MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvbsss Structured version   Unicode version

Theorem dvbsss 21513
Description: The set of differentiable points is a subset of the ambient topology. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvbsss  |-  dom  ( S  _D  F )  C_  S

Proof of Theorem dvbsss
Dummy variables  f 
s  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-dv 21478 . . . . . . . . . . 11  |-  _D  =  ( s  e.  ~P CC ,  f  e.  ( CC  ^pm  s ) 
|->  U_ x  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  s ) ) `
 dom  f )
( { x }  X.  ( ( z  e.  ( dom  f  \  { x } ) 
|->  ( ( ( f `
 z )  -  ( f `  x
) )  /  (
z  -  x ) ) ) lim CC  x
) ) )
21reldmmpt2 6314 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  dom  _D
3 df-rel 4958 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel 
dom  _D  <->  dom  _D  C_  ( _V  X.  _V ) )
42, 3mpbi 208 . . . . . . . . 9  |-  dom  _D  C_  ( _V  X.  _V )
54sseli 3463 . . . . . . . 8  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  <. S ,  F >.  e.  ( _V 
X.  _V ) )
6 opelxp1 4983 . . . . . . . 8  |-  ( <. S ,  F >.  e.  ( _V  X.  _V )  ->  S  e.  _V )
75, 6syl 16 . . . . . . 7  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  S  e. 
_V )
8 opeq1 4170 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  <. s ,  F >.  =  <. S ,  F >. )
98eleq1d 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  ( <. s ,  F >.  e. 
dom  _D  <->  <. S ,  F >.  e.  dom  _D  )
)
10 eleq1 2526 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  (
s  e.  ~P CC  <->  S  e.  ~P CC ) )
11 oveq2 6211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  ( CC  ^pm  s )  =  ( CC  ^pm  S
) )
1211eleq2d 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  ( F  e.  ( CC  ^pm  s )  <->  F  e.  ( CC  ^pm  S ) ) )
1310, 12anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  (
( s  e.  ~P CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  s )
)  <->  ( S  e. 
~P CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) ) ) )
149, 13imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  (
( <. s ,  F >.  e.  dom  _D  ->  ( s  e.  ~P CC  /\  F  e.  ( CC 
^pm  s ) ) )  <->  ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  ->  ( S  e.  ~P CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S )
) ) ) )
151dmmpt2ssx 6752 . . . . . . . . . 10  |-  dom  _D  C_ 
U_ s  e.  ~P  CC ( { s }  X.  ( CC  ^pm  s ) )
1615sseli 3463 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
s ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  <. s ,  F >.  e.  U_ s  e.  ~P  CC ( { s }  X.  ( CC  ^pm  s ) ) )
17 opeliunxp 5001 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
s ,  F >.  e. 
U_ s  e.  ~P  CC ( { s }  X.  ( CC  ^pm  s ) )  <->  ( s  e.  ~P CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  s
) ) )
1816, 17sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( <.
s ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( s  e.  ~P CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  s ) ) )
1914, 18vtoclg 3136 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  _V  ->  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( S  e.  ~P CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) ) ) )
207, 19mpcom 36 . . . . . 6  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( S  e.  ~P CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) ) )
2120simpld 459 . . . . 5  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  S  e. 
~P CC )
2221elpwid 3981 . . . 4  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  S  C_  CC )
2320simprd 463 . . . . . 6  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )
24 cnex 9477 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
25 elpm2g 7342 . . . . . . 7  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  ~P CC )  ->  ( F  e.  ( CC  ^pm  S
)  <->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F 
C_  S ) ) )
2624, 21, 25sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( F  e.  ( CC  ^pm  S )  <->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F 
C_  S ) ) )
2723, 26mpbid 210 . . . . 5  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  S )
)
2827simpld 459 . . . 4  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  F : dom  F --> CC )
2927simprd 463 . . . 4  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  dom  F  C_  S )
3022, 28, 29dvbss 21512 . . 3  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  dom  ( S  _D  F )  C_  dom  F )
3130, 29sstrd 3477 . 2  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  dom  ( S  _D  F )  C_  S )
32 df-ov 6206 . . . . . 6  |-  ( S  _D  F )  =  (  _D  `  <. S ,  F >. )
33 ndmfv 5826 . . . . . 6  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  (  _D 
`  <. S ,  F >. )  =  (/) )
3432, 33syl5eq 2507 . . . . 5  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( S  _D  F )  =  (/) )
3534dmeqd 5153 . . . 4  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  dom  ( S  _D  F )  =  dom  (/) )
36 dm0 5164 . . . 4  |-  dom  (/)  =  (/)
3735, 36syl6eq 2511 . . 3  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  dom  ( S  _D  F )  =  (/) )
38 0ss 3777 . . 3  |-  (/)  C_  S
3937, 38syl6eqss 3517 . 2  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  dom  ( S  _D  F )  C_  S )
4031, 39pm2.61i 164 1  |-  dom  ( S  _D  F )  C_  S
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078    \ cdif 3436    C_ wss 3439   (/)c0 3748   ~Pcpw 3971   {csn 3988   <.cop 3994   U_ciun 4282    |-> cmpt 4461    X. cxp 4949   dom cdm 4951   Rel wrel 4956   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    ^pm cpm 7328   CCcc 9394    - cmin 9709    / cdiv 10107   ↾t crest 14481   TopOpenctopn 14482  ℂfldccnfld 17946   intcnt 18756   lim CC climc 21473    _D cdv 21474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fi 7775  df-sup 7805  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-q 11068  df-rp 11106  df-xneg 11203  df-xadd 11204  df-xmul 11205  df-fz 11558  df-seq 11927  df-exp 11986  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-starv 14375  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-unif 14383  df-rest 14483  df-topn 14484  df-topgen 14504  df-psmet 17937  df-xmet 17938  df-met 17939  df-bl 17940  df-mopn 17941  df-cnfld 17947  df-top 18638  df-bases 18640  df-topon 18641  df-topsp 18642  df-ntr 18759  df-cnp 18967  df-xms 20030  df-ms 20031  df-limc 21477  df-dv 21478
This theorem is referenced by:  dvaddf  21552  dvmulf  21553  dvcmulf  21555  dvcof  21558  dvmptres2  21572  dvmptcmul  21574  dvmptcj  21578  dvcnvlem  21584  dvcnv  21585  dvef  21588  dvcnvrelem1  21625  dvcnvrelem2  21626  dvcnvre  21627  ulmdvlem1  22001  ulmdvlem3  22003  ulmdv  22004
  Copyright terms: Public domain W3C validator