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Theorem dvcnp2 21397
Description: A function is continuous at each point for which it is differentiable. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcnp.j  |-  J  =  ( Kt  A )
dvcnp.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
dvcnp2  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B  e.  dom  ( S  _D  F ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)

Proof of Theorem dvcnp2
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldmg 5038 . . 3  |-  ( B  e.  dom  ( S  _D  F )  -> 
( B  e.  dom  ( S  _D  F
)  <->  E. y  B ( S  _D  F ) y ) )
21ibi 241 . 2  |-  ( B  e.  dom  ( S  _D  F )  ->  E. y  B ( S  _D  F ) y )
3 simpl2 992 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  F : A --> CC )
43ffvelrnda 5846 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
5 dvcnp.k . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
65cnfldtop 20366 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K  e. 
Top
7 simpl1 991 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  S  C_  CC )
8 cnex 9366 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  CC  e.  _V
9 ssexg 4441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  S  e.  _V )
107, 8, 9sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  S  e.  _V )
11 resttop 18767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Top  /\  S  e.  _V )  ->  ( Kt  S )  e.  Top )
126, 10, 11sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( Kt  S )  e.  Top )
13 simpl3 993 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  A  C_  S
)
145cnfldtopon 20365 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
15 resttopon 18768 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
1614, 7, 15sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S
) )
17 toponuni 18535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  S  =  U. ( Kt  S ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  S  =  U. ( Kt  S ) )
1913, 18sseqtrd 3395 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  A  C_  U. ( Kt  S ) )
20 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. ( Kt  S )  =  U. ( Kt  S )
2120ntrss2 18664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Kt  S )  e.  Top  /\  A  C_  U. ( Kt  S ) )  -> 
( ( int `  ( Kt  S ) ) `  A )  C_  A
)
2212, 19, 21syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  A )  C_  A
)
23 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Kt  S )  =  ( Kt  S )
24 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
)  /  ( z  -  B ) ) )  =  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
)  /  ( z  -  B ) ) )
25 simp1 988 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  S  C_  CC )
26 simp2 989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  F : A --> CC )
27 simp3 990 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  A  C_  S )
2823, 5, 24, 25, 26, 27eldv 21376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  ( B ( S  _D  F ) y  <->  ( B  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  A )  /\  y  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  /  ( z  -  B ) ) ) lim
CC  B ) ) ) )
2928simprbda 623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  B  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  A ) )
3022, 29sseldd 3360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  B  e.  A
)
313, 30ffvelrnd 5847 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( F `  B )  e.  CC )
3231adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  B )  e.  CC )
334, 32subcld 9722 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  e.  CC )
34 ssid 3378 . . . . . . . . 9  |-  CC  C_  CC
3534a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  CC  C_  CC )
36 txtopon 19167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )
)  ->  ( K  tX  K )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) ) )
3714, 14, 36mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( K 
tX  K )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )
3837toponunii 18540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( CC 
X.  CC )  = 
U. ( K  tX  K )
3938restid 14375 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  tX  K )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )  ->  ( ( K 
tX  K )t  ( CC 
X.  CC ) )  =  ( K  tX  K ) )
4037, 39ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  tX  K )t  ( CC  X.  CC ) )  =  ( K 
tX  K )
4140eqcomi 2447 . . . . . . . 8  |-  ( K 
tX  K )  =  ( ( K  tX  K )t  ( CC  X.  CC ) )
4213, 7sstrd 3369 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  A  C_  CC )
433, 42, 30dvlem 21374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) )  /  ( z  -  B ) )  e.  CC )
4442ssdifssd 3497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( A  \  { B } )  C_  CC )
4544sselda 3359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
z  e.  CC )
4642, 30sseldd 3360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  B  e.  CC )
4746adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  B  e.  CC )
4845, 47subcld 9722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( z  -  B
)  e.  CC )
4928simplbda 624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  y  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  /  ( z  -  B ) ) ) lim
CC  B ) )
50 limcresi 21363 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  A  |->  ( z  -  B ) ) lim CC  B ) 
C_  ( ( ( z  e.  A  |->  ( z  -  B ) )  |`  ( A  \  { B } ) ) lim CC  B )
51 difss 3486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
\  { B }
)  C_  A
52 resmpt 5159 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  \  { B } )  C_  A  ->  ( ( z  e.  A  |->  ( z  -  B ) )  |`  ( A  \  { B } ) )  =  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( z  -  B ) ) )
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  A  |->  ( z  -  B ) )  |`  ( A  \  { B } ) )  =  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( z  -  B ) )
5453oveq1i 6104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  A  |->  ( z  -  B
) )  |`  ( A  \  { B }
) ) lim CC  B
)  =  ( ( z  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( z  -  B ) ) lim CC  B )
5550, 54sseqtri 3391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  A  |->  ( z  -  B ) ) lim CC  B ) 
C_  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( z  -  B ) ) lim CC  B )
5646subidd 9710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( B  -  B )  =  0 )
575subcn 20445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  -  e.  ( ( K  tX  K
)  Cn  K ) )
59 cncfmptid 20491 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
z  e.  A  |->  z )  e.  ( A
-cn-> CC ) )
6042, 34, 59sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( z  e.  A  |->  z )  e.  ( A -cn-> CC ) )
61 cncfmptc 20490 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
z  e.  A  |->  B )  e.  ( A
-cn-> CC ) )
6246, 42, 35, 61syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( z  e.  A  |->  B )  e.  ( A -cn-> CC ) )
635, 58, 60, 62cncfmpt2f 20493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( z  e.  A  |->  ( z  -  B ) )  e.  ( A -cn-> CC ) )
64 oveq1 6101 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  B  ->  (
z  -  B )  =  ( B  -  B ) )
6563, 30, 64cnmptlimc 21368 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( B  -  B )  e.  ( ( z  e.  A  |->  ( z  -  B
) ) lim CC  B
) )
6656, 65eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  0  e.  ( ( z  e.  A  |->  ( z  -  B
) ) lim CC  B
) )
6755, 66sseldi 3357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  0  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( z  -  B ) ) lim
CC  B ) )
685mulcn 20446 . . . . . . . . . . . 12  |-  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
6925, 26, 27dvcl 21377 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  y  e.  CC )
70 0cn 9381 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  CC
71 opelxpi 4874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  CC  /\  0  e.  CC )  -> 
<. y ,  0 >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
7269, 70, 71sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  <. y ,  0
>.  e.  ( CC  X.  CC ) )
7338cncnpi 18885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K )  /\  <.
