 8  |-  ( K 
tX  K )  =  ( ( K  tX  K )t  ( CC  X.  CC ) )
4213, 7sstrd 3474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  A  C_  CC )
433, 42, 30dvlem 22837 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) )  /  ( z  -  B ) )  e.  CC )
4442ssdifssd 3603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( A  \  { B } )  C_  CC )
4544sselda 3464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
z  e.  CC )
4642, 30sseldd 3465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  B  e.  CC )
4746adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  B  e.  CC )
4845, 47subcld 9986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( z  -  B
)  e.  CC )
4928simplbda 628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  y  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  /  ( z  -  B ) ) ) lim
CC  B ) )
50 limcresi 22826 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  A  |->  ( z  -  B ) ) lim CC  B ) 
C_  ( ( ( z  e.  A  |->  ( z  -  B ) )  |`  ( A  \  { B } ) ) lim CC  B )
51 difss 3592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
\  { B }
)  C_  A
52 resmpt 5169 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  \  { B } )  C_  A  ->  ( ( z  e.  A  |->  ( z  -  B ) )  |`  ( A  \  { B } ) )  =  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( z  -  B ) ) )
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  A  |->  ( z  -  B ) )  |`  ( A  \  { B } ) )  =  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( z  -  B ) )
5453oveq1i 6311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  A  |->  ( z  -  B
) )  |`  ( A  \  { B }
) ) lim CC  B
)  =  ( ( z  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( z  -  B ) ) lim CC  B )
5550, 54sseqtri 3496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  A  |->  ( z  -  B ) ) lim CC  B ) 
C_  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( z  -  B ) ) lim CC  B )
5646subidd 9974 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( B  -  B )  =  0 )
575subcn 21884 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  -  e.  ( ( K  tX  K
)  Cn  K ) )
59 cncfmptid 21930 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
z  e.  A  |->  z )  e.  ( A
-cn-> CC ) )
6042, 34, 59sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( z  e.  A  |->  z )  e.  ( A -cn-> CC ) )
61 cncfmptc 21929 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
z  e.  A  |->  B )  e.  ( A
-cn-> CC ) )
6246, 42, 35, 61syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( z  e.  A  |->  B )  e.  ( A -cn-> CC ) )
635, 58, 60, 62cncfmpt2f 21932 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( z  e.  A  |->  ( z  -  B ) )  e.  ( A -cn-> CC ) )
64 oveq1 6308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  B  ->  (
z  -  B )  =  ( B  -  B ) )
6563, 30, 64cnmptlimc 22831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( B  -  B )  e.  ( ( z  e.  A  |->  ( z  -  B
) ) lim CC  B
) )
6656, 65eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  0  e.  ( ( z  e.  A  |->  ( z  -  B
) ) lim CC  B
) )
6755, 66sseldi 3462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  0  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( z  -  B ) ) lim
CC  B ) )
685mulcn 21885 . . . . . . . . . . . 12  |-  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
6925, 26, 27dvcl 22840 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  y  e.  CC )
70 0cn 9635 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  CC
71 opelxpi 4881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  CC  /\  0  e.  CC )  -> 
<. y ,  0 >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
7269, 70, 71sylancl 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  <. y ,  0
>.  e.  ( CC  X.  CC ) )
7338cncnpi 20280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K )  /\  <.
y ,  0 >.  e.  ( CC  X.  CC ) )  ->  x.  e.  ( ( ( K 
tX  K )  CnP 
K ) `  <. y ,  0 >. )
)
7468, 72, 73sylancr 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  x.  e.  ( ( ( K  tX  K )  CnP  K
) `  <. y ,  0 >. ) )
7543, 48, 35, 35, 5, 41, 49, 67, 74limccnp2 22833 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( y  x.  0 )  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
)  /  ( z  -  B ) )  x.  ( z  -  B ) ) ) lim
CC  B ) )
7669mul01d 9832 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( y  x.  0 )  =  0 )
773adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  F : A --> CC )
78 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
z  e.  ( A 
\  { B }
) )
7951, 78sseldi 3462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
z  e.  A )
8077, 79ffvelrnd 6034 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( F `  z
)  e.  CC )
8131adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( F `  B
)  e.  CC )
8280, 81subcld 9986 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( F `  z )  -  ( F `  B )
)  e.  CC )
83 eldifsni 4123 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  -> 
z  =/=  B )
8483adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
z  =/=  B )
8545, 47, 84subne0d 9995 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( z  -  B
)  =/=  0 )
8682, 48, 85divcan1d 10384 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) )  / 
( z  -  B
) )  x.  (
z  -  B ) )  =  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) )
8786mpteq2dva 4507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
)  /  ( z  -  B ) )  x.  ( z  -  B ) ) )  =  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) ) )
8887oveq1d 6316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) )  /  ( z  -  B ) )  x.  ( z  -  B ) ) ) lim
CC  B )  =  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) ) lim
CC  B ) )
8975, 76, 883eltr3d 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  0  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) ) lim
CC  B ) )
90 eqid 2422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  A  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) )  =  ( z  e.  A  |->  ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) ) )
9133, 90fmptd 6057 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( z  e.  A  |->  ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) ) ) : A --> CC )
9291limcdif 22817 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( ( z  e.  A  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) ) lim
CC  B )  =  ( ( ( z  e.  A  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) )  |`  ( A  \  { B } ) ) lim CC  B ) )
93 resmpt 5169 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  \  { B } )  C_  A  ->  ( ( z  e.  A  |->  ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) ) )  |`  ( A  \  { B }
) )  =  ( z  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) ) ) )
9451, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  A  |->  ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )  |`  ( A  \  { B } ) )  =  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )
9594oveq1i 6311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  A  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
) )  |`  ( A  \  { B }
) ) lim CC  B
)  =  ( ( z  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) ) ) lim CC  B
)
9692, 95syl6eq 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( ( z  e.  A  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) ) lim
CC  B )  =  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) ) lim
CC  B ) )
9789, 96eleqtrrd 2513 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  0  e.  ( ( z  e.  A  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
) ) lim CC  B
) )
98 cncfmptc 21929 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  CC  /\  A  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
z  e.  A  |->  ( F `  B ) )  e.  ( A
-cn-> CC ) )
9931, 42, 35, 98syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( z  e.  A  |->  ( F `  B ) )  e.  ( A -cn-> CC ) )
100 eqidd 2423 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  B  ->  ( F `  B )  =  ( F `  B ) )
10199, 30, 100cnmptlimc 22831 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( F `  B )  e.  ( ( z  e.  A  |->  ( F `  B
) ) lim CC  B
) )
1025addcn 21883 . . . . . . . . 9  |-  +  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
103 opelxpi 4881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  ( F `  B )  e.  CC )  ->  <. 0 ,  ( F `
 B ) >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
10470, 31, 103sylancr 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  <. 0 ,  ( F `  B )
>.  e.  ( CC  X.  CC ) )
10538cncnpi 20280 . . . . . . . . 9  |-  ( (  +  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K )  /\  <.
