Theorem dvcn 22493

Description: A differentiable function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvcn	|- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ dom ( S _D F ) = A ) -> F e. ( A -cn-> CC ) )

Proof of Theorem dvcn

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 998	. . 3 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ dom ( S _D F ) = A ) -> F : A --> CC )
2		eqid 2454	. . . . . 6 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A )
3		eqid 2454	. . . . . 6 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
4	2, 3	dvcnp2 22492	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ x e. dom ( S _D F ) ) -> F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) )
5	4	ralrimiva 2868	. . . 4 |- ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) -> A. x e. dom ( S _D F ) F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) )
6		raleq 3051	. . . . 5 |- ( dom ( S _D F ) = A -> ( A. x e. dom ( S _D F ) F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) <-> A. x e. A F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) ) )
7	6	biimpd 207	. . . 4 |- ( dom ( S _D F ) = A -> ( A. x e. dom ( S _D F ) F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) -> A. x e. A F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) ) )
8	5, 7	mpan9 467	. . 3 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ dom ( S _D F ) = A ) -> A. x e. A F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) )
9	3	cnfldtopon 21459	. . . . 5 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
10		simpl3 999	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ dom ( S _D F ) = A ) -> A C_ S )
11		simpl1 997	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ dom ( S _D F ) = A ) -> S C_ CC )
12	10, 11	sstrd 3499	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ dom ( S _D F ) = A ) -> A C_ CC )
13		resttopon 19832	. . . . 5 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) /\ A C_ CC ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
14	9, 12, 13	sylancr 661	. . . 4 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ dom ( S _D F ) = A ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
15		cncnp 19951	. . . 4 |- ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) e. (TopOn ` A ) /\ ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) ) -> ( F e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) <-> ( F : A --> CC /\ A. x e. A F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) ) ) )
16	14, 9, 15	sylancl 660	. . 3 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ dom ( S _D F ) = A ) -> ( F e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) <-> ( F : A --> CC /\ A. x e. A F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) ) ) )
17	1, 8, 16	mpbir2and 920	. 2 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ dom ( S _D F ) = A ) -> F e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
18		ssid 3508	. . 3 |- CC C_ CC
19	9	toponunii 19603	. . . . . . 7 |- CC = U. ( TopOpen ` ℂfld )
20	19	restid 14926	. . . . . 6 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld ) )
21	9, 20	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld )
22	21	eqcomi 2467	. . . 4 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC )
23	3, 2, 22	cncfcn 21582	. . 3 |- ( ( A C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( A -cn-> CC ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
24	12, 18, 23	sylancl 660	. 2 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ dom ( S _D F ) = A ) -> ( A -cn-> CC ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
25	17, 24	eleqtrrd 2545	1 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ dom ( S _D F ) = A ) -> F e. ( A -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   A.wral 2804   C_ wss 3461   dom cdm 4988   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   ↾_t crest 14913   TopOpenctopn 14914  ℂ_fldccnfld 18618  TopOnctopon 19565   Cn ccn 19895   CnP ccnp 19896   -cn->ccncf 21549   _D cdv 22436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12093  df-exp 12152  df-hash 12391  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-hom 14811  df-cco 14812  df-rest 14915  df-topn 14916  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-topgen 14936  df-pt 14937  df-prds 14940  df-xrs 14994  df-qtop 14999  df-imas 15000  df-xps 15002  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-mulg 16262  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-psmet 18609  df-xmet 18610  df-met 18611  df-bl 18612  df-mopn 18613  df-cnfld 18619  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-topsp 19573  df-ntr 19691  df-cn 19898  df-cnp 19899  df-tx 20232  df-hmeo 20425  df-xms 20992  df-ms 20993  df-tms 20994  df-cncf 21551  df-limc 22439  df-dv 22440

This theorem is referenced by:  cpnord  22507  dvlipcn  22564  dvlip2  22565  dvivthlem1  22578  lhop1lem  22583  dvfsumlem2  22597  itgsubstlem  22618  taylthlem2  22938  efcn  23007  pige3  23079  relogcn  23190  atancn  23467  lhe4.4ex1a  31478  dvmulcncf  31964  dvdivcncf  31966  dvbdfbdioolem1  31967  ioodvbdlimc1lem2  31971  ioodvbdlimc2lem  31973  fourierdlem94  32225  fourierdlem113  32244  fouriercn  32257