y ,  0 >.  e.  ( CC  X.  CC ) )  ->  x.  e.  ( ( ( K 
tX  K )  CnP 
K ) `  <. y ,  0 >. )
)
7468, 72, 73sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  x.  e.  ( ( ( K  tX  K )  CnP  K
) `  <. y ,  0 >. ) )
7543, 48, 35, 35, 5, 41, 49, 67, 74limccnp2 21370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( y  x.  0 )  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
)  /  ( z  -  B ) )  x.  ( z  -  B ) ) ) lim
CC  B ) )
7669mul01d 9571 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( y  x.  0 )  =  0 )
773adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  F : A --> CC )
78 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
z  e.  ( A 
\  { B }
) )
7951, 78sseldi 3357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
z  e.  A )
8077, 79ffvelrnd 5847 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( F `  z
)  e.  CC )
8131adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( F `  B
)  e.  CC )
8280, 81subcld 9722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( F `  z )  -  ( F `  B )
)  e.  CC )
83 eldifsni 4004 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  -> 
z  =/=  B )
8483adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
z  =/=  B )
8545, 47, 84subne0d 9731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( z  -  B
)  =/=  0 )
8682, 48, 85divcan1d 10111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) )  / 
( z  -  B
) )  x.  (
z  -  B ) )  =  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) )
8786mpteq2dva 4381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
)  /  ( z  -  B ) )  x.  ( z  -  B ) ) )  =  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) ) )
8887oveq1d 6109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) )  /  ( z  -  B ) )  x.  ( z  -  B ) ) ) lim
CC  B )  =  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) ) lim
CC  B ) )
8975, 76, 883eltr3d 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  0  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) ) lim
CC  B ) )
90 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  A  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) )  =  ( z  e.  A  |->  ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) ) )
9133, 90fmptd 5870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( z  e.  A  |->  ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) ) ) : A --> CC )
9291limcdif 21354 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( ( z  e.  A  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) ) lim
CC  B )  =  ( ( ( z  e.  A  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) )  |`  ( A  \  { B } ) ) lim CC  B ) )
93 resmpt 5159 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  \  { B } )  C_  A  ->  ( ( z  e.  A  |->  ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) ) )  |`  ( A  \  { B }
) )  =  ( z  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) ) ) )
9451, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  A  |->  ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )  |`  ( A  \  { B } ) )  =  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )
9594oveq1i 6104 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  A  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
) )  |`  ( A  \  { B }
) ) lim CC  B
)  =  ( ( z  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) ) ) lim CC  B
)
9692, 95syl6eq 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( ( z  e.  A  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) ) lim
CC  B )  =  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) ) lim
CC  B ) )
9789, 96eleqtrrd 2520 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  0  e.  ( ( z  e.  A  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
) ) lim CC  B
) )
98 cncfmptc 20490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  CC  /\  A  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
z  e.  A  |->  ( F `  B ) )  e.  ( A
-cn-> CC ) )
9931, 42, 35, 98syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( z  e.  A  |->  ( F `  B ) )  e.  ( A -cn-> CC ) )
100 eqidd 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  B  ->  ( F `  B )  =  ( F `  B ) )
10199, 30, 100cnmptlimc 21368 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( F `  B )  e.  ( ( z  e.  A  |->  ( F `  B
) ) lim CC  B
) )
1025addcn 20444 . . . . . . . . 9  |-  +  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
103 opelxpi 4874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  ( F `  B )  e.  CC )  ->  <. 0 ,  ( F `
 B ) >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
10470, 31, 103sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  <. 0 ,  ( F `  B )
>.  e.  ( CC  X.  CC ) )
10538cncnpi 18885 . . . . . . . . 9  |-  ( (  +  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K )  /\  <.