0 ,  ( F `
 B ) >.  e.  ( CC  X.  CC ) )  ->  +  e.  ( ( ( K 
tX  K )  CnP 
K ) `  <. 0 ,  ( F `  B ) >. )
)
106102, 104, 105sylancr 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  +  e.  ( ( ( K  tX  K )  CnP  K
) `  <. 0 ,  ( F `  B
) >. ) )
10733, 32, 35, 35, 5, 41, 97, 101, 106limccnp2 22833 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( 0  +  ( F `  B
) )  e.  ( ( z  e.  A  |->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) )  +  ( F `
 B ) ) ) lim CC  B ) )
10831addid2d 9834 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( 0  +  ( F `  B
) )  =  ( F `  B ) )
1094, 32npcand 9990 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( F `  z )  -  ( F `  B )
)  +  ( F `
 B ) )  =  ( F `  z ) )
110109mpteq2dva 4507 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( z  e.  A  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) )  +  ( F `  B
) ) )  =  ( z  e.  A  |->  ( F `  z
) ) )
1113feqmptd 5930 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  F  =  ( z  e.  A  |->  ( F `  z ) ) )
112110, 111eqtr4d 2466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( z  e.  A  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) )  +  ( F `  B
) ) )  =  F )
113112oveq1d 6316 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( ( z  e.  A  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  +  ( F `  B ) ) ) lim
CC  B )  =  ( F lim CC  B
) )
114107, 108, 1133eltr3d 2524 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( F `  B )  e.  ( F lim CC  B ) )
115 dvcnp.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( Kt  A )
1165, 115cnplimc 22828 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B )  <->  ( F : A --> CC  /\  ( F `  B )  e.  ( F lim CC  B
) ) ) )
11742, 30, 116syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B )  <-> 
( F : A --> CC  /\  ( F `  B )  e.  ( F lim CC  B ) ) ) )
1183, 114, 117mpbir2and 930 . . . . 5  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)
119118ex 435 . . . 4  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  ( B ( S  _D  F ) y  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) ) )
120119exlimdv 1768 . . 3  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  ( E. y  B ( S  _D  F ) y  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
) )
121120imp 430 . 2  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  E. y  B ( S  _D  F ) y )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) )
1222, 121sylan2 476 1  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B  e.  dom  ( S  _D  F ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1868    =/= wne 2618   _Vcvv 3081    \ cdif 3433    C_ wss 3436   {csn 3996   <.cop 4002   U.cuni 4216   class class class wbr 4420    |-> cmpt 4479    X. cxp 4847   dom cdm 4849    |` cres 4851   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   CCcc 9537   0cc0 9539    + caddc 9542    x. cmul 9544    - cmin 9860    / cdiv 10269   ↾t crest 15306   TopOpenctopn 15307  ℂfldccnfld 18957   Topctop 19903  TopOnctopon 19904   intcnt 20018    Cn ccn 20226    CnP ccnp 20227    tX ctx 20561   -cn->ccncf 21894   lim CC climc 22803    _D cdv 22804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-ixp 7527  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12213  df-exp 12272  df-hash 12515  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-struct 15110  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-mulr 15191  df-starv 15192  df-sca 15193  df-vsca 15194  df-ip 15195  df-tset 15196  df-ple 15197  df-ds 15199  df-unif 15200  df-hom 15201  df-cco 15202  df-rest 15308  df-topn 15309  df-0g 15327  df-gsum 15328  df-topgen 15329  df-pt 15330  df-prds 15333  df-xrs 15387  df-qtop 15393  df-imas 15394  df-xps 15397  df-mre 15479  df-mrc 15480  df-acs 15482  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-submnd 16570  df-mulg 16663  df-cntz 16958  df-cmn 17419  df-psmet 18949  df-xmet 18950  df-met 18951  df-bl 18952  df-mopn 18953  df-cnfld 18958  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909  df-topsp 19910  df-ntr 20021  df-cn 20229  df-cnp 20230  df-tx 20563  df-hmeo 20756  df-xms 21321  df-ms 21322  df-tms 21323  df-cncf 21896  df-limc 22807  df-dv 22808
This theorem is referenced by:  dvcn  22861  dvmulbr  22879  dvcobr  22886  fouriersw  37914
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