Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcjbr Structured version   Unicode version

Theorem dvcjbr 22220
 Description: The derivative of the conjugate of a function. For the (simpler but more limited) function version, see dvcj 22221. (This doesn't follow from dvcobr 22217 because is not a function on the reals, and even if we used complex derivatives, is not complex-differentiable.) (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcj.f
dvcj.x
dvcj.c
Assertion
Ref Expression
dvcjbr

Proof of Theorem dvcjbr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 9561 . . . . 5
21a1i 11 . . . 4
3 dvcj.f . . . 4
4 dvcj.x . . . 4
5 eqid 2467 . . . . 5 fld fld
65tgioo2 21176 . . . 4 fldt
72, 3, 4, 6, 5dvbssntr 22172 . . 3
8 dvcj.c . . 3
97, 8sseldd 3510 . 2
104, 1syl6ss 3521 . . . . . 6
111a1i 11 . . . . . . . . 9
12 simpl 457 . . . . . . . . 9
13 simpr 461 . . . . . . . . 9
1411, 12, 13dvbss 22173 . . . . . . . 8
153, 4, 14syl2anc 661 . . . . . . 7
1615, 8sseldd 3510 . . . . . 6
173, 10, 16dvlem 22168 . . . . 5
18 eqid 2467 . . . . 5
1917, 18fmptd 6056 . . . 4
20 ssid 3528 . . . . 5
2120a1i 11 . . . 4
225cnfldtopon 21158 . . . . . 6 fld TopOn
2322toponunii 19302 . . . . . . 7 fld
2423restid 14706 . . . . . 6 fld TopOn fldt fld
2522, 24ax-mp 5 . . . . 5 fldt fld
2625eqcomi 2480 . . . 4 fld fldt
27 dvf 22179 . . . . . . . 8
28 ffun 5739 . . . . . . . 8
29 funfvbrb 6001 . . . . . . . 8
3027, 28, 29mp2b 10 . . . . . . 7
318, 30sylib 196 . . . . . 6
326, 5, 18, 2, 3, 4eldv 22170 . . . . . 6 lim
3331, 32mpbid 210 . . . . 5 lim
3433simprd 463 . . . 4 lim
35 cjcncf 21276 . . . . . 6
365cncfcn1 21282 . . . . . 6 fld fld
3735, 36eleqtri 2553 . . . . 5 fld fld
3827ffvelrni 6031 . . . . . 6
398, 38syl 16 . . . . 5
4023cncnpi 19647 . . . . 5 fld fld fld fld
4137, 39, 40sylancr 663 . . . 4 fld fld
4219, 21, 5, 26, 34, 41limccnp 22163 . . 3 lim
43 eqidd 2468 . . . . . 6
44 cjf 12917 . . . . . . . 8
4544a1i 11 . . . . . . 7
4645feqmptd 5927 . . . . . 6
47 fveq2 5872 . . . . . 6
4817, 43, 46, 47fmptco 6065 . . . . 5
493adantr 465 . . . . . . . . . 10
50 eldifi 3631 . . . . . . . . . . 11
5150adantl 466 . . . . . . . . . 10
5249, 51ffvelrnd 6033 . . . . . . . . 9
533, 16ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . 10
5453adantr 465 . . . . . . . . 9
5552, 54subcld 9942 . . . . . . . 8
564sselda 3509 . . . . . . . . . . 11
5750, 56sylan2 474 . . . . . . . . . 10
584, 16sseldd 3510 . . . . . . . . . . 11
5958adantr 465 . . . . . . . . . 10
6057, 59resubcld 9999 . . . . . . . . 9
6160recnd 9634 . . . . . . . 8
6257recnd 9634 . . . . . . . . 9
6359recnd 9634 . . . . . . . . 9
64 eldifsni 4159 . . . . . . . . . 10
6564adantl 466 . . . . . . . . 9
6662, 63, 65subne0d 9951 . . . . . . . 8
6755, 61, 66cjdivd 13036 . . . . . . 7
68 cjsub 12962 . . . . . . . . . 10
6952, 54, 68syl2anc 661 . . . . . . . . 9
70 fvco3 5951 . . . . . . . . . . 11
713, 50, 70syl2an 477 . . . . . . . . . 10
72 fvco3 5951 . . . . . . . . . . . 12
733, 16, 72syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
7473adantr 465 . . . . . . . . . 10
7571, 74oveq12d 6313 . . . . . . . . 9
7669, 75eqtr4d 2511 . . . . . . . 8
7760cjred 13039 . . . . . . . 8
7876, 77oveq12d 6313 . . . . . . 7
7967, 78eqtrd 2508 . . . . . 6
8079mpteq2dva 4539 . . . . 5
8148, 80eqtrd 2508 . . . 4
8281oveq1d 6310 . . 3 lim lim
8342, 82eleqtrd 2557 . 2 lim
84 eqid 2467 . . 3
85 fco 5747 . . . 4
8644, 3, 85sylancr 663 . . 3
876, 5, 84, 2, 86, 4eldv 22170 . 2 lim
889, 83, 87mpbir2and 920 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662   cdif 3478   wss 3481  csn 4033   class class class wbr 4453   cmpt 4511   cdm 5005   crn 5006   ccom 5009   wfun 5588  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295  cc 9502  cr 9503   cmin 9817   cdiv 10218  cioo 11541  ccj 12909   ↾t crest 14693  ctopn 14694  ctg 14710  ℂfldccnfld 18290  TopOnctopon 19264  cnt 19386   ccn 19593   ccnp 19594  ccncf 21248   lim climc 22134   cdv 22135 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fi 7883  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-icc 11548  df-fz 11685  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-rest 14695  df-topn 14696  df-topgen 14716  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-cncf 21250  df-limc 22138  df-dv 22139 This theorem is referenced by:  dvcj  22221
 Copyright terms: Public domain W3C validator