0 ,  ( F `
 B ) >.  e.  ( CC  X.  CC ) )  ->  +  e.  ( ( ( K 
tX  K )  CnP 
K ) `  <. 0 ,  ( F `  B ) >. )
)
106102, 104, 105sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  +  e.  ( ( ( K  tX  K )  CnP  K
) `  <. 0 ,  ( F `  B
) >. ) )
10733, 32, 35, 35, 5, 41, 97, 101, 106limccnp2 21370 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( 0  +  ( F `  B
) )  e.  ( ( z  e.  A  |->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) )  +  ( F `
 B ) ) ) lim CC  B ) )
10831addid2d 9573 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( 0  +  ( F `  B
) )  =  ( F `  B ) )
1094, 32npcand 9726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( F `  z )  -  ( F `  B )
)  +  ( F `
 B ) )  =  ( F `  z ) )
110109mpteq2dva 4381 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( z  e.  A  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) )  +  ( F `  B
) ) )  =  ( z  e.  A  |->  ( F `  z
) ) )
1113feqmptd 5747 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  F  =  ( z  e.  A  |->  ( F `  z ) ) )
112110, 111eqtr4d 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( z  e.  A  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) )  +  ( F `  B
) ) )  =  F )
113112oveq1d 6109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( ( z  e.  A  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  +  ( F `  B ) ) ) lim
CC  B )  =  ( F lim CC  B
) )
114107, 108, 1133eltr3d 2523 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( F `  B )  e.  ( F lim CC  B ) )
115 dvcnp.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( Kt  A )
1165, 115cnplimc 21365 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B )  <->  ( F : A --> CC  /\  ( F `  B )  e.  ( F lim CC  B
) ) ) )
11742, 30, 116syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B )  <-> 
( F : A --> CC  /\  ( F `  B )  e.  ( F lim CC  B ) ) ) )
1183, 114, 117mpbir2and 913 . . . . 5  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)
119118ex 434 . . . 4  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  ( B ( S  _D  F ) y  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) ) )
120119exlimdv 1690 . . 3  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  ( E. y  B ( S  _D  F ) y  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
) )
121120imp 429 . 2  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  E. y  B ( S  _D  F ) y )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) )
1222, 121sylan2 474 1  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B  e.  dom  ( S  _D  F ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2609   _Vcvv 2975    \ cdif 3328    C_ wss 3331   {csn 3880   <.cop 3886   U.cuni 4094   class class class wbr 4295    e. cmpt 4353    X. cxp 4841   dom cdm 4843    |` cres 4845   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   CCcc 9283   0cc0 9285    + caddc 9288    x. cmul 9290    - cmin 9598    / cdiv 9996   ↾t crest 14362   TopOpenctopn 14363  ℂfldccnfld 17821   Topctop 18501  TopOnctopon 18502   intcnt 18624    Cn ccn 18831    CnP ccnp 18832    tX ctx 19136   -cn->ccncf 20455   lim CC climc 21340    _D cdv 21341
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363  ax-addf 9364  ax-mulf 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-iin 4177  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-of 6323  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-supp 6694  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-2o 6924  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-pm 7220  df-ixp 7267  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-fsupp 7624  df-fi 7664  df-sup 7694  df-oi 7727  df-card 8112  df-cda 8340  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-5 10386  df-6 10387  df-7 10388  df-8 10389  df-9 10390  df-10 10391  df-n0 10583  df-z 10650  df-dec 10759  df-uz 10865  df-q 10957  df-rp 10995  df-xneg 11092  df-xadd 11093  df-xmul 11094  df-icc 11310  df-fz 11441  df-fzo 11552  df-seq 11810  df-exp 11869  df-hash 12107  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728  df-struct 14179  df-ndx 14180  df-slot 14181  df-base 14182  df-sets 14183  df-ress 14184  df-plusg 14254  df-mulr 14255  df-starv 14256  df-sca 14257  df-vsca 14258  df-ip 14259  df-tset 14260  df-ple 14261  df-ds 14263  df-unif 14264  df-hom 14265  df-cco 14266  df-rest 14364  df-topn 14365  df-0g 14383  df-gsum 14384  df-topgen 14385  df-pt 14386  df-prds 14389  df-xrs 14443  df-qtop 14448  df-imas 14449  df-xps 14451  df-mre 14527  df-mrc 14528  df-acs 14530  df-mnd 15418  df-submnd 15468  df-mulg 15551  df-cntz 15838  df-cmn 16282  df-psmet 17812  df-xmet 17813  df-met 17814  df-bl 17815  df-mopn 17816  df-cnfld 17822  df-top 18506  df-bases 18508  df-topon 18509  df-topsp 18510  df-ntr 18627  df-cn 18834  df-cnp 18835  df-tx 19138  df-hmeo 19331  df-xms 19898  df-ms 19899  df-tms 19900  df-cncf 20457  df-limc 21344  df-dv 21345
This theorem is referenced by:  dvcn  21398  dvmulbr  21416  dvcobr  21423
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