Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvcncxp1 Structured version   Unicode version

Theorem dvcncxp1 30262
Description: Derivative of complex power with respect to first argument on the complex plane. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
dvcncxp1.d  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
Assertion
Ref Expression
dvcncxp1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  D  |->  ( x  ^c  A ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( A  x.  ( x  ^c 
( A  -  1 ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, D

Proof of Theorem dvcncxp1
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnelprrecn 9602 . . . 4  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
21a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
3 dvcncxp1.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
4 difss 3627 . . . . . . 7  |-  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  C_  CC
53, 4eqsstri 3529 . . . . . 6  |-  D  C_  CC
65sseli 3495 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  x  e.  CC )
73logdmn0 23146 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  x  =/=  0 )
86, 7logcld 23083 . . . 4  |-  ( x  e.  D  ->  ( log `  x )  e.  CC )
98adantl 466 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  D )  ->  ( log `  x
)  e.  CC )
106, 7reccld 10334 . . . 4  |-  ( x  e.  D  ->  (
1  /  x )  e.  CC )
1110adantl 466 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  D )  ->  ( 1  /  x
)  e.  CC )
12 mulcl 9593 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( A  x.  y
)  e.  CC )
13 efcl 13829 . . . 4  |-  ( ( A  x.  y )  e.  CC  ->  ( exp `  ( A  x.  y ) )  e.  CC )
1412, 13syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( exp `  ( A  x.  y )
)  e.  CC )
15 ovex 6324 . . . 4  |-  ( ( exp `  ( A  x.  y ) )  x.  A )  e. 
_V
1615a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( exp `  ( A  x.  y )
)  x.  A )  e.  _V )
173dvlog 23157 . . . 4  |-  ( CC 
_D  ( log  |`  D ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( 1  /  x ) )
183logcn 23153 . . . . . . . 8  |-  ( log  |`  D )  e.  ( D -cn-> CC )
19 cncff 21522 . . . . . . . 8  |-  ( ( log  |`  D )  e.  ( D -cn-> CC )  ->  ( log  |`  D ) : D --> CC )
2018, 19mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( log  |`  D ) : D --> CC )
2120feqmptd 5926 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( log  |`  D )  =  ( x  e.  D  |->  ( ( log  |`  D ) `
 x ) ) )
22 fvres 5886 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  (
( log  |`  D ) `
 x )  =  ( log `  x
) )
2322mpteq2ia 4539 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  |->  ( ( log  |`  D ) `  x ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( log `  x
) )
2421, 23syl6eq 2514 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( log  |`  D )  =  ( x  e.  D  |->  ( log `  x
) ) )
2524oveq2d 6312 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( log  |`  D ) )  =  ( CC 
_D  ( x  e.  D  |->  ( log `  x
) ) ) )
2617, 25syl5reqr 2513 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  D  |->  ( log `  x
) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( 1  /  x
) ) )
27 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
28 efcl 13829 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  x )  e.  CC )
2928adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( exp `  x
)  e.  CC )
30 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  y  e.  CC )
31 1cnd 9629 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
322dvmptid 22485 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) )  =  ( y  e.  CC  |->  1 ) )
33 id 22 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  A  e.  CC )
342, 30, 31, 32, 33dvmptcmul 22492 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  1 ) ) )
35 mulid1 9610 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
3635mpteq2dv 4544 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  1 ) )  =  ( y  e.  CC  |->  A ) )
3734, 36eqtrd 2498 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  A ) )
38 dvef 22506 . . . . 5  |-  ( CC 
_D  exp )  =  exp
39 eff 13828 . . . . . . . 8  |-  exp : CC
--> CC
4039a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  exp : CC --> CC )
4140feqmptd 5926 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  exp  =  ( x  e.  CC  |->  ( exp `  x
) ) )
4241oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  exp )  =  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( exp `  x ) ) ) )
4338, 42, 413eqtr3a 2522 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( exp `  x
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( exp `  x ) ) )
44 fveq2 5872 . . . 4  |-  ( x  =  ( A  x.  y )  ->  ( exp `  x )  =  ( exp `  ( A  x.  y )
) )
452, 2, 12, 27, 29, 29, 37, 43, 44, 44dvmptco 22500 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  ( A  x.  y )
) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( exp `  ( A  x.  y )
)  x.  A ) ) )
46 oveq2 6304 . . . 4  |-  ( y  =  ( log `  x
)  ->  ( A  x.  y )  =  ( A  x.  ( log `  x ) ) )
4746fveq2d 5876 . . 3  |-  ( y  =  ( log `  x
