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Theorem dvcnp2 22058
Description: A function is continuous at each point for which it is differentiable. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcnp.j  |-  J  =  ( Kt  A )
dvcnp.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
dvcnp2  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B  e.  dom  ( S  _D  F ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)

Proof of Theorem dvcnp2
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldmg 5196 . . 3  |-  ( B  e.  dom  ( S  _D  F )  -> 
( B  e.  dom  ( S  _D  F
)  <->  E. y  B ( S  _D  F ) y ) )
21ibi 241 . 2  |-  ( B  e.  dom  ( S  _D  F )  ->  E. y  B ( S  _D  F ) y )
3 simpl2 1000 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  F : A --> CC )
43ffvelrnda 6019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
5 dvcnp.k . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
65cnfldtop 21026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K  e. 
Top
7 simpl1 999 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  S  C_  CC )
8 cnex 9569 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  CC  e.  _V
9 ssexg 4593 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  S  e.  _V )
107, 8, 9sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  S  e.  _V )
11 resttop 19427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Top  /\  S  e.  _V )  ->  ( Kt  S )  e.  Top )
126, 10, 11sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( Kt  S )  e.  Top )
13 simpl3 1001 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  A  C_  S
)
145cnfldtopon 21025 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
15 resttopon 19428 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
1614, 7, 15sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S
) )
17 toponuni 19195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  S  =  U. ( Kt  S ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  S  =  U. ( Kt  S ) )
1913, 18sseqtrd 3540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  A  C_  U. ( Kt  S ) )
20 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. ( Kt  S )  =  U. ( Kt  S )
2120ntrss2 19324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Kt  S )  e.  Top  /\  A  C_  U. ( Kt  S ) )  -> 
( ( int `  ( Kt  S ) ) `  A )  C_  A
)
2212, 19, 21syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  A )  C_  A
)
23 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Kt  S )  =  ( Kt  S )
24 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
)  /  ( z  -  B ) ) )  =  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
)  /  ( z  -  B ) ) )
25 simp1 996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  S  C_  CC )
26 simp2 997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  F : A --> CC )
27 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  A  C_  S )
2823, 5, 24, 25, 26, 27eldv 22037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  ( B ( S  _D  F ) y  <->  ( B  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  A )  /\  y  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  /  ( z  -  B ) ) ) lim
CC  B ) ) ) )
2928simprbda 623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  B  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  A ) )
3022, 29sseldd 3505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  B  e.  A
)
313, 30ffvelrnd 6020 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( F `  B )  e.  CC )
3231adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  B )  e.  CC )
334, 32subcld 9926 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  e.  CC )
34 ssid 3523 . . . . . . . . 9  |-  CC  C_  CC
3534a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  CC  C_  CC )
36 txtopon 19827 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )
)  ->  ( K  tX  K )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) ) )
3714, 14, 36mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( K 
tX  K )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )
3837toponunii 19200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( CC 
X.  CC )  = 
U. ( K  tX  K )
3938restid 14685 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  tX  K )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )  ->  ( ( K 
tX  K )t  ( CC 
X.  CC ) )  =  ( K  tX  K ) )
4037, 39ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  tX  K )t  ( CC  X.  CC ) )  =  ( K 
tX  K )
4140eqcomi 2480 . . . . . . . 8  |-  ( K 
tX  K )  =  ( ( K  tX  K )t  ( CC  X.  CC ) )
4213, 7sstrd 3514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  A  C_  CC )
433, 42, 30dvlem 22035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) )  /  ( z  -  B ) )  e.  CC )
4442ssdifssd 3642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( A  \  { B } )  C_  CC )
4544sselda 3504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
z  e.  CC )
4642, 30sseldd 3505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  B  e.  CC )
4746adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  B  e.  CC )
4845, 47subcld 9926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( z  -  B
)  e.  CC )
4928simplbda 624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  y  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  /  ( z  -  B ) ) ) lim
CC  B ) )
50 limcresi 22024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  A  |->  ( z  -  B ) ) lim CC  B ) 
C_  ( ( ( z  e.  A  |->  ( z  -  B ) )  |`  ( A  \  { B } ) ) lim CC  B )
