Theorem dvcn 21523

Description: A differentiable function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvcn	|- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ dom ( S _D F ) = A ) -> F e. ( A -cn-> CC ) )

Proof of Theorem dvcn

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 992	. . 3 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ dom ( S _D F ) = A ) -> F : A --> CC )
2		eqid 2452	. . . . . 6 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A )
3		eqid 2452	. . . . . 6 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
4	2, 3	dvcnp2 21522	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ x e. dom ( S _D F ) ) -> F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) )
5	4	ralrimiva 2827	. . . 4 |- ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) -> A. x e. dom ( S _D F ) F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) )
6		raleq 3017	. . . . 5 |- ( dom ( S _D F ) = A -> ( A. x e. dom ( S _D F ) F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) <-> A. x e. A F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) ) )
7	6	biimpd 207	. . . 4 |- ( dom ( S _D F ) = A -> ( A. x e. dom ( S _D F ) F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) -> A. x e. A F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) ) )
8	5, 7	mpan9 469	. . 3 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ dom ( S _D F ) = A ) -> A. x e. A F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) )
9	3	cnfldtopon 20489	. . . . 5 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
10		simpl3 993	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ dom ( S _D F ) = A ) -> A C_ S )
11		simpl1 991	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ dom ( S _D F ) = A ) -> S C_ CC )
12	10, 11	sstrd 3469	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ dom ( S _D F ) = A ) -> A C_ CC )
13		resttopon 18892	. . . . 5 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) /\ A C_ CC ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
14	9, 12, 13	sylancr 663	. . . 4 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ dom ( S _D F ) = A ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
15		cncnp 19011	. . . 4 |- ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) e. (TopOn ` A ) /\ ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) ) -> ( F e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) <-> ( F : A --> CC /\ A. x e. A F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) ) ) )
16	14, 9, 15	sylancl 662	. . 3 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ dom ( S _D F ) = A ) -> ( F e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) <-> ( F : A --> CC /\ A. x e. A F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) ) ) )
17	1, 8, 16	mpbir2and 913	. 2 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ dom ( S _D F ) = A ) -> F e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
18		ssid 3478	. . 3 |- CC C_ CC
19	9	toponunii 18664	. . . . . . 7 |- CC = U. ( TopOpen ` ℂfld )
20	19	restid 14486	. . . . . 6 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld ) )
21	9, 20	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld )
22	21	eqcomi 2465	. . . 4 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC )
23	3, 2, 22	cncfcn 20612	. . 3 |- ( ( A C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( A -cn-> CC ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
24	12, 18, 23	sylancl 662	. 2 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ dom ( S _D F ) = A ) -> ( A -cn-> CC ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
25	17, 24	eleqtrrd 2543	1 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ dom ( S _D F ) = A ) -> F e. ( A -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2796   C_ wss 3431   dom cdm 4943   -->wf 5517   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   CCcc 9386   ↾_t crest 14473   TopOpenctopn 14474  ℂ_fldccnfld 17938  TopOnctopon 18626   Cn ccn 18955   CnP ccnp 18956   -cn->ccncf 20579   _D cdv 21466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466  ax-addf 9467  ax-mulf 9468

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-iin 4277  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-of 6425  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-supp 6796  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-2o 7026  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-pm 7322  df-ixp 7369  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-fsupp 7727  df-fi 7767  df-sup 7797  df-oi 7830  df-card 8215  df-cda 8443  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-dec 10862  df-uz 10968  df-q 11060  df-rp 11098  df-xneg 11195  df-xadd 11196  df-xmul 11197  df-icc 11413  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-seq 11919  df-exp 11978  df-hash 12216  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-starv 14367  df-sca 14368  df-vsca 14369  df-ip 14370  df-tset 14371  df-ple 14372  df-ds 14374  df-unif 14375  df-hom 14376  df-cco 14377  df-rest 14475  df-topn 14476  df-0g 14494  df-gsum 14495  df-topgen 14496  df-pt 14497  df-prds 14500  df-xrs 14554  df-qtop 14559  df-imas 14560  df-xps 14562  df-mre 14638  df-mrc 14639  df-acs 14641  df-mnd 15529  df-submnd 15579  df-mulg 15662  df-cntz 15949  df-cmn 16395  df-psmet 17929  df-xmet 17930  df-met 17931  df-bl 17932  df-mopn 17933  df-cnfld 17939  df-top 18630  df-bases 18632  df-topon 18633  df-topsp 18634  df-ntr 18751  df-cn 18958  df-cnp 18959  df-tx 19262  df-hmeo 19455  df-xms 20022  df-ms 20023  df-tms 20024  df-cncf 20581  df-limc 21469  df-dv 21470

This theorem is referenced by:  cpnord  21537  dvlipcn  21594  dvlip2  21595  dvivthlem1  21608  lhop1lem  21613  dvfsumlem2  21627  itgsubstlem  21648  taylthlem2  21967  efcn  22036  pige3  22107  relogcn  22211  atancn  22459  lhe4.4ex1a  29746