MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvbss Structured version   Unicode version

Theorem dvbss 22842
Description: The set of differentiable points is a subset of the domain of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcl.s  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
dvcl.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
dvcl.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
Assertion
Ref Expression
dvbss  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  C_  A
)

Proof of Theorem dvbss
StepHypRef Expression
1 dvcl.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
2 dvcl.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
3 dvcl.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
4 eqid 2422 . . 3  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  S )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  S )
5 eqid 2422 . . 3  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
61, 2, 3, 4, 5dvbssntr 22841 . 2  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  C_  (
( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  A ) )
75cnfldtop 21790 . . . 4  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
8 cnex 9620 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
9 ssexg 4566 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  S  e.  _V )
101, 8, 9sylancl 666 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
11 resttop 20162 . . . 4  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  S  e.  _V )  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top )
127, 10, 11sylancr 667 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top )
135cnfldtopon 21789 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
14 resttopon 20163 . . . . . 6  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S ) )
1513, 1, 14sylancr 667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S ) )
16 toponuni 19928 . . . . 5  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  S  =  U. ( ( TopOpen ` fld )t  S
) )
1715, 16syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  =  U. (
( TopOpen ` fld )t  S ) )
183, 17sseqtrd 3500 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  U. (
( TopOpen ` fld )t  S ) )
19 eqid 2422 . . . 4  |-  U. (
( TopOpen ` fld )t  S )  =  U. ( ( TopOpen ` fld )t  S )
2019ntrss2 20058 . . 3  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top  /\  A  C_  U. (
( TopOpen ` fld )t  S ) )  -> 
( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  A )  C_  A
)
2112, 18, 20syl2anc 665 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  A )  C_  A
)
226, 21sstrd 3474 1  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  C_  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1868   _Vcvv 3081    C_ wss 3436   U.cuni 4216   dom cdm 4849   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   CCcc 9537   ↾t crest 15306   TopOpenctopn 15307  ℂfldccnfld 18957   Topctop 19903  TopOnctopon 19904   intcnt 20018    _D cdv 22804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-fz 11785  df-seq 12213  df-exp 12272  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-struct 15110  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-plusg 15190  df-mulr 15191  df-starv 15192  df-tset 15196  df-ple 15197  df-ds 15199  df-unif 15200  df-rest 15308  df-topn 15309  df-topgen 15329  df-psmet 18949  df-xmet 18950  df-met 18951  df-bl 18952  df-mopn 18953  df-cnfld 18958  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909  df-topsp 19910  df-ntr 20021  df-cnp 20230  df-xms 21321  df-ms 21322  df-limc 22807  df-dv 22808
This theorem is referenced by:  dvbsss  22843  dvres3  22854  dvres3a  22855  dvidlem  22856  dvcnp  22859  dvnff  22863  dvnres  22871  cpnord  22875  dvmulbr  22879  dvaddf  22882  dvmulf  22883  dvcmul  22884  dvcobr  22886  dvcof  22888  dvcjbr  22889  dvrec  22895  dvcnv  22915  dvlipcn  22932  dvlip2  22933  lhop  22954  dvtaylp  23311  ulmdv  23344  pserdv  23370  fourierdlem80  37869  fourierdlem94  37883  fourierdlem113  37902
  Copyright terms: Public domain W3C validator