MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvbssntr Structured version   Unicode version

Theorem dvbssntr 22596
Description: The set of differentiable points is a subset of the interior of the domain of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcl.s  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
dvcl.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
dvcl.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
dvbssntr.j  |-  J  =  ( Kt  S )
dvbssntr.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
dvbssntr  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  C_  (
( int `  J
) `  A )
)

Proof of Theorem dvbssntr
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvcl.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
2 dvcl.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
3 dvcl.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
4 dvbssntr.j . . . . . 6  |-  J  =  ( Kt  S )
5 dvbssntr.k . . . . . 6  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
64, 5dvfval 22593 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  (
( S  _D  F
)  =  U_ x  e.  ( ( int `  J
) `  A )
( { x }  X.  ( ( z  e.  ( A  \  {
x } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) )  /\  ( S  _D  F )  C_  ( ( ( int `  J ) `  A
)  X.  CC ) ) )
71, 2, 3, 6syl3anc 1230 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F )  =  U_ x  e.  ( ( int `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( z  e.  ( A  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim
CC  x ) )  /\  ( S  _D  F )  C_  (
( ( int `  J
) `  A )  X.  CC ) ) )
87simprd 461 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
)  C_  ( (
( int `  J
) `  A )  X.  CC ) )
9 dmss 5023 . . 3  |-  ( ( S  _D  F ) 
C_  ( ( ( int `  J ) `
 A )  X.  CC )  ->  dom  ( S  _D  F
)  C_  dom  ( ( ( int `  J
) `  A )  X.  CC ) )
108, 9syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  C_  dom  ( ( ( int `  J ) `  A
)  X.  CC ) )
11 dmxpss 5256 . 2  |-  dom  (
( ( int `  J
) `  A )  X.  CC )  C_  (
( int `  J
) `  A )
1210, 11syl6ss 3454 1  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  C_  (
( int `  J
) `  A )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    \ cdif 3411    C_ wss 3414   {csn 3972   U_ciun 4271    |-> cmpt 4453    X. cxp 4821   dom cdm 4823   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520    - cmin 9841    / cdiv 10247   ↾t crest 15035   TopOpenctopn 15036  ℂfldccnfld 18740   intcnt 19810   lim CC climc 22558    _D cdv 22559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fi 7905  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-fz 11727  df-seq 12152  df-exp 12211  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-rest 15037  df-topn 15038  df-topgen 15058  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-cnfld 18741  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cnp 20022  df-xms 21115  df-ms 21116  df-limc 22562  df-dv 22563
This theorem is referenced by:  dvbss  22597  dvnres  22626  dvcmulf  22640  dvcjbr  22644  dvmptcmul  22659  dvcnvre  22712  ftc1cn  22736  taylthlem1  23060  taylthlem2  23061  ulmdvlem3  23089  ftc1cnnc  31462
  Copyright terms: Public domain W3C validator