51 difss 3631 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
\  { B }
)  C_  A
52 resmpt 5321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  \  { B } )  C_  A  ->  ( ( z  e.  A  |->  ( z  -  B ) )  |`  ( A  \  { B } ) )  =  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( z  -  B ) ) )
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  A  |->  ( z  -  B ) )  |`  ( A  \  { B } ) )  =  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( z  -  B ) )
5453oveq1i 6292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  A  |->  ( z  -  B
) )  |`  ( A  \  { B }
) ) lim CC  B
)  =  ( ( z  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( z  -  B ) ) lim CC  B )
5550, 54sseqtri 3536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  A  |->  ( z  -  B ) ) lim CC  B ) 
C_  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( z  -  B ) ) lim CC  B )
5646subidd 9914 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( B  -  B )  =  0 )
575subcn 21105 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  -  e.  ( ( K  tX  K
)  Cn  K ) )
59 cncfmptid 21151 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
z  e.  A  |->  z )  e.  ( A
-cn-> CC ) )
6042, 34, 59sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( z  e.  A  |->  z )  e.  ( A -cn-> CC ) )
61 cncfmptc 21150 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
z  e.  A  |->  B )  e.  ( A
-cn-> CC ) )
6246, 42, 35, 61syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( z  e.  A  |->  B )  e.  ( A -cn-> CC ) )
635, 58, 60, 62cncfmpt2f 21153 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( z  e.  A  |->  ( z  -  B ) )  e.  ( A -cn-> CC ) )
64 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  B  ->  (
z  -  B )  =  ( B  -  B ) )
6563, 30, 64cnmptlimc 22029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( B  -  B )  e.  ( ( z  e.  A  |->  ( z  -  B
) ) lim CC  B
) )
6656, 65eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  0  e.  ( ( z  e.  A  |->  ( z  -  B
) ) lim CC  B
) )
6755, 66sseldi 3502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  0  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( z  -  B ) ) lim
CC  B ) )
685mulcn 21106 . . . . . . . . . . . 12  |-  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
6925, 26, 27dvcl 22038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  y  e.  CC )
70 0cn 9584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  CC
71 opelxpi 5030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  CC  /\  0  e.  CC )  -> 
<. y ,  0 >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
7269, 70, 71sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  <. y ,  0
>.  e.  ( CC  X.  CC ) )
7338cncnpi 19545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K )  /\  <.
y ,  0 >.  e.  ( CC  X.  CC ) )  ->  x.  e.  ( ( ( K 
tX  K )  CnP 
K ) `  <. y ,  0 >. )
)
7468, 72, 73sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  x.  e.  ( ( ( K  tX  K )  CnP  K
) `  <. y ,  0 >. ) )
7543, 48, 35, 35, 5, 41, 49, 67, 74limccnp2 22031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( y  x.  0 )  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
)  /  ( z  -  B ) )  x.  ( z  -  B ) ) ) lim
CC  B ) )
7669mul01d 9774 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( y  x.  0 )  =  0 )
773adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  F : A --> CC )
78 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
z  e.  ( A 
\  { B }
) )
7951, 78sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
z  e.  A )
8077, 79ffvelrnd 6020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( F `  z
)  e.  CC )
8131adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( F `  B
)  e.  CC )
8280, 81subcld 9926 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( F `  z )  -  ( F `  B )
)  e.  CC )
83 eldifsni 4153 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  -> 
z  =/=  B )
8483adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
z  =/=  B )
8545, 47, 84subne0d 9935 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( z  -  B
)  =/=  0 )
8682, 48, 85divcan1d 10317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) )  / 
( z  -  B
) )  x.  (
z  -  B ) )  =  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) )
8786mpteq2dva 4533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
)  /  ( z  -  B ) )  x.  ( z  -  B ) ) )  =  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) ) )
8887oveq1d 6297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) )  /  ( z  -  B ) )  x.  ( z  -  B ) ) ) lim
CC  B )  =  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) ) lim
CC  B ) )
8975, 76, 883eltr3d 2569 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  0  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) ) lim
CC  B ) )
90 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  A  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) )  =  ( z  e.  A  |->  ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) ) )
9133, 90fmptd 6043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( z  e.  A  |->  ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) ) ) : A --> CC )
9291limcdif 22015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( ( z  e.  A  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) ) lim
CC  B )  =  ( ( ( z  e.  A  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) )  |`  ( A  \  { B } ) ) lim CC  B ) )