)  ->  ( exp `  ( A  x.  y
) )  =  ( exp `  ( A  x.  ( log `  x
) ) ) )
4847oveq1d 6311 . . 3  |-  ( y  =  ( log `  x
)  ->  ( ( exp `  ( A  x.  y ) )  x.  A )  =  ( ( exp `  ( A  x.  ( log `  x ) ) )  x.  A ) )
492, 2, 9, 11, 14, 16, 26, 45, 47, 48dvmptco 22500 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  D  |->  ( exp `  ( A  x.  ( log `  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( ( ( exp `  ( A  x.  ( log `  x ) ) )  x.  A )  x.  ( 1  /  x
) ) ) )
506adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  D )  ->  x  e.  CC )
517adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  D )  ->  x  =/=  0 )
52 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  D )  ->  A  e.  CC )
5350, 51, 52cxpefd 23218 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  D )  ->  ( x  ^c  A )  =  ( exp `  ( A  x.  ( log `  x
) ) ) )
5453mpteq2dva 4543 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  D  |->  ( x  ^c  A ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( exp `  ( A  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
5554oveq2d 6312 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  D  |->  ( x  ^c  A ) ) )  =  ( CC  _D  ( x  e.  D  |->  ( exp `  ( A  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) )
56 1cnd 9629 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  D )  ->  1  e.  CC )
5750, 51, 52, 56cxpsubd 23224 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  D )  ->  ( x  ^c 
( A  -  1 ) )  =  ( ( x  ^c  A )  /  (
x  ^c  1 ) ) )
5850cxp1d 23212 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  D )  ->  ( x  ^c 
1 )  =  x )
5958oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  D )  ->  ( ( x  ^c  A )  /  (
x  ^c  1 ) )  =  ( ( x  ^c  A )  /  x
) )
6050, 52cxpcld 23214 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  D )  ->  ( x  ^c  A )  e.  CC )
6160, 50, 51divrecd 10344 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  D )  ->  ( ( x  ^c  A )  /  x
)  =  ( ( x  ^c  A )  x.  ( 1  /  x ) ) )
6257, 59, 613eqtrd 2502 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  D )  ->  ( x  ^c 
( A  -  1 ) )  =  ( ( x  ^c  A )  x.  (
1  /  x ) ) )
6362oveq2d 6312 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  D )  ->  ( A  x.  (
x  ^c  ( A  -  1 ) ) )  =  ( A  x.  ( ( x  ^c  A )  x.  ( 1  /  x ) ) ) )
6452, 60, 11mul12d 9806 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  D )  ->  ( A  x.  (
( x  ^c  A )  x.  (
1  /  x ) ) )  =  ( ( x  ^c  A )  x.  ( A  x.  ( 1  /  x ) ) ) )
6560, 52, 11mulassd 9636 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  D )  ->  ( ( ( x  ^c  A )  x.  A )  x.  ( 1  /  x
) )  =  ( ( x  ^c  A )  x.  ( A  x.  ( 1  /  x ) ) ) )
6664, 65eqtr4d 2501 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  D )  ->  ( A  x.  (
( x  ^c  A )  x.  (
1  /  x ) ) )  =  ( ( ( x  ^c  A )  x.  A
)  x.  ( 1  /  x ) ) )
6753oveq1d 6311 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  D )  ->  ( ( x  ^c  A )  x.  A
)  =  ( ( exp `  ( A  x.  ( log `  x
) ) )  x.  A ) )
6867oveq1d 6311 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  D )  ->  ( ( ( x  ^c  A )  x.  A )  x.  ( 1  /  x
) )  =  ( ( ( exp `  ( A  x.  ( log `  x ) ) )  x.  A )  x.  ( 1  /  x
) ) )
6963, 66, 683eqtrd 2502 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  D )  ->  ( A  x.  (
x  ^c  ( A  -  1 ) ) )  =  ( ( ( exp `  ( A  x.  ( log `  x ) ) )  x.  A )  x.  ( 1  /  x
) ) )
7069mpteq2dva 4543 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  D  |->  ( A  x.  ( x  ^c  ( A  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( ( ( exp `  ( A  x.  ( log `  x ) ) )  x.  A )  x.  ( 1  /  x
) ) ) )
7149, 55, 703eqtr4d 2508 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  D  |->  ( x  ^c  A ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( A  x.  ( x  ^c 
( A  -  1 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   _Vcvv 3109    \ cdif 3468   {cpr 4034    |-> cmpt 4515    |` cres 5010   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    x. cmul 9514   -oocmnf 9643    - cmin 9824    / cdiv 10227   (,]cioc 11555   expce 13808   -cn->ccncf 21505    _D cdv 22392   logclog 23067    ^c ccxp 23068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-mod 11999  df-seq 12110  df-exp 12169  df-fac 12356  df-bc 12383  df-hash 12408  df-shft 12911  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-limsup 13305  df-clim 13322  df-rlim 13323  df-sum 13520  df-ef 13814  df-sin 13816  df-cos 13817  df-tan 13818  df-pi 13819  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-fbas 18542  df-fg 18543  df-cnfld 18547  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648  df-nei 19725  df-lp 19763  df-perf 19764  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-haus 19942  df-cmp 20013  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-fil 20472  df-fm 20564  df-flim 20565  df-flf 20566  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950  df-cncf 21507  df-limc 22395  df-dv 22396  df-log 23069  df-cxp 23070
This theorem is referenced by:  dvcnsqrt  30263  binomcxplemdvbinom  31420
  Copyright terms: Public domain W3C validator