MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvbsss Structured version   Unicode version

Theorem dvbsss 22174
Description: The set of differentiable points is a subset of the ambient topology. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvbsss  |-  dom  ( S  _D  F )  C_  S

Proof of Theorem dvbsss
Dummy variables  f 
s  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-dv 22139 . . . . . . . . . . 11  |-  _D  =  ( s  e.  ~P CC ,  f  e.  ( CC  ^pm  s ) 
|->  U_ x  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  s ) ) `
 dom  f )
( { x }  X.  ( ( z  e.  ( dom  f  \  { x } ) 
|->  ( ( ( f `
 z )  -  ( f `  x
) )  /  (
z  -  x ) ) ) lim CC  x
) ) )
21reldmmpt2 6408 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  dom  _D
3 df-rel 5012 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel 
dom  _D  <->  dom  _D  C_  ( _V  X.  _V ) )
42, 3mpbi 208 . . . . . . . . 9  |-  dom  _D  C_  ( _V  X.  _V )
54sseli 3505 . . . . . . . 8  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  <. S ,  F >.  e.  ( _V 
X.  _V ) )
6 opelxp1 5038 . . . . . . . 8  |-  ( <. S ,  F >.  e.  ( _V  X.  _V )  ->  S  e.  _V )
75, 6syl 16 . . . . . . 7  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  S  e. 
_V )
8 opeq1 4219 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  <. s ,  F >.  =  <. S ,  F >. )
98eleq1d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  ( <. s ,  F >.  e. 
dom  _D  <->  <. S ,  F >.  e.  dom  _D  )
)
10 eleq1 2539 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  (
s  e.  ~P CC  <->  S  e.  ~P CC ) )
11 oveq2 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  ( CC  ^pm  s )  =  ( CC  ^pm  S
) )
1211eleq2d 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  ( F  e.  ( CC  ^pm  s )  <->  F  e.  ( CC  ^pm  S ) ) )
1310, 12anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  (
( s  e.  ~P CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  s )
)  <->  ( S  e. 
~P CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) ) ) )
149, 13imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  (
( <. s ,  F >.  e.  dom  _D  ->  ( s  e.  ~P CC  /\  F  e.  ( CC 
^pm  s ) ) )  <->  ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  ->  ( S  e.  ~P CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S )
) ) ) )
151dmmpt2ssx 6860 . . . . . . . . . 10  |-  dom  _D  C_ 
U_ s  e.  ~P  CC ( { s }  X.  ( CC  ^pm  s ) )
1615sseli 3505 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
s ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  <. s ,  F >.  e.  U_ s  e.  ~P  CC ( { s }  X.  ( CC  ^pm  s ) ) )
17 opeliunxp 5057 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
s ,  F >.  e. 
U_ s  e.  ~P  CC ( { s }  X.  ( CC  ^pm  s ) )  <->  ( s  e.  ~P CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  s
) ) )
1816, 17sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( <.
s ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( s  e.  ~P CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  s ) ) )
1914, 18vtoclg 3176 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  _V  ->  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( S  e.  ~P CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) ) ) )
207, 19mpcom 36 . . . . . 6  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( S  e.  ~P CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) ) )
2120simpld 459 . . . . 5  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  S  e. 
~P CC )
2221elpwid 4026 . . . 4  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  S  C_  CC )
2320simprd 463 . . . . . 6  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )
24 cnex 9585 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
25 elpm2g 7447 . . . . . . 7  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  ~P CC )  ->  ( F  e.  ( CC  ^pm  S
)  <->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F 
C_  S ) ) )
2624, 21, 25sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( F  e.  ( CC  ^pm  S )  <->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F 
C_  S ) ) )
2723, 26mpbid 210 . . . . 5  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  S )
)
2827simpld 459 . . . 4  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  F : dom  F --> CC )
2927simprd 463 . . . 4  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  dom  F  C_  S )
3022, 28, 29dvbss 22173 . . 3  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  dom  ( S  _D  F )  C_  dom  F )
3130, 29sstrd 3519 . 2  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  dom  ( S  _D  F )  C_  S )
32 df-ov 6298 . . . . . 6  |-  ( S  _D  F )  =  (  _D  `  <. S ,  F >. )
33 ndmfv 5896 . . . . . 6  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  (  _D 
`  <. S ,  F >. )  =  (/) )
3432, 33syl5eq 2520 . . . . 5  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( S  _D  F )  =  (/) )
3534dmeqd 5211 . . . 4  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  dom  ( S  _D  F )  =  dom  (/) )
36 dm0 5222 . . . 4  |-  dom  (/)  =  (/)
3735, 36syl6eq 2524 . . 3  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  dom  ( S  _D  F )  =  (/) )
38 0ss 3819 . . 3  |-  (/)  C_  S
3937, 38syl6eqss 3559 . 2  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  dom  ( S  _D  F )  C_  S )
4031, 39pm2.61i 164 1  |-  dom  ( S  _D  F )  C_  S
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118    \ cdif 3478    C_ wss 3481   (/)c0 3790   ~Pcpw 4016   {csn 4033   <.cop 4039   U_ciun 4331    |-> cmpt 4511    X. cxp 5003   dom cdm 5005   Rel wrel 5010   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    ^pm cpm 7433   CCcc 9502    - cmin 9817    / cdiv 10218   ↾t crest 14693   TopOpenctopn 14694  ℂfldccnfld 18290   intcnt 19386   lim CC climc 22134    _D cdv 22135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fi 7883  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-fz 11685  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-rest 14695  df-topn 14696  df-topgen 14716  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-ntr 19389  df-cnp 19597  df-xms 20691  df-ms 20692  df-limc 22138  df-dv 22139
This theorem is referenced by:  dvaddf  22213  dvmulf  22214  dvcmulf  22216  dvcof  22219  dvmptres2  22233  dvmptcmul  22235  dvmptcj  22239  dvcnvlem  22245  dvcnv  22246  dvef  22249  dvcnvrelem1  22286  dvcnvrelem2  22287  dvcnvre  22288  ulmdvlem1  22662  ulmdvlem3  22664  ulmdv  22665  fperdvper  31562  dvmulcncf  31569  dvdivcncf  31571
  Copyright terms: Public domain W3C validator