MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvbssntr Structured version   Unicode version

Theorem dvbssntr 22792
Description: The set of differentiable points is a subset of the interior of the domain of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcl.s  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
dvcl.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
dvcl.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
dvbssntr.j  |-  J  =  ( Kt  S )
dvbssntr.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
dvbssntr  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  C_  (
( int `  J
) `  A )
)

Proof of Theorem dvbssntr
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvcl.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
2 dvcl.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
3 dvcl.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
4 dvbssntr.j . . . . . 6  |-  J  =  ( Kt  S )
5 dvbssntr.k . . . . . 6  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
64, 5dvfval 22789 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  (
( S  _D  F
)  =  U_ x  e.  ( ( int `  J
) `  A )
( { x }  X.  ( ( z  e.  ( A  \  {
x } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) )  /\  ( S  _D  F )  C_  ( ( ( int `  J ) `  A
)  X.  CC ) ) )
71, 2, 3, 6syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F )  =  U_ x  e.  ( ( int `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( z  e.  ( A  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim
CC  x ) )  /\  ( S  _D  F )  C_  (
( ( int `  J
) `  A )  X.  CC ) ) )
87simprd 464 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
)  C_  ( (
( int `  J
) `  A )  X.  CC ) )
9 dmss 4991 . . 3  |-  ( ( S  _D  F ) 
C_  ( ( ( int `  J ) `
 A )  X.  CC )  ->  dom  ( S  _D  F
)  C_  dom  ( ( ( int `  J
) `  A )  X.  CC ) )
108, 9syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  C_  dom  ( ( ( int `  J ) `  A
)  X.  CC ) )
11 dmxpss 5225 . 2  |-  dom  (
( ( int `  J
) `  A )  X.  CC )  C_  (
( int `  J
) `  A )
1210, 11syl6ss 3414 1  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  C_  (
( int `  J
) `  A )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    \ cdif 3371    C_ wss 3374   {csn 3936   U_ciun 4237    |-> cmpt 4420    X. cxp 4789   dom cdm 4791   -->wf 5535   ` cfv 5539  (class class class)co 6244   CCcc 9483    - cmin 9806    / cdiv 10215   ↾t crest 15257   TopOpenctopn 15258  ℂfldccnfld 18908   intcnt 19969   lim CC climc 22754    _D cdv 22755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-rep 4474  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536  ax-cnex 9541  ax-resscn 9542  ax-1cn 9543  ax-icn 9544  ax-addcl 9545  ax-addrcl 9546  ax-mulcl 9547  ax-mulrcl 9548  ax-mulcom 9549  ax-addass 9550  ax-mulass 9551  ax-distr 9552  ax-i2m1 9553  ax-1ne0 9554  ax-1rid 9555  ax-rnegex 9556  ax-rrecex 9557  ax-cnre 9558  ax-pre-lttri 9559  ax-pre-lttrn 9560  ax-pre-ltadd 9561  ax-pre-mulgt0 9562  ax-pre-sup 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-nel 2597  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-pss 3390  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4158  df-int 4194  df-iun 4239  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-tr 4457  df-eprel 4702  df-id 4706  df-po 4712  df-so 4713  df-fr 4750  df-we 4752  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-pred 5337  df-ord 5383  df-on 5384  df-lim 5385  df-suc 5386  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-riota 6206  df-ov 6247  df-oprab 6248  df-mpt2 6249  df-om 6646  df-1st 6746  df-2nd 6747  df-wrecs 6978  df-recs 7040  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7520  df-dom 7521  df-sdom 7522  df-fin 7523  df-fi 7873  df-sup 7904  df-inf 7905  df-pnf 9623  df-mnf 9624  df-xr 9625  df-ltxr 9626  df-le 9627  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10216  df-nn 10556  df-2 10614  df-3 10615  df-4 10616  df-5 10617  df-6 10618  df-7 10619  df-8 10620  df-9 10621  df-10 10622  df-n0 10816  df-z 10884  df-dec 10998  df-uz 11106  df-q 11211  df-rp 11249  df-xneg 11355  df-xadd 11356  df-xmul 11357  df-fz 11731  df-seq 12159  df-exp 12218  df-cj 13101  df-re 13102  df-im 13103  df-sqrt 13237  df-abs 13238  df-struct 15061  df-ndx 15062  df-slot 15063  df-base 15064  df-plusg 15141  df-mulr 15142  df-starv 15143  df-tset 15147  df-ple 15148  df-ds 15150  df-unif 15151  df-rest 15259  df-topn 15260  df-topgen 15280  df-psmet 18900  df-xmet 18901  df-met 18902  df-bl 18903  df-mopn 18904  df-cnfld 18909  df-top 19858  df-bases 19859  df-topon 19860  df-topsp 19861  df-cnp 20181  df-xms 21272  df-ms 21273  df-limc 22758  df-dv 22759
This theorem is referenced by:  dvbss  22793  dvnres  22822  dvcmulf  22836  dvcjbr  22840  dvmptcmul  22855  dvcnvre  22908  ftc1cn  22932  taylthlem1  23265  taylthlem2  23266  ulmdvlem3  23294  ftc1cnnc  31923
  Copyright terms: Public domain W3C validator