93 resmpt 5321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  \  { B } )  C_  A  ->  ( ( z  e.  A  |->  ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) ) )  |`  ( A  \  { B }
) )  =  ( z  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) ) ) )
9451, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  A  |->  ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )  |`  ( A  \  { B } ) )  =  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )
9594oveq1i 6292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  A  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
) )  |`  ( A  \  { B }
) ) lim CC  B
)  =  ( ( z  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) ) ) lim CC  B
)
9692, 95syl6eq 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( ( z  e.  A  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) ) lim
CC  B )  =  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) ) lim
CC  B ) )
9789, 96eleqtrrd 2558 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  0  e.  ( ( z  e.  A  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
) ) lim CC  B
) )
98 cncfmptc 21150 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  CC  /\  A  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
z  e.  A  |->  ( F `  B ) )  e.  ( A
-cn-> CC ) )
9931, 42, 35, 98syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( z  e.  A  |->  ( F `  B ) )  e.  ( A -cn-> CC ) )
100 eqidd 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  B  ->  ( F `  B )  =  ( F `  B ) )
10199, 30, 100cnmptlimc 22029 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( F `  B )  e.  ( ( z  e.  A  |->  ( F `  B
) ) lim CC  B
) )
1025addcn 21104 . . . . . . . . 9  |-  +  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
103 opelxpi 5030 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  ( F `  B )  e.  CC )  ->  <. 0 ,  ( F `
 B ) >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
10470, 31, 103sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  <. 0 ,  ( F `  B )
>.  e.  ( CC  X.  CC ) )
10538cncnpi 19545 . . . . . . . . 9  |-  ( (  +  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K )  /\  <.
0 ,  ( F `
 B ) >.  e.  ( CC  X.  CC ) )  ->  +  e.  ( ( ( K 
tX  K )  CnP 
K ) `  <. 0 ,  ( F `  B ) >. )
)
106102, 104, 105sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  +  e.  ( ( ( K  tX  K )  CnP  K
) `  <. 0 ,  ( F `  B
) >. ) )
10733, 32, 35, 35, 5, 41, 97, 101, 106limccnp2 22031 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( 0  +  ( F `  B
) )  e.  ( ( z  e.  A  |->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) )  +  ( F `
 B ) ) ) lim CC  B ) )
10831addid2d 9776 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( 0  +  ( F `  B
) )  =  ( F `  B ) )
1094, 32npcand 9930 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( F `  z )  -  ( F `  B )
)  +  ( F `
 B ) )  =  ( F `  z ) )
110109mpteq2dva 4533 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( z  e.  A  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) )  +  ( F `  B
) ) )  =  ( z  e.  A  |->  ( F `  z
) ) )
1113feqmptd 5918 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  F  =  ( z  e.  A  |->  ( F `  z ) ) )
112110, 111eqtr4d 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( z  e.  A  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) )  +  ( F `  B
) ) )  =  F )
113112oveq1d 6297 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( ( z  e.  A  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  +  ( F `  B ) ) ) lim
CC  B )  =  ( F lim CC  B
) )
114107, 108, 1133eltr3d 2569 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( F `  B )  e.  ( F lim CC  B ) )
115 dvcnp.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( Kt  A )
1165, 115cnplimc 22026 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B )  <->  ( F : A --> CC  /\  ( F `  B )  e.  ( F lim CC  B
) ) ) )
11742, 30, 116syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B )  <-> 
( F : A --> CC  /\  ( F `  B )  e.  ( F lim CC  B ) ) ) )
1183, 114, 117mpbir2and 920 . . . . 5  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)
119118ex 434 . . . 4  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  ( B ( S  _D  F ) y  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) ) )
120119exlimdv 1700 . . 3  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  ( E. y  B ( S  _D  F ) y  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
) )
121120imp 429 . 2  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  E. y  B ( S  _D  F ) y )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) )
1222, 121sylan2 474 1  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B  e.  dom  ( S  _D  F ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    C_ wss 3476   {csn 4027   <.cop 4033   U.cuni 4245   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   dom cdm 4999    |` cres 5001   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   0cc0 9488    + caddc 9491    x. cmul 9493    - cmin 9801    / cdiv 10202   ↾t crest 14672   TopOpenctopn 14673  ℂfldccnfld 18191   Topctop 19161  TopOnctopon 19162   intcnt 19284    Cn ccn 19491    CnP ccnp 19492    tX ctx 19796   -cn->ccncf 21115   lim CC climc 22001    _D cdv 22002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-ntr 19287  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117  df-limc 22005  df-dv 22006
This theorem is referenced by:  dvcn  22059  dvmulbr  22077  dvcobr  22084  fouriersw  31532
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