Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvcncxp1 Structured version   Unicode version

Theorem dvcncxp1 30262
 Description: Derivative of complex power with respect to first argument on the complex plane. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
dvcncxp1.d
Assertion
Ref Expression
dvcncxp1
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem dvcncxp1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnelprrecn 9602 . . . 4
21a1i 11 . . 3
3 dvcncxp1.d . . . . . . 7
4 difss 3627 . . . . . . 7
53, 4eqsstri 3529 . . . . . 6
65sseli 3495 . . . . 5
73logdmn0 23146 . . . . 5
86, 7logcld 23083 . . . 4
106, 7reccld 10334 . . . 4
12 mulcl 9593 . . . 4
13 efcl 13829 . . . 4
1412, 13syl 16 . . 3
15 ovex 6324 . . . 4
1615a1i 11 . . 3
173dvlog 23157 . . . 4
183logcn 23153 . . . . . . . 8
19 cncff 21522 . . . . . . . 8
2018, 19mp1i 12 . . . . . . 7
2120feqmptd 5926 . . . . . 6
22 fvres 5886 . . . . . . 7
2322mpteq2ia 4539 . . . . . 6
2421, 23syl6eq 2514 . . . . 5
2524oveq2d 6312 . . . 4
2617, 25syl5reqr 2513 . . 3
27 simpl 457 . . . 4
28 efcl 13829 . . . . 5
2928adantl 466 . . . 4
30 simpr 461 . . . . . 6
31 1cnd 9629 . . . . . 6
322dvmptid 22485 . . . . . 6
33 id 22 . . . . . 6
342, 30, 31, 32, 33dvmptcmul 22492 . . . . 5
35 mulid1 9610 . . . . . 6
3635mpteq2dv 4544 . . . . 5
3734, 36eqtrd 2498 . . . 4
38 dvef 22506 . . . . 5
39 eff 13828 . . . . . . . 8
4039a1i 11 . . . . . . 7
4140feqmptd 5926 . . . . . 6
4241oveq2d 6312 . . . . 5
4338, 42, 413eqtr3a 2522 . . . 4
44 fveq2 5872 . . . 4
452, 2, 12, 27, 29, 29, 37, 43, 44, 44dvmptco 22500 . . 3
46 oveq2 6304 . . . 4
4746fveq2d 5876 . . 3
4847oveq1d 6311 . . 3
492, 2, 9, 11, 14, 16, 26, 45, 47, 48dvmptco 22500 . 2
506adantl 466 . . . . 5
517adantl 466 . . . . 5
52 simpl 457 . . . . 5
5350, 51, 52cxpefd 23218 . . . 4
5453mpteq2dva 4543 . . 3
5554oveq2d 6312 . 2
56 1cnd 9629 . . . . . . 7
5750, 51, 52, 56cxpsubd 23224 . . . . . 6
5850cxp1d 23212 . . . . . . 7
5958oveq2d 6312 . . . . . 6
6050, 52cxpcld 23214 . . . . . . 7
6160, 50, 51divrecd 10344 . . . . . 6
6257, 59, 613eqtrd 2502 . . . . 5
6362oveq2d 6312 . . . 4
6452, 60, 11mul12d 9806 . . . . 5
6560, 52, 11mulassd 9636 . . . . 5
6664, 65eqtr4d 2501 . . . 4
6753oveq1d 6311 . . . . 5
6867oveq1d 6311 . . . 4
6963, 66, 683eqtrd 2502 . . 3
7069mpteq2dva 4543 . 2
7149, 55, 703eqtr4d 2508 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1395   wcel 1819   wne 2652  cvv 3109   cdif 3468  cpr 4034   cmpt 4515   cres 5010  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6296  cc 9507  cr 9508  cc0 9509  c1 9510   cmul 9514   cmnf 9643   cmin 9824   cdiv 10227  cioc 11555  ce 13808  ccncf 21505   cdv 22392  clog 23067   ccxp 23068 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-mod 11999  df-seq 12110  df-exp 12169  df-fac 12356  df-bc 12383  df-hash 12408  df-shft 12911  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-limsup 13305  df-clim 13322  df-rlim 13323  df-sum 13520  df-ef 13814  df-sin 13816  df-cos 13817  df-tan 13818  df-pi 13819  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-fbas 18542  df-fg 18543  df-cnfld 18547  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648  df-nei 19725  df-lp 19763  df-perf 19764  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-haus 19942  df-cmp 20013  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-fil 20472  df-fm 20564  df-flim 20565  df-flf 20566  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950  df-cncf 21507  df-limc 22395  df-dv 22396  df-log 23069  df-cxp 23070 This theorem is referenced by:  dvcnsqrt  30263  binomcxplemdvbinom  31420
 Copyright terms: Public domain W3C validator